【文档说明】【精准解析】四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期第一次在线月考数学（理）试题.doc，共(21)页，1.714 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省棠湖中学高二第一学月考试理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它

答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线31yx=−的倾斜角是（）A.30B.4

5C.60D.90【答案】C【解析】【分析】根据直线方程得出直线的斜率，进而可得出直线的倾斜角.【详解】直线31yx=−的斜率为3，该直线的倾斜角为60.故选：C.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，求出直线的斜率是关

键，考查计算能力，属于基础题.2.命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是（）A.所有奇数的立方不是奇数B.不存在一个奇数，它的立方是偶数C.存在一个奇数，它的立方是偶数D.不存在一个奇数，它的立方是奇数【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定解答即可.【详解】由于命题“所有奇

数的立方是奇数”是一个全称命题，所以命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数，它的立方是偶数”.故选：C【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.椭圆22125

9xy+=的焦距为（）A.5B.3C.4D.8【答案】D【解析】因为根据221259xy+=的方程可知，a=5,b=3,c=4,故焦距为2c=8，选D4.命题“()0,x+，elnxx”的否定是（）A.

()0,x+，elnxxB.()0,x+，elnxxC.()0,x+，elnxxD.()0,x+，elnxx【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，写出答案即可.【详解】命题“()0,x+，elnxx”的否定是()0,x

+，elnxx.故选：C.【点睛】全程命题p：xM，()px，它的否定p：0xM，()px.5.直线1yx=+被圆222xy+=截得的弦长为（）A.2B.22C.6D.26【答案】C【解析】【分析】由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线1yx=+的距离d，再根据弦

长公式求得弦长.【详解】解：由圆222xy+=，可得圆心(0,0)，半径为2，可得圆心到直线1yx=+的距离22001221(1)d−+==+−，故弦长为2222(2)()62−=，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用

，属于中档题.6.已知直线l和平面内的两条直线,mn，则“l⊥”是“lm⊥且ln⊥”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据线面垂

直的判定与性质分别检验命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由直线l和平面内的两条直线,mn，可得：充分性：因为“l⊥”，所以l必垂直于平面内的所以直线，所以“lm⊥且ln⊥”；必要性：由“lm⊥且ln⊥”，若mn，则l不一定垂直与平

面，综上可得,“l⊥”是“lm⊥且ln⊥”的充分不必要条件，故选:C.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质和充要条件的判断，属于基础题型.7.已知直线l与平面，，则下列说法正确的是（）A.若//l，/

/，则l//B.若l⊥，⊥，则l//C.若l，l//，则//D.若l，l⊥，则⊥【答案】D【解析】【分析】结合空间中点、线、面的位置关系，对四个选项逐个分析，即可选出答案.【详解】A、B选项中，直线l都可以在平面内，

故错误；C选项中，内要有两条相交直线均与平行，才有//，故错误；D选项中，内有一条直线与垂直，则⊥.故选：D.【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查学生的空间想象能力，属于基础题.8.已知PQ、分别为直线1:3440lxy+−=

与2:3410lxy++=上的两个动点，则线段PQ的长度的最小值为（）A.35B.1C.65D.2【答案】B【解析】【分析】易得直线1l与2l平行，当PQ的长度为两平行线间的距离时最短，利用两平行线间的距离公式计算可得答案.【详解】解：由直线1

:3440lxy+−=与2:3410lxy++=，可得直线1l与2l平行，当PQ的长度为两平行线间的距离时，线段PQ的长度的最小值，可得1l与2l的距离为：221(4)134−−=+，即线段PQ的长度

的最小值为1，故选：B.【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.9.不等式组6003xyxyx−++表示的平面区域的面积为（）A.36B.362C.72D.722【答案】A【解析】【分析】作出不等式组6003xyxyx−++表示的平面区域为直角三角形AB

C及其内部的部分，求得A、B、C各个点的坐标，可得直角三角形ABC的面积．【详解】不等式组6003xyxyx−++表示的平面区域为直角三角形ABC及其内部的部分，联立600xyxy−+=+=，解得33xy=−=，可得点()3,3A−，同理可得()

3,3B−，()3,9C，()()22333912BC=−+−−=，点A到直线3x=的距离为336d=−−=，ABC的面积为111263622ABCSBCd===.因此，不等式组6003xyx

yx−++表示的平面区域的面积为36.故选：A.【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图

所示，则以下四种说法中正确的个数为（）①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据条形统计图，结合平

均数、方差的计算公式，再根据中位数、极差的定义进行判断即可.【详解】()15556965x=++++=乙，()14567865x=++++=甲，故甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的

中位数为5，故甲大于乙；甲的成绩的方差为()221221225+=，乙的成绩的方差为()22113312.45+=；③正确，甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差等于4，④正确.故选：D【点睛】本题考查了平均数

、方差的计算公式，考查了中位数和极差的定义，考查了数学运算能力.11.已知0m，0n，141mn+=，若不等式22mnxxa+−++对已知的m，n及任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A.)8,+B.)

3,+C.(,3−D.(,8−【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求得mn+的最小值，再利用参变分离将问题转化为恒成立问题，从而求得答案.【详解】∵()1445nmmnmnmnmn+=++=++4529nmmn+=，当且仅当4nmmn=时等号成立

，∴229xxa−++，即()222918axxx−+=−+，∴8a.故选：D【点睛】本题考查基本不等式求最值、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变

分离法的运用.12.已知1122(,),(,)AxyBxy是椭圆2241xy+=上两个不同点，且满足1212142xxyy+=，则11222121xyxy+−++−的最大值为（）A.6-2B.4C.62+D.26【答案】C【解析】【分析】设2,2xmyn==,设1122(,)

,(,)CmnDmn,O为坐标原点，可得11(,)OCmn=，22(,)ODmn=,可得CD、两点均在圆221+=mn的圆上，且60oCOD=，COD为等边三角形，且1CD=,可得根据点到直线的距离公式可得112221212

2xyxy+−+−+的最大值，可得答案.【详解】解：已知1122(,),(,)AxyBxy是椭圆2241xy+=上两个不同点,可得2222112241,41xyxy+=+=，设2,2xmyn==，设1122(,),(,)Cm

nDmn,O为坐标原点，可得11(,)OCmn=，22(,)ODmn=,可得222211221,1mnmn+=+=，且121212mmnn+=，可得CD、两点均在圆221+=mn的圆上，且60oCOD=，可得COD为等边三角形，且1CD=,根据点到直线的距离公式可知：11221122

2212111222xyxymnmn+−+−+−+−+=+为点CD、两点到直线10xy+−=的距离12dd、之和，设CD的中点为E,E到直线10xy+−=的距离3d，则12313222()2()23222dddEO=+=+=++,可得12dd+的最大值为23+；可得11221221212()

xyxydd+−++−=+，可得11222121xyxy+−++−的最大值为2(23)62+=+，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离，综合性大，属于难题.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2

0分.13.已知双曲线()22210xyaa−=的一条渐近线方程为30xy+=，则该双曲线的离心率为________.【答案】233【解析】【分析】根据双曲线的标准方程写出渐近线方程，对比已知所给的渐近线方程，可以求出a的值，最后求出双曲线的离心率.【详解】2221xya

−=渐近线方程为0xyxaya==，所以3a=，故离心率为221233caeaa+===.故答案为：233【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了双曲线的离心率公式，考查了数学运算能力.14.求过点()2,3P，并且在两轴上的截距相等的直线方程_____．【答案】3

20xy−=或50xy+−=【解析】【分析】当直线经过原点时，直线的方程可直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为xya+=，把点P的坐标代入即可得出．【详解】当直线经过原点时，设直线的方程为ykx=，将点P的坐标代入得23k=

，解得32k=，此时，直线的方程为32yx=，即320xy−=；当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为xya+=，把点P的坐标代入得235a=+=，此时，直线的方程为50xy+−=.综上所述，所求直线的方程为

320xy−=或50xy+−=.故答案为：320xy−=或50xy+−=.【点睛】本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法，属于基础题．15.已知三棱锥ABCD−中，AB，AC，AD两两相互垂直，且3

AB=，4AC=，12AD=，则三棱锥ABCD−外接球的表面积为________.【答案】169π【解析】【分析】由AB，AC，AD两两垂直，可将三棱锥ABCD−补成长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，体对角线即为外接球的直径，求解即可.【详解

】由AB，AC，AD两两垂直，可将三棱锥ABCD−补成如图所示的长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，外接球直径为：2222341213R=++=，所以三棱锥外接球的表面积为24π169πR=.故答案为：169π

.【点睛】本题考查空间几何体的外接球，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.16.已知O为坐标原点，F为抛物线C：22yx=的焦点，直线l：()21ymx=−与抛物线C交于A，B两点，点A在第一象限，若2AFBF=，则m的值为_____

_.【答案】2【解析】【分析】设()11,Axy，()22,Bxy，利用焦半径的公式代入2AFBF=，并与抛物线方程联立，求得点,AB的坐标，再代入斜率公式求得m的值.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，直线l过抛物线C的焦点1,02F，∵2AFBF=，2AFFB=，所

以1211222xx−=−，122yy=−，∴12322xx=−，由2112yx=，2222yx=得2222224342yxyx=−=，∴214x=，2212y=，222y=−，∴2022221124m+==−，2m=.故答案为：2.【点睛】本

题考查抛物线的焦半径、直线与抛物线的位置关系、斜率公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意焦半径公式的运用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知0a，命题p：2120xx−−，

命题q：()222xa−.（1）当3a=时，若命题()pq为真，求x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求a的取值范围.【答案】（1）14x−；（2）5a【解析】【分析】（1）由命题()pq

为真，可知,pq都是真命题，结合,pq对应的x的范围，可求出答案；（2）利用充分条件对应的关系列出不等式，求解即可.【详解】（1）由题意，2120xx−−34x−，即命题p：34x−，当3a=时，命题q：()229x−，即q：

15x−，若()pq为真，则,pq都是真命题，则14x−；（2）由题意，q：22axa−+，p：34x−，若p是q的充分条件，则()3,42,2aa−−+，即2423aa+−−，解得5a.故a的取值范围是5a.【点睛】

本题考查复合命题间的关系，考查充分性的应用，考查不等式的解法，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.18.某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成

频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）该公

司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）1347表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程

.回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为12221()ˆniiiiixynxybxnx==−=−，ˆˆaybx=−.【答案】（1）2；（2）5；（3）得空白栏为5，1.4.2ˆ0yx=−.【解析】【分析】（1）根据在频率直方图所有小矩形的面积之和

为1直接求解即可；（2）根据已知所给的各组取值的方法进行求解即可；（3）直接将（2）的结果填入上表的空白栏.根据平均数的计算公式求出x，y的值，再求出51iiixy=，521iix=，最后根据所给的公式求出ˆb，ˆa的值，最后求出回归直线方程.【详解】（1）设各小长方形的宽度为m，可得：

()0.080.10.140.120.040.021m+++++=，2m=.（2）可得各组中点从左向右依次是1，3，5，7，9，11，各组中点对应的频率从左向右依次是0.16，0.20，0.28，0.24，0

.08，0.04，平均值10.1630.250.2870.2490.08110.045=+++++=.（3）得空白栏为5，1234535x++++==，1345745y++++==，51112334455774iiixy==++

++=，522222211234555iix==++++=，根据公式可得274534ˆ1.45553b−==−，41.43.2ˆ0a=−=−，故回归直线方程为1.4.2ˆ0yx=−.【点睛】本题考查求频率

直方图中组距问题，考查了在频率直方图中求平均数问题，考查了求回归直线方程，考查了数学运算能力.19.已知抛物线2:4yx=焦点为F，准线与x轴的交点为M.（Ⅰ）抛物线上的点P满足=5PF，求点P的坐标；（Ⅱ）设点A是抛物线上的动点，点B是FA的中点，2

MCCB=，求点C的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）(4,4)或(4,4)−（Ⅱ）243yx=【解析】【分析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标和准线方程,设点P的坐标为(,)ppPxy,由=5PF,可得px的值,代入抛物线的方程,可得点P的坐标;（Ⅱ）利用相关点法,设

设(,)Cxy，(,)Bmn，(,)Ast，可得33sxty==,由点A是抛物线上,代入可得点C的轨迹方程.【详解】解:（Ⅰ）设点P的坐标为(,)ppPxy由已知可得，(1,0)F，15,4ppPFxx=+==代入抛物线方程

24yx=得4py=，所以点P的坐标为(4,4)或(4,4)−（Ⅱ）设(,)Cxy，(,)Bmn，(,)Ast，由已知(1,0)M−，2MCCB=得：1(31)12222232mxxmxynyny=++=−=−=，又因为点B是FA的

中点得，212msnt=+=，33sxty==，点(,)Ast在抛物线24yx=上，即24ts=，所以点C的轨迹方程为：243yx=【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质及点的轨迹方程,注意相关点法的应用求轨迹方程.20.已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．（1

）若直线l：x+y＝0与圆C交于A，B两点，求弦AB的长；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【答案】（1）6（2）P（33105−，）【解析】【分析】（1）根据圆的弦长公式即可求出；（2）

因为|PM|＝|PO|，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，根据几何知识可求出点P的运动轨迹为直线2x﹣4y+3＝0，所以点O到直线的距离最短，即求出|PM|取得最小值，再联立直线2x﹣4y+3＝0和20xy+=，即可求出点P的坐标

．【详解】（1）圆C可化为（x+1）2+（y﹣2）2＝2，则圆心C（﹣1，2），所以C到直线l的距离d12222−+==，则弦长AB＝22212262rd−=−=；（2）因为切线PM与半径CM垂直，所

以|PM|2＝|PC|2﹣|CM|2，又因为|PM|＝|PO|，则|PO|2＝|PC|2﹣|CM|2，即（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2＝x12+y12，整理得2x1﹣4y1+3＝0，所以点P的运动轨迹为直线2x﹣4y+3＝0，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的

最小值为原点O到直线2x﹣4y+3＝0的距离d3351020==，过点O且垂直于直线2x﹣4y+3＝0的方程为：20xy+=所以由202430xyxy+=−+=，得31035xy=−=，故所求点P的坐标为P（33105−，）．【点睛】本题主要考查

圆的弦长公式和几何性质的应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．21.在梯形ABCD中，//,,2243ABCDBADABADCD====，P为AB的中点，线段AC

与DP交于O点（如图1）.将ACD沿AC折起到'ACD的位置，使得二面角--'BACD为直二面角（如图2）.（1）求证：//BC平面'POD；（2）线段PD上是否存在点Q，使得CQ与平面'BCD所成角的正弦值为68？若存在，求出'PQP

D的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）线段PD上存在点Q，且1'3PQPD=【解析】【分析】（1）推导出//,CDAPCDAP=，从而四边形APCD为平行四边形，推导出//OPBC，由

此能证明//BC平面'POD；（2）建立空间直角坐标系Oxyz−，设'(01)PQPD=，利用向量法能求出线段'PD上存在点Q，且1'3PQPD=时，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为68.【详解】（1）证明：因为在梯形ABCD中，//,24ABCDABCD==，P为

AB的中点，所以//,CDAPCDAP=，所以四边形APCD为平行四边形，因为线段AC与DP交于O点，所以O为线段AC的中点，所以ABC中//OPBC，因为OP平面'POD，BC平面'POD，所以//BC平面'POD

.（2）解：平行四边形APCD中，2APAD==，所以四边形APCD是菱形，ACDP⊥，垂足为O，所以',ACODACOP⊥⊥，因为'OD平面'ACD，OP平面ACB，所以'DOP是二面角'BACD−−的平面角，因为二

面角'BACD−−为直二面角，所以'2DOP=，即'OPOD⊥.可以如图建立空间直角坐标系Oxyz−，其中(0,0,0)O，因为在图1菱形APCD中，3BAD=，所以1,3ODOPOAOC−−==，所以(3,2,0),(0

,1,0),(3,0,0),'(0,0,1)BPCD−−，所以'(3,2,1)BD=−，(0,2,0)CB=，设(,,)nxyz=为平面'BCD的法向量，因为'nCBnBD⊥⊥，所以0'0nCBnBD

==，即20320yxyz=−+=，取1x=，得到03yz==−，所以(1,0,3)n=−；线段'PD上存在点Q使得CQ与平面'BCD所成角的正弦值为68，设'(01)PQPD=，因为(3,1,0),'(0,1,1)CPPD==−，所以'(3,

1,)CQCPPQCPPD=+=+=−，因为23(1)6cos,8||||2224CQnCQnCQn−===−+，所以23720−+=，因为01≤≤，所以13=，所以线段PD上存在点Q，且1'3PQPD=，使得CQ与平面'BCD所成角的正弦值为68.【点睛】本题考查线

面平行的证明，考查满足线面角的正弦值的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.22.在平面直角坐标系xOy中，四个点32,3

，3,23，61,3−，61,3中有3个点在椭圆C：()222210xyabab+=上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是

椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且ADAB⊥，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，设直线AM，AN的斜率分别为1k，2k，证明：存在常数使得12kk=，并求出的值.【答案】（1）2213xy+=；（2）证明见解析，35-.【解析】【分析】（1）根据椭圆的对称性可知，关于x轴

对称的61,3，61,3−在椭圆上.分类讨论，当32,3在椭圆上时，当3,23在椭圆上时，分别求解，根据0ab确定，即可.（2）设()()1111,,0Axyyx，

()22,Dxy，由题意可知()11,Bxy−−，11ABkyx=，设直线AD的方程为ykxm=+，与椭圆联立，变形整理得()222136330kxmkxm+++−=，确定122613mkxxk+=−+，122213myyk+=+，从而121121133BDy

yykxxkx+==−=+，直线BD的方程为()11113yyyxxx+=+，分别令0y=、0x=确定点M与点N的坐标，求直线AM，AN的斜率分别为1k，2k，求解即可.【详解】（1）∵61,3，61,3−

关于x轴对称.∴这2个点在椭圆上，即221213ab+=①当32,3在椭圆上时，222113ab+=②由①②解得23a=，21b=.当3,23在椭圆上时，221213ab+=③由①③解得243a=，283b=.又0ab∴23a=，21b=∴椭圆C

的方程为2213xy+=.（2）设()()11110,xAyxy，()22,Dxy，则()11,Bxy−−.因为直线AB的斜率11ABkyx=，又ABAD⊥.所以直线AD的斜率11xky=−.设直线AD的方程为ykxm=+，由题意知0k，0m.由221

3ykxmxy=++=可得()222136330kxmkxm+++−=，所以122613mkxxk+=−+，()121222213myykxxmk+=++=+.由题意知12xx，所以121121133BDyyykxxkx+==−

=+，所以直线BD的方程为()11113yyyxxx+=+，令0y=，得12xx=，即()12,0Mx，可得111ykx=−，令0x=，得123yy=−，即120,3yN−，可得12153ykx

=，所以1235kk=−，即35=−，因此，存在常数35=−使得结论成立.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于较难的题.