【文档说明】2023届高考北师版数学一轮复习试题（适用于老高考新教材） 第五章　三角函数 课时规范练24　正弦定理和余弦定理及其应用含解析【高考】.docx，共(6)页，54.614 KB，由小赞的店铺上传

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1课时规范练24正弦定理和余弦定理及其应用基础巩固组1.(2021北京西城高三月考)在△ABC中,若b=4,c=3,cosB=-35,则sinC的值等于()A.512B.34C.35D.452.(2021福建漳州高三期中)在△ABC中,c2=bc

cosA+accosB+abcosC,则此三角形必是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形3.在△ABC中,若B=2A,b=32a,则cosA的值等于()A.14B.13C.23D.344.(2021安徽安庆高三期中)

在△ABC中,若AB=2,AC=3,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3,则BC=()A.√3B.√7C.√19D.√235.(2021四川成都高三月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足6a=4b=3c,则sin2𝐶sin𝐴-sin𝐵的值为()A.-2B.2

C.-8D.86.在△ABC中,下列说法不正确的是()A.若A>B,则|cosB|>|cosA|B.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形C.等式a=bcosC+ccosB恒成立D.若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c=1∶1∶√37.(2021天津耀华中学高三月考)在△ABC中,a

=4,b=5,c=6,则sin2𝐴sin𝐶=.8.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的

119倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1040m,BC=500m,则sin∠BAC等于.9.在△ABC中,AB=2,若𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=12,则A的最大值是.综合提升组210.(2021

福建厦门高三月考)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且𝑎𝑐=2+𝑏cos𝐴𝑐cos(𝐴+𝐶),则B的大小为()A.π6B.π3C.2π3D.5π611.如图,在△ABC中,co

s∠BAC=-13,AC=2,D是边BC上的点,且BD=2DC,AD=DC,则AB等于.12.(2021广东广州高三二模)如图,在四边形ABCD中,CD=3√3,BC=√7,cos∠CBD=-√714.(1)求∠BDC;(2)若∠A=π3,求△ABD周长的最大值.3创新应用组13

.(2021河北石家庄高三月考)设△ABC的面积为S,若4cos2A-1=cos2B+2cos2C,则𝑆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为()A.√32B.√33C.√156D.√6614.(

2021重庆一中高三月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3a2=(c+b)(c-b),则tanA·tanB的取值范围是.4课时规范练24正弦定理和余弦定理及其应用1.C解析:由正

弦定理得𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,由于cosB=-35,所以sinB=45,于是sinC=𝑐sin𝐵𝑏=3×454=35,故选C.2.B解析:由c2=bccosA+accosB+abcosC,则c2=bc·

𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐+ac·𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐+ab·𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏,即c2=𝑎2+𝑏2+𝑐22,整理可得a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形,故选B.3.D解析:由B=2A得sinB=sin2A,即sinB=2sinAcosA,所以cosA

=sin𝐵2sin𝐴=𝑏2𝑎=32𝑎2𝑎=34,故选D.4.B解析:由AB=2,AC=3,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3,可得2×3×cosA=3,所以cosA=12.由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·

ACcosA=22+32-2×2×3×12=7,故BC=√7,故选B.5.B解析:由于sin2𝐶sin𝐴-sin𝐵=2sin𝐶cos𝐶sin𝐴-sin𝐵=2𝑐𝑎-𝑏·cosC=-8cosC,而cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=𝑎2+(3𝑎2)2

-(2𝑎)22·𝑎·3𝑎2=-14,故sin2𝐶sin𝐴-sin𝐵=-8×-14=2,故选B.6.B解析:对于A,在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB>0,所以cos2B>cos2A,可得|cosB|>|cosA|,故选项A正

确;对于B,由余弦定理可得cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏>0只能判断角C为锐角,但得不出△ABC为锐角三角形,故选项B不正确;对于C,由正弦定理可得sinA=sinBcosC+sinCcosB,右边sinBcosC+sin

CcosB=sin(B+C)=sinA等于左边,显然成立,故选项C正确;对于D,因为A∶B∶C=1∶1∶4,所以A=B=π6,C=2π3,由正弦定理可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=12∶12∶√32=1∶1∶√3,故选项D正

确,故选B.7.1解析:sin2𝐴sin𝐶=2sin𝐴cos𝐴sin𝐶=2𝑎cos𝐴𝑐=2×46×52+62-422×5×6=1.58.513解析:依题意,设乙的速度为xm/s,则甲的速度为119xm/s,因为AB=1040m,

BC=500m,所以𝐴𝐶𝑥=1040+500119𝑥,解得AC=1260.在△ABC中,由余弦定理得,cos∠BAC=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2-𝐵𝐶22𝐴𝐵·𝐴𝐶=10402+12602-50022×1040×1260=1213,所

以sin∠BAC=√1-cos2∠𝐵𝐴𝐶=√1-(1213)2=513.9.π4解析:因为𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=12,所以abcosC=-12,由余弦定理得ab·𝑎2+𝑏2-42𝑎𝑏=-12,得a2+b2=3.由余弦定理可得cosA=𝑏2+4-𝑎2

4𝑏=𝑏2+4-(3-𝑏2)4𝑏=2𝑏2+14𝑏=𝑏2+14𝑏≥2√𝑏2·14𝑏=√22,当且仅当𝑏2=14𝑏,即b=√22时,等号成立,此时cosA取得最小值√22.又因为y=cosx在(0,π)上单调递减,所以A的最大值是π4

.10.B解析:因为𝑎𝑐=2+𝑏cos𝐴𝑐cos(𝐴+𝐶),所以sin𝐴sin𝐶=2+sin𝐵cos𝐴sin𝐶cos(π-𝐵),即sin𝐴sin𝐶=2-sin𝐵cos𝐴sin𝐶cos𝐵,所以sinAc

osB=2sinCcosB-sinBcosA,所以sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB,即sin(A+B)=2sinCcosB,所以sinC=2sinCcosB.又C∈(0,π),所以sinC≠0,所以cosB=12.又B∈(0

,π),所以B=π3,故选B.11.3解析:设AD=m,则有CD=m,BD=2m,BC=3m.在△ABC中,由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,得9m2=AB2+4+43AB.在△A

DB中,由余弦定理AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,得AB2=5m2+4m2cos∠ADC.在△ADC中,由余弦定理AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,得4=2m2-2m2cos∠ADC

,消去cos∠ADC,得AB2+8=9m2,从而得AB2+8=AB2+4+43AB,解得AB=3.12.解(1)在△BCD中,∵cos∠CBD=-√714,∴sin∠CBD=√1-(-√714)2=3√2114,由正弦定理得𝐶𝐷sin∠𝐶𝐵𝐷=𝐵𝐶s

in∠𝐵𝐷𝐶,∴sin∠BDC=𝐵𝐶·sin∠𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷=√7×3√21143√3=12.又∠CBD为钝角,∴∠BDC为锐角,∴∠BDC=π6.(2)在△BCD中,由余弦定理得cos∠CBD=𝐵𝐶2+𝐵𝐷2-𝐶𝐷22𝐵𝐶·𝐵𝐷=

7+𝐵𝐷2-272√7×𝐵𝐷=-√714,解得BD=4或BD=-5(舍去).在△ABD中,∠A=π3,设AB=x,AD=y.6由余弦定理得cosA=𝐴𝐵2+𝐴𝐷2-𝐵𝐷22𝐴𝐵·𝐴𝐷=𝑥2+𝑦2-162𝑥𝑦=12,即x2

+y2-16=xy,整理得(x+y)2-16=3xy.由基本不等式得(x+y)2-16=3xy≤3(𝑥+𝑦)24,即(𝑥+𝑦)24≤16,所以(x+y)2≤64,当且仅当x=y=4时,等号成立,即(x+y)max=8,所以(AB+AD+BD)max=8+4=12,故

△ABD周长的最大值为12.13.C解析:因为4cos2A-1=cos2B+2cos2C,所以4(1-2sin2A)-1=1-2sin2B+2(1-2sin2C),整理得4sin2A=sin2B+2sin2C,即4a2=b2+2c2,a2=14b2+12c2.于是cosA

=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=34𝑏2+12𝑐22𝑏𝑐≥2√34𝑏2·12𝑐22𝑏𝑐=√64,当且仅当b=c时,等号成立.因为𝑆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑏𝑐sin𝐴𝑏𝑐cos

𝐴=12·sin𝐴cos𝐴=12√1cos2𝐴-1,所以当cosA=√64时,𝑆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗取得最大值12√1(√64)2-1=√156,故选C.14.0,12解析:由题意得3a2=(c+b)(

c-b),根据余弦定理得bcosC+a=0,所以由正弦定理得sinBcosC+sinA=0,即sinBcosC+sin(C+B)=0,化简得tanC=-2tanB.又0<B<π,所以tan2B>0.又tan

A·tanB=-tan(B+C)·tanB=-tan𝐵+tan𝐶1-tan𝐵·tan𝐶·tanB=-tan𝐵+(-2tan𝐵)1-tan𝐵·(-2tan𝐵)·tanB=11tan2𝐵+2,所以0<tanA·tanB<12.