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专练45椭圆授课提示：对应学生用书95页[基础强化]一、选择题1．椭圆x216＋y26＝1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为()A．2B．3C．4D．5答案：D解析：∵a＝4，由椭圆的定义知，M到另

一个焦点的距离为2a－3＝2×4－3＝5.2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为()A．23B．43C．6D．12答案：B解析：由椭圆的方程得a＝3.设椭圆的另一个焦点为F，

则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝43.3．[2024·九省联考]椭圆x2a2＋y2＝1(a>1)的离心率为12

，则a＝()A．233B．2C．3D．2答案：A解析：由题意得e＝ca＝a2－1a＝12，解得a＝233.故选A.4．已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A．13B．12C．9D．6答案：C解析：由题，

a2＝9，b2＝4，则||MF1＋||MF2＝2a＝6，所以||MF1·||MF2≤||MF1＋||MF222＝9(当且仅当||MF1＝||MF2＝3时，等号成立).故选C.5．已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(

2，0)，则C的离心率为()A．13B．12C．22D．223答案：C解析：由题可知椭圆的焦点落在x轴上，c＝2，∴a2＝4＋c2＝8，∴a＝22，∴e＝ca＝222＝22.6．[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1：x2a2＋y2＝1(a>1)，C2：x24＋y2＝1的

离心率分别为e1，e2.若e2＝3e1，则a＝()A．233B．2C．3D．6答案：A解析：方法一由已知得e1＝a2－1a，e2＝4－12＝32，因为e2＝3e1，所以32＝3×a2－1a，得a＝233.故选A.方法二若a＝233，则e1

＝a2－1a＝（233）2－1233＝12，又e2＝32，所以e2＝3e1，所以a＝233符合题意．故选A.7．[2023·全国甲卷(理)]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29＋y26＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝35，则|OP|＝()A．135

B．302C．145D．352答案：B解析：方法一依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图，不妨令F1(－3，0)，F2(3，0).设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF

2＝m2＋n2－122mn＝35①，由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6②.由①②，解得mn＝152.设|OP|＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得x2＋3－m223x＝－x2＋3－n223x，得x2＝m2＋n2

－62＝（m＋n）2－2mn－62＝152，所以|OP|＝302.方法二依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，α＝∠F1PF2，则cos∠F1PF2＝cosα

＝35，故sin∠F1PF2＝sinα＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝45，则tanα2＝12或tanα2＝2(舍去).故△F1PF2的面积S△F1PF2＝b2tanα2＝6×12＝3.又S△F1PF2＝12×2c|y0|＝3|y0|，故y2

0＝3，又x209＋y206＝1，所以x20＝92，|OP|2＝x20＋y20＝152，|OP|＝302.方法三依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝

b2sinα1＋cosα.因为cos∠F1PF2＝35，所以sin∠F1PF2＝45，故S△F1PF2＝6×451＋35＝3.又S△F1PF2＝12×2c|y0|＝3|y0|，故y20＝3，又x209＋y206＝1，所以

x20＝92，|OP|2＝x20＋y20＝152，|OP|＝302.方法四依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图(图同方法一)，不妨令F1(－3，0)，F2(3，0).设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝m2＋n

2－122mn＝35①，由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6②.由①②，解得mn＝152.因为PO→＝12(PF1＋PF2)，所以|PO→|2＝14(m2＋n2＋2mncos∠F1PF2)＝14（m＋n）2－45mn＝152，所以|PO|＝302.8

．设椭圆x24＋y23＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积为()A．3B．3或32C．32D．6或3答案：C解析：由已知a＝2，b＝3，c＝1，若P为短轴的顶点(0，3)时，∠F1PF2＝60，△PF

1F2为等边三角形，∴∠P不可能为直角，若∠F1＝90°，则|PF1|＝b2a＝32，S△PF1F2＝12·b2a·2c＝32.9．[2022·全国甲卷(理)，10]椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0

)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．13答案：A解析：设P(x1，y1)，则点Q的坐标为(－x1，y1).由题意，得点A(－a，0).又直线AP，AQ

的斜率之积为14，所以y1x1＋a·y1－x1＋a＝14，即y21a2－x21＝14①.又点P在椭圆C上，所以x21a2＋y21b2＝1②.由①②，得b2a2＝14，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝ca＝32.故选A.二、填空题10．若方程x25－

k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．答案：(3，4)∪(4，5)解析：由题意可知5－k>0，k－3>0，5－k≠k－3，解得3<k<4或4<k<5，故k的取值范围为(3，4)∪(4，5).11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等

差数列，则该椭圆的离心率为________．答案：35解析：由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝35或

e＝－1(舍去).12．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．答案：3解析：如图，∵PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗，∴△PF1F2为直角三角形，又△PF1F2的面积为9，∴12|PF1||PF2|＝9，得|PF1||PF2|＝18，在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，即2(a2－

c2)＝|PF1||PF2|＝18，得b2＝a2－c2＝9，∴b＝3.[能力提升]13．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA

1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BA2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝－1，则C的方程为()A．x218＋y216＝1B．x29＋y28＝1C．x23＋y22＝1D．x22＋y2＝1答案：B解析：由椭圆C的离心率为13，可得e＝ca

＝a2－b2a2＝13.化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以BA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BA2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组8a2＝9b2，－a2＋

b2＝－1，解得a2＝9，b2＝8.所以C的方程为x29＋y28＝1.故选B.14．[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△

F2AB面积的2倍，则m＝()A．23B．23C．－23D．－23答案：C解析：由题意，F1(－2，0)，F2(2，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即|－2

＋m|2＝2×|2＋m|2，解得m＝－23或m＝－32(舍去)，故选C.15．F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案：[2

2，1)解析：设P0为椭圆x2a2＋y2b2＝1的上顶点，由题意得∠F1P0F2≥90°，∴∠OP0F2≥45°，∴ca≥sin45°，∴e≥22，又0<e<1，∴22≤e<1.16．[2022·新高考Ⅰ卷，16]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，C的上

顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．答案：13解析：由题意知e＝ca＝12，所以a＝2c，b＝3c，所以△AF1F2是等边三角形，所以DE垂

直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan30°＝33，所以直线DE的方程为y

＝33(x＋c)，即x＝3y－c.由椭圆方程x24c2＋y23c2＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝3y－c代入并整理，得13y2－63cy－9c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝63c13，y1y2＝－9c213，所以|DE|＝1＋1k2（y1＋y2）

2－4y1y2＝1＋3·108c2169＋36c213＝12133c2＋13c2＝4813c＝6，解得c＝138.所以△ADE的周长是8c＝13.