【文档说明】四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.708 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合20,1,2,3,|30MNxxx==−，则MN=（）A.{}0B.x|0xC

.x|03xD.1,2【答案】D【解析】由题意得，集合{|03}Nxx=，所以1,2MN=，故选D．考点：集合的运算．2.下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是（）A.2iB.34i+C.13

22i−+D.1122i+【答案】C【解析】试题分析：对于选项A,由于模长为2，不成立，对于B,由于模长为5，不成立，对于C，由于满足模长为1，成立，对于D，模长为22，故选C．考点：复数的几何意义点评：解决的关键是根据复数的几何意义来得到点的坐标，进而判定模长是否为1即可，属

于基础题．3.命题“(2,0)x−，220xx+”的否定是（）A.2000(2,0),20xxx−+…B.2000(2,0),20xxx−+…C.2000(2,0),20xxx−+D.

2000(2,0),20xxx−+…【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：(2,0)x−，220xx+为全称命题，故其否定为0(2,0)x−，2020oxx+故选：D【点睛】本题考查含有一

个量词的命题的否定，属于基础题.4.已知等差数列{}na的前n项和为nS，9445,31nSa−==，若198nS=，则n=（）A.10B.11C.12D.13【答案】B【解析】945S=1955945()952aaaa=+==,所以154()()198(531)11222n

nnnnnSaaaan−=+=+=+=,选B.5.猜商品的价格游戏，观众甲：2000!主持人：高了!观众甲：1000!主持人：低了!观众甲：1500!主持人：高了!观众甲：1250!主持人：低了!观众甲：1

375!主持人：低了!则此商品价格所在的区间是（）A.()1000,1250B.()1250,1375C.()1375,1500D.()1500,2000【答案】C【解析】由题意，1250低了；1375低了；1500高了；2000高

了，依据零点存在定理可以判断出，此商品的价格应在1375与1500之间，故选C.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及零点存在定理的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决

这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：对“高了”，“低了”的理解和应用.6.“直线(2)310mxmy+++=与(2)(2)0mxmy−+

+=互相垂直”是“12m=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线()2310mxmy+++=与()()220mxmy−++=互相垂直，则()()()22320m

mmm+−++=，解得2m=−或12m=即“直线()2310mxmy+++=与()()220mxmy−++=互相垂直”是“12m=”的必要不充分条件．故答案选B7.设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是()A.ccabB.loglogaabcC.a

bccD.loglogbacc【答案】D【解析】【分析】利用对数与指数式互化，对logbmc=，loganc=变形即可判断．【详解】令logbmc=，loganc=，则mcb=，nca=，即mnba=因为a>b>c>1，所以mn，所以logbc<log

ac不正确．故选D【点睛】本题主要考查了对数与指数式互化，还考查了指数运算，属于基础题．8.对于平面、、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A.若am⊥，an⊥，m，n，则a⊥B.若//ab，b，则//

aC.若//，a=，b=，则//abD.若⊥，a，则a⊥【答案】C【解析】【分析】根据线线和线面与面面的平行与垂直的判定和性质判断即可.【详解】A.根据线面垂直的垂直的判定定理可知,m,n必须是相交直线,所以A错误.B.根据直

线和平面平行的判定定理可知,a必须在平面外,所以B错误.C.根据面面平行的性质定理可知,两个平行平面同时和第三个平面相交,则交线平行,所以C正确.D.根据面面垂直的性质可知,a必须垂直于,的交线才有a⊥.所以D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定与性质,需要根据

题意找到满足的条件,属于基础题型.9.已知函数()sin24fxx=+，则下列结论中正确的是A.函数()fx的最小正周期为2B.函数()fx的图象关于点,04对称C.由函数()fx的图象向右平移8个单位长度可以得到函数sin2yx=的图象

D.函数()fx在区间5,88上单调递增【答案】C【解析】对于函数()sin24fxx=+，它的最小正周期为22=π，故排除A；令x=4，求得f（x）=22，故函数f（x）的图象不关于点,04

对称；故排除B；把函数()sin24fxx=+的图象向右平移8个单位长度，可以得到函数y=sin2（x﹣8）+4]=sin2x的图象，故C满足条件；在区间5,88上，24x+∈（2，32），函数f（x）单调递减，故排除D，故选C．

10.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,,9的9个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）12345

6789A.108种B.60种C.48种D.36种【答案】A【解析】首先1、5、9颜色确定，有三种可能，于是2、6就只有两种可能．如果2、6颜色相同的两种情况下，3就有4种可能．若2、6颜色不同，则只有一种可能，加之2、6排列不同，2种．于是右上角6种．以此

类推．有3*6*6种可能．11.函数为R上的可导函数，其导函数为()fx，且()3sincos6fxfxx=+，在ABC中，()()1fAfB==，则ABC的形状为A.等腰锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形

【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，先求出'16f=，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数()'3'cossin6fxfxx=−，则3131'3'cossin3''6666262262ffff

=−=−=−，则11'262f=，则'16f=，则()'3cossin2cos6fxxxx=−=+，()3sincos2cos3fxxx

x=+=−，()()'1fAfB==，()'2cos16fBB=+=，即1cos62B+=，则63B+=，得6B=，()2cos13fAA=−=，即1cos32A

−=，则33A−=，则23A=，则2366C=−−=，则BC=，即ABC是等腰钝角三角形，故选D．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()fx和()'fx的解析式是解决本题的关键．12.已知偶函数()fx满足()()44fxfx+

=−，且当(0,4x时，()()ln2xfxx=，关于x的不等式()()20fxafx+在区间200,200−上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（）A.1ln2,ln63−−B.1ln2,ln63−−C.13ln6,ln

234−−D.13ln6,ln234−−【答案】D【解析】【分析】根据()fx的周期和对称性得出不等式在(0,4]上的整数解的个数为3,计算()(1,2,3,4)fkk=的值得出a的范围.【详

解】因为偶函数()fx满足(4)(4)fxfx+=−,所以(4)(4)(4)fxfxfx+=−=−,所以()fx的周期为8且()fx的图象关于直线4x=对称,由于[200,200]−上含有50个周期,且()fx在每个周期内都是轴对称图形,所以关于x的不

等式2()()0fxafx+在(0,4]上有3个整数解,当(0,4]x时,21ln2'()xfxx−=,由'()0fx,得02ex,由'()0fx,得42ex,所以函数()fx在(0,)2e上单调递增,在(,4)2e上单调递减,

因为(1)ln2f=,ln83(2)(3)(4)ln2044fff==,所以当(1,2,3,4)xkk==时,()0fx,所以当0a时,2()()0fxafx+在(0,4]上有4个整数解,不符合题意,所以0a,由2()()0fxafx+可得()0fx或()fxa−,显然()0f

x在(0,4]上无整数解,故而()fxa−在(0,4]上有3个整数解,分别为1,2,3,所以3(4)ln24af−=,ln6(3)3af−=,(1)ln2af−=,所以ln63ln234a−−.故选:D

【点睛】本题考查了函数的周期性,考查了函数的对称性,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了一元二次不等式,属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投

进的次数，则()DX=______.【答案】9.375(75/8)【解析】【分析】根据二项分布方差计算公式计算出结果.【详解】由于X满足二项分布，故()()500.7510.759.375DX=−=.【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查二项分布方差计算公式，属于基础题.14.已知实数

x，y满足条件2403300,0xyxyxy−+−−，则2zxy=+最大值为__________．【答案】8【解析】【分析】先画出可行域，然后把z＝x+2y变形为直线122zyx=−+，通过平移直线发现当这直线过点A时其在y轴上

的截距最大，则问题解决．【详解】画出可行域又z＝x+2y可变形为y12=−x2z+，所以当该直线经过点A时z取得最大值，联立24=033=0xyxy−+−−得点A的坐标为（2，3），所以zmax＝2+2×3＝8．故答案为8【点评】本

题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，考查数形结合，确定最优解是关键，是中档题15.化简：()40103sintan−＝________.【答案】－1【解析】原式sin10sin?40?(3cos10＝－)()sin402sin40sin1?03cos1?0co

s10cos10＝－＝(13sin1?0?cos1?0)22－2sin40sin80cos?401cos10cos10−−＝＝＝－.故答案为1－【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16.已知四面体AB

CD中，26ABAD==，43BD=，BCD为等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，则四面体ABCD外接球的表面积为______.【答案】64π【解析】【分析】取BD的中点E，连接AE，CE，取CE的三等分点为O，可证得O为四面体ABCD外接球的球心，再结合长度关系

可求得r,利用球的表面积公式即得解.【详解】取BD的中点E，连接AE，CE，取CE的三等分点为O，使得2COOE=，则O为等边BCD的中心.由于平面ABD⊥平面BCD，且交线为BD，CEBD⊥，CE⊥平面ABD.而22248ABADBD+==，所以ABD为等腰直角三角形，

且E为ABD的外心，所以OAOBOD==，又OBOCOD==，所以O为四面体ABCD外接球的球心，其半径2343432r==.故四面体ABCD外接球的表面积为24464S==.故答案为：64π【点睛】本题考查了四面体的外接球的表面积，考查了学生空间想象，综合

分析，数学运算能力，属于中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列na的前n项和为nS，且2525aa+=，555S=.（1）求数列na的通

项公式；（2）设131nnabn=−，求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)32nan=+；(2).2(32)nnTn=+【解析】试题分析：（1）根据等差数列基本量的运算求得153ad==，，故可得通项公式．（2）根据数列nb通项公式

的特点利用裂项相消法求和．试题解析：（1）设等差数列na的公差为d，由题意得2515312525551055aaadSaad+=+===+=，解得15,3,ad==()53132.nann=+−=+（2）由（1）得()()()11111.3131323313

2nnbannnnn===−−−+−+121111111325583132nnTbbbnn=++=−+−++−−+()111.3232232nnn=−=++18.某烘焙店加工一个成本为60元的

蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，nN）的函数解析式；（2）烘焙店记录了100

天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列与数学期望及方差；②若烘焙店一天加工16个或

17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.【答案】（1）120960,[0,16),960,[16,),nnnynn−=+NN（2）①分布列见解析；()912EX=（元）；()6336DX=②

应加工17个，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意，分别讨论[0,16)n和[16,)+n两种情况，即可得出结果；（2）①先由（1）计算出X的可能取值，结合题中条件，即可得出分布列，进而可求出期望与方差；②根据题意求出X的可能取值，得出期望，与①比较大小，即可得出结论.【详解】（1

）由题意，当[0,16)n时，利润120960=−yn；当[16,)+n时，利润()1206016960=−=y；综上，当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为120960,[0,16),960,[16,),nnnynn−=

+NN；（2）①由（1）可得，当14n=时，利润12014960720=−=X；当15n=时，利润12015960840=−=X；当16n时，利润960=X；所以X的分布列为：X720840960P0.10.20.7所以()7200.18400.

29600.7912EX=++=（元）；222()(720912)0.1(840912)0.2(960912)0.76336DX=−+−+−=；②由题意，加工17个蛋糕时，当14n=时，利润120146017660=−=X；当

15n=时，利润120156017780=−=X；当16n=时，利润120166017900=−=X；当17n时，利润60171020==X；X的分布列如下：X6607809001020P0.10.20.160.54

则()6600.17800.29000.1610200.54916.8912EX=+++=从数学期望来看，每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润，应加工17个.【点睛】本题主要考查函数模型，以及离散型随机变量的分布列，期望与方差等，熟记离散型随机变量分布列的概念，期望与方差

的计算公式即可，属于常考题型.19.如图，在三棱台ABCDEF−中，2BCEF=，G，H分别为AC，BC上的点，平面//GHF平面ABED，CFBC⊥，ABBC⊥.（1）证明：平面BCFE⊥平面EGH；（2）若

ABCF⊥，22ABBCCF===，求二面角BADC−−的大小.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）证明GHBC⊥，HEBC⊥得到BC⊥平面EGH，得到答案.（2）分别以HG，HB，HE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz−，计算平面ABD的一个法

向量为()0,1,1m=，平面ADC的一个法向量为()1,1,0n=−，计算夹角得到答案.【详解】（1）因为平面GHF∥平面ABED，平面BCFE平面ABEDBE=，平面BCFE平面GHFHF=，所以BEHF∥.因为BCEF∥，所以四边形BHFE为平行四边形，所以BHEF=，因为2B

CEF=，所以2BCBH=，H为BC的中点.同理G为AC的中点，所以//GHAB，因为ABBC⊥，所以GHBC⊥，又HCEF∥且HCEF=，所以四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE∥，又CFBC⊥，所以HEBC⊥.

又HE，GH平面EGH，HEGHH=，所以BC⊥平面EGH，又BC平面BCFE，所以平面BCFE⊥平面EGH（2）HEHB⊥，HGHB⊥，ABCF⊥，CFHE∥，//GHAB，所以HEHG⊥.分别以HG，HB，HE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz−

，则()2,1,0A，()0,1,0B，()1,0,1D，()0,1,0C−.设平面ABD的一个法向量为()111,,mxyz=，因为()2,0,0AB=−，()1,1,1BD=−则1111200mABxmBDxyz

=−==−+=，取11y=，得()0,1,1m=.设平面ADC的一个法向量为()222,,nxyz=，因为()1,1,1AD=−−，()2,2,0AC=−−则222220220nADxyznACxy=−=+==−

−=，取21x=，得()1,1,0n=−.所以1cos,2mnmnmn==，则二面角BADC−−的大小为3【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.设函数()ln(1)()fxxaxaR=−−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当函数()fx

有最大值且最大值大于3a−时，求a的取值范围.【答案】（1）当1a时，函数()fx在()0,+上单调递增；当1a时，函数()fx在10,1a−上单调递增，在1,1a+−上单调递减；（2）()1,2.【解析】【分析】（1）求定义域，求

导，对参数进行分类讨论即可；（2）由（1）知a的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可.【详解】（1）函数()ln(1)()fxxaxaR=−−的定义域为()0,+，()11(1)(1)axfxaxx−−=−−=.当10a−，即1a时，()0fx，函数()fx在()0,+上单调

递增.当10a−时，令()0fx=，解得11xa=−，当101xa−时，()0fx，函数单调递增，当11xa−时，()0fx，函数单调递减.综上所述：当1a时，函数()fx在()0,+上单调递增，当1a时，函数()fx在10,1a

−上单调递增，在1,1a+−上单调递减.（2）由（1）知，当函数()fx有最大值时，1a，且最大值max11()ln111fxfaa==−−−，此时1ln131aa−

−−，即ln(1)20aa−+−.令()ln(1)2,1gaaaa=−+−.()1101gaa=+−故()ga在()1,+上单调递增，且()20g=∴()0ga等价于()()2gag，∴12a，故a的取值范围为()1,2.【点睛】本题考查利用导数对含参函数的单调性

进行讨论，以及利用导数求解不等式.属导数综合题.21.已知抛物线()2:20Cypxp=的内接等边三角形AOB的面积为33（其中O为坐标原点）．（1）试求抛物线C的方程；（2）已知点()1,1,,MPQ两点在抛物线C上，MPQ是以

点M为直角顶点的直角三角形．①求证：直线PQ恒过定点；②过点M作直线PQ的垂线交PQ于点N，试求点N的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．【答案】（1）2yx=；（2）①证明见解析；②22310(1)xyxx+−+=，是以MH为直径的圆（除去点(1,1).【解析】【分析】（1）设A（xA，

yA），B（xB，yB），由|OA|＝|OB|，可得2Ax+2pxA2Bx=+2pxB，化简可得：点A，B关于x轴对称．因此AB⊥x轴，且∠AOx＝30°．可得yA＝23p，再利用等边三角形的面积计算公式即可得出；（2）①由题意可设直线PQ的方程为：x＝my+a，

P（x1，y1），Q（x2，y2）．与抛物线方程联立化为：y2﹣my﹣a＝0，利用∠PMQ＝90°，可得MPMQ=0利用根与系数的关系可得32a−=m12+，或32a−=−（m12+），进而得出结论；

②设N（x，y），根据MN⊥NH，可得MNNH=0，即可得出．【详解】（1）解依题意，设(),AAAxy，(),BBBxy，则由OAOB=，得2222AABBxpxxpx+=+，即()()20ABABxxxxp−++=，因

为0Ax，0Bx，所以20ABxxp++，故ABxx=，AByy=，则A，B关于x轴对称，所以ABx⊥轴，且30AOx=，所以3tan303AAyx==.因为22AAyxp=，所以23Ayp=，所以243A

AByp==，故()22343123334AOBSpp===，12p=，故抛物线C的方程为2yx=.（2）①证明由题意可设直线PQ的方程为xmya=+，()11,Pxy，()22,Qxy，由2xmyayx=+=，消去x，得20ymya−−=，故240ma=+，12yym+

=，12yya=−.因为90PMQ=，所以0MPMQ=.即()()()()121211110xxyy−−+−−=.整理得()()1212121220xxxxyyyy−++−++=，()()22212121212320yyyyyyyy−++−++=，即22

320amam−−−+=，得223122am−=+，所以3122am−=+或3122am−=−+.当3122am−=+，即2am=+时，直线PQ的方程为()11xmyamy=+=−+，过定点()1,1，不合题意舍去.故直线PQ恒过定点()2,1H−.

②解设(),Nxy，则MNNH⊥，即0MNNH=，得()()()()12110xxyy−−++−=，即()223101xyxx+−+=，即轨迹是以MH为直径的圆（除去点()1,1）.【点睛】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与

抛物线相交问题、等边三角形的性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【选修4-4：极坐标与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为21xtyt=−=−+（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正

半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2232cos1=+.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于,MN两点，求MON的面积.【答案】(1)2213yx+=(2)34

【解析】分析：（1）把曲线C的极坐标方程化成()2223cossin3+=，利用cos,sinxy==可得其直角坐标方程.（2）把直线的参数方程改写为222212xtyt=−=−+，利用t的几何意义求出MN的长度，再把直线的参

数方程化为普通方程，计算O到直线MN的距离后可计算MON的面积.详解：（1）因为()222232cos132cos1=+=+，所以曲线C的直角坐标方程为2213yx+=；（2）将直线l的参

数方程222212xtyt=−=−+（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程，得272502tt−+=，设,MN两点对应的参数分别为12tt，则121272,?52tttt+==，于是()2121

2324?2MNtttt=+−=，直线l的普通方程为10xy+−=，则原点O到直线l的距离001222d+−==，所以1324MONSMNd==.点睛：极坐标方程转为直角坐标方程的关键是利用公式cossinxy==，必要时需要对极坐标方程变形使得方程中尽量出现co

s,sin.另外在计算弦长时注意利用直线的参数方程00cossinxxtyyt=+=+（为直线的倾斜角，t为参数）来简化计算，因为t的几何意义是(),Pxy、()000,Pxy之间的距离.23.已知,,abc为正数,且2abc++=,证明:(1)43abbcac++；(2)2

228abcbca−−−.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）将a+b+c＝2平方，然后将基本不等式2222222,2,2ababbcbcacac+++三式相加，进行证明；（2）由2

2,abcbcbbb−+=2222,bacaccbabacccaaa−+−+==，三式相乘进行证明.【详解】(1)将a+b+c＝2平方得:2222224abcababac+++++=，由基本不等式知:2222222,2,

2ababbcbcacac+++，三式相加得:222abcabbcac++++，则2224222333abcabbcacabbcac=+++++++所以43abbcac++，当且仅当a＝b＝c＝23时等号成立(2)由22abcbcbbb−+=，

同理2222,bacaccbabacccaaa−+−+==则2222228abcbcacbabcabca−−−=，即2228abcbca−−−当且仅当23abc===时等号成立【点睛】本

题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.