【文档说明】辽宁省本溪市高级中学2023-2024学年高三上学期适应性测试（一）数学参考答案.docx，共(24)页，1.861 MB，由小赞的店铺上传

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本溪高中2023-2024学年度高考适应性测试（一）数学参考答案1．B【分析】根据正四面体的性质，以及正四面体的中心的位置关系，求碳原子和氢原子的距离，再结合余弦定理求cos，最后根据二倍角公式求cos2【详解】由题意可知，氢原子构成如图所示的正

四面体，碳原子是正四面体的中心，如图，连结1HC并延长交平面234HHH于点O，1HO⊥平面234HHH,设两个氢原子距离为2，则4233OH=，1426433HO=−=，设1CHR=，4COH中，222262333RR

−+=，得62R=，则14CHH中，222141414664144cos2366222HCHCHHHCHC+−+−===−27cos22cos19=−=−.故选：B2．C【分析】根据函数的周期和奇偶性作出()yfx=和logayx=在()0,+

上的图象,根据交点个数列出不等式求出a的范围.【详解】()()()()0,fxfxfxfx−−==−，()fx是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出()fx的图象如图所示,()()logagxfxx=−在()0,x

+上有且仅有三个零点，()yfx=和logayx=的图象在()0,+上只有三个交点，结合图象可得log31log511aaa，解得35a，即a的范围是()3,5，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需

要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()yfxgx=−的零点函数()()yfxgx=−在x轴的交点方程()()0fxgx−=的根函数()yfx=与()ygx=的交点.3．B【分析】将eln22aa=转

化为e2ln2aa=、3eln28bb=转化为e83ln2bb=，22ecc−=转化为2ee2cc=，作出e()xfxx=的图像，根据231yyy，可得acb.【详解】构造函数e()xfxx=（01x），2(1)e()0xx

fxx−=，函数e()xfxx=在()0,1上单调递减，(1)ef=，eln22aa=可转化为e2ln2aa=，3eln28bb=可转化为e83ln2bb=，22ecc−=可转化为2ee2cc=，下面比较212328e,,ln23ln2

2yyy===的大小关系，显然：21yy，22222e132e4eln2ln(e)ln2ln222ln22ln2yy−−−=−==，设2()2tgtt=−，由2yt=和2ty=的图像可知：当4t时

，22tt，而2e4，所以2e222(e)，所以130yy−，即13yy.22228e238e163eln2ln(e)ln83ln226ln26ln2yy−−−=−==,设8()8thtt=−，8yt=和8ty=的图像如图所示：因为822

8，所以0(0,2)t，使得0808tt=，所以当28t时，88tt，而22<e8，所以228e(e)8，所以230yy−，即23yy，综上：231yyy,则,,abc分别函数e()xfxx=

与直线212328e,,ln23ln22yyy===的交点横坐标，如图所示：由图可知：acb.故选：B【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用

函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着

非凡的功效.4．D【分析】建立空间坐标系，运用空间向量知识求解出点H的轨迹方程，再运用三棱锥体积、线面角等相关知识进行选项判定.【详解】建系如图，PAB为等腰直角三角形，2,2,22PAPOAB===()

()2,0,0,0,0,2AP−M在O所在圆上，设(),,0Mxy，()()0,2,,0,,,2MAMPMAxyMPxy==−−−=−−，2220xxy++=，则M的轨迹为圆222122xy++=，M是以O

A为直径在xoy面上的圆.又OHPM⊥随着M运动，H轨迹是以OC为直径的圆，故①正确②由图可得，B到面COH的距离为1，()max1111224CHOS==，()()maxmax11113412OHBCBCH

OVV−−===故②正确；③设[0,1]OHx=，则21CHx=−，22AOx=−，2222222AOOHxxxx+=+−+−=，当1x=时等号成立，即当H运动到点C时，()max2AHHO+=，故③正确；④由①知H在以OC为直径的圆上，且该圆所

在的平面与平面PAB垂直，由对称性，只考虑C在上半圆，如图，过H作1HHCO⊥，过B作1BBCO⊥，则BH与平面PAB所成的角为1HBH，又145BOB=，22112BOBBOB=+=111111522tan5222COHHHBHBH

BO===，故④错误.综上所述，正确的序号为①②③故选：D【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能够建立空间坐标系，用空间向量知识进行求解，具有较强的综合能力.5．B【解析】点代入椭圆方程，点到准线距离和222abc=+，解得2229,5,4abc===，由23AMMB=，得2123

xx=−，联立直线与椭圆方程得到12212218953695kxxkxxk−+=+−=+，联立消去21,xx即可求出k【详解】解：由题意可得22222242519522ababcac+==+−=，解得2229,5,4abc===，所以椭圆22:195xyC+=，

设l：1ykx=+,设1122(,),(,)AxyBxy因为23AMMB=，所以2123xx=−由221195ykxxy=++=得22(95)18360kxkx++−=则12212218953695kxxkxxk−+=+−=+

结合2123xx=−，联立消去21,xx解得13k=故选：B.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.6．D【分析】将原函数零点看做

函数()2122nfxxx−=−与函数()251hxx=−+的交点，根据单调性和零点存在定理求解.【详解】令()21nfxxx−=−，()251hxx=−+，其中()fx是奇函数，()hx是二次函数，也是偶函数，()()

221nfxxx−=−令()0fx=则22n−是偶数，1230,1,1xxx==−=共有3个零点，当01x＜＜时，22221,10nnxx−−−＜＜，()0fx＜，1x＞时，()＞0fx；根据对称性当10x

−＜＜时，()＞0fx，1x−＜时，()0fx＜；由条件：3,2150,224nnn−−＞，()()()()()2'222211121121212121nnnfxnxnxnxnn−−−=−−=−−=−−−−

，令()'0fx=，则有112222010211,2121nnxxnn−−==−−−，显然()'fx是偶函数，当x＞0时是增函数，当01xx＞时，()'0fx＞，()fx单调递增，当010xx＜＜时，(

)fx单调递减，再根据对称性，()(),fxhx大致图像如下图：原函数()212210220ngxxxx−=+−−=，等价于求()fx与()hx的交点的个数，()hx有2个零点：55，当505x＜＜时，()()220,10nhxfxxx

−=−＞＜，无交点；当515x时，()()1111222550,140,55551055nnhhf−+−−+==−=−=−＜＜，()10f=，存在一个交点，当505x−＜＜时，()()()1125501,0,00,

551055nhhff−+=−==−=−+＞，存在一个交点，当x趋于−时，由于550,055fh−−=＞，并且215n−，()fx的增长速

度明显大于()hx，必然存在一个交点，所以有3个交点；故选：D.7．A【分析】将问题转化1exxkxk+−有且只有一个负整数解，构造函数()1exgxx+=与()hxkxk=−，利用导数法求函数()gx的最值，并在同一坐标系分

别作出函数的图象，通过数形结合即可求解.【详解】已知函数()1exfxxkxk+=−+，则()10exfxxkxk+−有且只有一个负整数解.令()1exgxx+=，则()()11exgxx+=+，当1x−时，()0gx

，当1x−时，()0gx，所以()gx在(),1−−上递减，在()1,−+上递增，当=1x−时，()gx取得最小值为()()11111eg−+−=−=−.设()()1hxkxkkx=−=

−，则()hx恒过点()1,0在同一坐标系中分别作出()ygx=和()yhx=的图象，如图所示显然01x=−，依题意得()()11gh−−且()()22gh−−即12k−−且23ek−−，解得21

3e2k，所以实数k的取值范围是21,3e2.故选：A.【点睛】关键点睛：将问题转化为1exxkxk+−有且只有一个负整数解，构造函数()1exgxx+=与()hxkxk=−，利用导数法求函数()gx的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可.8．B【分析

】由题目条件可先求出||abe→→→+−，再根据向量模的不等式求出||ab→→+的值域，由2226||||abab→→→→++=−即可求出min||ab→→−.【详解】由题意得222||()||||22()123abeabeababeab→→→→→→→→→→→→→+−=

+−=++−++=，又因为||||||||||abeabeabe→→→→→→→→→+−+−++剟，所以231||231ab→→−++剟，当ab→→+与e→同向时，231=||ab→→++，ab→→+与e→反向时，231=||ab→→−+，又因为2222||||2

||||26ababab→→→→→→++−=+=，所以22minmax||26||26(231)1343abab→→→→−=−+=−+=−，故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量模的不等式，根据题目中的条件以||abe→→→+−为中间量是解题的关

键.9．ABD【分析】分别求得曲线的导数，可得切线的斜率，得到切线方程，分别判断切点附近曲线的是否在直线两侧，即可得到结论.【详解】对于A，由sinyx=，得cosyx=，则01xy==从而可得曲线sinyx=在点()0,0P处的切线为

yx=.当02x−时，sinxx，当02x时，sinxx，则曲线sinyx=在点()0,0P附近位于直线l的两侧，故A正确.对于B，由3232yxx=−+，得236yxx=−，则13xy==−，从而可得曲线3232yxx=−

+在点()1,0P处的切线为33yx=−+.因为()()33232331xxxx−+−−+=−，故当1x时，323233xxx−+−+，当1x时，323233xxx−+−+，则曲线3232yxx=−+在点()1,0P附近位于直线l的两侧，故B正确.对于C，由

xyxe=，得()1xyxe=+，则01xy==，从而可得曲线xyxe=在点()0,0P的切线为yx=.因为()10xxyxexxe=−=−，所以xxex，则曲线xyxe=在点()0,0P附近位

于直线l的同侧，故C错误.对于D，由lnxyx=得21lnxyx−=，则32312xeye==−，从而可得曲线lnxyx=在点32323,2Pee处的切线为332122yxee=−+.令()33212ln2xxFeexx−+−=，则320Fe=

且()3211ln2xeFxx−−−=，()3211ln2xexgx−−−=，故33223311ln=02eeeeg=−−−且()232lnxgxx−=，当320xe时，()0gx；当3

2xe时，()0gx，故()gx在320,e为增函数，在32,e+上为减函数，故在320,e上，()0gx，在32,e+上，()0gx故()0Fx当且仅当

32xe=时等号成立，故当320xe时，()0Fx，当32xe时，()0Fx，故当32xe时，33212ln2eexxx−+，当32xe，33212ln2eexxx−+，则曲线lnxyx=在点32323,2Pee附近位于直线l的两侧，故D正确.故选：ABD.【点睛

】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查新定义的理解，考查转化思想与抽象思维能力，考查运算能力，属于综合题题.10．BCD【分析】A.易知11ACAC⊥，作111BOAC⊥，过1C作1BO的平行线，与11AB交于点F，证得1AC⊥平面1ACF，在AB上取一点H，作,//H

EACHFAG⊥，得到平面//HEF平面1ACG，再根据点H有无数个判断；B.根据1△ACA是正三角形，设E是AC中点，F与1A重合，则EFAC⊥，求得四边形11ACCA的面积为2233EF，再分析E不是AC中点，或F不与1A重合时，线段EF的

长度变化判断；C.根据ABBC⊥，设E是AC中点，记BC中点为G，则BC⊥EG，再结合B的结论判断；D.设E是AC中点，F是11AB中点，记11BC中点为H，得到四边形EFHC是平行四边形，再结合C的结论判断.【详

解】如图所示：因为AA1=AC，则平行四边形11ACCA是菱形，则11ACAC⊥，作111BOAC⊥，因为平面11ACCA⊥平面ABC，所以1BO⊥平面11ACCA，则11BOAC⊥，过1C作1BO的平行线，与11AB交于点G，则11CGAC⊥，又11

1CGACC=，则1AC⊥平面1ACG，在AB上取一点H，作,//HEACHFAG⊥，分别交线段AC，A1B1上于点E，F，易得//HE平面1ACG，//HF平面1ACG，又HEHFH=，所以平面//HEF平面1ACG，则1AC⊥平面HEF，所以1ACEF⊥，因为点H有无数个，

所以有无数条直线EF，使得EF⊥A1C，故A错误．如图所示：若1AAAC=，则1△ACA是正三角形，设E是AC中点，F与1A重合，则EFAC⊥，且四边形11ACCA的面积为2233EF．∵平面11ACCA⊥

平面ABC，∴EF⊥平面ABC，∴EF⊥平面111ABC．∵11AB平面111ABC，∴当E不是AC中点，或F不与1A重合时，线段EF的长度将增加，四边形11ACCA的面积不再等于2233EF．故B正确．如图所示：若ABBC⊥，设E是AC中点，记BC中点

为G，则BC⊥EG．由结论B知1AEBC⊥，∴BC⊥平面1EGA．由于//EGAB，11//ABAB，即11//EGAB，∴直线EG与11AB确定的平面就是平面1EGA．∴F为线段11AB上任意一点，都有EFBC⊥，故C正确．如图所示：

设E是AC中点，F是11AB中点，记11BC中点为H，则11FHAC//，1112FHAC=．又11ECAC//，1112ECAC=，∴//FHEC，FHEC=，∴四边形EFHC是平行四边形，∴//CHEF，CHEF=．根据结论C，BCEF⊥，∴BCCH⊥，∴平行四边形11BBC

C的面积为BCCH，即四边形11BBCC的面积为BCEF．所以D正确．故选：BCD11．BC【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为12aa）：11,12,13,14,15,16,2

1,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66,共36种，若125aa+=，此时取1,4或2,3所以1241(5)369Paa+===，故A错误；若16a=，则1

21aAa=恒成立，所以与0A=互斥，故B正确；12543215()6612Paa++++==，故C正确；当12=3,2aa=时，121aAa==，此时事件21a=与0A=均未发生，所以事件21a=与0A=不对立，故D错误.故选：BC1

2．BC【分析】首先证明过抛物线上一点的切线方程结论，利用结论即可得到切点弦所在直线方程，即可判断A，求出点M的坐标，从而得到PMyy=即可判断B，求出PM的中点，代入抛物线方程即可判断C，对D举反例即可.【详解】首先推导抛物线

的切线方程，设过抛物线22ypx=上一点()00,Mxy的切线的斜率为k,则，由点斜式得切线方程为：()00yykxx−=−，联合抛物线方程，有：()0022yykxxypx−=−=消去y，得()()222222000000220kxkxkypxykxkxy−−+++−=，相

切,0=，即()()2222220000002420kxkypkykxkxy−−+−+−=,整理得:200220xkykp−+=，2000024822yypxkx−=，点()00,Mxy是抛物线22ypx=上的点,2200002

,480ypxypx=−=，002ykx=，00x，代入得:000()2yyyxxx−=−,整理,得()0002xyyxx=+即:()00yypxx=+，当k不存在时，此时()0,0M，切线方程为0x=，适合上式切线方程，所以，过

抛物线22ypx=上一点()00,Mxy的切线的方程为:()00yypxx=+.故对于本题来说，设()()1122(2,),,,,PaAxyBxy−对A，则过点A的切线方程为()113yyxx=+，代入P坐标有()1132ayx=−+过点

B的切线方程为()223yyxx=+，代入P坐标有()2232ayx=−+故切点弦方程为3(2)ayx=−，当0y=时，2x=，故过定点(2,0)，而抛物线焦点坐标为3,02，故A错误；对B，由切于A的切线方程()113yyxx=+,切于B的切线方程()223yyxx=+，221

1226,6yxyx==，解得1212,62yyyyP+，而1212,22xxyyM++，则PMyy=，故B正确；对C，222212121211662212yyxxyy+++==，故221212,122yyyyM++，故PM的中点为()21212,24

2yyyy++，代入抛物线方程有()2212126242yyyy++=，故PM的中点在抛物线上，故C正确；对D，取(2,0)P−，此时切点弦AB所在直线方程为：03(2)x=−，即2x=，此时AB中点即圆心的

坐标为()2,0，当2x=时，212y=，23y=，故圆的半径为23，而圆心()2,0到准线32x=−的距离为7232，故此时直线与圆相离，故D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：（1）抛物线22ypx=上一点()00,Mxy的切线的方程为:()00yypxx=+.（

2）过椭圆22221xyab+=上一点()00,Mxy的切线的方程为00221xxyyab+=；（3）过双曲线22221xyab−=上一点()00,Mxy的切线的方程为00221xxyyab−=；13．[3,6]【分析】

题目等价于()|31|fxx=−在区间00[,2]xx+上MN−的取值范围，分类013x，05133x−，053x−三种情况，分别计算得到答案.【详解】()()gxfxmn=++表示()fx向左平移m个单位，向上平移n个单位.不影响MN−的取值范围，

等价于()|31|fxx=−在区间00[,2]xx+上MN−的取值范围.画出函数图像：当013x时：()00132136MNxx−=+−+=−；当05133x−时：()00max3321,1306MNxx

−=+−−−；当053x−时：()00132631MNxx−+=−+=−.综上所述：[3,6]MN−故答案为[3,6]【点睛】本题考查了函数的最大值最小值，等价转化和分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.14．1025−【分析】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建

立平面直角坐标系,设BOE=,写出相关点的坐标,并根据题意建立等量关系,进而利用三角函数的性质进行解题.【详解】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则(

)0,0B,()0,25A,()5,0O,()25,0C,()0,25BA=,()25,0BC=.设BOE=,则()52cos,2sinE−.又DEDF=,90EDF=,所以25sin25cosFCDFxDFDEEDC=++=252

5452sinEy=+−=−,()25cos25sin252552cosFEDFCDFDEEDCxy−=−=−==−−所以()452sin,52cosF−−,所以()352sin,52cosOF=−−.又OFxBAyB

C=+,所以25352sin2552cosyx=−=−,从而()25452sin2cos4522sin4xy+=−−=−+.因为点E是正方形ABCD内一动点,所以()0,,所以当4=时

,xy+取最小值,为1025−.故答案为：1025−【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示,考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力.试题以正方形为载体,结合旋转考查向量知识,通过建立恰当的平面直角坐标系,将向量知识迁移到几何情境中考查,重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养

.15．342【分析】求出函数()gx在,aa−上的最大值，分类探讨函数()fx在,aa−上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解判断作答.【详解】依题意，函数()3agxx=−在,aa−上单调递增，则当xa=时，max2()()3gxgaa==，因对任意

1,xaa−，总存在2,xaa−，使得()()21fxgx，则存在,xaa−，2()3fxa成立，则当,xaa−时，max2()3fxa成立，而函数()21xfxax=+是奇函数，当0x时，()0fx，当0x时，()0

fx，因此，()fx在,aa−上的最大值只能在(0,]a上取得而当0x时，1()1fxaxx=+，()fx在1(0,]a上单调递增，在1[,)a+上单调递减，当1aa，即01a时，()fx在(0,]a上

单调递增，max3()()1afxfaa==+，由3213aaa+解得3102a，于是得3102a，当1aa，即1a时，()fx在1(0,]a上单调递增，在1[,]aa上单调递减，max111()()22fxfaa=

=，而2233a，此时不存在(0,]xa使得max2()3fxa成立，综上得3102a，即3402a，所以a的最大值为342.故答案为：342【点睛】结论点睛：函数(),,yfxxab=，(),

,ygxxcd=，若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx成立，则()()2maxmaxfxgx.16．14【分析】变换得到2112PEPFOP=−uuruuuruuur，则点P为ABC的顶点时取最大值，计算得到

答案.【详解】正ABC的边长为1，则高为32，内切圆半径为36如图所示，()()PEPFOEOPOFOP=−−uuruuuruuuruuuruuuruuur222112OPOEOP=−=−uuuruuuruuur，当点P为

ABC的顶点时，2OPuuur取得最大值13，所以PEPF的最大值为14.故答案为：14【点睛】本题考查了向量的最值计算，变换得到2112PEPFOP=−uuruuuruuur是解题的关键.17．(1)11b=，22b=，12nnb−=

(2)1222nnS+=−【分析】（1）利用题给条件即可求得1b，2b的值；先由递推关系判定数列nb为等比数列，进而求得数列nb的通项公式；（2）分别求得数列na的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，

利用分组求和的方法即可求得数列na的前2n项和2nS.【详解】（1）由题意得211aa==，3222aa==，432aa==，5424aa==，654aa==，121ba==，242ba==，364ba==，当2n时，22

122122nnnnnbaaab−−−====，又11b=，所以nb是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12nnb−=.（2）由（1）知122nna−=，所以12122nnnaa−−==，所以()()21234212132

1242nnnnnSaaaaaaaaaaaa−−=++++++=+++++++()()111121212421242221212nnnnn−−+−−=+++++++++=+=−−−.18．(1)证明见解析(2)靠近B的三等分点【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，结

合垂直关系的转化，即可正面线面垂直；（2）根据（1）的结果，作出平面AEF与四棱锥的截面，通过点的转化，以及等体积转化，求得点P到平面AEF的距离，再根据比例关系，确定点G的位置.【详解】（1）取BC的

中点S，连结AS，则四边形ASCD是正方形，则1ASBS==，ASBS⊥，所以2AB=，且1,3PAPB==所以222PAABPB+=,所以PAAB⊥，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，PA在面PAB内，所以PA⊥平面ABCD；（2）在BC上取点M，使32CM=，

连结PM，在PM上取点H，使13MHMP=，在PC上取点N，使13CNCP=，连结HN，则//HNBC，且23HNMC=，则1HN=，即////HNBCAD，且HNAD=，则四边形AHND是平行四边形，所以//AHND，且AFAEFNED=，即//EFND，则//EFAH，所以四

点,,,AEFH四点共面，连结BH，()22213334PHPMPBBMPBBC==+=+()21113426PBPCPBPBPC=+−=+1122PBPF=+，因为11122+=，所以点,,HBF三点共线，所以,,,

,AEFHB五点共面，即BP与平面AEF交于点B，由（1）可知，PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥，且ADDC⊥，PAADA=，且,PAAD平面PAD，所以CD⊥平面PAD，AE平面PA

D，所以CDAE⊥，且PAD是等腰直角三角形，点E为PD的中点，所以AEPD⊥，且CDPDD=，,PDCD平面PCD，所以⊥AE平面PCD，111266212DEFPCDSSPDCD===,所以112213312236ADEFDEFVS

AE−===，22PE=，1333PFPC==，26cos33DPC==，所以22212cos6EFPEPFPEPFDPC=+−=，即66EF=，因为AEEF⊥，所以11263222612AEFSAEEF===，设点D到平面AEF的距离为h，则DAE

FADEFVV−−=，即13131236h=，所以33h=，因为点E是PD的中点，所以点P到平面AEF的距离也是33，若点G到平面AEF的距离为39，则319333BGBP==,所以存在点G，使得点G到平面AEF的距离为39，点G为靠近点B的三等分点.19．(1)2sin(1cos)03S

R=−.(2)17320元【分析】（1）利用圆的几何性质证得GMCF⊥，利用表示出,FCGM，由此求得三角形FCG面积的表达式，并求得的取值范围.（2）求得MN，由此求得矩形CDEF面积的表达式，利用辅助角公式，结合三角函数求最值的方法，求得矩形CDEF面积的最大值，

从而求得最高造价.【详解】（1）连接OF,因为GCGF=,所以GOFGOC=,易得OOFGOC≌,所以MGFMGC=.因为GCGF=,所以GMCF⊥,所以cosGMROMRR=−=−,sinMCR=,所以21sin(1cos)023SFCGMR==−

.（2）因为333sin333ONNDMCR===,所以3cossin3MNOMONRR=−=−,所以2232sincossin3CDEFSFCMNR==−矩形21312sin2(1cos2)232R=−−

2233sin2363R=+−.因为52,666+,所以当6=时,CDEF矩形S最大.故矩形花坛的最高造价是23300173203R=元.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用

，考查扇形中的三角形、矩形面积计算，考查三角函数辅助角公式以及三角函数最值的求法，属于中档题.20．(1)435(2)答案见解析【分析】（1）分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，再

结合概率公式即可求解；（2）①由已知得()1Ek=，2的所有可能取值为1，1k+，求出相应的概率，再由()()12EE=可求得P关于k的函数关系式()pfk=；②由()()12EE得ln08kk−（2k且*Nk），构造函数()ln(2,R)8xfxxxx=−，利用导数求解

其单调区间，讨论可得结果.【详解】（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A，事件A分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，所以2134343447CCAA4()A35P

A+==，所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为435，（2）①由已知得()1Ek=，2的所有可能取值为1，1k+，所以()()211kPp==−，()()2111kPkp=+=−−，所以()()()()()2111111kkkEpkpkkp

=−++−−=+−−，若()()12EE=，则()11kkkkp=+−−，所以()11kkp−=，()11kpk−=，所以111kpk−=，得111kpk=−，所以P关于k的

函数关系式11()1kpfkk==−（2k且*Nk）②由①知()1Ek=，()821ekEkk−=+−，若()()12EE，则81ekkkk−+−，所以81e0kk−−，得8e1kk−，所以ln08kk−（2k且*Nk）令(

)ln(2,R)8xfxxxx=−，则118()(2,R)88xfxxxxx−=−=，当28x时，()0fx，当8x时，()0fx，所以()fx在[2,8)上单调递增，在(8,)+上单调递减，因为2(2)ln20.6930.2508f=−−，26(26)ln263.2

583.2508f=−−，27(27)ln273.2963.37508f=−−，所以不等式()()12EE的解是[2,26]k且*Nk，所以[2,26]k且*Nk时，()()12EE，

采用方案二混合检验方式好，[27,)k+且*Nk时，()()12EE，采用方案一逐份检验方式好，【点睛】关键点点睛：此题考查概率的综合应用，考查随机变量的数学期望，考查导数的应用，解题的关键是根据题意求出两随机变量的期望，再由()()12EE

化简，再构造函数利用导数可求出k的范围，考查数学计算能力，属于难题.21．(1)22(2)直线l恒过定点，定点坐标为20,3−【分析】（1）设椭圆C的右焦点为2F，连接2PF，2QF，然后在12PFF△由条件可得132aPF=，22aPF=，121cos3FPF=，

然后利用余弦定理求解即可；（2）首先求出椭圆的方程，然后由2AMDABD=可推出90ADB=，然后设直线l的方程为ykxm=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立直线与椭圆的方程消元表示出12xx+、12xx，然后由0DADB=求出m的值可得答案.【详解】（1

）设椭圆C的右焦点为2F，连接2PF，2QF根据椭圆的对称性可知12QFPF=，四边形12PFQF为平行四边形.又113PFQF=，所以213PFPF=而122PFPFa+=，所以132aPF=，22aPF=在四边形12PFQF中，11cos3PFQ=−，所以()12111coscoscos3

FPFPFQPFQ=−=−=，在12PFF△中，根据余弦定理得222121212122cosFFPFPFPFPFFPF=+−即()2223312222223aaaac=+−

化简得222ac=.所以椭圆C的离心率22cea==；（2）因为椭圆C的上顶点为()0,2D，所以2b=，所以22224abcc=+=+，又由（1）知222ca=，解得28a=，所以椭圆C的标准方程为22184xy+=.在ABD△中，2AMDABD

=，AMDABDBDM=+，所以ABDBDM=，从而DMBM=，又M为线段AB的中点，即12BMAB=，所以12DMAB=，因此90ADB=，从而0DADB=，根据题意可知直线l的斜率一定存在，设它的方程为ykxm=+

，()11,Axy，()22,Bxy，联立22184ykxmxy=++=消去y得()222214280kxkmxm+++−=①，()()()2224428210kmmk=−−+，根据韦达定理可得122421kmxxk+=−+，21222821mxxk−=+，所以()()

()()()()2211221212,2,2122DADBxyxykxxkmxxm=−−=++−++−()()()222222841222121mkmkkmmkk−=++−−+−++所以()()()222222841220212

1mkmkkmmkk−++−−+−=++，整理得()()2320mm−+=，解得2m=或23m=−.又直线l不经过点()0,2，所以2m=舍去，于是直线l的方程为23ykx=−，恒过定点20,3−，该点在椭圆C内，满足关于x的方程①有两个不相等的解，所以直线l恒过

定点，定点坐标为20,3−.22．(1)答案见解析(2)12m=【分析】（1）先求解导函数，再根据导函数分析函数的单调性即可；（2）先将题中问题转化为函数的零点问题，再根据相应函数的最值求解参数的值.【详解】（1）由

已知，22()()2cosgxxfxxklnx=−=−，,()0x+，()2cos'2kgxxx=−．当k为奇数时，cos1k=−，2()20gxxx=+，2()2cosgxxklnx=−在区间(0,)+上单调递增，当k为偶

数时，cos1k=，22(1)(1)()2xxgxxxx−+=−=，当(0,1)x时，()0gx，当(1,)x+时，()0gx，()gx在区间(0,1)上单调递减，在(1,)+上单

调递增，综上所述，当k为奇数时，()gx在区间(0,)+上单调递增，当k为偶数时，()gx在区间(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增.（2）()mfxx=，21()2hxx=．设()fx与()

hx上各有一点1(Ax，1)mlnx，2(Bx，221)2xx−．则()fx在以A为切点的切线方程为11myxmlnxmx=+−，()hx在以B为切点的切线方程为2222222xxyxx−=+．由两条切线重合，得2212121222mx

xxmlnxmx=−=−，由题意，方程组有唯一解，消去1x，整理得：22112202mlnxmlnmmx++−−=．令11()222gxmlnxmlnmmx=++−−，222121()mmxgxxxx−=−=．可知()gx在区

间1(0,)2m上单调递减，在1(2m，)+上单调递增．又当0x→时，()gx→+，()gx有唯一解，则有1()02gm=，即11222022mlnmmlnmmm++−−=．即1202mlnmm−+=．令1()22mmlnmm=−+，2()

2122mlnmmlnmm=+−=．可知()m在区间1(0,)2上单调递减，在区间1(2，)+上单调递增．又1()02=，1202mlnmm−+=只有唯一一实根12m=．当12m=时，函数()fxmlnx=与1()2xhxx−=的图象有且只有一条公切

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