【文档说明】江苏省扬州中学2022-2023学年高二下学期3月月考试题 数学 含解析.docx，共(21)页，1.414 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年度扬州中学高二下3月考试卷数学一、单选题（每小题5分）1．抛物线2:4Cxay=过点()4,4−，则C的准线方程为()A．1y=B．1y=−C．1x=D．=1x−2．若平面内两条平

行线1l：(1)20xay+−+=，2l：210axy++=间的距离为355，则实数=a（）A．2−B．2−或1C．1−D．1−或23．如图，在正方体1111ABCDABCD−，中，点E是11AC的中点，点F在AE上，且12AFEF=，则AF=（）A．11122AAABAD++

B．1111222AAABAD++C．1111266AAABAD++D．1111366AAABAD++4．在等比数列na中，已知1394,256aaa==，则8a等于（）A．128B．64C．64或64−D．128或128−5．在下列条件中，一定能使空间中的四点,,,MABC共面

的是（）A．2OMOAOBOC=−−B．111532OMOAOBOC=++C．20MAMBMC++=D．0OMOAOBOC+++=6．已知函数()fx满足：()01f=，()()'fxfx，则不等式()xfxe的解集为（）A．()

0,+B．(),0−C．()1,+D．(),1−7.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点P为双曲线C在第一象限部分的一点，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，若

→OQ=14→OF2，则双曲线的离心率的范围为（）A.（1,2）B.（1,4）C.（2,2）D.（2,4）8.恰有一个实数x满足x3-ax-1=0成立，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，）B．（-∞，）C．

（，+∞）D．（-∞，）二、多选题（每小题满分5分，漏选得2分，错选得0分）9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b；B．若非零向量a，b，c满足ab⊥，bc⊥

，则有a∥c；C．若OA，OB，OC是空间的一组基底，且111333ODOAOBOC=++，则A，B，C，D四点共面；D．若a，b，c是空间的一组基底，则向量ab+，bc+rr，ca+也是空间一组基底；10．设,,abc→→→

是空间的一个基底，若xab→→→=+，ybc→→→=+，zca→→→=+．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（）A．,,abx→→→B．,,xyz→→→C．,,bcz→→→D．,,xyabc→→→→→++11．已知公差为d的等差数列na，其前n项和为nS，且100S，11

0S，则下列结论正确的为（）A．na为递增数列B．nSn为等差数列C．当nS取得最大值时，6n=D．当21a=时，d的取值范围为21,74−−12．以下四个命题表述正确的是（）A．圆222:210Cxaxya−++−=与圆22:4Dxy+=有且仅有两条公共

切线，则实数a的取值可以是3B．圆224xy+=上有且仅有3个点到直线:20lxy−+=的距离都等于1C．具有公共焦点12,FF的椭圆1C与双曲线2C在第一象限的交点为P，若12π2FPF=，椭圆1C与双

曲线2C的离心率分别记作12,ee，则2212112ee+=，D．已知圆22:1Cxy+=，点P为直线142xy+=上一动点，过点P向圆C引两条切线,,,PAPBAB为切点，则直线AB经过定点11,24三、

填空题（每小题5分）13．函数21()ln3fxxx=−的单调减区间为__________．14．已知()2,1,3a=−，()1,4,2b=−−，()5,6,c=−，若,,abc三个向量共面，则实数等于__________.15．已知抛物线21:8Cyx=，圆222:430Cxyx+

−+=，点()1,1M，若A，B分别是1C，2C上的动点，则AMAB+的最小值为______．16．已知集合*{|21,N}Axxnn==−，*{|2,N}nBxxn==．将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}na

．记nS为数列{}na的前n项和，则使得112nnSa+成立的n的最小值为________．四、解答题(10+12+12+12+12+12)17．求满足下列条件的直线l的一般式方程：（1）经过直线12:290,:3240lxylx

y−+=+−=的交点P，且经过点()2,3；（2）与直线3:30lxy−=垂直，且点()2,5Q−到直线l的距离为10.18．（1）已知函数()2e1xfxx=+，求()1f；（2）已知函数()3gxxax=+，若曲线()gx在0x=处的切线也与曲线()l

nhxx=−相切，求a的值．19．在数列na中，1111,20,N3nnnnaaaaan++=+−=．(1)求证：1na是等差数列，并求数列na的通项公式．(2)设1nnnbaa+=，求数列nb的前n项的和nS．20．如图，在直三棱柱111ABCABC－

中，1ABACABACAAD⊥==，，为BC的中点，建立适当的空间直角坐标系：（1）证明：1//AB平面1ADC；（2）证明：平面1ADC⊥平面11BBCC．21．已知椭圆C：()222210xyabab+=经过点()0,1A，且离心率为63．（1）求椭圆C的

方程；（2）椭圆C上的两个动点M，N（M，N与点A不重合）直线AM，AN的斜率之和为4，作AHMN⊥于H．问：是否存在定点P，使得PH为定值．若存在，求出定点P的坐标及PH的值；若不存在，请说明理由．22．已

知函数1()ln()xfxexaxaR−=+−，'()fx是()fx的导函数，且'()fx有两个零点()1212,xxxx.（1）讨论'()fx的单调性；（2）若1214xx，求证：()()21216fx

fxaxx−−−.2022-2023学年度扬州中学高二下3月考试卷数学一、单选题（每小题5分）1．抛物线2:4Cxay=过点()4,4−，则C的准线方程为()A．1y=B．1y=−C．1x=D．=1x−【答案】B【分析】将点()4,4−代入抛物线方程可得a，根据抛物线标准方程即可

求其准线方程.【详解】∵抛物线2:4Cxay=过点()4,4−，∴()24441aa−==，∴2:4Cxy=，∴其准线方程为y＝－1.故选：B.2．若平面内两条平行线1l：(1)20xay+−+=，2l：210axy++=间的距离为355，则实数=a（）A．2−

B．2−或1C．1−D．1−或2【答案】C【分析】根据平行关系得出2a=或1a=−，再由距离公式得出1a=−满足条件.【详解】∵12ll//，∴(1)2aa−=，解得2a=或1a=−当2a=时1232242d−==，当1a=−时213555d+==故选：C3．如图，在正方体1111ABCDA

BCD−，中，点E是11AC的中点，点F在AE上，且12AFEF=，则AF=（）A．11122AAABAD++B．1111222AAABAD++C．1111266AAABAD++D．1111366AAABAD++【答案】D【分析】根据空间向量的加法和数乘运算，以及相等向量的转化，即可求解

.【详解】易知13AFAE=，11AEAAAE=+，11112AEAC=，111111ACABAD=+，11ABAB=，11ADAD=，所以11111111136366AFAAACAAABAD=+=++.故选

：D4．在等比数列na中，已知1394,256aaa==，则8a等于（）A．128B．64C．64或64−D．128或128−【答案】D【分析】由等比数列的性质可得21324aaa==，求出2a的值，再结合条

件求出公比，进而即得.【详解】由等比数列的性质可得21324aaa==，∴22a=或22a=−，设数列的公比为q，因为9256a=，当22a=时，7128q=，即2q=，则8128a=；当22a=−时，7128q=−，即2q=−，则8128a=−.故选：D.5

．在下列条件中，一定能使空间中的四点,,,MABC共面的是（）A．2OMOAOBOC=−−B．111532OMOAOBOC=++C．20MAMBMC++=D．0OMOAOBOC+++=【答案】C【分析】根据向量共面定

理，OMxOAyOBzOC=++，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是1xyz++=，由此可判断出答案.【详解】根据向量共面定理，OMxOAyOBzOC=++，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是1xyz++=，由此可得A，B

，D不正确，选项C：2MAMBMC−=−，所以,,,MABC四点共面，故选：C.6．已知函数()fx满足：()01f=，()()'fxfx，则不等式()xfxe的解集为（）A．()0,+B．(),0−C．

()1,+D．(),1−【答案】A【详解】()()()0,xxfxfxfxee−=()xfxe是减函数，由()xfxe得：0()(0)1,0xfxfxee=故选A.点睛：用导数解抽象函数不等式

，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()fxfx构造()()xfxgxe=；如()()0fxfx+构造()()xgxefx=；如()()xfxfx构造()()fxgxx=；如()()0xfxfx+构

造()()gxxfx=等.7.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点P为双曲线C在第一象限部分的一点，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，若→

OQ=14→OF2，则双曲线的离心率的范围为（）A.（1,2）B.（1,4）C.（2,2）D.（2,4）8.恰有一个实数x满足x3-ax-1=0成立，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，）B．（-∞，）C．（，+∞）

D．（-∞，）二、多选题（每小题满分5分，漏选得2分，错选得0分）9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b；B．若非零向量a，b，c满足ab⊥，

bc⊥，则有a∥c；C．若OA，OB，OC是空间的一组基底，且111333ODOAOBOC=++，则A，B，C，D四点共面；D．若a，b，c是空间的一组基底，则向量ab+，bc+rr，ca+也是空间一组基底；【答案】ACD【分析】根据空间向量基本定理，

能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可【详解】对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量a，b是共线向量，即a∥b，所以A正确，对于B，若非零向量a，b，c满足ab⊥，bc⊥，则向量a与c不能确定，可能平行，所以B错误，对于C，若OA，OB，OC是

空间的一组基底，且111333ODOAOBOC=++，则由空间向量基本定理可得A，B，C，D四点共面，所以C正确，对于D，因为a，b，c是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量m，存在唯一的实数组(,,)xyz，使()()()222xyzyzxxzymxaybzca

bbcac+−+−+−=++=+++++，所以向量ab+，bc+rr，ca+也是空间一组基底，所以D正确，故选：ACD10．设,,abc→→→是空间的一个基底，若xab→→→=+，ybc→→→=+，zca→→→=+．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（）A．,,

abx→→→B．,,xyz→→→C．,,bcz→→→D．,,xyabc→→→→→++【答案】BCD【分析】根据空间向量共面基本定理，逐项判断每组向量是否共面，即可得出结论.【详解】xab→→→=+，,,abx→→→共面，故,,abx→→→不能作空间基底

，故A错误；假设,,xyz→→→共面，则存在,R，使得zxy=+，()()()caabbcabc+=+++=+++，所以101=+==，方程组无解，所以假设不成立，即,,xyz→

→→不共面，所以,,xyz→→→可以作为空间向量的一组基底，故B正确；同理可得,,bcz→→→，,,xyabc→→→→→++均可作为空间向量的一组基底，故CD正确.故选：BCD.11．已知公差为d的等差数列na，其前n项和为nS，且100

S，110S，则下列结论正确的为（）A．na为递增数列B．nSn为等差数列C．当nS取得最大值时，6n=D．当21a=时，d的取值范围为21,74−−【答案】BD【分析】通过等差数列前n项和公式和下标和性质即

可得到0d，10a，60a，50a，则可判断AC，而()112nSdann=+−则可判断B，而通过560aa+，60a，则可得到关于d的不等式组，即可判断D.【详解】对A，10110,0SS，即()1101002aa+，()1111102aa+，即()565

0aa+，6110a，则60a，而560aa−，故650daa=−，故na为递减数列，故A错误；对B，设na的首项为1a，则()112nnnSnad−=+，()111122nSndadann−=+=+−，故数列nSn是以1a为首项，公差为2d的等差数

列，故B正确；对C，由A知60a，即650SS−，则65SS，而50a，即140ad+，则140ad−，而0d，当nS取得最大值时,5n=，故C错误；对D，当21a=时，由A知560aa+，60a，即22234040adadad++++，即2701

40dd++，解得21,74d−−，故D正确.故选：BD.12．以下四个命题表述正确的是（）A．圆222:210Cxaxya−++−=与圆22:4Dxy+=有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是3B．圆224xy+=上有且仅有3个点到直线:20lxy−+=的距离都等

于1C．具有公共焦点12,FF的椭圆1C与双曲线2C在第一象限的交点为P，若12π2FPF=，椭圆1C与双曲线2C的离心率分别记作12,ee，则2212112ee+=，D．已知圆22:1Cxy+=，点P为直线142xy+

=上一动点，过点P向圆C引两条切线,,,PAPBAB为切点，则直线AB经过定点11,24【答案】BC【分析】A选项，当3a=时，求出两圆圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，有3条公共切线，A错误；B选项，求出圆心到直线的距离为1，圆224xy+=的半径为2，故有且仅有3个

点到直线:20lxy−+=，B正确；C选项，设椭圆1C：22221xyab+=，双曲线2C：22221xymn+=，()()12,0,,0FcFc−，由椭圆定义和双曲线定义得到122PFPFa+=，122PFPFm−=，求出1PFam=+，2PFam=−，由勾股定理得到2

222amc+=，求出2212112ee+=；D选项，设(),Pmn，则142mn+=，由题意得：,,,PABO四点共圆，且OP为直径，求出圆心和半径，得到该圆的方程，求出切点弦方程1mxny+=，结合142mn+=得到定点坐标.【详解】对A，圆222:210Cxaxya−++−=

变形为()221xay−+=，故圆心为(),0Ca，半径为11r=，圆22:4Dxy+=圆心为()0,0D，半径为22r=，当3a=时，故圆心距12312CDrr==+=+，此时两圆外切，故两圆有3条公共切线，A错误；对B，圆224xy+=的圆心

()0,0到直线:20lxy−+=的距离为002111−+=+，而圆224xy+=的半径为2，故有且仅有3个点到直线:20lxy−+=的距离都等于1，B正确；对C，设椭圆1C：()222210xyabab+

=，双曲线2C：()22221,0xymnmn−=，()()12,0,,0FcFc−，因为12π2FPF=，所以122PFPFa+=，122PFPFm−=，解得：1PFam=+，2PFam=−，由勾股定理：222124PFPFc+=，即()()2224

amamc++−=，化简得：2222amc+=，则椭圆1C的离心率1cea=，双曲线2C的离心率2cem=，则22222212112ameecc+=+=，C正确；对D，设(),Pmn，则142mn+=，由题意得：,,

,PABO四点共圆，且OP为直径，则此圆圆心为,22mn，半径为2212mn+，故圆的方程为，()22221224mnxymn−+−=+，与22:1Cxy+=相减得：1mxny+=，因为142mn+=，所以1mxny+=过定点11

,42，即直线AB经过定点11,42，D错误.故选：BC【点睛】过圆()()222xaybr−+−=上一点()00,xy的切线方程为：()()()()200xaxaybybr−−+−−=，过圆()()222x

aybr−+−=外一点()00,xy的切点弦方程为：()()()()200xaxaybybr−−+−−=.三、填空题（每小题5分）13．函数21()ln3fxxx=−的单调减区间为__________．【答案】60,2【分析】求导，利用导数求单调

区间，注意原函数的定义域.【详解】∵()21()ln03fxxxx=−，则()22123()033xfxxxxx−=−=令()0fx，则602x∴函数()fx的单调减区间为60,2故答案为：60,2

.14．已知()2,1,3a=−，()1,4,2b=−−，()5,6,c=−，若,,abc三个向量共面，则实数等于__________.【答案】8【分析】由题意可得存在实数,xy使得cxayb=+成立，列出方程组求解即可.【详解】解：因为,,abc共面，所以存在实数,xy使得cxa

yb=+成立，即254632xyxyxy−=−+=−−=，解得218xy==−=.所以8=.故答案为：8.15．已知抛物线21:8Cyx=，圆222:430Cxyx+−+=，点()1,1M，若A，B分别是1C，2C上的

动点，则AMAB+的最小值为______．【答案】2【分析】由抛物线21:8Cyx=得焦点()20F，，准线为2x=−，1AMABAMAF+=+−，转化为求AMAF+取得最小值，过点M作准线2x=−的垂线与抛物线21:8Cyx=相交，当点A为此交点时，AMAF+取得最小值

，由此可求得答案.【详解】解：由抛物线21:8Cyx=得焦点()20F，，准线为2x=−，由圆222:430Cxyx+−+=，得()2221xy−+=，所以圆2C是以()20F，为圆心，以1r=为半径的圆，所以1AMABAMAF++−，所以当AMAF

+取得最小值时，AMAB+取得最小值，又根据抛物线的定义得AF等于点A到准线2x=−的距离，所以过点M作准线2x=−的垂线，垂足为N，且与抛物线21:8Cyx=相交，当点A为此交点时，AMAF+取得最小值，最小值为()123−−=，所以此时1312AMABAMAF+

+−−=，所以AMAB+的最小值为2.故答案为：2.16．已知集合*{|21,N}Axxnn==−，*{|2,N}nBxxn==．将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}na．记nS为数列{}na的前n项和，则使得112nnSa+成立的n的最小值为______

__．【答案】27【分析】方法一：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】设=2kna，则()12

[(211)+(221)+(221)]222kknS−=−−+−++++()11221212212(12)222212kkkkk−−−++−−=+=+−−由112nnSa+得22122212(

21)kkk−++−+，化简得，121(2)20(2)140kk−−−−，解得：1522k−，即6k．所以只需研究5622na是否有满足条件的解，此时()25[(211)+(221)+(21)]222nSm=−−+−++++2512

2m+=+−，+121nam=+，m为等差数列项数，且16m.由2512212(21)mm++−+即224500mm−+，解得22m，所以527nm=+得满足条件的n最小值为27.故答案为：27.［方法二］：列举法＋二分法{2,4,8,16,32,64,128,}B=与{1,3,5,

7,9,11,13,15,17,19,21,}A=相比，B元素间隔大．因此利用列举法从{}na中元素构成看，分别加了几个B中元素进行考虑．1个：23112,123,1236nSa=+==+==；2个：45224,10,1260nSa=+===；3个：78437,30,12108nSa=

+===；4个：12138412,94,12204nSa=+===；5个：212216521,318,12396nSa=+===；6个：383932638,1150,12780nSa=+===．发现当

2138n时，112nnSa+=发生变号，以下用二分法查找：3031687,12612Sa==，所以所求n应在22~29之间．2526462,12492Sa==，所以所求n应在25~29之间．()52621

221(141)62441503122S−+=+=+=−，27121243516a==，不符合条件；()52721222(143)62484546122S−+=+=+=−，28121245540

a==，符合条件．因为272812Sa，而262712Sa，故答案为：27.【整体点评】方法一：先由求和公式寻找不等式成立的充分条件，即当第n项的值大于等于62时，不等式成立，再寻找第n项的值在52与62之间时是否也可以有满足

题意的解，从而解出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：根据两个集合的特征，一一列举集合中的元素，并研究集合{}na中元素的和nS与112na+的变化规律，从而找出可能满足不等式的解，再由二分法验证解出，该法计算较为

麻烦．四、解答题(10+12+12+12+12+12)17．求满足下列条件的直线l的一般式方程：（1）经过直线12:290,:3240lxylxy−+=+−=的交点P，且经过点()2,3；（2）与直线3:30lxy−=垂直，且点()2,5Q−到直线l的距离为10.【答案】(1)

280xy+−=(2)330xy++=或3230xy++=【分析】（1）联立直线方程，求交点，根据两点式，可得答案；（2）根据垂直设出直线方程，由点到直线距离，可得答案.【详解】（1）由2+9=03+24=0xyxy−−，得=2=5xy−，点P的坐标

为()2,5−所求直线又经过点()2,3，得直线的两点式：()()253522xy−−−=−−−，所求直线的一般式：280xy+−=.（2）所求直线与:30lxy−=垂直，可设直线的方程为30xym++=.又直线到点()2,5Q−的距离为10，()222

351013m+−+=+，解得=3m或23m=，所求的直线方程为330xy++=或3230xy++=.18．（1）已知函数()2e1xfxx=+，求()1f；（2）已知函数()3gxxax=+，若曲线()gx在0x=处的切线也

与曲线()lnhxx=−相切，求a的值．【答案】（1）()10f=；（2）1ae=−.【分析】（1）求导后，代入1x=即可得到结果；（2）根据导数几何意义可求得()gx在0x=处的切线斜率，进而得到切线方程；设该直线与()hx相切于()00,lnxx−，求得()hx在(

)00,lnxx−处的切线方程，根据两切线方程相同，可构造方程组求得结果.【详解】（1）()()()()()222222e12e1e11xxxxxxfxxx+−−==++，()10f=；（2）()23gxx

a=+，()0ga=，又()00g=，()gx在0x=处的切线方程为：yax=；设yax=与()lnhxx=−相切于点()00,lnxx−，()1hxx=−，()001hxx=−，切线方程

为：()0001lnyxxxx+=−−，即0011lnyxxx=−+−，001ln01xax−=−=，解得：1ae=−.19．在数列na中，1111,20,N3nnnnaaaaan++=+−=．(1)求证：1na是等差数列，并求数列na的通项

公式．(2)设1nnnbaa+=，求数列nb的前n项的和nS．【答案】(1)证明见解析，121nan=+；(2)11646nSn=−+【分析】（1）根据递推关系式，由等差数列的定义、通项公式求解即可；（2）根据裂项相消法求和即可得解.【详解】（1）因为1111,2

03nnnnaaaaa++=+−=，所以0na，否则与113a=矛盾，故1112nnaa+−=，又113a=，∴数列1na是以3为首项，2为公差的等差数列，所以132(1)21nnna=+−=+，因此121nan=+．（2）由（1）知，11111(21)(23)22123nn

nbaannnn+===−++++∴1111111111112355721232323646nSnnnn=−+−++−=−=−++++.20．如图，在直三棱柱111ABCABC－中，1ABACABACAAD⊥==，，为BC的中点，建立适当的空间直角坐标

系：（1）证明：1//AB平面1ADC；（2）证明：平面1ADC⊥平面11BBCC．【分析】（1）利用向量法去证明1//AB平面1ADC；（2）利用向量法去证明平面1ADC⊥平面11BBCC．【详解】（1）

在直三棱柱111ABCABC－中，ABAC⊥以1A为原点，11AB为x轴，11AC为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，设12ABACAA===，则1000A（，，），202B（，，），002A（，，），022C(，，），112D（，，），1

020C(，，)，则1202AB=(，，)，(110AD=，，)，1022AC=(，,-)，设平面1ADC的法向量nxyz=（，，），则10220nADxynACyz=+==−=，取1x=，得111n=（,-，-），12020nA

B=+−=，且1AB平面1ADC，则1//AB平面1ADC（2）110DC=(-，，），1112DC=(-，,-），设平面11BBCC的一个法向量mabc=（，，），则1020mDCabmDCabc=−+==−+−=，取1a=，得

110m=（，，），又平面1ADC的法向量111n=（,-，-），则1100nm=−+=，则nm⊥平面1ADC⊥平面11BBCC．21．已知椭圆C：()222210xyabab+=经过点()0,1A，且

离心率为63．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上的两个动点M，N（M，N与点A不重合）直线AM，AN的斜率之和为4，作AHMN⊥于H．问：是否存在定点P，使得PH为定值．若存在，求出定点P的坐标及PH的值；若不存在，请说明理由．【答

案】(1)2213xy+=；(2)存在定点1(,0)4P−，使得PH为定值且定值为174．【分析】（1）由题意得1b=，再由离心率，结合,,abc的关系求得a得椭圆方程；（2）假设存在定点P满足题意，在MN的斜率存在，设直线MN的方程为ykxm=+，1122(,),(,)MxyNxy，直线

方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,xxxx+，同时注意0，利用4AMANkk+=求得,km的关系，得直线MN过定点T，AT的中点即为定点P．再验证MN斜率不存在时也满足题意.【详解】（1）由已知1b=，2163caeaa−===，解得3a=（负值舍去），椭圆

方程为2213xy+=；（2）假设存在定点P满足题意，当MN的斜率存在，设直线MN的方程为ykxm=+，1122(,),(,)MxyNxy，由2213xyykxm+==+得22213)6330kxkmxm+++−=（，2222364(13)(33)0kmkm=−+−

，2213km+．2121222633,1313kmmxxxxkk−+=−=++，12212121121211()()AMANyyxkxmxxkxmxkkxxxx−−+−++−+=+=1212(1)()2mxxk

xx−+=+2(1)62243(1)1mkmkkmm−=−==−+，所以22km=+，2221313(22)kmm+=++，(1)(1113)0mm++，1311m−或1m−，直线MN存在，直线MN方程为(22)(21)2ymxmxm

x=++=++，12x=−时，1y=−，即直线MN过定点1(,1)2T−−，22117()(11)22AT=−+−−=，取AT的中点1(,0)4P−，因为AHMN⊥，所以11724PHAT==为定值．当直线MN斜率不存在时,设00(,)Mxy,00(,)N

xy−,则0000114AMANyykkxx−−−+=+=，012x=−，此时直线MN也过定点1(,1)2T−−，满足题意．所以存在定点1(,0)4P−，使得PH为定值且定值为174．【点睛】本题考查求椭圆方程，考查椭圆中的定点、定值问题．解题方法是设出直线MN方

程为ykxm=+，设动点1122(,),(,)MxyNxy，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得1212,xxxx+，利用已知条件4AMANkk+=求得,km的关系，从而得出动直线MN过定点，由直角三角形的性质所求定点随之而定．本题对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，属于困难题型．22．已

知函数1()ln()xfxexaxaR−=+−，'()fx是()fx的导函数，且'()fx有两个零点()1212,xxxx.（1）讨论'()fx的单调性；（2）若1214xx，求证：()()21216fxfxaxx

−−−.【答案】（1）()'fx在()0,1单调递减，在()1,+?单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）函数()fx的定义域为()0,+?，令()()11'xgxfxeax−==+−，故()121'xgxex−=−，由于()'10g=，进而得函数()

'0gx，()'0gx的解集，进一步得函数的单调区间；（2）由（1）得21112112xxxxeexx−−−−=，进而()()1222121121lnl1nxxfxfxxxaxxxx−−=+−−−，再结合不等式()21211212lnln10xxxxxxxx−−即可证得.【详解】解：（

1）函数()fx的定义域为()0,+?，()11'xfxeax−=+−，设()()11'xgxfxeax−==+−，()121'xgxex−=−，由于()'10g=所以当()0,1x时，()'0gx，()gx单调递减；当()1,+x时，()'0gx，()g

x单调递增，所以()'fx在()0,1单调递减，在()1,+?单调递增.（2）证明：因为()1212,xxxx是函数'()fx有两个零点，()11'xfxeax−=+−所以1211121010xxeaxeax−−+−=+−=，所以211121121211xx

xxeexxxx−−−−=−=，所以()()()2111212121lnlnxxfxfxeexxaxx−−−=−+−−−()21221211lnlnxxxxxxaxx=+−−−−所以()()1222121121lnl1nxxfxfxxxaxxxx−−=+−−−下面先证：()21211212ln

ln10xxxxxxxx−−，只需证：()22112112ln0xxxxxxxx−，只需证：()22112112ln0xxxxxxxx−，设21,1xttx=，故只需证：12ln,1tttt

−，只需证12ln0,1tttt−−故设()12ln,1httttt=−−，()2221221'10tthtttt−+=+−=，所以()12lnhtttt=−−在()1,+?上单调递增，故()()10hth=，所以12ln0,1tttt−−成立，故()21211212lnln10

xxxxxxxx−−成立，所以()()1221122212121121211lnln111124fxfxxxaaaxxxxxxxxxxxx−−=+−+−=+−−−−因为1214xx，所以()1210,2xx，所以21211125,244xx

+，所以()()2212112212112lnln111251621444xxxxfxfxxxaaaaxxxx−−=+−+−−−−=−−−.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，证明不等式等，考查运算求解能力，是难题.本题

第二问解题的关键在于利用不等式()21211212lnln10xxxxxxxx−−进行放缩求解.