【文档说明】重庆市西北狼教育联盟2024-2025学年高一上学期开学学业调研数学试题 Word版含解析.docx，共(27)页，2.925 MB，由小赞的店铺上传

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西北狼教育联盟2024年秋季开学学业调研高一数学试题（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答：2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；4.考试结束，

由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.参考公式：抛物线()20yaxbxca=++的顶点坐标为24,24bacbaa−−，对称轴为2bxa=−.一､选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共4

0分）在每个小题的下面，都给出了代号为A､B､C､D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1.下列四个数中，最小的数是（）A.5B.5−C.15−D.15【答案】B【解析】【分析】根据有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，可得答案．【详解】

解：115555−−，故选：B．2.下列图形中属于轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由轴对称图形的定义，逐一判断，即可得到结果.【详解】A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.故选：D3.若反比例函数2kyx+=的图象经过点()2,2−，则k的值是（）A.2B.4C.4−D.6

−【答案】D【解析】【分析】把点(2,2)−代入反比例函数2kyx+=中，可求得k的值．【详解】反比例函数2kyx+=的图象经过点(2,2)−，22(2)k+=−，解得6k=−，故选：D．4.如图，两条平行线,ab被第三条直线c所截，若140=

，则2的度数为（）A.40B.50C.60oD.70【答案】A【解析】【分析】根据两条平行线被第三条直线所截同位角相等，对顶角相等即可判断【详解】根据两条平行线,ab被第三条直线c所截同位角相等，所以13

=，再根据对等角相等可知23=，所以2140==.故选：A5.如图，ABCV与DEF关于点O位似，位似比为3：4，已知3AC=，则DF的长等于（）A.3B.163C.283D.4【答案】D【解析】【分析】直接利用位似比计算即可；【详解】因为ABCV与DEF关于点O位似，

位似比为3：4，所以34ACDF=，又3AC=，所以4DF=，故选：D.6.如图是用◆摆放而成的图案，其中第①个图中有2个◆，第②个图中有5个◆，第③个图中有10个◆，第④个图中有17个◆，……按此规律排列下去，则第⑦个图案

中◆的个数为（）A.35B.48C.50D.64【答案】C【解析】【分析】设第n个图中有na个◆，利用题设所给条件，找出后项与前项的规律121(2,N)nnaannn−=+−，即可求出结果.【详解】设第n个图中有na个◆，由题有12a=，2153aa==+，32105aa==+，43177

aa==+，按此规律有121(2,N)nnaannn−=+−，所以54926aa=+=，651137aa=+=，761350aa=+=，故选：C.7.估计()3126+的值在（）A.9和10之间B.10和11之间C.11和12之间D.12和13之间【答案】B【解析】【分析】根据二次根

式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法解答即可得.【详解】()31263618632+=+=+，∵161825，∴4325，∴4632656+++，即1032611+，∴()3126+的值在10和11之间．故选：B．8.如图，在RtABC△中，9

0,30ABCC==，以点B为圆心，BA为半径画弧与BC交于点E，以点E为圆心，以EB为半径画弧与AE交于点G.若2AC=，则图中阴影部分面积为（）A.π344−B.π3124+C.3π412−D.π364+【答案】C【解析】【分析】连接GE，证明出EBG为等边三角形

，再利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可.【详解】如图，连接GE，在RtACB中，90,30ACBC==，2AC=，112ABAC==，1ABBEEG===，EBG是等边三角形，60BEGGBE==，2290π160π1133π221136036022412

BEGABEBEGSSSS=−+=−+=−阴扇形扇形.故选：C.9.如图，在正方形ABCD中，点,EF分别是AB和BC边的中点，连接,DEAF交于点P，连接CP和DF，若BCP=，则CPF的度数为（）A.452

−B.452+C.90−D.902−o【答案】A【解析】【分析】延长,AFDC交于G，证明()SASDAEABF≌，可得90APEDPG==，再证()ASAABFGCF≌，可知CP为RtDPGV斜边上的中线，可得CPFG=，结合180CPFGP

CG++=运算求解即可.详解】延长,AFDC交于G，如图：【因为四边形ABCD是正方形，则,90ABADBCCDDAEB=====，又因为,EF是,ABBC中点，则1122AEABBCBF===，可得()SASDAEABF≌

，则ADEBAF=，因为90ADEAED+=，即90BAFAED+=，可得90APEDPG==，且90,,BGCFBFCFAFBGFC====，可得()ASAABFGCF≌，则ABCG=，即CGCD=，可知CP为RtDPGV斜边上的中

线，则12CPDGCG==，可得CPFG=，因为180CPFGPCG++=，则()90180CPFCPF+++=，所以452CPF=−.故选：A．10.已知两个整式,AabBab=+=

−，用整式A与整式B求和后得到整式12Ma=，称为第一次操作；将第一次操作的结果1M加上2AB+结果记为2M，称为第二次操作；将第二次操作的结果2M加上23AB+，结果记为3M，称为第三次操作；将第三次操作

的结果3M，加上34AB+，结果记为4M，称为第四次操作，…，以此类推.以下四个说法正确的个数是（）①当2ab=时，则第5次操作的结果524Ma=；②当25ba=时，则有1015MM=；③123456010MM

MMMab++++=−；④当4,2024ab==时，2320242024nMnn−+.A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别求得12345,,,,MMMMM，得到第n次操作为2(1)(1)nMnanb=+−−，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】对

于①中，由1212,222()5MaMMABaababab==++=+++−=−，322352()3()102MMABabababab=++=−+++−=−，43341023()4()173MMABabababab=++=−+++−=−，54451734()5()264MMABab

ababab=++=−+++−=−，当2ab=时，可得526424Maba=−=，所以①正确；对于②中，由①归纳可得，第n次操作的结果为2(1)(1)nMnanb=+−−，所以21015(101)(101)10192,2614MbabaMab=+−−=−=−，当25ba=时，可得10152

261424510192512,124MaaMaaaa=−=−=−=−，所以1015MM=，所以②正确；对于③中，由123452,5,102,173,264MaMabMabMabMab==−=−=−=−，可得123

456010MMMMMab++++=−，所以③正确；对于④中，当4,2024ab==时，可得2(1)4(1)2024nMnn=+−−，所以224420242024420242028nMnnnn=+−+=−+，则222()420242028()320242024320

242024nnMnnnnn−−+−+=−+−240n=+，所以2320242024nMnn−+，所以④正确.故选：D.二､填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上11.计算：12

1(3π)3−−+=______.【答案】2π6π12−+【解析】【分析】利用完全平方公式和一个数的1−次幂即为该数字的倒数，即可求解.【详解】原式=296ππ3−++=2π6π12−+.故答案为：2π6π12−+12.如果一个多边形的每一个外角都是45，那么这个多边

形的边数为__________.【答案】8【解析】【分析】n边形外角和360，已知外角度数相等，则多边形为正多边形，外角度数和除以每一个角度数即可得到边的数量.【详解】360458=故答案为：813.重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游

，两人分别从,,,ABCD四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为______.【答案】14##0.25【解析】【分析】利用古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】甲、乙选择的景点可能为：,,,,,,,,,,,

,,,,AAABACADBABBBCBDCACBCCCDDADBDCDD共16种可能；甲、乙两人恰好选择同一景点的可能为,,,AABBCCDD共4种可能；因此甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为41164=.故答案为：

14.14.重庆在低空经济领域实现了新的突破，某低空飞行航线今年第一季度安全运行了100架次，预计第三季度安全运行将达到400架次.该低空飞行航线这两季度安全运行架次的平均增长率是______.【答案】100%##1【解析】【分析】设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率

为x，则第二季度低空飞行航线安全运行了()1001x+架次，第三季度低空飞行航线安全运行了()21001x+架次，据此列出方程运算即可．【详解】设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，由题意得，()210

01400x+=，解得𝑥=1（舍负），所以第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为100%.故答案为：100%．15.如图，在ABCV中，点,DE分别是,BCAC的中点，AD与BE相交于点F，若6BF=，则BE的长是__________.【答案】9【

解析】【分析】根据中位线、平行线的知识求得正确答案.【详解】由于点,DE分别是,BCAC的中点，所以1//,2DEABDEAB=,所以11,322EFEFBFBF===，所以639BEBFEF=+=+=.故答案为：916.若关于x的一元一次不等式组384312xxa−−至少有3个

整数解，且关于y的分式方程84211ayy++=−−有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值的和是______.【答案】7−【解析】【分析】先化简一元一次不等式组和分式方程，根据题中限制条件求出参数a的值即得

结果.【详解】化简不等式组384312xxa−−可得：423xax+，即243ax+，由于至少有3个整数解，可得：223a+，解得：4a.化简分式方程可得：32ay=+，由于分式

方程有非负整数解，可得：302312aa++，解得：6a−且4a−.综上，64a−且4a−.故满足条件整数a的值有：6−，5−，3−，2−，1−，0，1，2，3，4共10个，和为()()()()()65321012347−+−+−+−+−+

++++=−.共答案为：7−.17.如图，已知45P=，角的一边与O相切于A点，另一边交O于BC､两点，ODAC⊥于D，O的半径为10,22AC=，则OD=__________，AB=__________.【答案】①.22②.6【解析】【分析】根据条

件，利用垂径定理，即可求出OD，作//CMPA交O于M，连接,,,AMBMOAOB，作MEAB⊥于点E，利用几何关系求出,BEAE，即可求解.【详解】因为O的半径为10,22rAC==，ODAC⊥，所以221()102222ODrAC=−=−=.如图，作//CMPA交O于M，连接,

,,AMBMOAOB，作MEAB⊥于点E，则45BAMBCMP===，所以AEM△为等腰直角三角形，的因为AP为切线，所以OACM⊥，得到22ACAM==，所以2MEAE==，由45BCM=，知

90MOB=，得到225BMOB==，所以222044BEBMME=−=−=，得到426AB=+=，故答案为：22，6.18.若一个四位自然数M，它的各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“启明数”.把启明数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位

数M.规定()99MMFM−=.例如：1453,145,538,1453M=+=+=是“启明数”.则()5314145314533999F−==.若“启明数”2335P=，则()FP=______.已知四位自然数Qabcd=是“启明数”，（4,7bd，且a

bcd､､､均为正整数），若()FQ恰好能被7整除，则满足条件的数Q的最大值是______.【答案】①.12②.3253【解析】【分析】根据题目的对启明数的定义求解第一空.根据题目对启明数的定义，求出()FQ具体的表达式，然后根据题目的4,7bd

，结合能被7整除的数字的特点求出数Q的最大值.【详解】第一空：2335P=，'3523P=则()3523233512.99FP−==第二空：()()11000100101000100109999cdababcdFQcdababcd−==++

+−−−−9909999099101010().99cdabcdabcadb+−−==+−−=−+−因为4,7bd，且abcd､､､均为正整数，所以当()FQ恰好能被7整除时，此时为了使Q取最大值，又5,ab+=8.cd+=当4a=时，1,b=5,3,cd==不成立，

当3,2,ab==5,3,cd==()21.FQ=可以被7整除.故Q为：3253.故答案为：12，3253.三､解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅

助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19.计算：（1）()2(2)4mnmmn+−+；（2）222442xxxxxx−+++.【答案】（1）24n（2）12x+【解析】【分析】（1）根据完全平方式的展开式计算即可

；（2）根据完全平方式逆运用计算即可.【小问1详解】()22222(2)44444mnmmnmmnnmmnn+−+=++−−=.【小问2详解】222442xxxxxx−+++()2222222xxxxxx+−

=++()22222xxxx+=+12x=+.20.随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注.某4S店为了解车主对甲､乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲､乙两款车中各随机抽取10名车主

对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理､描述和分析（评分用x表示，共分为三组：.90100,.8090,.7080AxBxCx），下面给出了部分信息：甲款电动汽车10名车主的评分是：100,95,85,85,80,80,80,80,75,70.乙款电动汽车

10名车主的评分在B组的数据是：85,85,85,81,80.抽取的甲､乙两款电动汽车车主的评分统计表车型平均数中位数众数甲8380a乙83b85抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a=_

_________，b=__________，m=__________；（2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该4S店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人.若评分不低于90分为“非常满意”，估计

这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？【答案】（1）80，82.5，30（2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由见解析（3）200人【解析】【分析】（1）从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，得出众数；乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占

，所以A组有两个最大的数据，同时B组的数据有5个是：85，85，85，80，80，所以最中间的数为85，80，C组数据有3个；（2）从平均数、中位数、众数的角度去分析即可；（3）甲款电动汽车的车主“非常满意”的占比为20%，乙款电动汽车的

车主“非常满意”的占比为20%，求出对甲、乙“非常满意”的人数即可．【小问1详解】从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，80出现的次数最多，故众数为80，即80a=，乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占20%，B组占5100%50%10=，C组占120%50%30%−−=，所以30m=，

所以A组有两个最大的数据，同时B组的数据有5个是：85，85，85，80，80，所以最中间的数为85，80，所以中位数为858082.52+=，即82.5b=，故答案为：80，82.5，30;【小问2详解】乙款电动汽车的电池

续航能力的满意度更好，理由如下：甲款和乙款的平均数相等，但乙款的众数和中位数都比甲款的大，所以乙款的满意度更好；【小问3详解】甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人，占比为20%，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占

比为20%，所以满足题意的总人数为：40020%60020%200+=（人）．21.小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内

角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形.（1）用直尺和圆规，作射线CF平分BCD交AD于点F；（2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，BE平分ABC交AD于点,ECF平分BCD交AD于点F，且BECF=.求

证：平行四边形ABCD是矩形.证明：,BECF分别平分,ABCBCD，,.ABECBEBCFDCF==四边形ABCD为平行四边形，AD∥,BCAB∥,CDAB=__________①，,AEBCBEDFCBCF==，,AEBABEDFC==____

______②，,ABAEDFDC==，AEDF=，在ABE和DCF中ABDCAEDFBECF===()SSSABEDCF,BAECDF\??AB∥CD180,BAECDF+=__________③.

平行四边形ABCD是矩形.小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立.因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻

内角的顶点到对应交点的距离相等，则__________④.【答案】（1）答案见解析（2）①CD；②DCF；③90BAECDF==；④平行四边形是矩形【解析】【分析】（1）D为圆心，CD为半径，通过正方形对角线即可求解；（2）通过证明ABEDCF.得到,BAECDF??再结合1

80,BAECDF+=即可求证.【小问1详解】以D为圆心，CD为半径画圆，交AD于F，连接CF即可.【小问2详解】证明：,BECF分别平分,ABCBCD，,.ABECBEBCFDCF==四边形ABCD

为平行四边形，AD∥,BCAB∥,CDAB=CD，,AEBCBEDFCBCF==，,AEBABEDFCDCF==，,ABAEDFDC==，AEDF=，在ABE和DCF中ABDCAEDFBECF===()SSSAB

EDCF,BAECDF\??AB∥CD180,BAECDF+=90,BAECDF°??.平行四边形ABCD是矩形.小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立.因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角

的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则平行四边形是矩形.22.某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成.为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天

，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务.假设每名工人的工作效率相同.（1）前3天应先安排多少名工人生产？（2）增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个

B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？【答案】（1）15（2）安排生产A型配件的工人13名，生产B型配件的工人8名【解析】【分析】（

1）设前3天应先安排x名工人生产，每名工人的工作效率为a，根据这批订单的生产任务量列出关于x的一元一次方程求解即可；（2）设安排y名工人生产A型配件，安排()156y+−名工人生产B型配件，根据每天生产A型配件和B

型配件刚好配套，列一元一次方程，求解即可.【小问1详解】设前3天应先安排x名工人生产，每名工人的工作效率为a，根据题意得()150365aaxxa=++，即()356150xx++=，解得15x=，故前3天应先安排15名工人生产；【小问2详

解】设应安排y名工人生产A型配件，则安排()156y+−名工人生产B型配件，由题意得()65015660032yy+−=，解得13y=，则156138+−=，所以应安排生产A型配件的工人13名，生产B型配件的工人8名.23.如图1，RtABC△中，90,8,6.

ACBACBCE===在线段AC上，且3CE=.动点P从点E出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线EAB→→运动.动点Q从点E出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿折线ECB→→运动，点,PQ同时从点E出发，当点P运动到

点B时，两点同时停止运动.设点P的运动时间为x秒，点,PQ的距离为1y.（1）请直接写出1y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（2）若函数()280yxx=，请在图2的平面直角坐标系中分别画出函数12,y

y的图象，并根据图象写出函数1y的一条性质；（3）根据函数图象，直接估计当12yy=时x取值（结果保留1位小数，误差不超过0.2）.【答案】（1）14,02212,26xxyxx=−+（2）答案见解析（3）1.4x或5.2x

【解析】【分析】（1）根据题意，分两种情况分析当02x时，当26x时，写出分段函数解析式即可；（2）描点画出两个函数图象即可；（3）根据两个函数图象的交点，直接估计当12yy=时x的取值即可．【小问1详解】∵RtABC△中，90ACB=，8A

C=，6BC=，∴226810AB=+=，∵3CE=，则5AE=，∴5322.51.5==，即当点P运动到点A时，点Q运动到点C，当02x时，12.51.54yxxx=+=，当26x时，1052.5152.5BPxx=+−=−，631.591.5BQxx=+−=

−，152.56104BPxxAB−−==，91.5664BQxxBC−−==，∴BPBQABBC=，的∵BB=，∴ABCPBQ△∽△，∴PQBQACBC=，即191.56864yxx−−==，整理得：1212yx=−+，综上分析，1y关于x的函数表达式为1

4,02212,26xxyxx=−+；【小问2详解】函数1y的性质：当02x时，y随x增大而增大，当26x时，y随x的增大而减小；【小问3详解】由图象可知，当12yy=时，1.4x或5.2x.2

4.六一儿童节快到了，阳光大草坪举行露营活动，如图为草坪的平面示意图.入口在点A，露营基地在点D.经勘测，入口A在点B的正北方向，点C在入口A的南偏东60o方向800m处，且在点B的正东方向，点D在点B的东北方向，点E在点C的北偏东30o方向200m

处，且在点D的正南方向.（参考数据21.41,31.73,62.45）（1）求DE的长度（结果保留根号）；（2）小聪从入口A处进入前往露营基地点D.小聪可以选择鹅卵石步道①ABD−−，步行速度为50米/分，也可以选择塑胶步道②ACED−−−，步行速度为60米/分，请通过计算说明他选择哪一条

步道所用时间较少？请通过计算说明.【答案】（1）()3003100m+（2）塑胶步道②用时较少【解析】【分析】（1）根据题意，分别求得,BCCF，即可得到BF，从而得到DF，再由DEEFEF=−，即可得到结果；（2）根据题意，分别求得步道①，

步道②的长度，然后求得所用时间，比较大小，即可得到结果.【小问1详解】在RtABC△中，因为60BAC=，800mAC=，所以34003m2BCAC==，在RtCEF△中，因为30CEF=200mCE=，所以1100m2CFCE==，1003mEF=，所以()4003100mBFBCC

F=+=+，因为90F=，45DBF=，所以()4003100mDFBF==+，()3003100mDEEFEF=−=+.【小问2详解】因为()()22400310040061002mBDBF

==+=+，1400m2ABAC==，则选择鹅卵石步道①ABD−−的长度为400610024004002.451001.414001521m++=++=，所以选择鹅卵石步道①ABD−−的时间为15215030.42=分，选择塑胶步道②ACED−−−的长度为8002003

0031001619m+++=，所以选择塑胶步道②ACED−−−的时间为16196026.98=分，26.9830.42，所以选择塑胶步道②ACED−−−所用的时间较少.25.在平面直角坐标系中，抛物

线21yaxbx=+−交x轴于点()()3,0,1,0AB−，交y轴于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在直线AC下方的抛物线上有一点D，作DF∥y轴交BC于点F，作DEAC⊥于E，求10DFDE+的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，将抛物线21yaxb

x=+−沿射线CB方向平移2个单位长度得到新抛物线y，在y轴的正半轴上有一点G，在新抛物线y上是否存在点P，使得2GOPBAC=？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）212133yxx=+−（2）2557,6212

D−−；（3）存在，理由见解析；P点的横坐标为25+或25−−【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解；（2）如图，根据直角三角形的三角函数得103DEDH=，设212(,1)33Dttt+−，则22525103()326DFDEDFDHt+=+=−++

，结合二次函数的性质即可求解；（3）根据函数图象的平移变换可得21133yx=−，如图，则34NPON=，设211(,)33Pmm−，则2311433mm=−，解出m即可.【小问1详解】将点(3,0),(1,0)AB−代入21yaxbx=+−，得931010abab−−=+−=

，解得1323ab==，所以抛物线的解析式为212133yxx=+−；【小问2详解】延长FD交AC于点H，由//FDy轴，得DHCACO=，当0x=时，1y=−，即(0,1)C−，1OC=，因为3AO=，所以2210ACOAOC=+=，则3sinsin10DHCACO==

，由DEAC⊥，得310DEDH=，即103DEDH=.设直线AC的解析式为1ykx=−，则310k−−=，解得13k=−，所以直线AC的解析式为113yx=−−；设直线BC的解析式为1ykx=−，则1

0k−=，解得1k=，所以直线BC的解析式为1yx=−.设212(,1)33Dttt+−，则1(,1),(,1)3FttHtt−−−，所以221211113333DFttttt=+−−+=−，2211211(1)3333DHttttt=

−−−+−=−−，所以22211125251033()()333326DFDEDFDHttttt+=+=−+−−=−++，当52t=−时，10DFDE+有最大值256，此时57(,)212D−−；【小问3详解】存在点P，使得2GOPBAC=.理由如下：因为抛物线2121

33yxx=+−沿射线CB方向平移2个单位长度，所以抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，则21133yx=−，在AC上取一点M，使得AMOM=，过O作OQAC⊥于Q，过P作PNy⊥轴于N，所以2OMCOA

M=，又AMOM=，所以AOM为等腰三角形，故31(,)22M−−，则102OM=，在AOC△中，由等面积可得AOCOACQO=，得310QO=，所以22410MQOMOQ=−=，则3tan4OQOMQMQ==，由题设2GOPOACOMQ==，所以3tantan4N

POMQGOPON===.设211(,)33Pmm−且𝑚>0，则2311433mm=−，解得25m=+或25m=−（舍）P点关于y轴对称的点P，则2POGBAC=，此时P的横坐标为25−−.综上，P点的横坐标为25+或25−

−.【点睛】关键点点睛：解答第（3）问关键是通过函数图象的平移变换得出21133yx=−，结合图形，构造等腰三角形AOM，设211(,)33Pmm−，根据3tantan4NPOMQGOPON===建

立方程2311433mm=−，即可求解.26.在ABCV中，D为直线AC上一动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90，得到BE，连接DE与AB相交于点F.的（1）如图1，若D为AC的中点，90,4,29BACACBD===，连接AE，求

线段AE的长；（2）如图2，G是线段BA延长线上一点，D在线段AC上，连接,DGEC，若90BAC，,,ECBGADEDBCDBCGEBF⊥=+=，证明22BCADDC=+；（3）如图3，若ABCV为等边三角形，62AB=，点M为线段AC上一点，且2CMAM=，点P是直线BC上的

动点，连接,,EPMPEM，请直接写出当EPMP+最小时EPM的面积.【答案】（1）34（2）证明见解析（3）923+【解析】【分析】（1）作EGAB⊥，交AB于G，先证明EGBBAD，从而得到3AG=，然后AEG△中用勾股定理求解即可；（2）由旋转

可知BDEV为等腰直角三角形，先证EBC≌BDG，从而可得45ADG=，45ACB=，作BHBC⊥，交CA延长线于H，连接HG，利用平行四边形性质即可证明；（3）作BHAC⊥，交AC于H，则30ABHCBH==，将

BC绕点B逆时针旋转90，先证BGE△≌BCD△，则有BHEG⊥，作点M关于BC的对称点N，连接,PNCN，由对称得EPPMEPPN+=+，从而,,EPN在同一直线时EPMP+最小，利用平面几何知识求出EPM的底和高即可求解面积.【小问1

详解】因为D为AC的中点，90,4,29BACACBD===，所以122ADAC==，由勾股定理得225ABBDAD=−=，作EGAB⊥，交AB于G，如图在由题意可知，90,DBEBEBD==，所以1290,290BEG+=+=

，所以1BEG=，又90EGBBAD==，所以EGB()AASBAD，所以2945,2EGABBGAD==−===，则3AGABBG=−=，由勾股定理得2234AEEGAG=+=；【小问2详解】由旋转可知，BDEV为等腰直角三角形，所以

745,90,EBDBEBD===，因为ECBG⊥，所以390EBF+=，又因为43190EBF+=+=，所以34,12EBFDBC===+，又因为DBCGEBF+=，所以2G=，在EBC和BDG中，34,2,

GBEBD===，所以EBC()AASBDG，所以,BCDGEBCBDG==，则7EBDDBCADEADG+=++，因为ADEDBC=，所以7EBDADG=+，即9045ADG=+，所以45ADG=，又因为56ADEDBC==

+，又276DBC+=+，所以65276++=+，所以52745ACB=+==，作BHBC⊥，交CA延长线于H，连接HG，如图，所以BCHV为等腰直角三角形，所以45,,2BHCBHBC

DGCHBC====，因为45ADG=，所以BHDG∥，所以四边形BDGH是平行四边形，所以AHAD=，即2HDAD=，所以22CHHDCDADDCBC=+=+=；【小问3详解】作BHAC⊥，交AC于H，因为ABCV为等边三角形，所以62ABBCAC===，BH平分ABC，则

30ABHCBH==，将BC绕点B逆时针旋转90，则62BCBG==，90DBECBG==，所以EBGDBC=，所以BGE()SASBCD，所以60BGEBCD==，且60GBHCBGCBH=−=，所以//BHEG，作点M关于BC的对称点N，连接,PNCN，如图，由

对称易知，CMCN=，60BCNACB==，PMPN=，所以EPPMEPPN+=+，当EPMP+最小时，即EPPN+最小，也即,,EPN在同一直线，且NEEG⊥，如图，作BTGE⊥，交GE于T，则60,30BGTTBG==，所以132,362GTBGBT===，因为,,EGBHBHAC

NEEG⊥⊥，所以,BHNPNEAC⊥，所以四边形BQET为矩形，则60NPCACBBPQ===，36EQBT==，即60MPE=，由轴对称可知60CPMNPC==，所以PMC△为等边三角形，则PM

CMCP==，因为2CMAM=，所以22,42PMCMCPBP====，30ABHCBH==，所以1122,3222QPBPCHBC====，得26,36BQBH==，因为,BHNPNEAC⊥，所以QH为NE与AC之间的距离，所以6QH=，即EPM

的高为6，所以3622PEEQPQ=+=+，所以()1362269232EPMS=+=+.