【文档说明】江苏省南通市2023届高三下学期2月第一次调研测试（一模） 数学 含解析.docx，共(19)页，1.227 MB，由小赞的店铺上传

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南通市2023届高三第一次调研测试数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”2.作

答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原

来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一､选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合13,{

24}AxxBxx==∣∣，则AB=（）A.(2,3B.)1,4C.(),4−D.)1,+2.已知向量,ab满足21,2,,3abab===，则()aab+=（）A.2−B.1−C.0D.23.在复平面内，复数12,zz对应的点关于直线0xy−=对称，

若11iz=−，则12zz−=（）A.2B.2C.22D.44.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地

点（长轴端点中离地面最远的点）距地面1S，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面2S，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（）A12SSB.122SSC.()()12SRSR++D.()()122SRSR++5.已知3

sincos65−+=，则cos23+=（）A.725−B.725C.2425−D.24256.已知随机变量X服从正态分布()2,N，有下列四个命题：甲：(1)(2)PXmPXm+−；乙：()0.5PXm=；丙：()0.5PXm=；丁：(

1)(12)PmXmPmXm−++如果只有一个假命题，则该命题为（）A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知函数()fx的定义域为R，且()21fx+为偶函数，()()()12fxfxfx=+−+，若()12f=，则()18f=（）A.1B.2C.1−D.2−8.若过点(),

0Pt可以作曲线()1exyx=−的两条切线，切点分别为()()1122,,,AxyBxy，则12yy的取值范围是（）A.()30,4e−B.()()3,00,4e−−C.()2,4e−−D.(

)()2,00,4e−−二､多选题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，AC与BD交于点O，则（

）A.1AD∥平面1BOCB.BD⊥平面1COCC.1CO与平面ABCD所成的角为45D.三棱锥1CBOC−的体积为2310.函数()()sin0,2fxx=+的部分图象如图所示，则（

）A.2=B.6=C.()fx的图象关于点,012对称D.()fx在区间5,4上单调递增11.一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝.从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则（）A.()1

3PA=B.,AB为互斥事件C.()12PBA=∣D.,AB相互独立12.已知抛物线24xy=的焦点为F，以该抛物线上三点,,ABC为切点的切线分别是123,,lll，直线12,ll相交于点3,Dl与12,ll分别相交于点,PQ.记,,ABD的横坐

标分别为123,,xxx，则（）A.0DADB=B.1232xxx+=C.2||AFBFDF=D.APCQPCPD=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()211log2,1,2,1,xxxfxx−+−

=则()()2ff−=__________.14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列na的通项公式na=__________.①10nnaa+；②1nnaa+15.已知圆222:(0)Oxyrr+=，设直线330xy

+−=与两坐标轴的交点分别为,AB，若圆O上有且只有一个点P满足APBP=，则r的值为__________.16.已知正四棱锥SABCD−的所有棱长都为1，点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截

面多边形Γ，则Γ的边数至多为__________，Γ的面积的最大值为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在①124,,SSS成等比数列，②4222aa=+，③8472SSS=+−这三个条件中

任选两个，补充在下面问题中，并完成解答已知数列na是公差不为0的等差数列，其前n项和为nS，且满足__________，__________.（1）求na的通项公式；（2）求12233411111nnaaaaaaaa

+++++注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分18.（12分）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足

球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球

射门.已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.附：()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.（12分）在ABC

中，,,ABC的对边分别为(),,,cos2cos2cosabcaBaCcbA−=−（1）若3ca=，求cosB的值；（2）若1,bBAC=的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围.20.（12分）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕

，将ACD折至APD的位置，使得PBAB⊥.（1）证明：PB⊥平面ABD；（2）若4,2ADPBBD===，求二面角BPAD−−的正弦值.21.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于,PQ两点.当PQx⊥轴时，10,PA

PAQ=的面积为3.（1）求C的方程；（2）证明：以PQ为直径的圆经过定点.22.（12分）已知函数()1exxfxa−=和()lnaxgxx+=有相同的最大值.（1）求实数a；（2）设直线yb=与两条曲线()yfx=和()ygx=共有四个不同的交点，其横坐标分别为(

)12341234,,,xxxxxxxx，证明：1423xxxx=.2023届高三第一次调研测试数学答案与解析一､选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】{23}ABxx=∣，选A.2.【答案】C【解析】

()2111202aabaab+=+=+−=，选C.3.【答案】B【解析】1121i,,zzz=−对应的点关于xy=对称，21iz=−+，1222i22zz−=−=，选B4.【答案】D【解析】()()2221212,,acSRacSRbacSRSR+=+−=+=−=++，()(

)()()1212,22bSRSRbSRSR=++=++，选D.5.【答案】B【解析】313313sincoscos,sincos225225−+=+=，2397sin,cos2cos212sin12,653662525

+=+=+=−+=−=选B.6.【答案】D【解析】乙､丙一定都正确，则,(1)(1)(2)mPXmPXmPXm=+=−−，甲正确，丁错，选D.7.【答案】A【解析】()21fx+为偶函数，则()fx关于1x=对称，()2sin36fxx

=+关于1x=对称，()()()22sin2sin23636fxfxxx++=++++52sinsin3636xx=+++

152512sincoscossinsincoscossin2cos363636363xx=+++=.()()()()112sin2cos,12323fxxxfxfxfx+=+=+=++，即()12sin36

fxx=+满足条件，()182sin616f=+=.8.【答案】D【解析】设切点()()()00000,1e,e1ee,exxxxxxxyxxkx−=−+−=−=−，()()000001eexxyxxxx−−=−−

过()()()00000,0,1ee,xxtxxtx−−=−−()()22000000001,1,110xxtxxtxxxtx−=−−−=−+−++=有两个不相等实根12,xx，其中212121,1,Δ(1)40,1xxxxttt=+=+=+−或3t−()()()()1212

11212121211e1e1e,xxxxtyyxxxxxxt+++=−−=−++=−令()()11e,1tgttt+=−或()13,ettgtt+=−−，3t−时，()()()()20,,034egtgtgtg−−=1t时，()()()()0,,

10gtgtgtg=，综上：()()212,00,4eyy−−，选D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】ABD【解析】111,ADBCAD∥平面11,BO

CBC平面11,BOCAD∥平面1,ABOC对11,,,BDCOBDCCCDCCCBD⊥⊥=⊥平面1,BCOC对1CC⊥平面1,ABCDCO与平面ABCD所成角为112,tan12COCCOC=，145,CCOC错.11112212323

CBOCCBOCVV−−===，D对.选ABD10.【答案】ACD【解析】()()52,,2,sin22632TTfxx=−=====+，2sin1,,A336f

=+==−对，B错.()sin2,2,,66122kfxxxkxk=−−==+Z0k=时，()fx关于,012对称，C对.222,,26263kxkkxkk−+−+−++Z，(

)fx在54,,63而()554,,,463fx在5,,4D对，选ACD.11.【答案】AC【解析】()1,A3PA=对.,AB可同时发生，即“即第一次

取红球，第二次取黄球”，,AB不互斥，B错.在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为1,2C对.()()()()()21111110,,,,3233326PBPABPABPAPBAB=+===不独立，D错，选AC.12.【答案】BCD【解析】22

20121201111:,,,,,,,44422xxxAxBxCxyxkx==，()211111:42xlyxxx−=−，即2111124yxxx=−222211:24lyxxx=−，212112122211242,1

1244xxyxxxxxxyxxxy+=−==−=，即1232xxx+=时，22121121221212,,244244xxxxxxxxxxDADBxx++=−−−−()()1122211221,,2424xxxx

xxxxxx−−−−=()()()()221212121212441616xxxxxxxxxx−−−=−−=−+不一定为0,A错.222222121212111,441644xxx

xxxAFBF=++=+++()2222221221211221212211444162xxxxxxxxxxxxDF+++=+−=+−+222212121,C1644xxxxAFBF=+++=对101020201212,,,,,,242424xx

xxxxxxxxxxDPQ+++2222011011004,244xxxxxxxxAP−+−−=+=222200202004,244xxxxxxxxCQ−+−−=+=22221001

01004244xxxxxxxxPC−+−−=+=()222021201204244xxxxxxxxPD−−+−=+=,DAPCQPCPD=对三､填空题：本题共4小题

，每小题5分，共20分.13.【答案】4【解析】()()()2221log221log43f−=+−−=+=，()()()31223224fff−−====14.【答案】12nna=−【解析】可构造等比数列，10nnaa+，则公比

为负数，1,1nnaaq+，q取11,22nna−=−15.【答案】12【解析】()()3,0,0,1,,ABPAPBP=在AB的垂直平分线31yx=−上，P在圆222:Oxyr+=满足条件的P有且

仅有一个，直线与圆相切，12r=16.【答案】5；23【解析】方法一：Γ的边数至多为5，延长,EFCD交于点J，延长,EICB交于点K，连接JK分别与,ADAB交于,GH，连接,FGHI得截面五边形E

FGHI设(),2,3,22,12,312SExSFxEFxCJxJDxDGJFx====−=−==−，()()()222221,212,12,JKxxJGHKxFGx=−=−==−=−222,JGFGJFJGGF+=⊥()()Δ1212122JGFJHKSxxS

=−−=，而()()31,221EJxEKJKx=−==−，22Δ122(1)2(1)2EJKSxx=−=−，显然五边形时截面面积最大，222(1)2(12)Sxx=−−−截面五边形()24212322,1233xxx−=−+==−时

取“=”，Γ面积的最大值为23.应填：25;3方法二：取SC中点,,,FBFSCDFSCSC⊥⊥⊥平面BDF.作平面与BDF平行，如图至多为五边形.令3,,2SEEPBFSPSBSF=====

，1,1,1,2PBBQPQNQMPBD=−=−=−===33212244cos,sin.3333222DFBDFB+−==−=213322222234EMPS==MN与NQ的

夹角为SA与BD夹角，而SA与BD垂直，()()222321,212244PMNQSS=−=−+=−+，23=时，S取最大值23.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演

算步骤.17.【解析】（1）设na公差为d，若选①②，则()()()2214211114211462222322SSSaadaddaaaadad=+=+==++=++()111762,2,4,2

4142naaadann=+===+−=−.若选①③或②③同理可得42nan=−（2）()()()()1111111142424212182121nnaannnnnn+===−−+−+−+122311111

11111183352121nnaaaaaann++++=−+−++−−+()111821421nnn=−=++.18.【解析】（1）22列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合

计9011020022200(60704030)18.18210.828,10010090110K−=有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关（2）3人进球总次数的所有可能取值为0,1,2,3()()22121112111150,1C321833223

18PP=====+=()()22122112142122C,3332329329PP==+====的分布列如下：0123P1185184929的数学期望()542

11:12318996E=++=.19.【解析】（1）()cos2cos2cosaBaCcbA−=−，()sincos2sincos2sinsincosABACCBA−=−sincoscossin2sincos2cossinABABACAC+=+()

()sin2sinABAC+=+3sin2sin2,32aCBcbcab====，222222331334cos22423aaaacbBacaa+−+−===.（2）由（1）知2,1,2cbbc===，设BA

D=，1112sin22sin1sin222ABCSADAD==+44cos,0,,0,323ADAD=20.【解析】（1）证明：,,,PD

ADADBDPDBDDAD⊥⊥=⊥平面,PBDADPB⊥，又,,PBABADAB⊥平面,,ABDADABAPB=⊥平面ABD（2）如图建系，则()()()()0,2,0,0,2,4,4,0,0,0,0,0BPAD，()()(

)0,0,4,4,2,4,4,0,0BPPADA==−−=，设平面BPA与平面PAD的一个法向量分别为()()11112222,,,,,nxyznxyz==，()11111110401,2,0,42400nBPznxyz

nPA===−−==()2222222042400,2,1,400nPAxyznxnDA=−−==−==设二面角BPAD−−平面角为，1212443cos,sin5555nnnn====.21.【解析】（

1）当PQx⊥轴时，222,bbPQPFaa==，()222222223()()1011,31232bbcaaaacabbcabcaa=+−==−===+−=双曲线C的方程为：2213yx−=.（2）方法一：设PQ方程为()()112

22,,,,xmyPxyQxy=−，()()222222223443311290,33xmymymyymymyxy=−−+−=−−+=−=以PQ为直径的圆的方程为()()()()12120xxxxyyyy−−+−−=()()22121212120,xxxxxxyyyyyy−+++−+

+=由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令0y=()21212120xxxxxxyy−+++=，而()2121222124443131mxxmyymm+=+−=−=−−，()()()2121212122224xxmymymyymyy=−−=−++22222912

3424313131mmmmmmm−−=−+=−−−，()2222222243490314530313131mxxmxxmmmm−−−++=−−+−=−−−()()22313510mxmx−+−−

=对mR恒成立，1x=.以PQ为直径的圆经过定点()1,0.方法二：设PQ方程为()()11222,,,,xmyPxyQxy=−，()22222311290,33xmymymyxy=−−−+=−=由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴

上的定点.设以PQ为直径的圆过(),0Et，()()()21212121212000EPEQxtxtyyxxtxxtyy=−−+=−+++=，而()()()2121212122224xxmymymyymyy=−−=−

++222229123424313131mmmmmmm−−=−+=−−−，()2121222124443131mxxmyymm+=+−=−=−−2222234490313131mttmmm−−−++=−−−，()222314530mttm−−+−=，即()

()22313510mtmt−+−−=对mR恒成立，1t=，即以PQ为直径的圆经过定点()1,022.【解析】（1）()()112111ee11eexxxxxxfxaa−−−−−−==，令()01fxx==.()fx有最大值，0a且()fx在(

)0,1上();1,+上，()max1()1fxfa==.1a=时，()221lnlnaxxgxxx−−−==，当01x时，()()0,gxgx；当1x时，()()0,gxgx，()max1(

)1,1gxgaaaa====（2）方法：由()10exxfxbb−=−=，由()1ln0xgxbbx+=−=，令()()1,exxFxbFx−=−在()0,1上；()1,+上，()Fx至多两个零点令()()1ln,xGxbGxx+=

−在()0,1上；()1,+上；()Gx至多两个零点.令()()11ln0exxxFxGxx−+=−=，当10,ex时，11ln0exxxx−+−；当()1,x+时，由lnlnelneeeexexxxxx

==且lne1xx，()exxx=在()1,+上，()()lnexx方程无解.当1,1ex时，由()1lne,exxxxx=在(0,1上，()()lnexx方程有唯一解1x=当

01b时，注意到(0)0,(1)10FbFb=−=−，12111221201e1bbbFbbbb++++=−−+()Fx在()0,1和11,2b+上各有一

个零点13,xx()(),fxgx示意图如下注意到2140,(1)10,0GbGbGeb=−=−，()Gt在1,1e和241,b上各有一个零点24,xx.且由()

()11212122121ln22lnelnelneeeeexxexxxxxxfxgxxx−=====，而()12,lne0,1xx，而()exxx=在()0,1上，由()()1112122lnelneexxxxxx−===，由()()3343344341ln41lnlnee

exxxxxxefxgxx−+===，而34,e1xx而()exxx=在()1,+上，由()()3134344lneln,exxxxxx−===，31142324xxxxxxxx==

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