【文档说明】辽宁省本溪市高级中学2023-2024学年高三上学期适应性测试（一）数学参考答案.docx，共(24)页，1.861 MB，由管理员店铺上传

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本溪高中2023-2024学年度高考适应性测试（一）数学参考答案1．B【分析】根据正四面体的性质，以及正四面体的中心的位置关系，求碳原子和氢原子的距离，再结合余弦定理求cos，最后根据二倍角公式求cos

2【详解】由题意可知，氢原子构成如图所示的正四面体，碳原子是正四面体的中心，如图，连结1HC并延长交平面234HHH于点O，1HO⊥平面234HHH,设两个氢原子距离为2，则4233OH=，1426433HO=−=，设1CHR=，4COH中，222262333R

R−+=，得62R=，则14CHH中，222141414664144cos2366222HCHCHHHCHC+−+−===−27cos22cos19=−=−.故选：B2．C【分析】根据函数的周期和奇偶性作出()yfx=和

logayx=在()0,+上的图象,根据交点个数列出不等式求出a的范围.【详解】()()()()0,fxfxfxfx−−==−，()fx是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出()fx的图象如图所示,()()logagxfxx=−在()0,x+上有且

仅有三个零点，()yfx=和logayx=的图象在()0,+上只有三个交点，结合图象可得log31log511aaa，解得35a，即a的范围是()3,5，故选C.【点睛】函数的

性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()yfxgx=−的零点函数()()yfxgx=−在x轴的交点方程(

)()0fxgx−=的根函数()yfx=与()ygx=的交点.3．B【分析】将eln22aa=转化为e2ln2aa=、3eln28bb=转化为e83ln2bb=，22ecc−=转化为2ee2cc=，作出e()xfxx=的

图像，根据231yyy，可得acb.【详解】构造函数e()xfxx=（01x），2(1)e()0xxfxx−=，函数e()xfxx=在()0,1上单调递减，(1)ef=，eln22aa=可转化为e2ln2aa=，3eln28bb=可转化为e83ln2bb=，22ecc−=可转化

为2ee2cc=，下面比较212328e,,ln23ln22yyy===的大小关系，显然：21yy，22222e132e4eln2ln(e)ln2ln222ln22ln2yy−−−=−==，设2()2tgtt=−，由2yt=和2ty=的图像可知：当4t时，22

tt，而2e4，所以2e222(e)，所以130yy−，即13yy.22228e238e163eln2ln(e)ln83ln226ln26ln2yy−−−=−==,设8()8thtt=−，8yt=和8ty=的图像如图所示：因为8228，所以0(0,2)t，使得0808tt=，所以

当28t时，88tt，而22<e8，所以228e(e)8，所以230yy−，即23yy，综上：231yyy,则,,abc分别函数e()xfxx=与直线212328e,,ln23ln22yyy===的交点横坐标，如图所示：由图可知：acb.故选：

B【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并

掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.4．D【分析】建立空

间坐标系，运用空间向量知识求解出点H的轨迹方程，再运用三棱锥体积、线面角等相关知识进行选项判定.【详解】建系如图，PAB为等腰直角三角形，2,2,22PAPOAB===()()2,0,0,0,0,2AP−M在O所在圆上，设(),,0Mx

y，()()0,2,,0,,,2MAMPMAxyMPxy==−−−=−−，2220xxy++=，则M的轨迹为圆222122xy++=，M是以OA为直径在xoy面上的圆.又OHPM⊥随着M运动，H轨迹是

以OC为直径的圆，故①正确②由图可得，B到面COH的距离为1，()max1111224CHOS==，()()maxmax11113412OHBCBCHOVV−−===故②正确；③设[0,1]OHx=，则21CHx=−，22AOx=−，2222222A

OOHxxxx+=+−+−=，当1x=时等号成立，即当H运动到点C时，()max2AHHO+=，故③正确；④由①知H在以OC为直径的圆上，且该圆所在的平面与平面PAB垂直，由对称性，只考虑C在上半圆，如图，

过H作1HHCO⊥，过B作1BBCO⊥，则BH与平面PAB所成的角为1HBH，又145BOB=，22112BOBBOB=+=111111522tan5222COHHHBHBHBO===，故④错误.综上所述，

正确的序号为①②③故选：D【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能够建立空间坐标系，用空间向量知识进行求解，具有较强的综合能力.5．B【解析】点代入椭圆方程，点到准线距离和222abc=+，解得2229,5,4abc===，由23AMMB=，得2123xx=−

，联立直线与椭圆方程得到12212218953695kxxkxxk−+=+−=+，联立消去21,xx即可求出k【详解】解：由题意可得22222242519522ababcac+==+−=，解得2229,5,4abc===，所以椭圆22:195xyC

+=，设l：1ykx=+,设1122(,),(,)AxyBxy因为23AMMB=，所以2123xx=−由221195ykxxy=++=得22(95)18360kxkx++−=则12212218953695k

xxkxxk−+=+−=+结合2123xx=−，联立消去21,xx解得13k=故选：B.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽

可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.6．D【分析】将原函数零点看做函数()2122nfxxx−=−与函数()251hxx=−+的交点，根据单调性和零点存在定理求解.【详解】令()21nfxxx−

=−，()251hxx=−+，其中()fx是奇函数，()hx是二次函数，也是偶函数，()()221nfxxx−=−令()0fx=则22n−是偶数，1230,1,1xxx==−=共有3个零点，当01x＜＜时，22221,10nnxx−−−＜＜，()0fx＜，

1x＞时，()＞0fx；根据对称性当10x−＜＜时，()＞0fx，1x−＜时，()0fx＜；由条件：3,2150,224nnn−−＞，()()()()()2'222211121121212121nnnfxnxnxnxnn−−−=−−=−−=−−−−，令()'0f

x=，则有112222010211,2121nnxxnn−−==−−−，显然()'fx是偶函数，当x＞0时是增函数，当01xx＞时，()'0fx＞，()fx单调递增，当010xx＜＜时，()fx单调递减，再根据对称性，

()(),fxhx大致图像如下图：原函数()212210220ngxxxx−=+−−=，等价于求()fx与()hx的交点的个数，()hx有2个零点：55，当505x＜＜时，()()220,10nhxfxxx−=

−＞＜，无交点；当515x时，()()1111222550,140,55551055nnhhf−+−−+==−=−=−＜＜，()10f=，存在一个交点，当505x−＜＜时，()()()1125501,0,00,551055n

hhff−+=−==−=−+＞，存在一个交点，当x趋于−时，由于550,055fh−−=＞，并且215n−，()fx的增长速度明显大于()h

x，必然存在一个交点，所以有3个交点；故选：D.7．A【分析】将问题转化1exxkxk+−有且只有一个负整数解，构造函数()1exgxx+=与()hxkxk=−，利用导数法求函数()gx的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象

，通过数形结合即可求解.【详解】已知函数()1exfxxkxk+=−+，则()10exfxxkxk+−有且只有一个负整数解.令()1exgxx+=，则()()11exgxx+=+，当1x−时，()0gx，

当1x−时，()0gx，所以()gx在(),1−−上递减，在()1,−+上递增，当=1x−时，()gx取得最小值为()()11111eg−+−=−=−.设()()1hxkxkkx=−=−，则()hx恒过点()1,0在

同一坐标系中分别作出()ygx=和()yhx=的图象，如图所示显然01x=−，依题意得()()11gh−−且()()22gh−−即12k−−且23ek−−，解得213e2k，所以实数k的取值范围是21,3e2.

故选：A.【点睛】关键点睛：将问题转化为1exxkxk+−有且只有一个负整数解，构造函数()1exgxx+=与()hxkxk=−，利用导数法求函数()gx的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可.8．B【分析】由题目条件可

先求出||abe→→→+−，再根据向量模的不等式求出||ab→→+的值域，由2226||||abab→→→→++=−即可求出min||ab→→−.【详解】由题意得222||()||||22()123abeabeababeab→→→→→→→→→→→→→

+−=+−=++−++=，又因为||||||||||abeabeabe→→→→→→→→→+−+−++剟，所以231||231ab→→−++剟，当ab→→+与e→同向时，231=||ab→→++，ab→→+与e→反向时，231=||ab→→

−+，又因为2222||||2||||26ababab→→→→→→++−=+=，所以22minmax||26||26(231)1343abab→→→→−=−+=−+=−，故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量模的不等式

，根据题目中的条件以||abe→→→+−为中间量是解题的关键.9．ABD【分析】分别求得曲线的导数，可得切线的斜率，得到切线方程，分别判断切点附近曲线的是否在直线两侧，即可得到结论.【详解】对于A，由sinyx=，得cosy

x=，则01xy==从而可得曲线sinyx=在点()0,0P处的切线为yx=.当02x−时，sinxx，当02x时，sinxx，则曲线sinyx=在点()0,0P附近位于直线l的两侧，故A正确.对于B，由3232yxx=−+，得236y

xx=−，则13xy==−，从而可得曲线3232yxx=−+在点()1,0P处的切线为33yx=−+.因为()()33232331xxxx−+−−+=−，故当1x时，323233xxx−+−+，当1x时，323233xxx−+−+，则曲线3232yxx=−+在点(

)1,0P附近位于直线l的两侧，故B正确.对于C，由xyxe=，得()1xyxe=+，则01xy==，从而可得曲线xyxe=在点()0,0P的切线为yx=.因为()10xxyxexxe=−=−，所

以xxex，则曲线xyxe=在点()0,0P附近位于直线l的同侧，故C错误.对于D，由lnxyx=得21lnxyx−=，则32312xeye==−，从而可得曲线lnxyx=在点32323,2Pee处的切线为332122yxee=−+.令

()33212ln2xxFeexx−+−=，则320Fe=且()3211ln2xeFxx−−−=，()3211ln2xexgx−−−=，故33223311ln=02eeeeg=−−−且()232lnxgxx−=，当320xe时，()0gx；当32xe时，

()0gx，故()gx在320,e为增函数，在32,e+上为减函数，故在320,e上，()0gx，在32,e+上，()0gx故()0Fx当且仅当32xe=时等号成立，故当320xe

时，()0Fx，当32xe时，()0Fx，故当32xe时，33212ln2eexxx−+，当32xe，33212ln2eexxx−+，则曲线lnxyx=在点32323,2Pee附近位于直线l的两侧，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的

方程，考查新定义的理解，考查转化思想与抽象思维能力，考查运算能力，属于综合题题.10．BCD【分析】A.易知11ACAC⊥，作111BOAC⊥，过1C作1BO的平行线，与11AB交于点F，证得1AC⊥平面1ACF，在AB上取一点H，作,//HEACHFAG

⊥，得到平面//HEF平面1ACG，再根据点H有无数个判断；B.根据1△ACA是正三角形，设E是AC中点，F与1A重合，则EFAC⊥，求得四边形11ACCA的面积为2233EF，再分析E不是AC中点，或F不与1A重合时，线段EF

的长度变化判断；C.根据ABBC⊥，设E是AC中点，记BC中点为G，则BC⊥EG，再结合B的结论判断；D.设E是AC中点，F是11AB中点，记11BC中点为H，得到四边形EFHC是平行四边形，再结合C的结论判断.【详解】如图所示：因为AA1=AC，则平行四边形11

ACCA是菱形，则11ACAC⊥，作111BOAC⊥，因为平面11ACCA⊥平面ABC，所以1BO⊥平面11ACCA，则11BOAC⊥，过1C作1BO的平行线，与11AB交于点G，则11CGAC⊥，又111CG

ACC=，则1AC⊥平面1ACG，在AB上取一点H，作,//HEACHFAG⊥，分别交线段AC，A1B1上于点E，F，易得//HE平面1ACG，//HF平面1ACG，又HEHFH=，所以平面//HEF平面1ACG，则1AC⊥平面HEF，所以1ACE

F⊥，因为点H有无数个，所以有无数条直线EF，使得EF⊥A1C，故A错误．如图所示：若1AAAC=，则1△ACA是正三角形，设E是AC中点，F与1A重合，则EFAC⊥，且四边形11ACCA的面积为2233EF．∵平面11

ACCA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，∴EF⊥平面111ABC．∵11AB平面111ABC，∴当E不是AC中点，或F不与1A重合时，线段EF的长度将增加，四边形11ACCA的面积不再等于2233EF．故B正

确．如图所示：若ABBC⊥，设E是AC中点，记BC中点为G，则BC⊥EG．由结论B知1AEBC⊥，∴BC⊥平面1EGA．由于//EGAB，11//ABAB，即11//EGAB，∴直线EG与11AB确定的平面就是平面1EGA．∴F为线段11AB上任

意一点，都有EFBC⊥，故C正确．如图所示：设E是AC中点，F是11AB中点，记11BC中点为H，则11FHAC//，1112FHAC=．又11ECAC//，1112ECAC=，∴//FHEC，FHEC=，∴四边形EFHC是平行四边形，∴//CHEF，CHEF=．根据结论C，BCEF

⊥，∴BCCH⊥，∴平行四边形11BBCC的面积为BCCH，即四边形11BBCC的面积为BCEF．所以D正确．故选：BCD11．BC【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.【详解】

由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为12aa）：11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66

,共36种，若125aa+=，此时取1,4或2,3所以1241(5)369Paa+===，故A错误；若16a=，则121aAa=恒成立，所以与0A=互斥，故B正确；12543215()6612Paa++++==，故C正确；当12=3,2aa=时，121aAa

==，此时事件21a=与0A=均未发生，所以事件21a=与0A=不对立，故D错误.故选：BC12．BC【分析】首先证明过抛物线上一点的切线方程结论，利用结论即可得到切点弦所在直线方程，即可判断A，求出点M的坐标，从而得到PMyy=即可判断B，求出PM的

中点，代入抛物线方程即可判断C，对D举反例即可.【详解】首先推导抛物线的切线方程，设过抛物线22ypx=上一点()00,Mxy的切线的斜率为k,则，由点斜式得切线方程为：()00yykxx−=−，联合抛物线方程，有：()0022yykxxypx−=−

=消去y，得()()222222000000220kxkxkypxykxkxy−−+++−=，相切,0=，即()()2222220000002420kxkypkykxkxy−−+−+−=,整理得:200220xkykp−+=，

2000024822yypxkx−=，点()00,Mxy是抛物线22ypx=上的点,2200002,480ypxypx=−=，002ykx=，00x，代入得:000()2yyyxxx−=−,整理,得()0002xyyx

x=+即:()00yypxx=+，当k不存在时，此时()0,0M，切线方程为0x=，适合上式切线方程，所以，过抛物线22ypx=上一点()00,Mxy的切线的方程为:()00yypxx=+.故对于本题来说，设()()1122(2,),,,,PaAxyBxy−对A，则过点A的切线方程

为()113yyxx=+，代入P坐标有()1132ayx=−+过点B的切线方程为()223yyxx=+，代入P坐标有()2232ayx=−+故切点弦方程为3(2)ayx=−，当0y=时，2x=，故过定点(2,0)，而抛物线焦点坐标为3,02，故A错

误；对B，由切于A的切线方程()113yyxx=+,切于B的切线方程()223yyxx=+，2211226,6yxyx==，解得1212,62yyyyP+，而1212,22xxyyM++，则PMyy=，故B正确；

对C，222212121211662212yyxxyy+++==，故221212,122yyyyM++，故PM的中点为()21212,242yyyy++，代入抛物线方程有()2212126242yyyy++=，故PM的中点在抛物线上，故C正确；对D，

取(2,0)P−，此时切点弦AB所在直线方程为：03(2)x=−，即2x=，此时AB中点即圆心的坐标为()2,0，当2x=时，212y=，23y=，故圆的半径为23，而圆心()2,0到准线32x=−的距离为7232，故

此时直线与圆相离，故D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：（1）抛物线22ypx=上一点()00,Mxy的切线的方程为:()00yypxx=+.（2）过椭圆22221xyab+=上一点()00,Mxy的切线的方程为00221xx

yyab+=；（3）过双曲线22221xyab−=上一点()00,Mxy的切线的方程为00221xxyyab−=；13．[3,6]【分析】题目等价于()|31|fxx=−在区间00[,2]xx+上MN−的取值范围

，分类013x，05133x−，053x−三种情况，分别计算得到答案.【详解】()()gxfxmn=++表示()fx向左平移m个单位，向上平移n个单位.不影响MN−的取值范围，等价于()|31|fxx=−在区间00[,2]x

x+上MN−的取值范围.画出函数图像：当013x时：()00132136MNxx−=+−+=−；当05133x−时：()00max3321,1306MNxx−=+−−−；当053x−时：()001

32631MNxx−+=−+=−.综上所述：[3,6]MN−故答案为[3,6]【点睛】本题考查了函数的最大值最小值，等价转化和分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.14．1025−【分析】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,设BOE=,写出相关点

的坐标,并根据题意建立等量关系,进而利用三角函数的性质进行解题.【详解】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则()0,0B,()0,25A,()5,0O,()25,0C,()0,25BA=,

()25,0BC=.设BOE=,则()52cos,2sinE−.又DEDF=,90EDF=,所以25sin25cosFCDFxDFDEEDC=++=2525452sinEy=+−=−,()25cos25sin252552cosFEDFCDFDEE

DCxy−=−=−==−−所以()452sin,52cosF−−,所以()352sin,52cosOF=−−.又OFxBAyBC=+,所以25352sin2552cosyx=−

=−,从而()25452sin2cos4522sin4xy+=−−=−+.因为点E是正方形ABCD内一动点,所以()0,,所以当4=时,xy+取最小值,为1025−.故答案为：1025−【点睛】本题主

要考查平面向量的坐标表示,考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力.试题以正方形为载体,结合旋转考查向量知识,通过建立恰当的平面直角坐标系,将向量知识迁移到几何情境中考查,重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.15．342

【分析】求出函数()gx在,aa−上的最大值，分类探讨函数()fx在,aa−上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解判断作答.【详解】依题意，函数()3agxx=−在,aa−上单调递增，则当xa=时，max2()(

)3gxgaa==，因对任意1,xaa−，总存在2,xaa−，使得()()21fxgx，则存在,xaa−，2()3fxa成立，则当,xaa−时，max2()3fxa成立，而函数()21xfxax

=+是奇函数，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，因此，()fx在,aa−上的最大值只能在(0,]a上取得而当0x时，1()1fxaxx=+，()fx在1(0,]a上单调递增，在1[,)a+上

单调递减，当1aa，即01a时，()fx在(0,]a上单调递增，max3()()1afxfaa==+，由3213aaa+解得3102a，于是得3102a，当1aa，即1a时，()fx在1(0,]a上单调递增，在1[,]aa上单调递减

，max111()()22fxfaa==，而2233a，此时不存在(0,]xa使得max2()3fxa成立，综上得3102a，即3402a，所以a的最大值为342.故答案为：342【点睛】结论点睛：函数(),,yfxxab=，(),,yg

xxcd=，若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx成立，则()()2maxmaxfxgx.16．14【分析】变换得到2112PEPFOP=−uuruuuruuur，则点P为ABC的顶点时取最大值，计算得到答案.【详解】正ABC的边长为1，则

高为32，内切圆半径为36如图所示，()()PEPFOEOPOFOP=−−uuruuuruuuruuuruuuruuur222112OPOEOP=−=−uuuruuuruuur，当点P为ABC的顶点时，2OPuuur取得最大值13，所以PEPF的最大值为14.故答案为：14【点睛】本题

考查了向量的最值计算，变换得到2112PEPFOP=−uuruuuruuur是解题的关键.17．(1)11b=，22b=，12nnb−=(2)1222nnS+=−【分析】（1）利用题给条件即可求得1b，2b的值；先由递推关系判定数

列nb为等比数列，进而求得数列nb的通项公式；（2）分别求得数列na的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，利用分组求和的方法即可求得数列na的前2n项和2nS.【详解】（1）由题意得211aa==，3222aa==，432aa==，5424aa==，654aa==，121b

a==，242ba==，364ba==，当2n时，22122122nnnnnbaaab−−−====，又11b=，所以nb是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12nnb−=.（2）由（1）知122nna−=，

所以12122nnnaa−−==，所以()()212342121321242nnnnnSaaaaaaaaaaaa−−=++++++=+++++++()()111121212421242221212nnnnn−−+−−=+++++

++++=+=−−−.18．(1)证明见解析(2)靠近B的三等分点【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，结合垂直关系的转化，即可正面线面垂直；（2）根据（1）的结果，作出平面AEF与四棱锥的截面，通过点的转化，以及等体积转化

，求得点P到平面AEF的距离，再根据比例关系，确定点G的位置.【详解】（1）取BC的中点S，连结AS，则四边形ASCD是正方形，则1ASBS==，ASBS⊥，所以2AB=，且1,3PAPB==所以222PAABPB+=,所以PAAB⊥，因为平面PAB⊥平面A

BCD，平面PAB平面ABCDAB=，PA在面PAB内，所以PA⊥平面ABCD；（2）在BC上取点M，使32CM=，连结PM，在PM上取点H，使13MHMP=，在PC上取点N，使13CNCP=，连结HN，则//HNBC，且23HNMC=，则1HN=，即////HNBCAD，且

HNAD=，则四边形AHND是平行四边形，所以//AHND，且AFAEFNED=，即//EFND，则//EFAH，所以四点,,,AEFH四点共面，连结BH，()22213334PHPMPBBMPBBC==+

=+()21113426PBPCPBPBPC=+−=+1122PBPF=+，因为11122+=，所以点,,HBF三点共线，所以,,,,AEFHB五点共面，即BP与平面AEF交于点B，由（1）可知，PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥，且ADD

C⊥，PAADA=，且,PAAD平面PAD，所以CD⊥平面PAD，AE平面PAD，所以CDAE⊥，且PAD是等腰直角三角形，点E为PD的中点，所以AEPD⊥，且CDPDD=，,PDCD平面PCD，所以⊥AE平面PCD，111266212DEFPCDSSPDC

D===,所以112213312236ADEFDEFVSAE−===，22PE=，1333PFPC==，26cos33DPC==，所以22212cos6EFPEPFPEPFDPC=+−=，即66EF=，因为AEEF⊥，所以11263222612AEF

SAEEF===，设点D到平面AEF的距离为h，则DAEFADEFVV−−=，即13131236h=，所以33h=，因为点E是PD的中点，所以点P到平面AEF的距离也是33，若点G到平面AEF的距离为39，则319333BGBP==,所以存在点G，使得点G到

平面AEF的距离为39，点G为靠近点B的三等分点.19．(1)2sin(1cos)03SR=−.(2)17320元【分析】（1）利用圆的几何性质证得GMCF⊥，利用表示出,FCGM，由此求得三角形FCG面积的表达式，并求得的取值范围.（2）求得MN，由此求得矩形C

DEF面积的表达式，利用辅助角公式，结合三角函数求最值的方法，求得矩形CDEF面积的最大值，从而求得最高造价.【详解】（1）连接OF,因为GCGF=,所以GOFGOC=,易得OOFGOC≌,所以MGFMGC=.因为GC

GF=,所以GMCF⊥,所以cosGMROMRR=−=−,sinMCR=,所以21sin(1cos)023SFCGMR==−.（2）因为333sin333ONNDMCR===,所以3cossi

n3MNOMONRR=−=−,所以2232sincossin3CDEFSFCMNR==−矩形21312sin2(1cos2)232R=−−2233sin2363R=+−.因为52,666

+,所以当6=时,CDEF矩形S最大.故矩形花坛的最高造价是23300173203R=元.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查扇形中的三角形、矩形面积计算，考查三角函数辅助角公式以及三角函数最值的求法，属于中档题.20．(1)4

35(2)答案见解析【分析】（1）分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，再结合概率公式即可求解；（2）①由已知得()1Ek=，2的所有可能取值为1，1k+，求出相应的概率，再由()

()12EE=可求得P关于k的函数关系式()pfk=；②由()()12EE得ln08kk−（2k且*Nk），构造函数()ln(2,R)8xfxxxx=−，利用导数求解其单调区间，讨论可得结果.【详解】（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A，事件A分为

两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，所以2134343447CCAA4()A35PA+==，所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为435，（2）

①由已知得()1Ek=，2的所有可能取值为1，1k+，所以()()211kPp==−，()()2111kPkp=+=−−，所以()()()()()2111111kkkEpkpkkp=−++−−=+−−，若()()12EE=，

则()11kkkkp=+−−，所以()11kkp−=，()11kpk−=，所以111kpk−=，得111kpk=−，所以P关于k的函数关系式11()1kpfkk==−（2k且*Nk）②由①知()1Ek=，()821ekEkk−=+−

，若()()12EE，则81ekkkk−+−，所以81e0kk−−，得8e1kk−，所以ln08kk−（2k且*Nk）令()ln(2,R)8xfxxxx=−，则118()(2,R)

88xfxxxxx−=−=，当28x时，()0fx，当8x时，()0fx，所以()fx在[2,8)上单调递增，在(8,)+上单调递减，因为2(2)ln20.6930.2508f=−−

，26(26)ln263.2583.2508f=−−，27(27)ln273.2963.37508f=−−，所以不等式()()12EE的解是[2,26]k且*Nk，所以[2,26]k且*Nk时，()()12EE

，采用方案二混合检验方式好，[27,)k+且*Nk时，()()12EE，采用方案一逐份检验方式好，【点睛】关键点点睛：此题考查概率的综合应用，考查随机变量的数学期望，考查导数的应用，解题的关键是根据题意求出两随机变量的期望，再由()()12

EE化简，再构造函数利用导数可求出k的范围，考查数学计算能力，属于难题.21．(1)22(2)直线l恒过定点，定点坐标为20,3−【分析】（1）设椭圆C的右焦点为2F，连接2PF，2QF，然后在12PFF△由条件可得132aPF=，22aPF=

，121cos3FPF=，然后利用余弦定理求解即可；（2）首先求出椭圆的方程，然后由2AMDABD=可推出90ADB=，然后设直线l的方程为ykxm=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立直线与椭圆的方

程消元表示出12xx+、12xx，然后由0DADB=求出m的值可得答案.【详解】（1）设椭圆C的右焦点为2F，连接2PF，2QF根据椭圆的对称性可知12QFPF=，四边形12PFQF为平行四边形.又113PFQF=，所以213PFPF

=而122PFPFa+=，所以132aPF=，22aPF=在四边形12PFQF中，11cos3PFQ=−，所以()12111coscoscos3FPFPFQPFQ=−=−=，在12PFF△中，根据余弦定理得222121212122cosFFPFPFPFPFFPF=+−

即()2223312222223aaaac=+−化简得222ac=.所以椭圆C的离心率22cea==；（2）因为椭圆C的上顶点为()0,2D，所以2b=，所以22224abcc=+=+，又由（1）知222ca=，解得28a=，所

以椭圆C的标准方程为22184xy+=.在ABD△中，2AMDABD=，AMDABDBDM=+，所以ABDBDM=，从而DMBM=，又M为线段AB的中点，即12BMAB=，所以12DMAB=，因

此90ADB=，从而0DADB=，根据题意可知直线l的斜率一定存在，设它的方程为ykxm=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立22184ykxmxy=++=消去y得()222214280kxkmxm+++−=①，

()()()2224428210kmmk=−−+，根据韦达定理可得122421kmxxk+=−+，21222821mxxk−=+，所以()()()()()()2211221212,2,2122DADBxyxykxxkmxxm=−−=++−++−()()()2222

22841222121mkmkkmmkk−=++−−+−++所以()()()2222228412202121mkmkkmmkk−++−−+−=++，整理得()()2320mm−+=，解得2m=或

23m=−.又直线l不经过点()0,2，所以2m=舍去，于是直线l的方程为23ykx=−，恒过定点20,3−，该点在椭圆C内，满足关于x的方程①有两个不相等的解，所以直线l恒过定点，定点坐标为20,3−.22．(1)答案见

解析(2)12m=【分析】（1）先求解导函数，再根据导函数分析函数的单调性即可；（2）先将题中问题转化为函数的零点问题，再根据相应函数的最值求解参数的值.【详解】（1）由已知，22()()2cosgxxfxxklnx=

−=−，,()0x+，()2cos'2kgxxx=−．当k为奇数时，cos1k=−，2()20gxxx=+，2()2cosgxxklnx=−在区间(0,)+上单调递增，当k为偶数时，cos1k=，22(1)(1)()2xxgxxxx−+

=−=，当(0,1)x时，()0gx，当(1,)x+时，()0gx，()gx在区间(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，综上所述，当k为奇数时，()gx在区间(0,)+上单调递增，当k为偶数时，()gx在

区间(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增.（2）()mfxx=，21()2hxx=．设()fx与()hx上各有一点1(Ax，1)mlnx，2(Bx，221)2xx−．则()fx在以A为切点的切线方程为11myxmlnxmx=+−，()hx

在以B为切点的切线方程为2222222xxyxx−=+．由两条切线重合，得2212121222mxxxmlnxmx=−=−，由题意，方程组有唯一解，消去1x，整理得：22112202mlnxm

lnmmx++−−=．令11()222gxmlnxmlnmmx=++−−，222121()mmxgxxxx−=−=．可知()gx在区间1(0,)2m上单调递减，在1(2m，)+上单调递增．又当0x→时，()gx→+，()

gx有唯一解，则有1()02gm=，即11222022mlnmmlnmmm++−−=．即1202mlnmm−+=．令1()22mmlnmm=−+，2()2122mlnmmlnmm=+−=．可知()m在区间1(0,)2上单调递减，在区间1(2，)+上单调递增．又1()0

2=，1202mlnmm−+=只有唯一一实根12m=．当12m=时，函数()fxmlnx=与1()2xhxx−=的图象有且只有一条公切线获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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