【文档说明】【精准解析】陕西省延安市第一中学2019-2020学年高二下学期6月月考数学（理）试题.doc，共(19)页，1.397 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年度第二学期月考高二年级（理科）数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1.在空间直角坐标系中，已知点(1,2,3)P，过点P作平面xOz的垂线PQ，垂足为Q，则点Q的坐标为（）A.(0,2,0)B.(0,2,3)C.(1,0,3)D.(1,2,0)【

答案】C【解析】【分析】由过点(),,xyz作平面xOz的垂线，垂足的坐标为(),0,xz，即可求出结果.【详解】因为过点P作平面xOz的垂线PQ，垂足为Q，所以可得PQ，两点的横坐标与竖坐标相同，只纵坐标不同，且在平面xOz中所有点的纵坐标都是0，因为()1,2,3P，所以有()

1,0,3Q.故选C【点睛】本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题型.2.已知(2,3,1)a=−，(4,6,)bx=−，若ab⊥，则x等于（）A.-26B.-10C.2D.10【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于(2,3,1)a=−，(4,6

,)bx=−，且有ab⊥，则可知·024(3)(6)1026abxx=+−−+==−，故可知选A.考点：向量垂直点评：主要是考查了向量垂直的坐标公式的运用，属于基础题．3.如果三点()1,5,2A−，()2,4,1B，(),3,2Cab+在同一条直线上，则()A.3,2ab==B.6

,1ab==−C.3,3ab==−D.2,1ab=−=【答案】A【解析】【分析】由三点共线可知,ABAC为共线向量，根据向量共线的坐标运算可构造方程求得结果.【详解】,,ABC三点共线,ABAC为共线向量又()1,1,3AB=−，()1,2,

4ACab=−−+124113ab−−+==−，解得：3a=，2b=本题正确选项：A【点睛】本题考查利用共线向量解决三点共线的问题，关键是能够明确三点共线与共线向量之间的关系.4.小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为23，则小明投篮四次，恰

好两次投中的概率是（）A.481B.881C.427D.827【答案】D【解析】分析：利用二项分布的概率计算公式：概率222422133PC=−即可得出．详解：：∵每次投篮命中的概率是23，∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概

率22242281.3327PC=−=．故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是827．故选D.点睛：本题考查了二项分布的概率计算公式，属于基础题．5.如图，空间四边形OABC中

，,,OAaOBbOCc===，点M是OA的中点，点N在BC上，且2CNNB=，设MNxaybzc=++，则x，y，z的值为（）A.112233，，B.121233，，C.121233−，，D.112233−，，【答案】C【

解析】【分析】将MN表示为以,,OAOBOC为基底的向量，由此求得,,xyz的值.【详解】依题意MNONOM=−()12OBBNOA=+−1132OBBCOA=+−()1132OBOCOBOA=+−−121233OAOBOC=−++，所以121,,233xyz=−==.

故选：C.【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.6.已知随机变量X的分布列为X2−13P0.160.440.40则(25)EX+=（）.A.1.32B.1.71C.2.94D

.7.64【答案】D【解析】【分析】先由随机变量的分布列求出()EX，再由期望的性质，即可求出结果.【详解】由题意可得，随机变量X的期望为()20.1610.4430.401.32EX=−++=，所以()(25)252.6457.64EXEX+=+=+=

故选：D.【点睛】本题主要考查期望性质的应用，熟记期望的性质即可，属于基础题型.7.某校约有1000人参加模块考试,其数学考试成绩服从正态分布N(90,a2)(a>0),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的0.6,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A

.600B.400C.300D.200【答案】D【解析】【分析】70分到110分之间的人数约为总人数的0.6，根据正态分布知，90分到110分之间的约为总数的0.3，所以可知110分以上的约为总数的0.50.3=0.2−.【详解】根据正

态分布知，其均值为90分，又70分到110分之间的人数约为总人数的0.6，根据对称性知90分到110分之间的约为总数的0.3，所以可知110分以上的约为总数的0.50.3=0.2−，故有大约10000.2200=人，选D.【点睛】本题主要考查了正态分布，利用正态分布的对称性解题，属于中档

题.8.同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝()A.158B.154C.52D.5【答案】A【解析】两枚同时出现反面的概率为14，所以为10次独立重复试验，属于二项分布，方差为1115101448−=.9.如图，在三棱锥

111ABCABC−中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6ABAA==．若E是棱1BB上的点，且1BEBE=，则异面直线1AE与1AC所成角的余弦值为（）A.1313B.21313C.51313D.81313【答案】A【解

析】【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与1AC所成角的余弦值．【详解】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E，∴A1（4，0，6），E（2，23，3），A（4，0，0），()10,0,6C=1AE=（﹣2，23，﹣3），1AC=（-4，0，6），设异面直线1AE与1A

C所成角所成角为θ，则cosθ11111013131013AEACAEAC===．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为1313．故选A．【点睛】求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题

的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.10

.已知A(0,0，2)，B(1,0，2)，C(0,2，0)，则点A到直线BC的距离为()A.223B.1C.2D.22【答案】A【解析】【分析】首先写出AB和BC的坐标，再求出cosAB,BC，最后利用公式()2dA

B1cosAB,BC=−，即可求值.【详解】解：A(0,0，2)，B(1,0，2)，C(0,2，0)，AB(1,=0，0)，BC(1,=−2，2)−，点A到直线BC的距离为：()2dAB1cosAB,BC=−211113−=−223=．故选

A．【点睛】运用空间向量求点到直线的距离，首先写出直线的方向向量，在直线上选取一点和已知点构造一个新的向量，运用两个向量的数量积公式求出夹角的余弦，再数形结合，结合直角三角形运用勾股定理求出距离.11.四棱柱1111ABCDABCD−的底面ABCD为矩形，2AB=，4=AD，16AA=，116

0AABAAD==，则1AC的长为（）A.82B.46C.223D.32【答案】C【解析】试题分析：由11ACACCC=+,2222211111()2ACACACCCACACCCCC==+=++

.由底面ABCD为矩形得；241620AC=+=，2136CC=，另；1160AABAAD==，1122()ACCCABBCCC=+,01126cos606,12ABCCBCCC===21120363692,223ACAC=++==考点：空间向量

的运算及几何意义.12.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱1AA、1BB的中点，M为棱11AB上的一点，且1(02)AM=，设点N为ME的中点，则点N到平面1DEF的距离为（）A.3B.22C.23D

.55【答案】D【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面D1EF的距离,N到面的距离是M到该面距离的一半．【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，D

D1为z轴，建立空间直角坐标系，则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），1ED＝（﹣2，0，1），EF＝（0，2，0），EM＝（0，λ，1），设平面D1EF的法向量n＝（x，y，z），则1·

20·20nEDxznEFy=−+===，取x＝1，得n＝（1，0，2），∴点M到平面D1EF的距离为：d＝22555EMnn==，N为EM中点，所以N到该面的距离为55，选D．【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置

关系等基础知识，考查运算求解能力，以及数形结合思想．二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知随机变量()2~3,XN，且(4)0.25PX=，则(2)PX=________.【答案】0.75【解析】【分析】根据正态分布的对称性，先得

到()4(2)0.25PXPX==，进而可求出结果.【详解】因为()2~3,XN，由正态分布的对称性，可得：()4(2)0.25PXPX==，所以(2)1(2)0.75PXPX=−=.故答案为：0.75.【点睛】本题主要考查由

正态分布求指定区间的概率，属于基础题型.14.已知(2,4,)ax=，(2,,2)by=，若||6a=，ab⊥，则xy+的值是________.【答案】3−或1【解析】【分析】根据题意，由向量模的坐标表示，以及向量数量积的坐标表示，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】因为(2

,4,)ax=，(2,,2)by=，||6a=，ab⊥，所以2222464420axabyx=++==++=，解得：43xy==−或41xy=−=，因此1xy+=或3−.故答案为：3−或1.【点睛】本题主要考查由空间向量的模与数量积求参数的问题，属于

基础题型.15.已知点(4,1,3)A，(2,5,1)B−，C为线段AB上一点且||13||ACAB=，则点C的坐标为________.【答案】107,1,33−【解析】【分析】先设(),,Cxyz，根据题意，得到13ACAB=，再由向量

的坐标表示，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】设(),,Cxyz，因为C为线段AB上一点且||13||ACAB=，所以13ACAB=，又(4,1,3)A，(2,5,1)B−，所以()2,6,2AB=−−−，()4,1,3ACxyz=−−−因此243613233xyz−=−

−=−−=−，解得：103173xyz==−=，所以107,1,33C−.故答案为：107,1,33−.【点睛】本题主要考查由向量的坐标表示求参数的问题，属于基础题型.16.将4个不同的小球

任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________．【答案】49【解析】试题分析：将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，每个小球有3种不同的放法，共有4381＝种放法，每个盒子中

至少有1个小球的放法有12234236CCC=种，故所求的概率P=3681=49.考点：1、排列组合；2、随机变量的概率.三、解答题（共70分）17.在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量为取得红球的个数.（1）求的

分布列；（2）求的数学期望()E和方差()D.【答案】（1）详见解析（2）6()5E=，9()25D=【解析】【分析】（1）服从超几何分布，根据古典概型概率公式容易求出分布列；（2）利用期望()E和方差()D定义直接计算.【详解】解：（1）的取值为0,1,2.()0232

251010CCPC===，()113225631105CCPC====，()2032253210CCPC===，则的分布列为：012P11035310（2）()1336012105105E=++=，2226163639

()0125105551025D=−+−+−=.【点睛】本题考查超几何分布、期望和方差，是高考重点考查知识点，属于基础题.18.现有4个人去参加某娱乐活动，

该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数

大于去参加乙游戏的人数的概率．【答案】（1）827；（2）19.【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的人数的概率为23．设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），故2

2224128C3327PA==（）．由此能求出这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．（Ⅱ）根据题意分成两类，同第一问分别求出即可．试题解析：（1）每个人参加甲游戏的概率为13，参加乙游戏的概

率为23，设“4个人中恰有2个人去参加甲游戏”为事件A，则()2224128C3327PA==．所以这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率为827．（2）设“4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，其中包含事件1B：“3人参加甲游戏，1个人参

加乙游戏”和事件2B：“4个人均参加甲游戏”，1B和2B互斥．()()()314034124412121CC33339PBPBPB=+=+=．所以4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙

游戏的人数的概率为19．19.如图，直棱柱111—ABCABC的底面ABC中，1CACB==，90ACB=，棱12AA=，如图，以C为原点，分别以CA，CB，1CC为,,xyz轴建立空间直角坐标系（1）求平面11ABC的法向量；（2）求直线AC与平面11ABC夹角的正弦值.

【答案】（1）()2,2,1v=−−；（2）23.【解析】【详解】分析：（1）设处平面的法向量的坐标，利用向量的数量积为0，即可求解平面11ABC的一个法向量；（2）取出向量(1,0,0)CA=，利用向量的夹角公式，即可求解直线AC与平面11ABC所成角的正弦值.详解：（1）

由题意可知()()()110,0,0,1,0,2,0,1,2CAB故()()111,0,2,0,1,2CACB==设()000,,vxyz=为平面11ABC的法向量，则()()100000,,1,0,220vCAxyzxz==+=，()()100000,,0,1,220

vCBxyzyz==+=000022xzyz=−=−令01z=，则()2,2,1v=−−（2）设直线AC与平面11ABC夹角为，()1,0,0CA=()()2221,0,02,2,12sin31221CAvCAv−−===++点睛：本题

考查了平面法向量的求解，以及直线与平面所成的角，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，在高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转

化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20.如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动

．(1)当P是AB的中点，且2|CQ|＝|QD|时，求|PQ|的值；(2)当Q是棱CD的中点时，试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标．【答案】(1)196(2)点P的坐标为(111,,222),最小值为22.【解析】【分析】(1)根据正方

体的性质可得,PQ的坐标，由两点间的距离公式计算可得结果；(2)根据题意，设点P的横坐标为x,得AE＝()21x−．由AEPEAOBO=，可得PE＝()2112x−＝1x−，可得P的坐标为(),,1xxx−，进而可以用x表示PQ的长，结合二次函数的性质分析可得结果.【详解】(1)因为正

方体的棱长为1，P是AB的中点，所以P(111,,222).因为2|CQ|＝|QD|，所以|CQ|＝13，所以Q(0,1,13).由两点间的距离公式得：|PQ|＝2221111012223−+−+

−＝1919366=.(2)如图，过点P作PE⊥OA于点E，则PE垂直于坐标平面xOy.设点P的横坐标为x，则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x.由正方体的棱长为1，得|AE|＝2(1－x)．因为AEPEAOB

O=，所以|PE|＝()2112x−＝1－x，所以P(x，x1－x)．又因为Q(0,1,12)，所以|PQ|＝()()222221511013332422xxxxxx−+−+−+=−+=−+所以当x＝1

2时，|PQ|min＝22，即当点P的坐标为(111,,222)，即P为AB的中点时，|PQ|的值最小，最小值为22.【点睛】本题主要考查正方体的性质、空间两点间的距离公式以及最值问题，属于中档题.最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平

面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21.如图，在三棱锥PABC−中，2PAPBAB===，3BC=，90ABC=°,平面PAB⊥平面ABC，,DE分别

为,ABAC中点.（1）求证：//DE平面PBC;（2）求二面−−APBE的大小.【答案】（1）详见解析（2）3【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得//DEBC，进而由线面平行的判定定理，即可

正面的结论；（2）以D为原点建立空间空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量的夹角公式，即可求解二面角的大小．【详解】（1）在ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，所以//DEBC，又由DE平面,PBCBC平面PBC，所以//DE平面PBC．（2）连接P

D，因为PA=PB，E为AB的中点，所以PDAB⊥，因为//DEBC，BCAB⊥，所以DEAB⊥，以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，由2,3PAPBABBC====，所以3(1,0,0),(0,0,3),

(0,,0)2BPE所以3(1,0,3),(0,,3)2PBPE=−=−,设平面PBE的法向量为1(,,)nxyz=，则1100nPBnPE==，即303302xzyz−=−=，令3z=，得1(3,2,3)n=，因

为DE⊥平面PAB，所以平面PAB的法向量为2(0,1,0)n=，设二面角−−APBE的大小为，所以1212121coscos,2nnnnnn===，所以3=，即二面角−−APBE的大小为3．【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生

的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

22.如图，在三棱锥SABC−中，SA⊥底面ABC，2ACABSA===，ACAB⊥，,DE分别是,ACBC的中点，F在SE上，且2SFFE=.（1）求证：AF⊥平面SBC；（2）在线段DE上是否存在点G，使二面角GAFE−−的

大小为30？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，12DG=【解析】【分析】（1）由已知可得EFAEAS，所以AFSE⊥，又由已知可证BC⊥底面SAE，所以BCAF⊥，问题

得解；（2）以A为坐标原点，建立空间坐标系，可求得平面AFG的法向量为(,1,1)mtt=−−，平面AEF的法向量为(1,1,0)n=−，所以有221cos3021(1)ttt−−=++−，求解即可.【详解】（1）由2,ACABSAACAB===⊥E是BC的中点，所以2AE=因为SA⊥平面

ABC，所以SAAE⊥在RtSAE，6SE=，所以16,33EFSE==因此2,AEEFSEAEFAES==所以EFAEAS则90AFESAE==，即AFSE⊥SA⊥平面ABC，SABC⊥又BCAE⊥，BC⊥底面SAE则BCAF⊥，又SEBCE=，所以AF⊥平

面SBC.（2）假设满足条件的点G存在，并设DGt=，以A为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系则：(0,0,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,,0)ASEGt，2222,(,,)333SFFEF=则()()2221,1,0,

,,,1,,0333AEAFAGt===设平面AFG的法向量为111(,,)zmxy=111112220033300mAFxyzmAGxyt=++==+=取11y=，则1xt=−，11zt=−(,1,1)mtt=−−设平面AE

F的法向量为()222,,nxyz=，222222220033300nAFxyznAExy=++==+=，取2221,1,0yxz==−=(1,1,0)n=−221cos3021(1)ttt−−=++−化

简得：22520tt−+=()10,1,2tt=于是满足条件的点G存在，且12DG=.【点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明和二面角的求法，本题几何体比较规则，用空间向量方法求二面角比较易解，属于中档题.