【文档说明】浙江省新阵地教育联盟2025届高三上学期第一次联考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.116 MB，由小赞的店铺上传

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浙江省新阵地教育联盟2025届第一次联考数学试题卷命题：天台中学蒋永存､李明磨题：安吉高级中学焦晓东湖州二中费凡校稿：李慧华､吕金晶一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的

四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合213,60AxxBxxx=−=−−∣∣，则AB=（）A.(2,3−B.()2,3−C.1,3−D.)1,3−【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式得到B，再由交集运算即可.【详解】213,6023

AxxBxxxxx=−=−−=−∣∣∣所以AB=)1,3−故选:D2.已知平面向量()()3,1,23,4ab=−−=−，则ab=（）A.2B.10C.23−D.23【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的

坐标运算公式求解即可.【详解】()()3,1,23,4ab=−−=−，()()()323142ab=−−+−=.故选：A.3.在5(3)x−的展开式中，含2x的项的系数为（）A15B.15−C.270D.270−【答案】A【解析】.【分析】

利用二项展开式的通项公式解决问题.【详解】设二项展开式的第1r+项为：()515C3rrrrTx−+=−，由22r=4r=.所以含2x项的系数为：4545C315−=.故选：A4.在ABCV中，角,,ABC的对边分别为,,abc.已知π1,3,6abA===，则c=（）A.

1B.2C.1或2D.34或32【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−,即22313233202cccc=+−−+=，解得1c=或2c=，故选

：C5.函数cosyx=与lgyx=的图象的交点个数是（）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】根据函数图像即可判断交点个数.【详解】画出cosyx=与lgyx=的图像如图所示：根据图像可知，交点个数是4个.故选：C.的6.若随机变量()12,9XN，则下

列选项错误的是（）A.()120.5PX=B.()()915PXPX=C.()3135EX−=D.()2112DX−=【答案】D【解析】【分析】运用正态分布的概率、期望、方差性质，结合期望、方差结论逐个验证即可

.【详解】对于A选项，变量()12,9XN，这里12=，所以(12)0.5PX=，A选项正确.对于B选项，因为正态分布图象关于12x=对称，912315123=−=+，.根据正态分布的对称性，(9)(15)PXPX=，B选项正确

.对于C选项，若~(12,9)XN，则()12EX=.对于31YX=−，根据期望的性质()()EaXbaEXb+=+.所以(31)3()1312135EXEX−=−=−=，C选项正确.对于D选项，若~(12,9)

XN，则()9DX=，对于21YX=−，根据方差的性质2()()DaXbaDX+=.所以2(21)2()4936DXDX−===，D选项错误.故选：D.7.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，O为对角线A

C与BD的交点，若ππ2,,43PDAPDBAD===，则三棱锥POCD−的外接球的体积为（）A.42π3B.82π3C.162π3D.642π3【答案】B【解析】【分析】利用空间几何体及球的特征确定球心，结合球体体积公式计算即可.【详解】因为

PD⊥底面ABCD，,ADDC底面ABCD，即,PDADPDCD⊥⊥，根据题意可知ABD△为等边三角形，COD△为直角三角形，而ππ2,,43PDAPDBAD===，则2,1,3PDADDCODOC=====

，取,PCCD的中点,FE，连接,,OFOEFD，所以1//,12EFPDEFPD==，易知11,,2OECDEFOEEFDE==⊥⊥，则FPFCFDFO===，所以三棱锥POCD−的外接球的球心为F，222

DFFOOEEF==+=，∴该外接球的体积为()3482π2π33=.故选：B8.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有ab个小球，第二层有(

)()11ab++个小球，第三层有()()22ab++个小球.....依此类推，最底层有cd个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】

【分析】设各层的小球个数为数列{𝑎𝑛}，利用1ab=+，可得2212,32,abbabb=+=++，271342abb=++，利用等差数列的求和公式，求得27749112Sbb=++，根据题意，列出方程，求得b的值，进而求得该垛积

的第一层的小球个数.【详解】设各层的小球个数为数列{𝑎𝑛}，由题意得123,(1)(1),(2)(2),(1)(1)naabaabaabaanbn==++=++=+−+−，因为1ab=+，可得2212(1),(1)(2)312,abbbbabbbb=+=+=++=++223

7(2)(3)523,(6)(7)1367abbbbabbbb=++=++=++=++，则227749(122367)749112Sbbbb=+++++=++，因为前7层小球总个数为168，

所以2749112168bb++=，即2780bb+−=，解得1b=或8b=−（舍去），所以12ab=+=，可得2ab=，即该垛积第一层的小球个数为2个.故选：B.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对

得部分分，有选错的得0分.9.某地区5家超市销售额y（单位：万元）与广告支出x（单位：万元）有如下一组数据：超市ABCDE广告支出（万元）1461014销售额（万元）620364048下列说法正确的是（）参考公式：样本相关系数()()()()()()()112221

11ˆˆˆ,,nniiiiiinnniiiiiixxyyxxyyrbaybxxxxxyy=====−−−−===−−−−A.根据表中数据计算得到x与y之间的经验回归方程为3ˆˆ8.ybx=+，则ˆ3.1b=B.x与y之间的样本相关系数3.1r=C.若残差的平方和越小，则模

型的拟合效果越好D.若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元【答案】AC的【解析】【分析】计算样本中心点()730,并代入线性回归方程可得ˆ3.1b=从而判断A，利用()()()()15122551iiiiii

ixxyyrxxyy===−−=−−可判断B，由残差概念可判断C，由线性回归方程只能进行数据估计可判断D.【详解】由题意，()1146101475x=++++=，()1620364048305y=++++=，样本中心点

为()730,，代入3ˆˆ8.ybx=+中，可得3.1b=，故A正确；由()()()()15122551iiiiiiixxyyrxxyy===−−=−−，得()()51324iiixxyy=−−=，()125104226iixx=−==

，()125471iiyy=−=，所以3240.943226471r=，故B错误；由残差的计算可知，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好，故C正确；若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额估计值为3

.18.33.138.317.6ˆyx=+=+=（万元），但不一定是17.6万元，故D错误.故选：AC.10.已知12FF､分别是双曲线22:2Cxy−=的左右焦点，点Q是圆221:(2)(3)2Axy−+−=上的动点，下列说法正确的是（）A.三角形12AFF的周长是1

2B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8，则双曲线E为228xy−=C.若128QFQF+=，则Q的位置不唯一D.若P是双曲线左支上一动点，则2PFPQ+的最小值是3522+【答案】ACD的【解析】【分析】结合双曲线和圆的性质以及点到直线的距

离公式可得A正确；由相同渐近线方程设出双曲线方程，再由焦距解出即可得B错误；由椭圆的轨迹和圆的位置关系得到C正确；由双曲线的定义结合点与圆的位置关系得到D正确；【详解】由题意可得双曲线22:122xyC−=，2a=，2b=，2c=，()12,0F−，()22,0F，圆心坐标()2,3

A，半径22r=，A，1224FFc==，()()22122305AF=++−=，()()22222303AF=−+−=，所以三角形12AFF的周长是12，故A正确；B，由题意可设双曲线E的方程为2222xy−=或2222yx−=，变形为标准

形式22122xy−=或22122yx−=，0,1，又双曲线E的焦距为8，所以22244+==，所以双曲线E为228xy−=或228yx−=，故B错误；C，128QFQF+=，

所以Q点轨迹为以12,FF为焦点的椭圆，且284aa==，2c=，212b=，所以轨迹方程为2211612xy+=，圆心坐标()2,3A代入椭圆方程可得222311612+=，所以圆心在椭圆上，又点Q是圆上点，画出图

形可得所以，Q的位置不唯一，故C正确；D，由双曲线的定义可得21222PFPFa−==，所以2122PFPF=+，所以2122PFPQPFPQ+=++，因为11PFPQQF+，所以当1,,PQF三点共线时，1PFPQ+取得最小值1QF，又因为1QF的最小值为1252AFr−=−，所以2PFPQ

+的最小值是235225222−+=+，故D正确；故选：ACD.11.已知增函数()fx的定义域为正整数集，()fx的取值也为正整数，且满足()()*21,Nffnnn=+.下列说法正确的是（）A.()12f=B.()46f=C.()20252536f=D.对任意正整数n，都有()12

32nnf−=【答案】ABD【解析】【分析】列出()fn的值，归纳规律，可得问题结果.【详解】因为()fn为正整数，且单调递增.因为()11f（若()11f=，则()()13ff=()13f=，所以矛盾），所以()12f=或()1fk=（

3k且Nk）若()1fk=（3k且Nk），令1n=，则()()13ff=()3fk=；再令nk=，则()()21ffkk=+()321fk=+，因为3k，所以()()3fkf，即321k+1k，这与3k矛盾.所以()13f不成立.所以()12f=.所以()()13ff=

()23f=；()()25ff=()35f=；()()37ff=()57f=；又因为()fn为正整数，且单调递增，所以()46f=；()()49ff=()69f=…可得下表：n12345678910111213141516()fn23567911121314151719212324n171

81920212223242526272829303132()fn25262728293031333537394143454748n33343536373839404142434445464748()fn49505152

535455565758596061626365故AB正确；因为：()23f=，()22632f==，()3221232f==，()4322432f==，…所以()1232nnf−=，故D正确；因为()()()102025102410002

1000351210002536fff+=+=+=，故C错.故选：ABD【点睛】方法点睛：先确定𝑓(1)的值，因为()11f，且()1Nf+，所以()12f=或()13f，若根据()13f继续往下推，得到的结果就不满足()fn单调递增，所以()

12f=成立.第Ⅱ卷三､填空题：本题共3小题，共15分.12.已知复数()()12i1iz=−+，则z=______.【答案】10【解析】【分析】利用复数的乘法运算化简复数，然后利用复数模的运算公式求解即可.【详解】()()12i

1i3iz=−+=−，故()223110z=+−=.故答案为：1013.已知nS是等差数列na的前n项和，若1133S=，则5183aaa−−=__________.【答案】3【解析】【分析】由题意得6a，进一步由等差数列基本量

的计算即可得解.【详解】由题意()1111161133112aaSa+===，所以63a=，所以()()51811116334753aaaadaadada−−=+−−+=+==（d为公差）.故答案为：3.14.甲乙两人进行一场抽

卡游戏，规则如下：有编号1,2,3,4,5,6,7的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是______.【答案】29210【解析】【分析】依题意可知

游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12，分别计算出所对应的排列总数即可得出结论.【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张，

且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12；总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共57A种排法；其中三张卡片数字之和为12的组合有1,4,7；1,5,6；2,3,7；2,4,6；

3,4,5共5种情况；当甲抽取的数字为1,4,7；1,5,6；2,3,7；3,4,5时，乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有32344AA种；当甲抽取的数字为2,4,6时，若乙抽取的两张卡片数字可能为5,7，此时不合题意，此时共有()322342AAA−种；所以符合题意的排列总

数为()32322343424AAAAA+−种，可得所求概率为()3232234342574AAAAA46126105829A765437543210P+−+====.故答案为：29210【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽

取的卡片张数以及数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{𝑎𝑛}的首项11a

=−，且满足1321nnnaaa+=+.（1）求证：数列11na−为等比数列，并求出数列1na的通项公式；（2）若123111110naaaa++++，求满足条件的最大整数n.【答案】（1）证明见解析

，11213nna−=−（2）12【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列11na−为等比数列，再根据等比数列的通项公式写出数列1na的通项公式即可；（2）利用分组求和法求得1231111naaaa++++L333n

n=−+，记333nnbn=−+，判断出nb单调递增，再分别取13n和12n=验证即可.【小问1详解】因为1321nnnaaa+=+，所以1211111111333nnnnnnaaaaaa++−−=−==−，又1112a−=−，所以数列11na

−是以2−为首项，13为公比的等比数列；所以111121233nnna−−−=−=−，所以11213nna−=−；【小问2详解】由（1）知212112311112222222(2)333333nnnnnaaa

a−−++++=−−−−−=−++++1133231313nnnn−=−=−+−，记333nnbn=−+，则()*122110N33nnnbbn+−=−−，所以nb单调递增，当13n

时，333101033nnn−++，不符合；当12n=时，1233391033nn−+=+，所以n最大值为12.16.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，底面是正方形，2,3ABPA==.（1）若2,PDM=是

PA中点，证明：DMPB^；（2）若1PD=，求平面PAD与平面PBC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）433【解析】的【分析】（1）先依次证明,DMPAABDM⊥⊥，由线面垂直判定定理可得DM⊥平面

PAB，进一步结合线面垂直性质即可得证；（2）思路一：建立适当的空间直角坐标系求出两个平面的法向量，结合向量夹角公式即可求解；思路二：用定义法说明PIH是二面角PBCA−−的平面角，进一步计算即可求解.【小问1详解】,PDA

DM=是PA中点，DMPA⊥，平面PAD⊥平面,,ABCDABADAB⊥⊥平面PAD，DM平面,PADABDM⊥，又PA与AB是平面PAB内的两条相交直线，DM⊥平面PAB，DMPB⊥；【小问2详解】解法一

：（坐标法）过P作PHAD⊥于,H平面PAD⊥平面,ABCDPH⊥平面ABCD，以H为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，331310,0,,,0,0,,0,0,,2,0,,2,022222PADBC−−，平面PA

D的一个法向量为()0,1,0m=，3313,2,,,2,2222PBPC=−=−−，设平面PBC的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则332022132022nPBxyznPCxyz=

+−==−+−=，令4z=，解得0,3xy==，所以平面PBC的一个法向量为()0,3,4,n=357cos<,1919mnmnmn===，平面PAD与平面PBC所成的角记为，43tan3=

，即平面PAD与平面PBC所成角的正切值是433，解法二：（几何法）记平面PAD与平面PBC的交线为l，AD//平面,PBCAD平面,PADAD//l，即直线,,ADBCl两两平行，又平面PAD⊥平面

ABCD，平面PAD与平面PBC所成角与二面角PBCA−−的平面角互余，过P作PHAD⊥于,H平面PAD⊥平面,ABCDPH⊥平面ABCD，过点H作HIBC⊥于I，连接,PIPIH是二面角PBCA

−−的平面角，平面PAD与平面PBC所成角的正切值为1tanPIH，3,22PHHI==，143tan3HIPIHPH==，即平面PAD与平面PBC所成角的正切值是433.17.平面内有一点(

)21,0F和直线:2lx=，动点(),Pxy满足：P到点2F的距离与P到直线l的距离的比值是22.点P的运动轨迹是曲线E，曲线E上有ABCD､､､四个动点.（1）求曲线E的方程；（2）若A在x轴上方，2220F

AFB+=，求直线AB的斜率；（3）若CD､都在x轴上方，()11,0F−，直线21//CFDF，求四边形21CFFD的面积的最大值.【答案】（1）2212xy+=（2）142（3）2【解析】【分析】（1）由已知条件列出方程化简即可；（2）设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，设:1A

Blxky=+，与E的方程联立，由2220FAFB+=，有212yy=−，结合韦达定理求出k，得直线AB的斜率；（3）延长2CF，交椭圆于点G，四边形21CFFD的面积()1GC1212FCGCGSSFFyyyy==−=−，设1:1CDlxky=+，利用韦达定理结合基本不等式求S的最大值.【小

问1详解】由题意222(1)22xyx−+=−，两边平方得22244212xxxxy−+−++=，化简得2212xy+=，所以曲线E的方程为2212xy+=；【小问2详解】2220FAFB+=，即222FBFA−=，则直线A

B的斜率是正数，设:1ABlxky=+，直线AB的斜率为()10kk，设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立22112xkyxy=++=，化简得()222210kyky++−=，所以121222

21,22kyyyykk−−+==++，由题意知212yy=−，代入1212,yyyy+，消2y，可得2112221,222kyykk−=−=++，解得27k=，所以直线AB的斜率是142；【小问3详解】延长2CF，交椭圆于点G，21//C

FDF，由对称性可知21GFDF=，12FGF△和1CDFV等底等高，121FGFCDFSS=VV，四边形21CFFD的面积()1GC1212FCGCGSSFFyyyy==−=−，设1:1CDlxky=+，由（2）知1221121,22CGCGkyyyykk−−+==+

+，所以()()2221218842CGCGCGCGkyyyyyyyyk+−=−=+−=+，即2121882kSk+=+，令211,1ktt+=，所以212218822222121ktkttt+==+++，当且仅当1t=即10k=时，S取到最大值2，此时CD､分别在2

1FF､正上方.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊

情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18.已知函数()()121exxfxaxb−=−−−，其中,ab是实数.（1）若0a=，求()fx的单调区间；（2）若函数()fx不具有

单调性，求实数a的取值范围；（3）若()0fx恒成立，求ab+的最小值.【答案】（1）()fx在(),2−单调递增，()2,+单调递减（2）312ea−（3）0【解析】【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解；（2）由题意()22exxfxa−

=−在定义域内有异号零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理列不等式求解即可；（3）易知当1x=时，0ba+，再证=−ba能成立，即证：存在a，使得()122exxax−−恒成立，构造函数，利用导数研究其最值即可求解

.【小问1详解】当0a=时，()1exxfxb−=−，则()2exxfx=−，令()0fx，解得2x，令()0fx，解得2x，所以()fx在(),2−单调递增，()2,+单调递减；【小问2详解】函数()fx的图象是连续的，且不具有单调性，(

)22exxfxa−=−在定义域内有正有负（有异号零点），记()()22exxgxfxa−=−=，则()3exxgx−=在(),3−为负，()3,+为正，()fx在(),3−单调递减，()3,+单调递增，故存在12xa

=−，使得()()21222222e20eaaafxaaa−+=−=+−，只需()()3min1320efxfa==−−，即312ea−.【小问3详解】()121exxaxb−−+对任意x都成立，当1x=时，0ba+，下证：=−ba能成立，即证：

存在a，使得()122exxax−−恒成立，记()()()12210exxFxaxF−=−−=，故()10F=（必要性），而()22exxFxa−=−，则120ea−=，解得12ea=，只需证：()()11220e2exxFxx−=−−恒成立，()21eexxFx−=−，由（2）

知，其在(),3−单调递减，()3,+单调递增，()Fx在(),1−为正，在()1,3为负，在()3,+为负，()Fx在(),1−单调递增，()1,+单调递减，()()10FxF=，得证；综上，ba+的最

小值为0.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、

极（最）值问题处理．19.正整数集1,2,3,,3Ammmmn=++++，其中,mn+NN.将集合A拆分成n个三元子集，这n个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合A是“三元可

拆集”.（1）若1,3mn==，判断集合A是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；（2）若0,6mn==，证明：集合A不是“三元可拆集”；（3）若16n=，是否存在m使得集合A是“三元可拆集”，若存在，请求出m的最大值并给出一种拆法

；若不存在，请说明理由.【答案】（1）是，拆法见解析（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）2,3,4,,10A=，可拆成10,7,39,5,48,6,2､､或10,6,4､

9,7,28,5,3､；（2）三元可拆集”中所有元素和为偶数，A中所有元素和为19181712=，与和为偶数矛盾；（3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,aaaa，利用等差数列求和得到1231616648aaaa

m+++++，结合1231624588aaaam++++=+，得到不等式，求出152m，当7m=时写出相应的集合A以及具体拆法，得到答案.【小问1详解】是，2,3,4,,10A=，可拆成10,7,39,5,48,6,2､､或10,6,4､9

,7,28,5,3､；【小问2详解】对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而1,2,3,4,,18A=，A中所有元素和为19181712=，与和为偶数矛盾，所以集合A不是“三元可拆集”；【小问3详

解】1,2,3,,48Ammmm=++++有48个元素，可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,aaaa，则()()()()1231648474633aaaammmm++++

++++++++()28116166482mm+==+；另一方面，A中所有元素和为()249484811762mm+=+，所以212316481176245882maaaam+++++==+，所以2458816648mm+

+，解得152m，即7m；当7m=时，8,9,10,,55A=，可拆为55,40,1554,38,16､､53,39,1452,35,1751,31,2050,37,1349,25,2448,26,22､､､､､､

47,29,1846,27,1945,34,1144,23,2143,33,1042,30,12､､､､､､41,32,9,36,28,8（拆法不唯一）；综上所述，m的最大值是7.【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会

和函数的性质，数列知识等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.