【文档说明】浙江省新阵地教育联盟2025届高三上学期第一次联考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.073 MB，由小赞的店铺上传

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浙江省新阵地教育联盟2025届第一次联考数学试题卷命题：天台中学蒋永存､李明磨题：安吉高级中学焦晓东湖州二中费凡校稿：李慧华､吕金晶一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知

集合213,60AxxBxxx=−=−−∣∣，则AB=（）A.(2,3−B.()2,3−C.1,3−D.)1,3−【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式得到B，再由交集运算即可.【详解】213,6023AxxBxxxxx=−=−−=−∣∣∣所以A

B=)1,3−故选:D2.已知平面向量()()3,1,23,4ab=−−=−，则ab=（）A.2B.10C.23−D.23【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算公式求解即可.【详解】()()3,1,23,4ab=−−=−，()()()323142ab=

−−+−=.故选：A.3.在5(3)x−的展开式中，含2x的项的系数为（）A15B.15−C.270D.270−【答案】A【解析】.【分析】利用二项展开式的通项公式解决问题.【详解】设二项展开式的第1r+项为：(

)515C3rrrrTx−+=−，由22r=4r=.所以含2x项的系数为：4545C315−=.故选：A4.在ABCV中，角,,ABC的对边分别为,,abc.已知π1,3,6abA===，则c=（）A.1B.2C.1或2D.34或32【答案】C【解析】【分

析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−,即22313233202cccc=+−−+=，解得1c=或2c=，故选：C5.函数cosyx=与lgyx=的图象的交点个数是（）A.2B.3C.4D.6【答案】C【

解析】【分析】根据函数图像即可判断交点个数.【详解】画出cosyx=与lgyx=的图像如图所示：根据图像可知，交点个数是4个.故选：C.的6.若随机变量()12,9XN，则下列选项错误的是（）A.()120.5PX=B.()()915PXPX=C.()3135EX−=D.()2

112DX−=【答案】D【解析】【分析】运用正态分布的概率、期望、方差性质，结合期望、方差结论逐个验证即可.【详解】对于A选项，变量()12,9XN，这里12=，所以(12)0.5PX=，A选项正确.对于B选项，因为正态分布图象关于12x=对称，

912315123=−=+，.根据正态分布的对称性，(9)(15)PXPX=，B选项正确.对于C选项，若~(12,9)XN，则()12EX=.对于31YX=−，根据期望的性质()()EaXbaEXb+=+.所以(31)3()1312135EXEX−=−=−=，C选项正

确.对于D选项，若~(12,9)XN，则()9DX=，对于21YX=−，根据方差的性质2()()DaXbaDX+=.所以2(21)2()4936DXDX−===，D选项错误.故选：D.7.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD

的交点，若ππ2,,43PDAPDBAD===，则三棱锥POCD−的外接球的体积为（）A.42π3B.82π3C.162π3D.642π3【答案】B【解析】【分析】利用空间几何体及球的特征确定球心，结合球体体积公式计算

即可.【详解】因为PD⊥底面ABCD，,ADDC底面ABCD，即,PDADPDCD⊥⊥，根据题意可知ABD△为等边三角形，COD△为直角三角形，而ππ2,,43PDAPDBAD===，则2,1,3PD

ADDCODOC=====，取,PCCD的中点,FE，连接,,OFOEFD，所以1//,12EFPDEFPD==，易知11,,2OECDEFOEEFDE==⊥⊥，则FPFCFDFO===，所以三棱锥POCD−的外接球的球心为F，222DFFOOEEF==+=

，∴该外接球的体积为()3482π2π33=.故选：B8.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有ab个小球，第

二层有()()11ab++个小球，第三层有()()22ab++个小球.....依此类推，最底层有cd个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为（）A.1B.2C.

3D.4【答案】B【解析】【分析】设各层的小球个数为数列{𝑎𝑛}，利用1ab=+，可得2212,32,abbabb=+=++，271342abb=++，利用等差数列的求和公式，求得27749112Sbb=++，根据题意，列出方程，求得b的值，进而求得该垛积的第一层的小球个数.【详解】设各层的

小球个数为数列{𝑎𝑛}，由题意得123,(1)(1),(2)(2),(1)(1)naabaabaabaanbn==++=++=+−+−，因为1ab=+，可得2212(1),(1)(2)312,abbbbabbbb=+=+=++=++2237(2)(3)523,(6)(7

)1367abbbbabbbb=++=++=++=++，则227749(122367)749112Sbbbb=+++++=++，因为前7层小球总个数为168，所以2749112168bb++=，即2780bb+−=，解得1b=或8b=−（舍去），所以12ab=+=

，可得2ab=，即该垛积第一层的小球个数为2个.故选：B.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.某地区5家超市销售额y（单

位：万元）与广告支出x（单位：万元）有如下一组数据：超市ABCDE广告支出（万元）1461014销售额（万元）620364048下列说法正确的是（）参考公式：样本相关系数()()()()()()()11222111ˆˆˆ,,nniiiiiinnni

iiiiixxyyxxyyrbaybxxxxxyy=====−−−−===−−−−A.根据表中数据计算得到x与y之间的经验回归方程为3ˆˆ8.ybx=+，则ˆ3.1b=B.x与y之间的样本相关系数3.1r=C.若残差的平方和越小，则模型的拟合效果

越好D.若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元【答案】AC的【解析】【分析】计算样本中心点()730,并代入线性回归方程可得ˆ3.1b=从而判断A，利用()()()()151225

51iiiiiiixxyyrxxyy===−−=−−可判断B，由残差概念可判断C，由线性回归方程只能进行数据估计可判断D.【详解】由题意，()1146101475x=++++=，()1620364048305y=++++=，样本中心点为()730,，代入3ˆˆ8.

ybx=+中，可得3.1b=，故A正确；由()()()()15122551iiiiiiixxyyrxxyy===−−=−−，得()()51324iiixxyy=−−=，()125104226iixx=−==，

()125471iiyy=−=，所以3240.943226471r=，故B错误；由残差的计算可知，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好，故C正确；若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额估计值为3.18.33.138.317.

6ˆyx=+=+=（万元），但不一定是17.6万元，故D错误.故选：AC.10.已知12FF､分别是双曲线22:2Cxy−=的左右焦点，点Q是圆221:(2)(3)2Axy−+−=上的动点，下列说法正确的是（）A.三角形12AFF

的周长是12B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8，则双曲线E为228xy−=C.若128QFQF+=，则Q的位置不唯一D.若P是双曲线左支上一动点，则2PFPQ+的最小值是3522+【答案】ACD的【解析】【分析】结合双曲线和圆的性质以及点

到直线的距离公式可得A正确；由相同渐近线方程设出双曲线方程，再由焦距解出即可得B错误；由椭圆的轨迹和圆的位置关系得到C正确；由双曲线的定义结合点与圆的位置关系得到D正确；【详解】由题意可得双曲线22:122xyC−

=，2a=，2b=，2c=，()12,0F−，()22,0F，圆心坐标()2,3A，半径22r=，A，1224FFc==，()()22122305AF=++−=，()()22222303AF=−+−=，所以三角形12AFF的周长是12，故A正确

；B，由题意可设双曲线E的方程为2222xy−=或2222yx−=，变形为标准形式22122xy−=或22122yx−=，0,1，又双曲线E的焦距为8，所以22244+==，所以双曲线E为228xy−=或228yx−=，故B错误

；C，128QFQF+=，所以Q点轨迹为以12,FF为焦点的椭圆，且284aa==，2c=，212b=，所以轨迹方程为2211612xy+=，圆心坐标()2,3A代入椭圆方程可得222311612+=，所以圆心在椭圆上，又点

Q是圆上点，画出图形可得所以，Q的位置不唯一，故C正确；D，由双曲线的定义可得21222PFPFa−==，所以2122PFPF=+，所以2122PFPQPFPQ+=++，因为11PFPQQF+，所以当1,,PQF三点共线时，1PFPQ+取得最小值1QF，又因为1QF的最小值为1252AF

r−=−，所以2PFPQ+的最小值是235225222−+=+，故D正确；故选：ACD.11.已知增函数()fx的定义域为正整数集，()fx的取值也为正整数，且满足()()*21,Nffnnn=+.下列说

法正确的是（）A.()12f=B.()46f=C.()20252536f=D.对任意正整数n，都有()1232nnf−=【答案】ABD【解析】【分析】列出()fn的值，归纳规律，可得问题结果.【详解】因为()fn为正整数，且单调递增.因

为()11f（若()11f=，则()()13ff=()13f=，所以矛盾），所以()12f=或()1fk=（3k且Nk）若()1fk=（3k且Nk），令1n=，则()()13ff=()3fk=；再令nk=，则()()21ffkk=

+()321fk=+，因为3k，所以()()3fkf，即321k+1k，这与3k矛盾.所以()13f不成立.所以()12f=.所以()()13ff=()23f=；()()25ff=()35f=；()()37ff=()57f

=；又因为()fn为正整数，且单调递增，所以()46f=；()()49ff=()69f=…可得下表：n12345678910111213141516()fn23567911121314151719212324n171819202122232425

26272829303132()fn25262728293031333537394143454748n33343536373839404142434445464748()fn49505152535455565758596061626365故

AB正确；因为：()23f=，()22632f==，()3221232f==，()4322432f==，…所以()1232nnf−=，故D正确；因为()()()102025102410002100035121000253

6fff+=+=+=，故C错.故选：ABD【点睛】方法点睛：先确定𝑓(1)的值，因为()11f，且()1Nf+，所以()12f=或()13f，若根据()13f继续往下推，得到的结果就不满足()fn单调递增，所以()12f=成立.第Ⅱ卷三､填空题：本题共3小题，

共15分.12.已知复数()()12i1iz=−+，则z=______.【答案】10【解析】【分析】利用复数的乘法运算化简复数，然后利用复数模的运算公式求解即可.【详解】()()12i1i3iz=−+=

−，故()223110z=+−=.故答案为：1013.已知nS是等差数列na的前n项和，若1133S=，则5183aaa−−=__________.【答案】3【解析】【分析】由题意得6a，进一步由等差数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()11

11161133112aaSa+===，所以63a=，所以()()51811116334753aaaadaadada−−=+−−+=+==（d为公差）.故答案为：3.14.甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1,2,3,4,5,6,7的

卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是______.【答案】29210【解析】【分析】依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张

卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12，分别计算出所对应的排列总数即可得出结论.【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张，且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12；总的情况相当于从7张卡片中抽取了5

张并进行全排列，即共57A种排法；其中三张卡片数字之和为12的组合有1,4,7；1,5,6；2,3,7；2,4,6；3,4,5共5种情况；当甲抽取的数字为1,4,7；1,5,6；2,3,7；3,4,5时，乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有32344A

A种；当甲抽取的数字为2,4,6时，若乙抽取的两张卡片数字可能为5,7，此时不合题意，此时共有()322342AAA−种；所以符合题意的排列总数为()32322343424AAAAA+−种，可得所求概率为()3232234342574AAAAA46126105829A

765437543210P+−+====.故答案为：29210【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论.四､解答题：本

题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{𝑎𝑛}的首项11a=−，且满足1321nnnaaa+=+.（1）求证：数列11na−为等比数列，并求出数列1na的通项公式；（2）若123111110naaaa++++

，求满足条件的最大整数n.【答案】（1）证明见解析，11213nna−=−（2）12【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列11na−为等比数列，再根据等比数列的通项公式写出数列1na的通项

公式即可；（2）利用分组求和法求得1231111naaaa++++L333nn=−+，记333nnbn=−+，判断出nb单调递增，再分别取13n和12n=验证即可.【小问1详解】因为1321nnnaaa+=+，所以1211111111

333nnnnnnaaaaaa++−−=−==−，又1112a−=−，所以数列11na−是以2−为首项，13为公比的等比数列；所以111121233nnna−−−=−=−，所以112

13nna−=−；【小问2详解】由（1）知212112311112222222(2)333333nnnnnaaaa−−++++=−−−−−=−++++1133231313nnnn−=−=−+−，记333nnbn=−+，则()*122110

N33nnnbbn+−=−−，所以nb单调递增，当13n时，333101033nnn−++，不符合；当12n=时，1233391033nn−+=+，所以n最大值为12.16.如图，在四棱锥PABC

D−中，平面PAD⊥平面ABCD，底面是正方形，2,3ABPA==.（1）若2,PDM=是PA中点，证明：DMPB^；（2）若1PD=，求平面PAD与平面PBC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）433【解析】的【分析】（1）先依次证明,DMPAABDM⊥⊥，由线面垂直判定定

理可得DM⊥平面PAB，进一步结合线面垂直性质即可得证；（2）思路一：建立适当的空间直角坐标系求出两个平面的法向量，结合向量夹角公式即可求解；思路二：用定义法说明PIH是二面角PBCA−−的平面角，进一步计算即可求解.【小问1详解】,PDADM=是PA中点，DMPA⊥，平面PAD⊥平面,,A

BCDABADAB⊥⊥平面PAD，DM平面,PADABDM⊥，又PA与AB是平面PAB内的两条相交直线，DM⊥平面PAB，DMPB⊥；【小问2详解】解法一：（坐标法）过P作PHAD⊥于,H平面PAD⊥平面,ABCDPH⊥平面ABCD，以H为坐标原点建立如图所示的

空间直角坐标系，331310,0,,,0,0,,0,0,,2,0,,2,022222PADBC−−，平面PAD的一个法向量为()0,1,0m=，3313,2

,,,2,2222PBPC=−=−−，设平面PBC的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则332022132022nPBxyznPCxyz=+−==−+−=，令4z=，解得0,3xy==，所以平面PBC的一个法向量为()

0,3,4,n=357cos<,1919mnmnmn===，平面PAD与平面PBC所成的角记为，43tan3=，即平面PAD与平面PBC所成角的正切值是433，解法二：（几何法）记平面PAD与平面PBC的交线为

l，AD//平面,PBCAD平面,PADAD//l，即直线,,ADBCl两两平行，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD与平面PBC所成角与二面角PBCA−−的平面角互余，过P作PHAD⊥于,H平面PAD⊥平面,ABCDPH⊥平面ABCD，过点H作HIBC⊥于I，连接

,PIPIH是二面角PBCA−−的平面角，平面PAD与平面PBC所成角的正切值为1tanPIH，3,22PHHI==，143tan3HIPIHPH==，即平面PAD与平面PBC所成角的正切值是43

3.17.平面内有一点()21,0F和直线:2lx=，动点(),Pxy满足：P到点2F的距离与P到直线l的距离的比值是22.点P的运动轨迹是曲线E，曲线E上有ABCD､､､四个动点.（1）求曲线E的方程；（2）若A在x轴上方，2220FAFB+=，求直

线AB的斜率；（3）若CD､都在x轴上方，()11,0F−，直线21//CFDF，求四边形21CFFD的面积的最大值.【答案】（1）2212xy+=（2）142（3）2【解析】【分析】（1）由已知条件列出方程化简即可；（2）设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，设:1ABlxky=+

，与E的方程联立，由2220FAFB+=，有212yy=−，结合韦达定理求出k，得直线AB的斜率；（3）延长2CF，交椭圆于点G，四边形21CFFD的面积()1GC1212FCGCGSSFFyyyy==−=−，设1:1CDlxk

y=+，利用韦达定理结合基本不等式求S的最大值.【小问1详解】由题意222(1)22xyx−+=−，两边平方得22244212xxxxy−+−++=，化简得2212xy+=，所以曲线E的方程为2212xy+=；【小问2详解】2220FAFB+=，即222FBFA−=，则

直线AB的斜率是正数，设:1ABlxky=+，直线AB的斜率为()10kk，设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立22112xkyxy=++=，化简得()222210kyky++−=，所以12122

221,22kyyyykk−−+==++，由题意知212yy=−，代入1212,yyyy+，消2y，可得2112221,222kyykk−=−=++，解得27k=，所以直线AB的斜率是142；【小问3详

解】延长2CF，交椭圆于点G，21//CFDF，由对称性可知21GFDF=，12FGF△和1CDFV等底等高，121FGFCDFSS=VV，四边形21CFFD的面积()1GC1212FCGCGSSFFyyyy==−=−，设1:1CD

lxky=+，由（2）知1221121,22CGCGkyyyykk−−+==++，所以()()2221218842CGCGCGCGkyyyyyyyyk+−=−=+−=+，即2121882kSk+=+，令211,1ktt+=，所以2122188222221

21ktkttt+==+++，当且仅当1t=即10k=时，S取到最大值2，此时CD､分别在21FF､正上方.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元

二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率

、三角形的面积等问题．18.已知函数()()121exxfxaxb−=−−−，其中,ab是实数.（1）若0a=，求()fx的单调区间；（2）若函数()fx不具有单调性，求实数a的取值范围；（3）若()0fx恒成立，求ab+的最小值.【答案】（1）()fx在

(),2−单调递增，()2,+单调递减（2）312ea−（3）0【解析】【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解；（2）由题意()22exxfxa−=−在定义域内有异号零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理列不等式求解即可；（3）易知当1x=时，0ba

+，再证=−ba能成立，即证：存在a，使得()122exxax−−恒成立，构造函数，利用导数研究其最值即可求解.【小问1详解】当0a=时，()1exxfxb−=−，则()2exxfx=−，令()0fx，解得2x，令()0fx，解得2x，所以()fx在(),2−单调

递增，()2,+单调递减；【小问2详解】函数()fx的图象是连续的，且不具有单调性，()22exxfxa−=−在定义域内有正有负（有异号零点），记()()22exxgxfxa−=−=，则()3exxgx−=在(),3−为负，()3,+为正，()fx在(),3−单

调递减，()3,+单调递增，故存在12xa=−，使得()()21222222e20eaaafxaaa−+=−=+−，只需()()3min1320efxfa==−−，即312ea−.【小问3详解】()121exxaxb−

−+对任意x都成立，当1x=时，0ba+，下证：=−ba能成立，即证：存在a，使得()122exxax−−恒成立，记()()()12210exxFxaxF−=−−=，故()10F=（必要性），而()

22exxFxa−=−，则120ea−=，解得12ea=，只需证：()()11220e2exxFxx−=−−恒成立，()21eexxFx−=−，由（2）知，其在(),3−单调递减，()3,+单调递增，()Fx在(),1−为正，在()1,3为负，在()3,+为负

，()Fx在(),1−单调递增，()1,+单调递减，()()10FxF=，得证；综上，ba+的最小值为0.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问

题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．19.正整数集1,2,3,,3Ammmmn=++++，其中,mn+NN.将集合A拆分成n个三元子集，这n个集合两两没有公共元

素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合A是“三元可拆集”.（1）若1,3mn==，判断集合A是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；（2）若0,6mn==，证明：集合A不是“三元可拆集”；（3）若

16n=，是否存在m使得集合A是“三元可拆集”，若存在，请求出m的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.【答案】（1）是，拆法见解析（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）2,3,4,,10A=，可拆成

10,7,39,5,48,6,2､､或10,6,4､9,7,28,5,3､；（2）三元可拆集”中所有元素和为偶数，A中所有元素和为19181712=，与和为偶数矛盾；（3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次

记为12316,,,,aaaa，利用等差数列求和得到1231616648aaaam+++++，结合1231624588aaaam++++=+，得到不等式，求出152m，当7m=时写出相应的集合A以及具体拆法，得到答案.【小

问1详解】是，2,3,4,,10A=，可拆成10,7,39,5,48,6,2､､或10,6,4､9,7,28,5,3､；【小问2详解】对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为

偶数，则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而1,2,3,4,,18A=，A中所有元素和为19181712=，与和为偶数矛盾，所以集合A不是“三元可拆集”；【小问3详解】1,2,3,,48Ammmm=++++有48个元素，可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数

依次记为12316,,,,aaaa，则()()()()1231648474633aaaammmm++++++++++++()28116166482mm+==+；另一方面，A中所有元素和为()249484811762mm+=+，所以212316481176245882maaaam

+++++==+，所以2458816648mm++，解得152m，即7m；当7m=时，8,9,10,,55A=，可拆为55,40,1554,38,16､､53,39,1452,35,1751

,31,2050,37,1349,25,2448,26,22､､､､､､47,29,1846,27,1945,34,1144,23,2143,33,1042,30,12､､､､､､41,32,9,36,28,8（拆法不唯一）；综上所述

，m的最大值是7.【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，数列知识等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行

解决.