【文档说明】四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高一下学期期末模拟考试数学试题含答案.docx，共(9)页，474.748 KB，由小赞的店铺上传

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仁寿一中南校区高2020级第二学期期末模拟考试数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过点(1,3)−且与直线230xy−+=平行的直线方程是（）A．2

50xy−−=B．270xy−+=C．210xy+−=D．250xy+−=【答案】B2.若在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，6026,4Aab===，则B=（）A．45B．135C．45或135D．以上都不对【答案】A3.若首项为1的等比

数列{an}的前3项和为3，则公比q为（）A．－2B．1C．－2或1D．2或－1【答案】C4．已知向量a与b夹角为3，且1a=，23ab−=，则b=（）A．3B．2C．1D．32【答案】C5.设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若coscossin

bCcBaA+=，则ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B6.若实数x，y满足约束条件0,30,20,xxyxy+−−，则()221zxy=+−的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【答案】C7.直线20xay++=与

直线220axya++=平行，则实数a的值为（）A．1或-1B．0或-1C．-1D．1【答案】C8.设nS是某个等差数列的前n项和，若201920202020SS==，则2021S=（）A．22020

2019−B．220202019+C．120201010−D．120201010+【答案】A9.已知正数,ab满足2ab+=，则411abab+++的最大值是（）A．92B．114C．1D．73【答案】B10.若abR，且ab¹，下列四个式子：①22

2aabb+；②553223ababab++；③222(1)abab+−−；④2abba+；其中一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A11.已知数列na的各项均为正数，12a=，114nnnnaaaa++−=+，若数列11nnaa+

+的前n项和为4，则n为（）A．81B．80C．64D．63【答案】B12.锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2225abc+=，则cosC的取值范围是（）A．(1623，）B．(112，）C．[4653，)D

．[45，1)【答案】C【详解】由题意得2222222224()4245221010co5sabababcabCababababab++−+−+====，（当且仅当ab=时取等号），由于三角形是锐角三角形，所以222222222abcbca

acb+++，所以222222222222555abababbaabab++++++，解得2223,32ba所以6632ba，222224()25cos()225ababcbaCa

babab++−===+，设6621,(,),()()325bxxfxxax==+，因为函数()fx在6(,1)3单调递减，在6(1,)2上单调递增，所以函数()fx无限接近66(),()32ff中的较大

者，所以666()()().233fxff→==所以cosC的取值范围是46,53，故选：C．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。请将正确答案直接答在答题卡相应的位置上。13.无论m为何值，直线(31)

10mxmy++−=必过定点坐标为__【答案】()3,1−14.已知数列na中，12a=，()*11,1nnanNa+=−+则2021S=___________.【答案】683615.设P为ABC所在平面上一点，且

满足2(0)PAPCmABm+=，若ABP△的面积为2，则ABC面积为_______________．【答案】316.已知函数()2fxxaxb=++有两个零点12,xx、且12102xx−，则直线()230axby−+−＝的斜率的取值范围是_________．【答案】3,2+

三、解答题：本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量(2,1),(3,1)ab==−．（1）求向量a与b的夹角；（2）若(3,)()cmmR=，且(2)cab−⊥，求m的值．【答案】（1）4

（2）4m=【详解】解：（1）由()2,1a=r，()3,1b=−，则()23115ab=+−=，由题得2215a=+=，()223110b=+−=，设向量a与b的夹角为，则52cos2510abab

===，由0,，所以4=.即向量a与b的夹角为4.（2）由()2,1a=r，()3,1b=−，所以()24,3ab−=−，又()2−⊥abc，所以()20abc−=，又()3,cm=，所以()4330m−+=，解得4m=.18.如图，

在四边形ABCD中，145,30,1,2,cos4ABDADBBCDCBCD=====.求：（1）BD的长度；（2）三角形ABD的面积.【答案】（1）2BD=；（2）31−.【详解】解：（1）在BCD△中，

由余弦定理可得：2222cos14221144BDBCCDBCCDBCD=+−=+−=，则2BD=；（2）在ABD△中，1803045105BAD=−−=，()2236sinsin105sin45602224122BAD+==

+=+=，由正弦定理可得sinsinADBDABDBAD=，所以()2sin452231sin1022564BDAD===−+，则()1sin2312sin3011232ABDSADBDADB==−=−.19.已知直线1l经过点(0,1)，直线2l过点(5,0)，且

12ll//．（1）若1l与2l之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．（2）若1l与2l距离为5，求两直线的方程；【详解】（1）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大，此时斜率5k=，最大距离为26，1:51

0lxy−+=，2:5250lxy−−=．（2）①若1l，2l的斜率都存在时，设直线的斜率为k，由斜截式得1l的方程1ykx=+，即10kxy−+=．由点斜式可得2l的方程(5)ykx=−，即50kxyk−−=．在直线1l上取点(0,1)A，则点A到直线2l的

距离2|15|51kdk+==+，22251012525kkk++=+，125k=．1:12550lxy−+=，2:125600lxy−−=．②若1l、2l的斜率不存在，则1l的方程为0x=，2l的方程为5x=，它们之间的距离为5．同样满足条件．20.已知数列na的前n项和为nS，且满

足11a=，12nnSna+=，*nN.（1）求na的通项公式；（2）设数列nb满足11b=，12nnnbb+=，*nN，按照如下规律构造新数列nc：123456,,,,,,ababab，求nc的前2n项和.【答案】（1）nan=，*nN；（2）数列

nc的前2n项和为1222++−nn.【详解】（1）由12nnSna+=，12(1)(2)nnSnan−=−，得12(1)nnnanana+=−−，所以1(2)1nnaannn+=+.因为122S

a=，所以22a=，所以212naan==，(2)nann=.又当1n=时，11a=，适合上式.所以nan=，*nN.（2）因为12nnnbb+=，1122nnnbb+++=，所以*22()nnbnb+=N，又122bb=，所以22b=.所以数列nb的偶数项构成以22b=为首项､2

为公比的等比数列.故数列nc的前2n项的和()()21321242nnnTaaabbb−=+++++++，()122212(121)22212nnnnnTn+−+−=+=+−−所以数列nc的前2n项和为1222++−nn.21.在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作

一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为8厘米的材料弯折而成，BC边的长为2t厘米(04t)；曲线AOD是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为23xy=−，记窗户的高(点O到BC边的

距离)为()ft.（1）求函数()ft的解析式，并求要使得窗户的高最小，BC边应设计成多少厘米？（2）要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，BC边应设计成多少厘米？【答案】（1）()()24043tfttt=−+，BC应设计为3厘米；（2）43厘米.【详解】解：（1）因为抛物线

方程为23xy=−，所以2,3tDt−，又因为8242tABDCt−===−，所以点O到AD的距离为23t，所以点O到BC的距离为243tt+−，即()()24043tfttt=−+，因为13(04)1223t

t−==−，所以当32t=时有最小值，()2min3333313244232424tff=−+=−+==，此时32t=，32232BCt===，故BC应设计为3厘米.（2）窗户的高与BC长的比值为241213()(04)262ttgttt

tt−+==+−，因为1211212312626232tttt+−−=−，当且仅当26tt=，即23t=时取等号，所以要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，243BCt==厘米.22.已知数列na

的前n项和为nS，满足()12302,nnaannN−++=且11a=，数列{}nc的前n项为nT，满足*21()41ncnNn=−（Ⅰ）设1nnba=+，求证：数列nb为等比数列；（Ⅱ）求nT的通项公式；（Ⅲ）若()213

4nnnSTnn++对任意的*nN恒成立，求实数的最大值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）21nnTn=+（Ⅲ）23【详解】解：（Ⅰ）由1230nnaa−++=得11322nnaa−=−−，变形为：()11112nnaa−+=−+

，1nnba=+Q，112nnbb−=−且1112ba=+=∴数列nb是以首项为2，公比为12−的等比数列（Ⅱ）由()()21111141212122121ncnnnnn===−−+−−+12111111112335212121nnnnTccccnnn−=++++=

−+−++−=−++21nnTn=+；（Ⅲ）由（Ⅰ）知数列nb是以首项为2，公比为12−的等比数列∴112()2nnb−=−，于是112()21nna−=−−∴121()2112nnSn−−=−−−=4

11()32nn−−−，由21nnTn=+得2144nnTn+=从而4131()432n−−，11()12n−−∴111()2n−−当n为偶数时，1112n−

恒成立，而11110112n=−−，∴1当n为奇数时，1112n+恒成立，而1121311122n=++，∴23综上所述，23，即的最大值为23