【文档说明】江西师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期4月月考理科数学试题 含答案.docx，共(13)页，872.280 KB，由小赞的店铺上传

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江西师大附中高二（理）数学月考试卷命题人：审题人：2021．4一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，(23)ii−+的虚部是（）A．2−

B．3C．2i−D．3i2．设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则能得出ab⊥的是（）A．a⊥，b∥，⊥B．a⊥，b⊥，∥C．a，b⊥，∥D．a，b∥，⊥3．设103izi=+，则z的共轭复数

在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M是棱11AD的中点，过1C，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．352B．358C．92D．985

．12,ll表示空间中的两条直线，若p：12,ll是异面直线；q：12,ll不相交，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯

视图不可能是（）7．已知i是虚数单位，,abR得“1ab==”是“2()2abii+=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知长方体1111ABCD

ABCD−中，1BC、1CD与底面ABCD所成的角分别为60和45，则异面直线1BC和1CD所成角的余弦值为（）A．64B．14C．26D．369．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（）A．6312++B．531

2++C．6212++D．5212++10．如图，在棱长均相等的四棱锥PABCD−中，O为底面正方形的中心，,MN分别为侧棱,PAPB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OMPA⊥；④直线PD与MN所成角的大小为90．其中正确结论的

序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．②③④11．在ABC中，90C=，30B=，1AC=，M为AB的中点，将BCM沿CM折起，使点,AB间的距离为2，则折起后点M到平面ABC的距离为（）A．12B．32C．1D．3212．如图，在A

BC中，2ABBC==，120ABC=．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA=，PBBA=，则四面体PABC的体积最大时其外接球的表面积是（）．A．8B．12C．14D．16二、填空题:本大题共4小题,每小

题5分，满分20分．13．已知aR，i是虚数单位，若2(1)(1)zaai=−+−为纯虚数，则a=______．14．如图，在圆柱12OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12OO的体积为1V，球O的体积为2V，则12VV的值是

____．15．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为32，M是线段AD上的一点且2AMMD=，P是平面1BAD内一动点，则APPM+的最小值是____．16．如图，在直角梯形ABCD中，ABB

C⊥，AD∥BC，112ABBCAD===，点E是线段CD上异于点,CD的动点，EFAD⊥于点F，将DEF沿EF折起到的PEF位置，并使PFAF⊥，则五棱锥PABCEF−的体积的取值范围为_____

_．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文2OO1OB1A1C1BCDAD1PACDGB字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）如图，在三棱锥PABC−中，5ABAC==，3PBPC==，2PA=，2BC=．（1）根据图中所给的主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）上

已画出该三棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；（2）求证：PABC⊥．18．（本题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCDABCD−中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2．（1）求此正四棱台的侧面积；（2）求此正四棱台的体积．19．（本题满分12分）在四棱锥PABC

D−中，底面ABCD为正方形，G为PAD的重心．（1）设AEAC=，若EG∥平面PCD，求实数的值；（2）若PA⊥平面ABCD，且PAAB=，求异面直线PD与AC所成的角．主视PABCEABCDMN图乙图甲ABCDA1EBCD1FEFGSABC20．（本题满

分12分）如图，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，且3B=，现沿着AC将ABC折到EAC的位置，使得平面EAC⊥平面ACD，,MN是线段EC，ED上的两个动点（不含端点），且EMENECED=，平面AMN与平面ACD相交于l．（1）求证：l∥MN；（2

）P为l上一个动点，求平面PEC与平面ACD所成锐二面角的最小值．21．（本题满分12分）如图甲，设正方形ABCD的边长为3，点,EF分别在,ABCD上，且满足2AEEB=，2CFFD=．将直角梯形AEFD沿EF折到11AEFD的位

置，使得点1A在平面BEFC上的射影G恰好在BC上，如图乙所示．（1）证明：1AB∥平面1CDF；（2）求二面角1AEFC−−的余弦值．22．（本题满分12分）如图，在三棱锥SABC−中，SASBSCm===，若BSC=，CSA=，ASB

=，且222sinsinsin222+=．（1）求证：平面SAB⊥平面ABC；（2）若2323===，，，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成角的正弦值为23，若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理由．江西师大

附中高二（理）数学月考答案命题人：审题人：2021．4一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，(23)ii−+的虚部是（）AA．2−B．3C．2i−D．3i2．设a、b是两条不同的直线，、

是两个不同的平面，则能得出ab⊥的是（）CA．a⊥，b∥，⊥B．a⊥，b⊥，∥C．a，b⊥，∥D．a，b∥，⊥3．设103izi=+，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）DA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．在棱长为2的正方体111

1ABCDABCD−中，M是棱11AD的中点，过1C，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）CA．352B．358C．92D．985．12ll，表示空间中的两条直线，若p：12ll，是异面直线；q：12ll，不相交，则p是q的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充

分必要条件D．既不充分也不必要条件6．如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是（）C7．已知i是虚数单位，,abR得“1ab==”是“2()2abii+=”的（）A

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知长方体1111ABCDABCD−中，1BC、1CD与底面ABCD所成的角分别为60和45，则异面直线1BC和1CD所成角的余弦值为()AA．64B．14C．26D

．369．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（）BA．6312++B．5312++C．6212++D．5212++10．如图，在棱长均相等的四棱锥PABCD−中，O为底面正方形的中心，M、N分别为侧棱PA

，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OMPA⊥；④直线PD与MN所成角的大小为90．其中正确结论的序号是（）BA．①②B．①②③C．②③D．②③④11．在ABC中，90C=，30B=，1AC=，

M为AB的中点，将BCM沿CM折起，使点,AB间的距离为2，则折起后点M到平面ABC的距离为（）AA．12B．32C．1D．3212．如图，在ABC中，2ABBC==，120ABC=．若平面ABC外的点P和线段AC上的点

D，满足PDDA=，PBBA=，则四面体PABC的体积最大时其外接球的表面面积是（）．DA．8B．12C．14D．16二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13．已知aR，i是虚数单位，若2(1)(1)zaai=−+−为纯虚数，则a=

______．1−14．如图，在圆柱12OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12OO的体积为1V，球O的体积为2V，则12VV的值是______．3215．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为32，M是线

段AD上的一点且2AMMD=，P是平面2OO1O1BAD内一动点，则APPM+的最小值是______．3216．如图，在直角梯形ABCD中，ABBC⊥，AD∥BC，112ABBCAD===，点E是线段CD上异于点,CD的动点，EFAD⊥于点F，将DEF

沿EF折起到的PEF位置，并使PFAF⊥，则五棱锥PABCEF−的体积的取值范围为______．1(0,)3三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）如图，在三棱锥PABC−中，5ABAC==，3PBPC==，2PA=，2BC=．

（1）根据图中所给主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）中已画出该三棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；（2）求证：PABC⊥．【解析】（1）三棱锥的左视图和俯视图如图所示……………………………

……………5分注：对一个给3分，全对得5分（2）因为5ABAC==，3PBPC==，2PA=，由勾股定理得PAPB⊥，PAPC⊥，………………………………………………7分从而PAPBC⊥平面，………………………………………………………………9分主视PABC所以PABC⊥．

………………………………………………………………………10分18．（本题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCDABCD−中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2.（1）求此正四棱台的侧面积；（2）求此正四棱台的体积．【解析】（1）如图，连接AC，作1AOAC⊥，易知1

AO⊥平面ABCD，…………1分再作OEAB⊥，连接1AE，则1AEAB⊥，……………………………………………2分在梯形11ABBA中，易得13AE=，……………………………………………………4分所以此正四棱台的侧面积为1(412)3832+=；……………………………………6分（2）在1R

tAEO，1EO=，12AO=，……………………………………………8分所以此正四棱台的体积为1132(193)233++=；…………………………………12分19．（本题满分12分）在四棱锥PABC

D−中，底面ABCD为正方形，G为PAD的重心．（1）设AEAC=，若EG∥平面PCD，求实数的值；（2）若PA⊥平面ABCD，且PAAB=，求异面直线PD与AC所成的角．【解析】（1）连接AG并延长交PD于F，连接EG，CF，…………………………1分因为EG∥平面PCD，所以EG

∥FC，………………………………………………3分由G为PAD的重心，得23AGAF=，……………………………………………………5分从而23AEAC=，故23=；………………………………………………………………6分B1A1C1BCDAD

1PACDGBB1A1C1BCDAD1OE（2）分别在取线段,,ADCDPA的中点,,MNQ，连接,,MNQMQN，…………7分易证MN∥AC，QM∥PD，………………………………………………………8分从而异面直线PD与AC所成的角为QMN

或其补角，……………………………9分设ABa=，易得22MNa=，22QMa=，………………………………………10分由PA⊥平面ABCD，得QAAN⊥，从而得62QNa=，…………………………11分在MNQ中，1cos2MNQ=−，所以120MN

Q=，故异面直线PD与AC所成的角为60．………………………………………………12分20．（本题满分12分）如图，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，且3B=，现沿着AC将ABC折到EAC的位置，使得平面EAC⊥平面ACD，,M

N是线段EC，ED上的两个动点（不含端点），且EMENECED=，平面AMN与平面ACD相交于l．（1）求证：l∥MN；（2）P为l上一个动点，求平面PEC与平面ACD所成锐二面角的最小值．【解析】（1）证

明：因为EMENECED=，所以MN∥CD，…………………………2分因为MN平面ACD，CD平面ACD，MN∥平面ACD，…………………4分平面AMN与平面ACD相交于l，MN平面AMN，所以l∥MN；…………6分（2）取AC中点O，连接EO，EOAC⊥，

BGDCAPFEBDCAPQMNEABCDMNDCBAEOPF则EO⊥平面ACD，且3EO=，……………………7分过点O作OFPC⊥于F，连接EF，则EFPC⊥，所以EFO为所求锐二面角的平面角，记为，……8分所以3tanEOOFOF==，当OF最大时，最小，……9分因为

OFFC⊥，所以F在以OC为直径的圆上，当F与C重合时，OF的最大值为1，……………11分所以3tan3OF=，从而的最小值为3．……12分21．（本题满分12分）如图甲，设正方形ABCD的边长为3，点,EF分别在,ABCD上，且满足2AEEB=，2CFFD=．将直角梯形A

EFD沿EF折到11AEFD的位置，使得点1A在平面BEFC上的射影G恰好在BC上，如图乙所示．（1）证明：1AB∥平面1CDF；（2）求二面角1AEFC−−的余弦值．【解析】（1）在题图甲中，易知AE∥DF，从而在题图乙中有1AE∥1DF，……2分又BE

∥CF，从而平面1AEB∥平面1CDF，…………………………………………4分因为1AB平面1AEB，所以1AB∥平面1CDF；……………………………………6分（2）如图（1），过点G作GHEF⊥于点H，连接1AH，因为1AG⊥平面

BEFC，所以1AGEF⊥，又1GHAGG=，所以EF⊥平面1AHG，从而1EFAH⊥，所以1AHG为二面角1AEFC−−的平面角．………………………………………8分在图（2）中有EFAH⊥，又EFGH⊥，所以,,AH

G三点共线，设CF的中点为M，则1MF=，连接EM，可证ABGEMF，所以1BGMF==，则10AG=．易知ABGAHE，所以13105ABAEAHAHAG===，……………………10分2105GHAGAH=−=，……………

………………………………………………11分图乙图甲ABCDA1EBCD1FEFG在1RtAGH中，112cos3GHAHGAH==，即二面角1AEFC−−的余弦值为23．………………………………………………12分22．（本题满分12分）如图，在三棱锥SABC−中，SASBSC

m===，若BSC=，CSA=，ASB=，且222sinsinsin222+=．（1）求证：平面SAB⊥平面ABC；（2）若2323===，，，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角的正弦值为2

3，若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理由．【解析】（1）由222sinsinsin222+=得coscos1cos+=+，………………1分设,,BCaACbABc===，由余弦定理得222222

2222221222mambmcmmm−−−+=+，…………………………2分进一步化简得222abc+=，从而ACBC⊥，…………………………………3分取AB中点O，因为SASB=，所以SOAB⊥，……………………………4分因为,OCO

BSBSC==，所以SOBSOC，从而SOOC⊥，………5分由SOAB⊥且SOOC⊥得SO⊥平面ABC，又SO平面SAB，平面SAB⊥平面ABC．…………………………………6分图（2）图（1）

HFD1CBEA1DCBAGEFGHM（2）作CEAB⊥，由（1）知，CE⊥平面SAB，从而平面SCE⊥平面SAB，连接SE，作DFSE⊥，易知DF⊥平面SAB，且CE∥DF，连接,BFBD，则DBF为直线BD与平面SAB所成的角，……………………8分由题意知

2sin3DBF=，设BDa=，从而23aDF=，因为2323===，，，所以32ABmACmBCm===，，在RtABC中，63CEm=，……………………………………………………9分因为CE∥DF，所以DFSDCESC=，得33aSD=，……………………………10分在SB

D中，由正弦定理得，33sinsin3aaSBD=，……………………………11分从而1sin2SBD=，所以6SBD=，因此D为线段SC中点．…………12分SABCCBASOCBASEDF