【文档说明】高中数学新教材同步备课 【新教材精创】6.2.3- 6.2.4 组合与组合数 教学设计- (人教A版 选择性必修第三册).docx，共(9)页，224.810 KB，由管理员店铺上传

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6.2.3-6.2.4组合与组合数本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要学习组合与组合数.排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和

优化计数问题。教学的重点是组合的理解，利用计数原理及排列数公式推导组合数公式，注意区分排列与组合的区别，难点是运用组合解决实际问题。课程目标学科素养A.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.B.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,

并运用于计算之中.C.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.1.数学抽象：组合的概念2.逻辑推理：组合数公式的推导3.数学运算：组合数的计算及性质4.数学建模：运用组合解决计数问题重点：组合、组合数的概念并运用排列

组合公式解决问题难点：组合与排列之间的联系与区别多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、问题探究问题1.从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，

乙下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是

，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：甲乙、甲丙、乙丙.从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？一、组合的相关概念1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元

素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.名师点析排列与组合的区别与联系(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.(

2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？（1）与顺序无关，是组合问题；（2）选出2辆给

3位同学是有顺序的，是排列问题。通过具体问题，分析、比较、归纳出组合的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。例5.平面内有A，B，C，D共4个点.（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定

两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向

线段条数为𝐴42=4×3=12.这12条有向线段分别为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.问

题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？二、组合数与组合数公式1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤

n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号𝐶𝑛𝑚表示.例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为𝐶32，从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为

𝐶42.思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数𝐶43，设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数𝐴43=24，以“元素相在典例分析和练习中让学生熟悉组合和组合数的概念，进而灵活运用排列数解决问题。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

同”为标准将这24个排列分组如图，一共有4组，因此组合数𝐶43=4.问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数𝐴𝑛𝑚来求组合数𝐶𝑛𝑚呢？也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数𝐴43”第1步，从4个元素中取出3个元素作为

一组，共有𝐶43种不同的取法；第2步，将取出的3个元素做全排列，共有𝐴33种不同的取法.于是，根据分布乘法计数原理有𝐴43=𝐶43∙𝐴33即𝐶43=𝐴43𝐴33=4.同样的从𝑛个不同对象中取出𝑚个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从𝑛个不

同对象中取出𝑚个，有𝐶𝑛𝑚种选法；第二步将选出的𝑚个对象做全排列，有𝐴𝑚𝑚种排法.由分步乘法计数原理有𝐴𝑛𝑚=𝐶𝑛𝑚×𝐴𝑚𝑚，所以𝐶𝑛𝑚=𝐴𝑛𝑚𝐴𝑚𝑚=𝑛(𝑛−1)…[𝑛−(𝑚−1)]𝑚×(𝑚−1)×…×2×1=𝑛!(𝑛−𝑚)

!𝑚!上述公式称为组合数公式.2.组合数公式:𝐶nm=𝐴nm𝐴mm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!这里nm∈N*并且m≤n.另外我们规定C𝑛0=1.二、典例解析例6.计算：（1）𝐶103；（2）𝐶1

07；（3）𝐶1010；（4）𝐶100.解:根据组合数公式，可得（1）C103=A103A33=10×9×83×2×1=120;（2）C107=10!7!(10−7)!=10×9×8×77!×3!

=120；(3)C1010=A1010A1010=10!10!=1;(4)C100=1;观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？1.公式C𝑛𝑚=A𝑛�

�A𝑚𝑚=𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)…(𝑛-𝑚+1)𝑚!(mn∈N*且m≤n)一般用于求值计算.2.公式C𝑛𝑚=𝑛!𝑚!(𝑛-𝑚)!(mn∈N*且m≤n)一般用于化简证明.在具体选择公式时要根据题目特点正确选择.3.根据题目特点合

理选用组合数的两个性质C𝑛𝑚=C𝑛𝑛-𝑚,C𝑛+1𝑚=C𝑛𝑚+C𝑛𝑚-1能起到简化运算的作用需熟练掌握.跟踪训练1.(1)计算:①3C83-2C52+C88;②C10098+C200199.(2)求证:C𝑛𝑚+1+C𝑛

𝑚-1+2C𝑛𝑚=C𝑛+2𝑚+1.分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.(1)解:①3C83-2C52+C88=3×8×7

×63×2×1-2×5×42×1+1=149.②C10098+C200199=C1002+C2001=100×992×1+200=5150.(2)证明左边=𝑛!(𝑚+1)!(𝑛-𝑚-1)!+𝑛!(𝑚-1)!(𝑛-𝑚+1)!

+2·𝑛!𝑚!(𝑛-𝑚)!=𝑛!(𝑚+1)!(𝑛-𝑚+1)!·[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]=𝑛!(𝑚+1)!(𝑛-𝑚+1)!(n+2)(n+1)=(𝑛+2)!(𝑚

+1)!(𝑛-𝑚+1)!=C𝑛+2𝑚+1=右边.例7.在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多

少种？分析:（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数；（2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；（3）可从反面考虑，其反

面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得．解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，∴共有3100161700C=(种)；（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有12C种，从98

件合格品中抽出2件合格品的抽法有298C种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有122989506CC=(种).（3）抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽

法的种数，即33100981617001520969604CC−=−=(种).组合问题的基本解法(1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解.跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,

学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.分析:本题

属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.解:(1)C125=792(种)不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加只需从另外的9人中选2人共有C92=36(种)不同的选法.(3)

甲、乙、丙三人不能参加只需从另外的9人中选5人共有C95=126(种)不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加分两步先从甲、乙、丙中选1人有C31=3(种)选法再从另外的9人中选4人有C94种选法.共有C31C94=378(种)不同的选法.(5)(方法一直接法)可分为

三类:第1类甲、乙、丙中有1人参加有C31C94种选法;第2类甲、乙、丙中有2人参加有C32C93种选法;第3类甲、乙、丙3人均参加有C33C92种选法.所以共有C31C94+C32C93+C33C92=666(种)不同的选法.(方法二间接

法)12人中任意选5人共有C125种甲、乙、丙三人不能参加的有C95种所以共有C125−C95=666(种)不同的选法.变式：若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法?解:(方法一直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加可分为三类:第1类甲、乙、丙都不参加

有C95种选法;第2类甲、乙、丙中有1人参加有C31C94种选法;第3类甲、乙、丙中有2人参加有C32C93种选法.共有C95+C31C94+C32C93=756(种)不同的选法.(方法二间接法)12人中任意选5人共有C1

25种甲、乙、丙三人全参加的有C92种选法所以共有C125−C92=756(种)不同的选法.三、达标检测1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有()A.1个B.2个C.3个D.

4个解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2个.答案:B2.若A𝑛2=3C𝑛-12则n的值为()A.4B.5C.6D.7解析:因为A𝑛2=3C𝑛-12所以n(n-1)=3(𝑛-1)(𝑛-2)2解

得n=6.故选C.答案:C3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有个.解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为𝐶54=5.答案:54.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可

得多少个不同的三角形?解:(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准:第1类共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点共有C42·C81=48(个)不同的三角形;第2类共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点共有C41·C82=112(个)不同的三

角形;第3类共线的4个点中没有点作为三角形的顶点共有C83=56(个)不同的三角形.由分类加法计数原理不同的三角形共有48+112+56=216(个).(方法二间接法)C123−C43=220-4=216(个).通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直

观想象、数学建模的核心素养。四、小结在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是学生对组合概念的理解，并能区分出组合与排列。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出组合的定义，然后借助计数原理好排列数，推导出组合数公式，其

中关键是在具体情境中运用组合解决计数问题。五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。