【文档说明】湖北省荆州市沙市区沙市中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题含答案.docx，共(18)页，1.188 MB，由小赞的店铺上传

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2022—2023学年度下学期2021级5月月考数学试卷命题人：刘超审题人：邹泳考试时间：2023年5月11日一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()fx的定义域为(),ab，其导函数()fx在(

),ab内的图象如图所示，则函数()fx在区间(),ab内极小值点的个数是（）A．1B．2C．3D．42．若随机事件113()()()324PAPBPAB===，，，则()PAB=（）A．29B．23C．14D．163．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传

教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”,“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题:将正整数中能被3除余1且被2除

余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列na,则=10a（）A．55B．49C．43D．374．2023年4月世界大健康博览会将在湖北武汉举行.展会期间，需在广场处布置一个如图所示的圆形花坛，花坛

分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只能布置一种花卉，则不同的布置方案有（）A．120种B．240种C．420种D．720种5．已知抛物线）（02:2=ppxyC的焦点为F，直线l与抛物线C交于BA，两

点，BFAF⊥，线段AB的中点为M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，则MNAB的最小值为（）A．1B．2C．2D．226．设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为1V、2V和3V，则（）A．123VVVB．213VVVC

．312VVVD．321VVV7．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，

如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A．222234511CCCC220++++=B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等C．记第n行的第i个数为ia，则11134niniia+−

==D．第30行中第12个数与第13个数之比为13：188．已知向量()1,3a=，1b=，a与b的夹角为π3，若对任意1x，()2,xm+，当12xx时，122112lnln2xxxxabxx−−−恒成立，则实数m的取值范围是（）A．21,eeB．)2e,+C．31

,eeD．)3e,+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知1()nxx−的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（）A．8n=B．

二项式系数之和为64C．展开式中的常数项为15D．将展开式中的各项重新随机排列，有理项相邻的概率为13510.已知nS是数列na的前n项和，84S17S=．下列结论正确的是（）A．若na是等差数列，则12448SS=B．若

na是等比数列，则124273SS=C．若na是等差数列，则公差0dD．若na是等比数列，则公比是2或－211．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5：6：9，现任取一个零件，记

事件iA=“零件为第i台车床加工”（1i=，2，3），事件B=“零件为次品”，则（）A．()10.25PA=B．()216PBA=C．()0.048PB=D．()1516PAB=12．已知函数()()()())lne,,0ln1,0,xxfxxx−−−

=++，则下列说法正确的是（）A．方程()()12ffx=恰有3个不同的实数解B．函数()fx有两个极值点C．若关于x的方程()fxm=恰有1个解，则1mD．若()()()123fxfxfx==，且123xxx，则()()3121xxx++存在最大值三、填空题：本题

共4小题，每小题5分，共20分．13．若36421818nnCC+−=，则8nC=__________.14.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，4AP=，AP与AB，AD的夹角都是

60°，若M是PC的中点，则直线MB与AP所成角的余弦值为_______.15．已知点P为抛物线C：24yx=上的动点，直线l：1x=−，点T为圆M：()()22341xy++−=上的动点，设点P到直线l的距离为d，则PTd+的最小值为_____．16．若

从数字1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，x（按数字从小到大顺序）中任取一个数记为y.用数字1，2，3，4以及x组成五位数，一共可以组成的五位数有个；则==)2(yP.四、解答题：本题共6小题，共7

0分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知21naxx+的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为1−.（1）求n和a的值；（2）求22112nxaxxx−+

的展开式中的常数项.18．已知等差数列na满足212aa=，且1a，32a−，4a成等比数列.（1）求na的通项公式；（2）设na，nb的前n项和分别为nS，nT.若na的公差为整数，且()111nnnnSbS+−=−，求nT.19．袋中装

有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为71，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球

次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求甲取到白球的概率．20．如图，三棱柱111ABCABC-的体积为32，侧面11ACCA是矩形，CACB⊥，122ABAAAC===，且已知二面角1AACB−−是钝角.（1）求1AB的长度；（2）求二面角111ABCA

−−的大小.21．已知椭圆C：()222210xyabab+=的焦距为23，1F，2F分别为C的左，右焦点，过1F的直线l与椭圆C交于M，N两点，2FMN△的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()3,0G且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使

得ETOFTG=．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．22．已知函数()lnfxaxx=−，Ra.（1）试讨论)(xf的单调性；（2）若对任意0x+（，），均有()0fx，求a的取值范围；（3）求证

:()21111lnnknkk=+−+.高二年级5月月考数学答案1.A2.D()()()()pABpApBpAB+=+−，1134691()3241212pAB+−=+−==故()11()2()126pABpABpB===3.A4.C5.

B6.B【详解】设正方体棱长为a，正四面体棱长为b，球的半径为R，面积为S.正方体表面积为26Sa=，所以26Sa=，所以，()()3232321216SVaa===；如图，正四面体−PABC，D为AC的中点，O为ABC的

中心，则PO是−PABC底面ABC上的高.则BDAC⊥，12ADb=，所以2232BDABADb=−=，所以211332224ABCSACBDbbb===，所以，正四面体−PABC的表面积为243ABCSSb==，所以233bS=.又O为ABC的中心，所以

2333BOBDb==.又根据正四面体的性质，可知POBO⊥，所以2263POPBBOb=−=，所以，22213ABCVSPO=22136343bb=363113372723648bSS===；球的表面积为24πSR=，所以24π

SR=，所以，2233341π336πVRS==.因为333331111336π1442166482163SSSSS=，所以，222312VVV，所以，213VVV.故选：B.7．【答

案】C【解析】由11CCCmmmnnn−++=可得22222322234511334511CCCCCCCCC1++++=+++++−322234451112CCCC1C1219=++++−=−=，故A错误；第2023

行是奇数，中间两项最大，即10112023C和10122023C，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；第n行的第i个数为1Ciina−=，所以()11001122133C3C3C3C134iniinnnnnnnna

++==++++=+=，故C正确；第30行中第12个数与第13个数之比为1112303030192012111C:C12:191110130192019==，故D错误．故选C．8．【答案】D【解析】由已

知可求得22ab−=，对任意的1x，()2,xm+，122112lnln22xxxxabxx−−=−，又12xx，∴()122112lnln2xxxxxx−−，∴1221121212lnln2xxxxxxxxxx−−，即

212121lnln112xxxxxx−−，212211ln2ln2xxxxxx−−，记()ln2xgxxx=−，则()()21gxgx．因此函数()gx在(),m+上递减，又()23lnxg

xx−=，由()23ln0xgxx−=，∴3ex，所以()gx的单调递减区间为()3e,+，∴3em．故选D．9.BC10.AB11．【答案】ACD【解析】事件iA=“零件为第i台车床加工

”（1i=，2，3），事件B=“零件为次品”，则()151204PA==，()2632010PA==，()3920PA=，()16%PBA=，()25%PBA=，()34%PBA=，故A正确，B错误；()()()()1231396%5%4%

0.04841020PBPABPABPAB=++=++=，故C正确；()()()()()()11110.256%50.04816PBAPAPABPABPBPB====，故D正确．故选ACD．1

2．【答案】ABD【解析】由已知()()1,1,,10,ln1,0,xxfxxxxx−−=−−+由方程()()12ffx=得()12fx=−或()2fx=−或()e1fx=−，由图可知，()12fx=−无解，()

2fx=−无解，()e1fx=−有3个解，故A正确；由图可知，0x=和1x=−是函数()fx的两个极值点，故B正确；若方程数()fxm=恰有1个零点，即函数()yfx=与ym=的图象仅有一个交点，可得1m或0m=，故C错误；由()()()()()()1231230,1fxfxfxttxxx

===，则11xt=−，2xt=−，31etx+=，则()()31211exxxtt++=−+，设()1etgttt=−+，则()()3222e111ee1ttttttgttttt++−=−+−−=−

，设()321htttt=++−，显然()ht在()0,1上单调递增，且()00h，()10h，所以存在()0,1nt，使()0nht=，且当()00,tt时，()0gt，()gt单

调递增，当()0,1tt时，()0gt，()gt单调递减，所以()gt存在最大值()0gt，故D正确．故选ABD．13．28【详解】由36421818nnCC+−=，得3642nn+=−或364218nn++−=，解得2n=，或8n=舍去，2828C=.14.17342【详解】

记,,ABaADbAPc===，因为3,4ABADPA===，所以||||3,||4abc===.又因为,60ABADPABPAD⊥==，所以0,34cos606abacbc====.易得()12

BMabc=−++，所以()2222211||()244BMabcabcabacbc=−++=+++−−+，()222134103672642=+++−+=,所以342BM=，又()18,2BMAPabcc−=++=23417cos,BMAPBMAPBM

AP==故答案为：2341715．124−【解析】抛物线C：24yx=的焦点为()1,0F，准线为直线l：1x=−，圆M：()()22341xy++−=的圆心()3,4M−，半径1r=，由抛物线的定义知，dPF=，则1PTdPTPFPMPF+=+=+−，当P，F，

M三点共线时，取最小值为()()()22113041421FM−=−−+−−=−．16.（1）102445=（2）解析：设事件iA=“取出数字i”，i＝1，2，3，4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝14，事件B=“取出y=2”则P(

B|A1)＝0，P(B|A2)＝12，P(B|A3)＝13，P(B|A4)＝14，所以P(B)＝∑4i＝1P(Ai)P(B|Ai)＝）（413121041+++＝1348.17.【答案】（1）72na==−（2）448【解析】（1）∵由条件可得2128(1)1nna=

+=−，∴解得72na==−.（2）()()72221211222nxaxxxxxxx−−−+=−−+.∵()7212xx−−+展开式的通项为：()()()77211431

77C2C2kkkkkkkTxxx−−−−+=−=−.∴①当1431k−=−即5k=时，()25172C2168xx−−=；②当1432k−=即4k=时，()32427C2280xx−−−=；∴所求的常数项为168280448+=.

18.【答案】（1）25nan=或2nan=（2）++−+−=为奇数，为偶数，nnnnnnTn1321【解析】（1）设等差数列na的公差为d，∵2112aaad==+，∴1ad=，∵1a，32a−，4a成等比，∴()21432aaa=−，即()()

2111322aadad+=+−，得()22432dd=−，解得25d=或2d=，∴当125da==时，25nan=；当12da==时，2nan=；∴25nan=或2nan=.（2）因为等差数列{}na的公差为整数，由（1）得2nan=，所以()()2212nnnSnn

+==+，则()()112nSnn+=++，∴()()()()()()()12121111111111nnnnnnnbnnnnnnn++−+=−=−−=−+++++.①当n为偶数时nnnbbbbbT+++++=−13

21）（）（）（）（）（）（1111111151411413113121121111+++++−+−−+++++−+++++−=nnnn1111111151411413113121121111++++−−−−−+++−

−−+++−−−=nnnn1111++−=n1+−=nn②当n为奇数时nnnbbbbbT+++++=−1321）（）（）（）（）（）（1111111151411413113121121111+++−+−++−+++++−+++++−=nnnn111111115141141311312112

1111+−−−+−++−+++−−−+++−−−=nnnn1111111+−−−+−=nnn132++−=nn所以++−+−=为奇数，为偶数，nnnnnnTn132119.【答案】（1）n＝3；（2）P(A)＝2235.解：(1)设袋中原有n个白球，由题意知1

7＝C2nC27＝67)1(−nn，可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．(2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4,5.P(X＝1)＝37；P(X＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P(X＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.因为

甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝2235.20.（1）14；（2）4【解析】（1）侧面11ACCA是矩形，则1CCAC⊥，又∵ACCB⊥且1CBCC

C=，1,CBCC平面1BCC，∴AC⊥平面1BCC，∵11//ACAC，∴11AC⊥平面1BCC，1CB平面1BCC，∴111ACCB⊥，∴221111ABACCB=+.∵可知二面角1CACB−−的平面角

1CCB是钝角，∴在平面11CCBB中作1CH垂直BC的延长线于H而1CH平面11CCBB，1CHAC⊥，ACBC⊥Q，且BCACC=，,BCAC平面ABC，∴1CH⊥平面ABC，CACB⊥，22ABAC==，则1AC=，3BC=，131322ABCS==，∴

111113322ABCABCABCVSCHCH−===，∴11CH=，∴1RtCCH中，11sin2CCH=，∴130CCH=，∴1150BCC=.∵1BCC中，3CB=，12CC=，∴由余弦定理可求得22111132cos34232132CBCBCCCBCCBCC=+−=+

−−=，∴22111111314ABACCB=+=+=.（2）以C为坐标原点，以CA、CB分别为x、y轴，过C作平面BAC的垂线作为z轴，建立空间直角坐标系.∵()0,0,0C，()1,0,0A，()0,3,0B，()10,3,1C−，∴111(1,3,1)(0,

3,0)ACCBCB=−−==，设平面11ABC的法向量为(),,mxyz=，则111030ACmxyzCBmy=−−+===，则0y=，令1x=，则1z=，∴可得平面11ABC的法向量为()1,0,1m=.又可知平面111ABC的法向量为()0,0,1n=.设所求

角为θ，∵可知所求二面角为锐角，∴2coscos,2mnmnmn===，0,2，∴二面角111ABCA−−为4.21．【解析】（1）已知椭圆的焦距23，则3c=，……1分又2FMN△的周长为8，∴

22121248FMFNMNFMFMFNFNa++=+++==，则2a=，……3分所以2221bac=−=，故椭圆C的方程为2214xy+=；……4分（2）证明：假设存在x轴上的定点(),0Tt，使得ETOFTG=，则结合图形可得πETGFTG+=，所以0E

TFTkk+=，……5分由题意，直线EF的斜率一定存在，设直线EF的方程为3xmy=+，由221,43,xyxmy+==+得()224650mymy+++=，设()11,Exy，()22,Fxy，则()2223620416800mmm=−+=−，∴25m且1221226,45

,4myymyym+=−+=+……7分直线ET的斜率为11ETykxt=−，直线FT的斜率为22FTykxt=−，由12120ETFTyykkxtxt+=+=−−得()()12210yxtyxt−+−=，……8分∴

()()1221330ymytymyt+−++−=，即()()()121222631023044tmmmyytyymm−+−+=−=++，……10分∴680t−=，则43t=，……11分所以在x轴上存在一个定点4,03T，使得ETOFTG

=．……12分22.【详解】（1）()12,022aaxfxxxxx−=−=,若0,a则()0fx，()fx在0（，）+上单调递减；若0a，则由()0fx=,得24xa=,当24xa（0，）时,()0,()fxfx在2(0,4)a上单调递增,当24,xa+（）时,(

)0fx,()fx在2,4a+（）上单调递减.（2）当0a=时,()0fxx=−符合题意；当a<0时,由（1）知()fx在0+（，）上单调递减，而11(e)1e0aaf=−，不合题意；当0

a时,结合（1）得，2()(4)2(ln21)0mnfxfaaa==−，即ln210a−，得2ea，综上，a的取值范围是e02，；（3）证明：由（2）知，当1a=时，ln0,xx−即ln,xx所以2

ln()ln(1)ln1nnnnnn+=++++，所以2111ln()1nnnnnn=+−+++，所以()()2112132111lnnknnnkk=−+−+++−=+−+（）（），即()21111lnnknkk=+−+

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