【文档说明】2023届高考北师版数学一轮复习试题（适用于老高考新教材） 单元质检卷六　平面向量、复数含解析【高考】.docx，共(10)页，91.348 KB，由小赞的店铺上传

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1单元质检卷六平面向量、复数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021北京,2)在复平面内,复数z满足(1-i)z=2,则z=()A.2+iB.2-iC.1-iD

.1+i2.已知向量a=(1,2),b=(2,x),且a·b=-1,则x的值等于()A.12B.-12C.32D.-323.已知i是虚数单位,若复数z=54+3i,则z的共轭复数𝑧=()A.45+35iB.45−35iC.-45+35iD.-45−35i4.

(2021山东临沂一模)如图,若向量𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为z,且|z|=√5,则1𝑧=()A.15+25iB.-15−25iC.15−25iD.-15+25i5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为边DC的中点,F为BE的中点,则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(

)A.3B.2C.32D.126.(2021福建厦门模拟)向量a=(1,2),b=(x,1).若(a+b)⊥(a-b),则x=()A.-2B.±√2C.±2D.227.已知向量a=(1,√2),|b|=2,|a-b|=√13,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π68.

在△ABC中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗3=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则sinA∶sinB∶sinC=()A.5∶3∶4B.5∶4∶3C.√5∶2∶√3D.√5∶√3∶29.若

m∈R,则复数𝑚+i1-i在复平面内所对应的点不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.已知平面向量a=(2,2),b=(1,m),且|2a-b|=|a+b|,则()A.a·b=4B.a·b=0C.m=-1D.|b|=211.设z为复数,则下列选项错误的是(

)A.|z|2=z𝑧B.z2=|z|2C.若|z|=1,则|z+i|的最大值为2D.若|z-1|=1,则0≤|z|≤212.已知P为△ABC所在平面内一点,则下列选项错误的是()A.若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,则点P在△

ABC的中位线上B.若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,则P为△ABC的重心C.若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗>0,则△ABC为锐角三角形D.若𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则△

ABC与△ABP的面积比为3∶2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(m,1),b=(4,m),向量a在b上的投影向量的模为√5,则m=.14.(2021山东省实验中学二模)

设向量a=(1,m),b=(2,1),且b·(2a+b)=7,则m=.15.(2021湖北七市联考)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,设AC与BD交于点O,则𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=.16.(2021天津,15)在边

长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F,则|2𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|的值为,(𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗)·𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为.3三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.17.(10分)已知复数z=bi(b∈R),𝑧-21+i是纯虚数,i是虚数单位.(1)求复数z;(2)若复数(m+z)2在复平面内对应的点在第二象限,求实数m的取值范围.18.(12分)(2

021江苏海门第一中学高三期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,3),B(2,-2),C(4,1).(1)若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,求点D的坐标;(2)设实数k满足(k𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)·𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=4,

求实数k的值.19.(12分)已知a=(cosx,sinx),b=(1,0),c=(4,4).(1)若a∥(c-b),求tanx;(2)求|a+b|的最大值,并求出对应的x的值.420.(12分)如图,在长方形ABCD

中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且𝐶𝐹𝐶𝐵=23.设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=b.(1)试用基{a,b}表示𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗;(2)若G为长方形ABCD内部一点,且𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=34a+23b,求证:E,G,

F三点共线.21.(12分)已知O为坐标原点,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2cosx,√3),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(sinx+√3cosx,-1),若f(x)=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;(2

)当x∈0,π2时,若函数g(x)=f(x)+m有零点,求实数m的取值范围.522.(12分)已知e1,e2是平面内的两个不共线向量,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2e1+e2,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=-e1+λe2,𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的坐标;(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.6单元质检卷六平面向量、复数1.D解

析:由题意可得z=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i.故选D.2.D解析:因为a=(1,2),b=(2,x),所以a·b=1×2+2x=-1,解得x=-32.故选D.3.A解析:复数z=54

+3i=5(4-3i)(4+3i)(4-3i)=45−35i,则𝑧=45+35i,故选A.4.D解析:根据图形可设z=-1+bi,b>0,因为|z|=√5,所以√(-1)2+𝑏2=√5,解得b=2,所以z=-1+2i,则𝑧=-1-2i,

所以1𝑧=1-1-2i=-1+2i(-1-2i)(-1+2i)=-1+2i5=-15+25i.故选D.5.B解析:以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),E(1,1),F32,12,∴𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗

⃗=32,12,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1),∴𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=32+12=2.故选B.6.C解析:(方法1)a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,即(1+x)(1-x)+3=0,解得x=±2.(方法2

)因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,即a2-b2=0,即|a|=|b|,所以x=±2.故选C.7.D解析:因为|a-b|=√13,所以(a-b)2=13,即a2-2a·b+b2=13.设a与b的夹角为θ,则3-2√3×2×cosθ+4=13,解得cosθ=-√32,7所以

a与b的夹角为5π6.故选D.8.D解析:由题意,在△ABC中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗3=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,设△ABC中角A,B,C所

对的边分别为a,b,c,利用向量的数量积的定义可知𝑎𝑐cos(π-𝐵)3=𝑎𝑏cos(π-𝐶)2=bccos(π-A),即𝑎𝑐cos𝐵3=𝑎𝑏cos𝐶2=𝑏𝑐cos𝐴1,即𝑎𝑐3·𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=𝑎𝑏2·𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=�

�𝑐1·𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐,即2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2,设2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2=12k,k>0,解得a2=5k,b2=3k,c2=4k,所以a=√5

𝑘,b=√3𝑘,c=√4𝑘,所以由正弦定理可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=√5∶√3∶2.故选D.9.D解析:𝑚+i1-i=(𝑚+i)(1+i)(1-i)(1+i)=𝑚-12+𝑚+12i,当m>1时,对应的点在第一象限;第-1<m

<1时,对应的点在第二象限;当m<-1时,对应的点在第三象限.故选D.10.A解析:由|2a-b|=|a+b|,得2a·b=a2,所以2(2+2m)=4+4,解得m=1,则|b|=√2,a·b=4.故选A.11.B解析:设z=a+bi(a,b∈R).对于A,|z|2=a2+b2,z𝑧=

(a+bi)(a-bi)=a2+b2,故A正确;对于B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,|z|2=a2+b2,故B错误;对于C,|z|=1表示z在复平面内对应的点Z在以原点为圆心的单位圆上,|z+i|表示点Z与点(0,-1)之间的距离,故|z+i|的最大值为2,故C正确;对于D,|z-

1|=1表示z在复平面内对应的点Z在以(1,0)为圆心,1为半径的圆上,|z|表示点Z与原点(0,0)之间的距离,故0≤|z|≤2,故D正确.故选B.12.C解析:对于A,设AB中点为D,BC中点为E,∵𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-2(𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),∴2𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=-4𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,即𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,∴P,D,E三点共线,8又DE为△ABC的中位线,∴点P在△ABC的中位线上,故A正确;对于B,设AB中点为D,由�

�𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,得𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,又𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴P在中线CD上,且𝐶𝑃

𝑃𝐷=2,∴P为△ABC的重心,故B正确;对于C,∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗>0,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗夹角为锐角,即A为锐角,但此时B,C有可能是直角或钝角,故无法说明△ABC为锐角三角形,故C错误;对于D,∵𝐴𝑃⃗⃗

⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,∴13(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)+23(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)=0,∴𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴P为线段BC上靠近C的三等分点,即𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,

∴S△ABC∶S△ABP=BC∶BP=3∶2,故D正确.故选C.13.2或-2解析:由题意可知,向量a在b上的投影数量为𝑎·𝑏|𝑏|=|𝑚·4+1·𝑚|√42+𝑚2=|5𝑚|√16+𝑚2=√5,两边平方,可得25�

�216+𝑚2=5,解得m=-2或m=2.14.-1解析:∵向量a=(1,m),b=(2,1),∴2a+b=(4,2m+1).∵b·(2a+b)=7,∴8+2m+1=7,解得m=-1.15.-34解析:𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·12𝐵𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗⃗=14(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=14(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗2−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2)=14(12-22)=-34.16.11120解析:设BE=x,x∈0,12,∵△ABC为边长为1的等边三角形,DE⊥AB,∴∠BDE=30°,B

D=2x,DE=√3x,DC=1-2x.∵DF∥AB,∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形,DE⊥DF,∴(2𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗)2=4𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗2+4𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗2=4x2+4x(1-2x)×cos0°+(1-2x)2=

1,∴|2𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|=1.∵(𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗)·𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐷𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗2+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(√3x)2+(1-2x)·(1-x)=5x2-3x+1=5x-3102+1120,9∴当x=310时,(𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗)

·𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗取最小值为1120.17.解(1)∵z=bi(b∈R),∴𝑧-21+i=𝑏i-21+i=(𝑏i-2)(1-i)(1+i)(1-i)=(𝑏-2)+(𝑏+2)i2=𝑏-22+𝑏+22i.又𝑧-21+

i是纯虚数,∴𝑏-22=0,∴b=2,即z=2i.(2)∵z=2i,m∈R,∴(m+z)2=(m+2i)2=m2+4mi+4i2=(m2-4)+4mi.又复数在复平面内对应的点在第二象限,∴{𝑚2-4<0,4𝑚>0,解得0<m

<2,故实数m的取值范围为(0,2).18.解(1)因为A(1,3),B(2,-2),C(4,1),所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-5).设D(x,y),则𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(x-4,y-1).因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以(1,-5)

=(3x-12,3y-3),所以{3𝑥-12=1,3𝑦-3=-5,解得{𝑥=133,𝑦=-23,所以点D的坐标为133,-23.(2)𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(4,1),k𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(k+8,-5k+2).因为(k𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗)·𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=4,所以4(k+8)+(-5k+2)=4,解得k=30.19.解(1)c-b=(3,4),由a∥(c-b)得4cosx-3sinx=0,∴tanx=sin𝑥cos𝑥=43.(2)∵a+b=(cosx+1,sinx),∴(a+b)2=(cosx+1)2+s

in2x=2+2cosx,|a+b|=√2+2cos𝑥,当cosx=1,即x=2kπ,k∈Z时,|a+b|取得最大值为2.20.(1)解𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗=b+12a,𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12a-23b.10(2)证明𝐴𝐺⃗

⃗⃗⃗⃗=34a+23b,𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=14a-13b,𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12a-23b=2𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗共线.又𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗有

一公共点E,∴E,G,F三点共线.21.解(1)∵𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2cosx,√3),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(sinx+√3cosx,-1),∴f(x)=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2=2cosxsinx+2√3cos2x-√3+2=

sin2x+√3cos2x+2=2sin2x+π3+2,令2x+π3=π2+kπ,k∈Z,得x=𝑘π2+π12,k∈Z,故f(x)图象的对称轴方程为x=𝑘π2+π12,k∈Z.(2)∵x∈0,π2,g(x)=f(x)+m有零点,∴-m=f(x)在0,π2上有解.∵x∈0,π2,∴2x+π3

∈π3,4π3,∴-√32<sin2x+π3≤1,∴f(x)∈(-√3+2,4],∴实数m的取值范围为[-4,√3-2).22.解(1)𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2

.因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=k𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.因为e1,e2是平面内的两个不共线向量,所以{1+2𝑘=0,𝑘-1-𝜆=

0,解得{𝑘=-12,𝜆=-32.(2)𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-e1-32e2-2e1+e2=-3e1-12e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=

𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.设A(x,y),则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(3-x,5-y).因为𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-7,-2),所以{3-𝑥=-7,5-𝑦=-2,解得{𝑥=10,𝑦=7,即点A的坐标为(10,7).