【文档说明】江西师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期4月月考文科数学试题 含答案.docx，共(12)页，814.652 KB，由小赞的店铺上传

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江西师大附中高二（文）数学月考试卷命题人：审题人：2021．4一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，(23)ii−+的虚部是（）A．2−B．3C

．2i−D．3i2．设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则能得出ab⊥的是（）A．a⊥，b∥，⊥B．a⊥，b⊥，∥C．a，b⊥，∥D．a，b∥，⊥3．设103izi=+，则z的共轭复数在

复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．设,lm是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若lm⊥，m，则l⊥B．若l⊥，m∥l，则m⊥C．若l∥，m，则l∥mD．若l∥，m∥，则l∥m5．12,ll表示空间中的两条直

线，若p：12,ll是异面直线；q：12,ll不相交，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是（）7．已知i是

虚数单位，,abR得“1ab==”是“2()2abii+=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别是1111,ADAC的中点，则异面直线AE和CF所成的角的余弦值为

（）A．32B．33010C．3010D．129．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（）A．6312++B．5312++C．6212++D．5212++10．如图，在棱长均相等的四棱锥PABCD−中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA

，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OMPA⊥；④直线PD与MN所成角的大小为90．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．②③④11．已知边长为23的菱形ABCD中，60A=，现沿对角线B

D折起，使得33AC=，此时点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．20B．24C．28D．3212．在ABC中，90C=，30B=，1AC=，M为AB的中点，将BCM沿CM折起，使点,AB间的距离为2，则折起后点

M到平面ABC的距离为（）A．12B．32C．1D．32二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13．已知aR，i是虚数单位，若2(1)(1)zaai=−+−为纯虚数，则a=．14．如图，在圆柱12OO

内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12OO的体积为1V，球O的体积为2V，则12VV的值是______．15．如图，在三棱柱111ABCABC−的侧棱1AA和1BB上各有一个动点,PQ，且满足1APBQ=，M是棱CA上的动点，则11

1MABQPABCABCVV−−的最大值是______．16．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的______．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角三角形②直角三角形③四边形④扇形⑤圆,,,ABCD2

OO1OB1A1C1BCDAD1PACDGB三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）如图，在三棱锥PABC−中，5ABAC==，3PBPC==，2PA=，2BC=．（1）根据图中所给主视方向，在下列

方格纸（方格的单位长度为1）上已画出该三棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；（2）求证：PABC⊥．18．（本题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCDABCD−中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2．（1）求此正四棱台的侧面积；（2）求此正四

棱台的体积．19．（本题满分12分）在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，G为PAD的重心．（1）设AEAC=，若EG∥平面PCD，求实数的值；（2）若PA⊥平面ABCD，且PAAB=，求异面直线PD与AC所成的角．20．（本题满分12分）如图甲，设正方形ABCD的

边长为3，点,EF分别在,ABCD上，主视PABCEABCDMNSABCD且满足2AEEB=，2CFFD=．将直角梯形AEFD沿EF折到11AEFD的位置，使得点1A在平面BEFC上的射影G恰好在BC上，如图乙所示．（1）证明：1AB∥平面1CDF；（2）

判断直线1AB与1DC的位置关系（不需要说明理由），并比较线段1AB与1DC长度的大小并加以证明．21．（本题满分12分）如图，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，且3B=，现沿着AC将ABC折到EAC的位置，,MN是线段EC，ED

上的两个动点（不含端点），且23EMENECED==，平面AMN与平面ACD相交于l．（1）求证：l∥MN；（2）当三棱锥EACD−的体积最大时，求三棱锥EAMN−的体积．22．（本题满分12分）如图，在三棱锥SABC−中，2SASBSC===，若BSC

=，CSA=，ASB=，且222sinsinsin222+=．（1）求证：平面SAB⊥平面ABC；（2）若2323===，，，D为线段SC中点，求点D到平面SAB的距离．图乙图甲ABCDA1

EBCD1FEFG江西师大附中高二（文）数学月考答案命题人：审题人：2021．4一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，(23)ii−+的虚部是（）AA．2−B.3C．2i−D．3i2．设a、b是两条不同的直线

，、是两个不同的平面，则能得出ab⊥的是（）CA．a⊥，b∥，⊥B．a⊥，b⊥，∥C．a，b⊥，∥D．a，b∥，⊥3．设103izi=+，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）DA．第一象限B．第二象限C

．第三象限D．第四象限4．设,lm是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）BA．若lm⊥，m，则l⊥B．若l⊥，m∥l，则m⊥C．若l∥，m，则l∥mD．若l∥，m∥，则l∥m5．12ll，表示空间中的两条直

线，若p：12ll，是异面直线；q：12ll，不相交，则p是q的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是（）C7．已知i是虚数单位，,abR得“

1ab==”是“2()2abii+=”的（）AA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别是1111,ADAC的中点，则异面直线AE和CF所成的角的余弦值为（）CA．32B．33010C．3010D．

129.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（）BA.6312++B．5312++C．6212++D．5212++10．如图，在棱长均相等的四棱锥PABCD−中，O为底面正方形的中心，M、N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列

结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OMPA⊥；④直线PD与MN所成角的大小为90．其中正确结论的序号是（）BA．①②B．①②③C．②③D．②③④11．已知边长为23的菱形ABCD中，60A=，现沿对角线BD折起，使得33AC=，此时

点在同一个球面上，则该球的表面积为（）CA．20B．24C．28D．3212．在ABC中，90C=，30B=，1AC=，M为AB的中点，将BCM沿CM折起，使点,AB间的距离为2，则折起后点M到平面ABC的

距离为（）AA．12B．32C．1D．32二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13．已知aR，i是虚数单位，若2(1)(1)zaai=−+−为纯虚数，则a=．1−14．如图，在圆柱12OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及

母线均相切．记圆柱12OO的体积为1V，球O的体积为2V，则12VV的值是____．3215．如图，在三棱柱111ABCABC−的侧棱1AA和1BB上各有一个动点,PQ，且满足1APBQ=，M是棱CA上的动点，,,,ABCD2OO1O则111MABQPABCABCVV−−的最大值

是______．13.16．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的______．(填入所有可能的图形前的编号)①②③①锐角三角形②直角三角形③四边形④扇形⑤圆三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证

明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）如图，在三棱锥PABC−中，5ABAC==，3PBPC==，2PA=，2BC=．（1）根据图中所给主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）中已画出该三棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和

俯视图；（2）求证：PABC⊥．【解析】（1）三棱锥的左视图和俯视图如图所示…………………………………………5分注：对一个给3分，全对得5分（2）因为5ABAC==，3PBPC==，2PA=，由勾股定理得PAPB⊥，PAPC⊥，………………………

………………………7分从而PAPBC⊥平面，………………………………………………………………9分所以PABC⊥．………………………………………………………………………10分18．（本题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCDABCD−中，上底面边长为1，下底主视PABC面边长为3，侧棱长

为2.（1）求此正四棱台的侧面积；（2）求此正四棱台的体积．【解析】（1）如图，连接AC，作1AOAC⊥，易知1AO⊥平面ABCD，…………1分再作OEAB⊥，连接1AE，则1AEAB⊥，……………………………………………2分在梯形11ABBA中，易得1

3AE=，……………………………………………………4分所以此正四棱台的侧面积为1(412)3832+=；……………………………………6分（2）在1RtAEO，1EO=，12AO=，……………………………………………8分所以此正四棱台的体积为1132(193)233++=；…………

………………………12分19．（本题满分12分）在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，G为PAD的重心．（1）设AEAC=，若EG∥平面PCD，求实数的值；（2）若PA⊥平面ABCD，且PAAB=，求异面直线PD与AC所成的角．【解析

】（1）连接AG并延长交PD于F，连接EG，CF，…………………………1分因为EG∥平面PCD，所以EG∥FC，………………………………………………3分由G为PAD的重心，得23AGAF=，……………………………………………………5分从而23AEAC=，故23=；……

…………………………………………………………6分B1A1C1BCDAD1PACDGBB1A1C1BCDAD1OE（2）分别在取线段,,ADCDPA的中点,,MNQ，连接,,MNQMQN，…………7分易证MN∥AC，QM∥P

D，………………………………………………………8分从而异面直线PD与AC所成的角为QMN或其补角，……………………………9分设ABa=，易得22MNa=，22QMa=，………………………………………10分由PA⊥平面ABCD，得QAAN⊥，从而得62QNa=，…………………………11

分在MNQ中，1cos2MNQ=−，所以120MNQ=，故异面直线PD与AC所成的角为60．………………………………………………12分20．（本题满分12分）如图甲，设正方形ABCD的边长为3，点,EF分别在,ABCD上，且满足2AEEB=，2CFFD

=.将直角梯形AEFD沿EF折到11AEFD的位置，使得点1A在平面BEFC上的射影G恰好在BC上，如图乙所示.（1）证明：1AB∥平面1CDF；（2）判断直线1AB与1DC的位置关系（不需要说明理由），并比较线段1AB与1DC长度的大小并加以证明.

BGDCAPFEBDCAPQMN【解析】（1）在题图甲中，易知AE∥DF，从而在题图乙中有1AE∥1DF，……2分又BE∥CF，从而平面1AEB∥平面1CDF，…………………………………………4分因为1AB平面1AEB，所以1AB∥平面1CDF；……………………………

………6分（2）直线1AB与1DC异面………………………………………………………………8分1AB1DC=，证明如下：1AE∥1DF，BE∥CF由等角定理知11AEBDFC=，…………………………10分又112,1,1,2AEEBDFFC

====，由余弦定理知1AB1DC=.…………………12分21．（本题满分12分）如图，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，且3B=，现沿着AC将ABC折到EAC的位置，,MN是线段EC，ED上的两个动点（不含端点），且23EMENECED==，平面A

MN与平面ACD相交于l.（1）求证：l∥MN；（2）当三棱锥EACD−体积最大值时，求三棱锥EAMN−的体积．【解析】（1）证明：因为EMENECED=，所以MN∥CD，………………………………2分因为MN平面ACD，CD平面ACD，MN∥平面ACD，……………………4分平面A

MN与平面ACD相交于l，MN平面AMN，所以l∥MN；………………6分（2）取AC中点O，连接EO，易知当EO⊥平面ACD时，图乙图甲ABCDA1EBCD1FEFGEABCDMNDCBAEMNO三棱锥EACD−体积最大值，………………

……………………………………………7分ACD的面积为3，3EO=，……………………8分从而此时三棱锥EACD−体积为1，…………………10分因为23EMENECED==，所以49EMNECDSS=，……………11分从而444999EAMNAEM

NAECDEACDVVVV−−−−====.…12分22．（本题满分12分）如图，在三棱锥SABC−中，2SASBSC===，若BSC=，CSA=，ASB=，且222sinsinsin222

+=.（1）求证：平面SAB⊥平面ABC；（2）若2323===，，，D为线段SC中点，求点D到平面SAB的距离.【解析】（1）由222sinsinsin222+=得coscos1cos+=+，………………1分设,,BC

aACbABc===，由余弦定理得2228881888abc−−−+=+，……………2分进一步化简得222abc+=，从而ACBC⊥，…………………………………………3分取AB中点O，因为SASB=，所以SOAB⊥，………………………………………4分因为,OCOBSBS

C==，所以SOBSOC，从而SOOC⊥，…………………5分由SOAB⊥且SOOC⊥得SO⊥平面ABC，又SO平面SAB，平面SAB⊥平面ABC.……………………………………………6分（2）作CEAB⊥，由（1）知，CE⊥平面SAB，从而平面SCE⊥平面SAB，连接SE，作DFSE⊥，易

知DF⊥平面SAB，且CE∥DF，……………………………………………………9分SABCCBASOSABCEDF因为2323===，，，所以23222ABACBC===，，，在RtABC中，263CE=，……………………

………………………………………11分因为CE∥DF，且D为线段SC中点，所以1623DFCE==，因此点D到平面SAB的距离为63.……………………………………………………12分注：利用等体积法酌情给分