【文档说明】重庆市西南大学附属中学2022-2023学年高二上学期1月线上定时检测数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.355 MB，由小赞的店铺上传

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西南大学附中2022—2023学年度上期一月线上定时检测高二数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须

在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

．1.顶点在原点，且过点()2,2−的抛物线的标准方程是（）A.22yx=−B.22xy=C.22yx=或22xy=−D.22yx=−或22xy=【答案】D【解析】【分析】利用待定系数法求出抛物线的标准方程.【详解】点()2,2−在第二象限

.当焦点在x轴上时，可设抛物线的标准方程为22xpy=，把()2,2−代入解得：1p=，所以抛物线的标准方程为22xy=.当焦点在y轴上时，可设抛物线的标准方程为22ypx=−，把()2,2−代入解得：1p=，所以抛物线的标准方程为22yx=−.故选：D2.过点()2,3A

作圆22:1Mxy+=的一条切线，切点为B，则AB=（）A.3B.23C.7D.10【答案】B【解析】【分析】由题意可知222ABrAM+=，先求出AM，从而可求得结果.【详解】因为圆22:1Mxy+=，所以圆M的圆心为(0,0)

M，半径为1r=，因为AB与圆M相切，切点为B，所以ABBM⊥，则222ABrAM+=，因为222313AM=+=，所以2213123ABAMr=−=−=.故选：B.3.在三棱锥−PABC中，M是平面ABC上一点，且

52PMPAtPBPC=++，则t=（）A.1B.2C.17D.12【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的基本定理得到关于t的方程，解之即可.【详解】因为52PMPAtPBPC=++，所以21555tPMPAPBPC=++

，因为M是平面ABC上一点，即,,,ABCM四点共面，所以211555t++=，所以2t=．故选：B.4.已知等差数列na的公差为2，若124,,aaa成等比数列，则2a=（）A10−B.6−C.4D.4−【答案】C【解析】【分析】根据已知得出122aa=−，4

24aa=+，即可根据等比中项结合已知列出式子，求解得出答案.【详解】数列na是公差为2的等差数列，.122aa=−，424aa=+，124,,aaa成等比数列，2214aaa=，即()()222224aaa=−+，解得24a=，故选：C.5.双曲线()2222:

10,0xyCabab−=的一条渐近线的倾斜角为40，则C的离心率为（）A.2sin40B.1cos40C.1sin40D.2cos40【答案】B【解析】【分析】先由已知求得tan40ba=，再

利用三角函数的基本关系式与双曲线C的关系式222+=abc进行转化演算，从而求得双曲线C的离心率．【详解】因为双曲线2222:1xyCab−=()0,0ab的渐近线方程为byxa=，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为40，所以sin40tan40cos40ba=

=，则22222222sin401cos40bcaeaa−==−=，所以2222222sin40sin40cos4011cos40cos40cos40e+=+==，则1cos40e=.故选：B.6.等比数列na中，342,5

aa==，则数列lgna的前6项和等于（）A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】【分析】利用等比数列性质可得16253410aaaaaa===，再利用对数的运算性质即可求解.【详解】因为数列na为等比数列，且342,5aa==，所以16253410aaaaaa===，所以31234

5612345634lglglglglglglg()lg()3aaaaaaaaaaaaaa+++++===，的故选：D.7.已知点P是抛物线24yx=上的动点，点P在y轴上的射影是点M，已知点()3,4A，则PAPM+的最

小值是（）A.251−B.92C.251+D.32【答案】A【解析】【分析】先由题意求得抛物线的准线和焦点，再利用抛物线的定义即可求得PAPM+的最小值.【详解】因为抛物线的方程为24yx=，所以抛物线的准线：1x=−，焦点()1,0F，不妨设P在准线：1x=−上的射影为N，又()3

,4A，如图，所以||||||||1||||1||1PAPMPAPNPAPFAF+=+−=+−−22241251=+−=−.故选：A..8.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，12,FF为其左、右焦点，P为椭圆C上除

长轴端点外的任一点，12FPF的重心为G，内心为I，且有12IGFF=（其中为实数），则椭圆C的离心率e=A.13B.12C.23D.32【答案】B【解析】【详解】在12PFF中，设00(,)Pxy，由三角形重心坐标公式可得重心00(,)33xyG

，由12GIFF=，故内心I的纵坐标为03y，在焦点12PFF中，1212122,2,PFFPFPFaFFcS+===12001212(2)23ycyPFPFc=++，则2ac=，12e=.选B.【点睛】这种

求离心率问题椭圆和双曲线都有，都涉及到焦点三角形的重心和内切圆的圆心，都需要用到内切圆的半径的使用，使用方法就是借助焦点三角形面积相等解题，通过面积相等得出关于,,abc的等式，求出离心率.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的

得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知空间向量()()1,2,5,2,4,mnx=−=−，则下列选项中正确的是（）A.当mn⊥时，2x=B.当//mn时，10x=−C.当5mn+=时，4x=−D.当10x=时

，102cos,6mn−=【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用空间向量垂直的坐标表示即可判断；对于B，利用空间向量平行的性质即可判断；对于C，先根据空间向量运算法则计算出mn+，再利用模长公式列出方程，从而得以判断；对于D，利用空间向量夹角余弦的

坐标表示即可判断.【详解】对于A，因为mn⊥，()()1,2,5,2,4,mnx=−=−，所以()()·122451050mnxx=−+−+=−+=，解得2x=，故A正确；对于B，因为//mn，所以存在R，使得mn=，则()()()1,2,52,4,2,4,xx−=−−

=，即21425x=−−==，解得1210x=−=−，故B正确；对于C，因为()()12,24,51,2,5mnxx+=−+−+=−+，所以22221(2)(5)5(5)5mnxx+

=+−++=++=，解得5x=−，故C错误；对于D，因为10x=，则()()1,2,5,2,4,10mn=−=−，所以()1224510·102cos,,·6142541610mnmnmn−+−+−===++++，故D正确．故选：ABD.10.设na是等差数列

，nS是其前n项的和，且67789,SSSSS=，则下列结论正确的是（）A.80a=B.0dC.7S与8S均为nS的最大值D.8S为nS的最大值【答案】ACD【解析】【分析】由题意结合数列na与nS的关系可得70a，80a=，90a，由等差数

列及其前n项和的性质即可得解.【详解】na是等差数列，且67SS，789SSS=，7760aSS=−，8870aSS=−=，9980aSS=−，0d，7S与8S是nS的最大值，故A、

C、D正确，B错误.故选：ACD.11.若方程22152xytt+=−−所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误的是（）A.若C是圆，则72t=B.若C为椭圆，则25tC.若C为双曲线，则5t或2tD.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则25t【答案】BD【解析】【分析】利用圆、椭圆与

双曲线的标准方程的特征，逐一分析选项得到关于t的方程或不等式，解之即可判断.【详解】对于A，因为方程22152xytt+=−−表示圆，所以52tt−=−，解得72t=，故A正确；对于B，因为方程221

52xytt+=−−表示椭圆，所以502052tttt−−−−，解得25t且72t，故B错误；对于C，因为方程22152xytt+=−−表示双曲线，所以()()520tt−−，解得5t或2t，故C正确；对于D，因为方程22152xytt+=−−表示长轴在y轴上的椭

圆，所以5025ttt−−−，解得752t，故D错误.故选：BD12.已知12,FF是椭圆()2211221110xyabab+=和双曲线()2222222210xyabab−=的公共焦点

，P是它们的一个公共点，且12π3FPF=，则以下结论正确的是（）A.22221122abab−=+B.22123bb=C.2221314ee+=D.2212ee+的最小值为512+【答案】ABC【解析】【分析】利用圆锥曲线的定义和几何性

质对四个选项一一验证：对于A：利用定义直接求解；对于B、C：可设P第一象限的点，则12,PFmPFn==.在12FPF△中，由余弦定理求出2221234aac+=,进而判断B、C；对于D：利用基本不等式求出2212ee+的最小值.【详解】12,FF是椭圆(

)2211221110xyabab+=和双曲线()2222222210xyabab−=的公共焦点，可设122FFc=.对于A：由定义可得：22211bca−=，22222bca+=，所以22221122abab−=+.故A正确；对于B：可设P第一象限的点，则12,PFmPFn=

=.由椭圆的定义可得：122,2mnamna+=−=，解得：1212,maanaa=+=−.在12FPF△中，12π3FPF=，112212,PFaaPFaa=+=−，122FFc=，由余弦定理222121212122cosFFPFPFPFPFFPF=+

−得：()()()()()22212121212π22cos3caaaaaaaa=++−−+−，化简得：2221234aac+=.所以()()22222222212121233340bbaccaaac−=−−−=+−=，所以22123bb=

.故B正确；对于C：由2221234aac+=得：22122234aacc+=，即2221314ee+=.故C正确；对于D：因为()2211222222222112222222122211131131421444213eeeeeeeeeeeeee++

+=+=++=++（当且仅当22123ee=时“=”成立）.所以2212ee+的最小值为312+.故D错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设nS是等差数列na的前n项

和，若731013aa=，则135SS=___________．【答案】2【解析】【分析】利用等差数列的性质与前n项和公式得到13753135SaSa=，从而得解．【详解】因为nS是等差数列{}na的前n项和，所以()()()()1131131377155531313131321313

1022555252513aaaaSaaaaSaaaa++======++．故答案为：2．14.已知圆()()22:228Cxym−+−=−．若圆C与圆()()22:121Dxy+++=外切，则m的值为_____

___．【答案】8−【解析】【分析】利用两圆相外切列方程即可求解.【详解】圆()()22:228Cxym−+−=−的圆心为()22，，半径8r=m−1，圆()()22:121Dxy+++=的圆心为()12−−，，半径21r=.因为圆C与圆D外切，所以12CDrr

=+，所以()()22212281m+++=−+，解得：8m=−.故答案为：8−15.已知圆锥的顶点为P，母线,PAPB的夹角为60，PA与圆锥底面所成角为45，若PAB的面积为3，则该圆锥的侧面积为_________

____．【答案】42π【解析】【分析】利用已知条件求出圆锥的母线的长，利用PA与圆锥底面所成角为45求出底面半径，即可求出侧面积.【详解】圆锥的顶点为P,母线,PAPB的夹角为60，得3sinsin602APB

==.由△PAB的面积为3,得22113sin3222PAAPBPA==,解得：2PA=.因为PA与圆锥底面所成角为45,可得圆锥的底面半径为:2cos452=,则该圆锥的侧面积为:π22

242π=.故答案为：42π.16.已知椭圆221167xy+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_____________．【答案】35【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角

形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.详解】方法1：由题意可知||=|3OFOM|=c=，由中位线定理可得12||6PFOM==，设(,)Px

y可得22(3)36xy−+=，联立方程组()22221167336xyxy+=−+=，整理可得：29963200xx−−=，解得340,83xx=−=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得835(,)33P−，所以5315313PFk==

，方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|3OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||6PFOM==，即863ppaexx−==−求得85333,P−，所以5335313PFk==.故答案为：35

.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点.【（1）求证：DE⊥平面PAB（2）求证：//BF平面PDE.【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过证明,DEABDEAP⊥⊥来证得DE⊥平面PAB.（2）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理证得//BF平面PDE.【小问1详解】由于四边形ABCD是菱形，60BCD=，所以三角形ABD是等边三角形，而E是AB的中点，所以D

EAB⊥.由于PA⊥平面,ABCDDE平面ABCD，所以PADE⊥，由于,ABPA平面,PABABPAA=，所以DE⊥平面PAB.【小问2详解】取PD的中点G，连接,FGGE，由于F是PC的中点，G是PD的中点，所以1//,2FGCDFGCD=，由于E是AB的

中点，所以1//,2BECDBECD=，所以//,FGBEFGBE=，所以四边形BEGF是平行四边形，所以//BFGE，由于BF平面PDE，GEÌ平面PDE，所以//BF平面PDE.18.已知数列{an}前n项和Sn＝n2+n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝11

nnaa+，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）an＝2n，n∈N*（2）Tn=4(1)nn+【解析】【分析】（1）根据已知条件并结合公式11,1,2nnnSnaSSn−==−即可计算出数列

{an}的通项公式；（2）先根据第（1）题结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn．【小问1详解】由题意，当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣1nS−＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，∵当n＝1时，12a=也满足上式

，∴an＝2n，n∈N*．【小问2详解】由（1），可得bn＝11nnaa+＝122(1)nn+＝14(1)nn+＝11141nn−+则Tn＝b1+b2+•••+bn＝1111111114

242341nn−+−++−+L＝111111142231nn−+−++−+L＝11141n−+＝4(1)nn+19.双曲线()2222:10,0xyCabab

−=的渐近线方程为2yx=，一个焦点到该渐近线的距离为2．（1）求C的方程；（2）是否存在直线l，经过点()1,4M且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．【答案】（1

）2214yx−=（2）存在；3yx=+.【解析】【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到2ba=，再由点到线的距离公式求出c，最后根据222cab=+计算可得；（2）设()11,Axy，()22,

Bxy，直线l的斜率为k，利用点差法计算可得；【小问1详解】双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的渐近线为byxa=，因为双曲线的一条渐近线方程为2yx=，所以2ba=，又焦点(),0c到直线2yx=的距离()222221cd==+−，所

以5c=，又222cab=+，所以21a=，24b=，所以双曲线方程为2214yx−=【小问2详解】假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设()11,Axy，()22,Bxy，直线l的斜率为k，则122xx+=，

128yy+=，所以221114yx−=，222214yx−=，两式相减得22221212044yyxx+−−=，即()()()()121212124yyyyxxxx−++=−即()()()()121212124yy

yyxxxx−++=−，所以44k=，解得1k=，所以直线l的方程为41yx−=−，即3yx=+，经检验直线:3lyx=+与双曲线C有两个交点，满足条件，所以直线l的方程为3yx=+.20.已知等差数列na的前n项和为n

S，且6523aS−=，68239Sa−=．（1）求na的通项公式；（2）若12nanba−=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）23nan=−（2）()5252nnTn=+−【解析】【分析】（1）设na的公差为d，则由已知条件列方程组可求出1,ad

，从而可求出通项公式；（2）由（1）得()1232nnbn−=−，然后利用错位相减法可求出nT.小问1详解】设na的公差为d．由656823239aSSa−=−=，【得1111542(5)(5)32652(6)3(7)92adadadad+−+=+−+=，化

简得1133999aad−=+=，解得112ad=−=．所以数列na的通项公式为()11223nann=−+−=−．【小问2详解】由（1）知()1232nnbn−=−，所以()()0121121232232nnTn−=−++++

−①则()()1232121232232nnTn=−++++−②由①－②得：()()1211222222232nnnTn−−=−++++−−()1122222123212nnn−−=−+−−−()152232n

nn+=−+−−()5252nn=−−−，所以数列nb的前n项和()5252nnTn=+−．21.已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，过点()1,2P−的直线垂直x轴于Q，PQF

△为等腰直角三角形.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l交抛物线C于A，B两点，且F恰为PAB重心，求直线l的方程.【答案】（1）24yx=；（2）230xy+−=.【解析】的【分析】（1）由题可得12

2p+=，进而即得；（2）设:lxtym=+，联立抛物线方程，利用韦达定理结合条件即得.【小问1详解】因为过点()1,2P−的直线垂直x轴于Q，PQF△为等腰直角三角形，所以122p+=，即2p=，所以抛物线C的方程为24yx=；【小问2详解】由题可设直线:lxtym=+，由24xtymyx=+

=，可得2440ytym−−=，则()24440tm=−+，即20tm+，设()()1122,,,AxyBxy，12124,4yytyym+==−，又()1,0F，()1,2P−，F恰为PAB的重心，∴121213,20xxyy+−=++=，即1212

4,2xxyy+=+=−，所以()12121224,42xxtyymyyt+=++=+==−，解得13,22tm=−=，满足20tm+，所以直线l的方程为1322xy=−+，即230xy+−=.22.已

知点()0,2P为椭圆()22122:10xyEabab+=的上顶点，椭圆2E以椭圆1E的短轴为长轴，点()0,1F−为椭圆2E的一个焦点，且椭圆1E的离心率是椭圆2E的离心率的2倍．（1）求椭圆1E，2E的标准方程；（2）过点F作直线l与椭圆1

E交于点A，B，直线PA，PB分别与椭圆2E交于C，D两点，设PAB和PCD的面积分别为12,SS，求12SS的最小值．【答案】（1）22184xy+=；22134xy+=（2）289144【解析】【分析】（1）利用椭圆的几何性质及椭圆,,abc的关系式，即可依次求得椭圆2E与

1E的标准方程；（2）假设PA为()1120ykxk=−，联立椭圆1E的方程求得Ax，同理求得Bx，利用三点共线求得12kk的值；同理求得,CDxx，再由三角形面积公式推得12ABCDSxxSxx=，从而得到12SS关于2212kk+的关系

式，进而利用换元法与函数的单调性即可得解.【小问1详解】因为点()0,2P为椭圆()22122:10xyEabab+=的上顶点，所以2b=，因为点()0,1F−为椭圆2E的一个焦点，所以21c=，且椭圆2E的焦点在y轴上，设椭圆2E为2222221xyba+=，

因为椭圆2E以椭圆1E的短轴为长轴，所以22ab==，则2222223bac=−=，所以椭圆2E为22134xy+=，且22212cea==，因为椭圆1E的离心率是椭圆2E的离心率的2倍，所以2222cea==，令()20cmm=，则2am=，因为222bac=−，所以22442mm=−，

解得22m=，所以2248am==，故椭圆1E为22184xy+=.【小问2详解】依题意，易知直PA斜率存在，不妨设PA为()1120ykxk=+，联立1222184ykxxy=++=，消去y，得()22111280kxkx++=，解得0x=或121812kxk=−+，所以1

21812Akxk=−+，此时0，设PB为()2220ykxk=+，同理可得222812Bkxk=−+，因为,,AFB三点共线，()0,1F−，所以AFBFkk=，即11ABAByyxx++=，则

1233ABABkxkxxx++=，所以1212221212221288331212881212kkkkkkkkkk−+−+++=−−++，整理得()()1212230kkkk+−=，因为12kk，所以12230kk+=，则1232kk=−，

221294kk=，联立1222134ykxxy=++=，消去y，得()221143120kxkx++=，解得0x=或1211243kxk=−+，所以1211243Ckxk=−+，此时0，同理可得2221243Dkxk=−+，因为121sin21sin2PAPBAPBP

APBSSPCPDPCPDAPB==，又,ABCDPAPBxxPCxPDx==，所以()()1222221212122221222122211222128864483622918361212311443ABCDkkkkkkkkSxxSxxkkkk

kkkk−−++===++−−++++++()()22122212481451890kkkk++=++，因为1232kk=−，所以22121223kkkk+−=，

当且仅当1262kk=−=或1262kk=−=−时，等号成立，令()22121890tkk=++，则144t，22129018tkk−+=，所以1290481458958952891833144144tS

Stt−+==−−=，所以12SS的最小值为289144..【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.获得更多资源请扫码加入享

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