【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(28)页，2.244 MB，由小赞的店铺上传

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哈尔滨市第一中学2020届高三学年六月第一次模拟考试数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题，共60分）考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卡指定位置上填写学校、姓名和准考证号.3．所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4．考

试结束，只需上交答题卡.一、选择题：（本大题共12个小题，在每个小题的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A={1，2，3}，B={x|x2-2x+m=0}，若A∩B={2}，则B=（）A.0B.2C.1D.

0,2【答案】D【解析】【分析】根据A∩B即可得出2∈B，从而可求出m=0，解方程x2-2x=0得x，从而得出B．【详解】∵A∩B={2}；∴2∈B；∴4-4+m=0；∴m=0；∴B={x|x2-2x=0}={0，2}．故选D．【点睛】本题考查交集的定义及运算，描述法、列举法的定义，

以及元素与集合的关系，属于基础题．2.已知i是虚数单位，则431ii+=−（）A.55i−B.55i+C.5522i−D.5522i+【答案】D【解析】【分析】由题意结合复数模的计算、复数的运算法则直接计算即可得解.【详解】由题意()()()51694315511111225iiii

iiii++====−−++−−+.故选：D.【点睛】本题考查了复数模的计算、复数的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.3.已知等比数列{}na满足12a=，且12,,6aa成等差数列，则4a=()A.6B.8C.16D.32【答案】C【解析】【分析】设公比为q，由等比数列的通项公式和等

差数列中项性质列方程，解方程可得q，即可得到所求值．【详解】12,,6aa成等差数列，得12642aa+==，即：14aq=，2q=所以，341aaq=＝16故选C．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查

方程思想和运算能力，属于基础题．4.已知向量()()1,3,2amb==−，，且()abb+⊥，则m=()A.−8B.−6C.6D.8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出ab+的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,)

,(3,2),(4,2)ambabm==−+=−，又()abb+⊥，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．5.执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A.3−B.13

C.12−D.2【答案】D【解析】【分析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量a的值，可发现周期为4，即可得到2020i=，2a=，2021i=，此时输出2a=.【详解】1i=，3a=−.2i=，12a=−.3i=，13a=.4i=，2a=.5i=，

3a=−.可发现周期4，2020i=，2a=，2021i=.此时输出2a=.故选：D【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是4是解决本题的关键，属于简单题.6.下列关于命题的说法错误的是（）A.命题“若2320xx−+=，则2x=”

的逆否命题为“若2x，则2320xx−+”B.“2a=”是“函数()logafxx=在区间()0,+上为增函数”的充分不必要条件C.“若0x为()yfx=的极值点，则()00fx=”的逆命题为真D.

命题p：2x，230x−的否定是02x，0230x−【答案】C【解析】【分析】由题意结合逆否命题的概念可判断A，由对数函数的性质结合充分条件、必要条件的概念可判断B，由逆命题的概念结合极值点的概念可判断C，由全称命题的否定可判断D，即可得解.【详解】对于A，由

逆否命题的概念可得命题“若2320xx−+=，则2x=”的逆否命题为“若2x，则2320xx−+”，故A正确；对于B，若2a=，则函数()logafxx=在区间()0,+上为增函数；若函数()logafxx=在区间()0,+上为增函数，则只需

满足1a；所以“2a=”是“函数()logafxx=在区间()0,+上为增函数”的充分不必要条件，故B正确；对于C，“若0x为()yfx=的极值点，则()00fx=”的逆命题为“若()00fx=，则0x为()yfx=的极值

点”，对函数()3fxx=，()00f=，但0x=不是函数()fx的极值点，所以原命题的逆命题为假命题，故C错误；对于D，由全称命题的否定可知命题p：2x，230x−的否定是02x，0230x−

，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查了逆否命题、逆命题的改写、全称命题的否定，考查了充分条件、必要条件的判断及对数函数性质、极值点的概念，属于基础题.7.函数()21sincos2fxxxxx=+的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合

函数的性质及图象的特征逐项排除即可得解.【详解】因为()()()()()2211sincossincos22fxxxxxxxxxfx−=−−−−=−−=−，所以函数()fx为奇函数，故排除C、D；当0,2x时，21sin0

2xx，cos0xx，所以()0fx，故排除B.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.8.已知直三棱柱111CC−中，C120=，2=，1CCC1==，则异面直线1与

1C所成角的余弦值为（）A.32B.155C.105D.33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCDABCD−，则所求角为21111,2,21221cos603,5BCDBCBDCDAB

==+−===，易得22211CDBDBC=+，因此111210cos55BCBCDCD===，故选C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证

明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的

范围．9.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数()yf

x=，若()11,yfx=()22,yfx=()33,yfx=123xxx，则在区间13,xx上()fx可以用二次函数()()()111212()fxykxxkxxxx=+−+−−来近似代替，其中21121,yykxx−=−3232yykxx−=−，1231kkkx

x−=−，若令10,=x2,2x=3x=，请依据上述算法，估算2sin5的近似值是（）A.2425B.1725C.1625D.45【答案】A【解析】【分析】设函数()sinfxx=，由题意，在区间

13,xx上()fx可以用二次函数()()()111212()fxykxxkxxxx=+−+−−来近似代替，取1230,,2xxx===即可.【详解】函数()sinfxx=,取1230,,2xxx===123(0)0,()1,()02yfyfyf======故：3

2211132213231224,,yyyykkkkkxxxxxx−−−====−==−−−−即2222442424224sinsin()()55525xxx−+−+=故选:D【点睛】本题考查了斜率公式，考查了学生阅读理解

，综合分析，数学运算能力，属于较难题.10.已知()1fx+是定义在R上的奇函数，()22f=−，且对任意11x，21x，12xx，()()1212fxfxxx−−0恒成立，则使不等式()22log2fx−成立的x的取值范围是（）A.()0,1B.()0,2C.()4,+D.()1

,4【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数图象的平移、奇函数的性质可得函数()fx的图象的对称中心为点()1,0，进而可得()02f=，由函数单调性的定义可得函数()fx在R上单调递减，由函数的单调性、对数

函数的性质即可得解.【详解】因为函数()1fx+的图象是由函数()fx的图象向左平移1个单位长度得到，()1fx+是定义在R上的奇函数，所以函数()fx的图象的对称中心为点()1,0，因为对任意11x，21x，12xx，()()1212fx

fxxx−−0恒成立，所以函数()fx在(,1−上单调递减，所以函数()fx在R上单调递减，因为()22f=−，所以()()022ff=−=，又()22log2fx−，所以()222log2fx−−即()

()()222log0ffxf−，所以202log2x−即20log2x，所以14x，所以使不等式()22log2fx−成立的x的取值范围是()1,4.故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查了函数图象的变换及对数不等式的求解，

属于中档题.11.已知P为抛物线24yx=上一个动点，Q为圆()2241xy+−=上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小值是（）A.171−B.252−C.2D.17【答案】A【解析】【分析】由题意结合圆的性质、

抛物线的定义可得当抛物线焦点、点P、点Q、圆的圆心四点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和取最小值，由两点之间距离公式即可得解.【详解】抛物线24yx=的焦点为()1,0F，圆()2241xy+−=的圆心为()0,4C，半径1r=，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等

于点P到焦点的距离，当Q在线段PC上时，PQ取最小值，所以当,,,CPQF四点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和最小，如图：由171FCr−=−可得点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为171−，所以点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线

的距离之和最小值是171−.故选：A.【点睛】本题考查了圆的性质及抛物线定义的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.12.已知方程()3230xaxx−+=有4个不同的根，则实数a的取值范围是A.4,9+B.2,3+C.()0,+D.1,2

−+【答案】A【解析】【分析】由()32||30xaxx−+=，得32||3xaxx=+,设32||()3xgxxx=+,对函数()gx求导分析其单调性和图象趋势，作出大致图象，根据数形结合可得实数a的取值范围.【详解】方法一：易知

0x=是方程()32||30xaxx−+=的一个根，显然3x−，当0x且3x−时，由()32||30xaxx−+=，得32||3xaxx=+,设32||()3xgxxx=+,则()gx的图象与直线ya=有3个不同的交点.当0x时

，21()3gxxx=+，因为23yxx=+在(0,)+上单调递增，所以()gx在(0,)+上单调递减，且()(0,)gx+．当0x且3x−时，()222123(),()33xgxgxxxxx+=−=++，令()0,gx得302x−

，令()0gx，得332x−−或3x−，所以函数()gx在(),3−−和33,2−−上单调递减，在3,02−上单调递增，且2314()2933322g−=−=−+−，且当x从左边趋近于0和从右边趋近于-3时，()gx

→+，当x从左边趋近于-3时，()gx→−，当x→−时，g(x)0→，作出函数()gx的大致图象如下图所示，由图可知，49a，综上，实数a的取值范围是4,9+，故选A．方法二：易知0x=是方程()32||30

xaxx−+=的一个根，当0x时，由()32||30xaxx−+=，得1(3)||axx=+，则该方程有3个不同的根，在同一坐标系内作出函数1||yx=和(3)yax=+的图象，如下图所示：当0a时，当(3)yax=+与曲线1|

|yx=的左支相切时，由1(3)axx−=+得22310,(3)40axaxaa++==−=得49a=，由图可知，当49a时，直线(3)yax=+与曲线1||yx=有3个不同的交点，即方程1(3)|

|axx=+有3个不同的根，综上，实数a的取值范围是4,9+，故选A.【点睛】本题考查方程的根与函数的图象和性质,数形结合思想等综合应用,关键在于将求方程的根转化到求两个函数的图象的交点问题，属于难度题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：

（本大题共4个小题.把答案填写在答题纸相应位置上）13.为了了解疫情期间哈一中高三学生的心理需求，更好的开展高考前的心理健康教育工作，心理老师设计了两个问题，第一个问题是“你出生的月份是奇数吗？”；第二个问题是“你是否需要心理疏导？”.让

被调查者在保密的情况下掷一个均匀的骰子，其他人不知道掷骰子的结果，要求：当出现1点或2点时，回答第一个问题；否则回答第二个问题，由于其他人不知道他回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，你也无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能反映真实情况，可以从调查结果中得到需要的估计

，若调查的900名学生中有156人回答“是”，由此可估计我校高三需要心理疏导的学生所占的比例约为______．【答案】1100【解析】【分析】先确定骰子出现1点或2点时的概率，即回答第一个问题的概率，求出回答第一个问题的人数，再确定其中回答“是”的概率，再求出

其中回答“是”的人数，则可求回答第二个问题的人数以及其中回答“是”的人数，则比例可求；【详解】解：出现1点或2点的概率为2163=，即回答第一个问题的人数有19003003=，因为出生的月份是奇数或偶数的可能性相同，所以其中出生的月份是奇数的概率为12，其中出生的月份是奇数的人数有13

001502=，即第一个问题回答“是”的有150人，所以第二个问题回答“是”的有6人，回答第二个问题的总共有600人，所以可估计我校高三需要心理疏导的学生所占的比例约为61600100=.故答案为：1100【点睛】考查古典概型的应用，基础

题.14.将函数()()2sin03fxx=+的图象向右平移3个单位，得到函数()ygx=的图象，若()ygx=在0,4上为增函数，则的最大值为_________

_．【答案】2【解析】函数()()2sin03fxx=+的图象向右平移3个单位，得到函数()2ygxsinx==，y=g(x)在0,4上为增函数，所以2444T=…，即：ω⩽2，

所以ω的最大值为：2.故答案为2.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.15.若圆

()()22319xy−+−=与双曲线()222210,0xyabab−=经过第二、四象限的渐近线交于A，B两点，且26AB=，则此双曲线的离心率为______．【答案】233【解析】【分析】首先根据双曲线的方程写出经过第二、四

象限的渐近线方程为0bxay+=，根据圆的方程可以得出其圆心坐标和半径长，勾股定理求得弦心距，利用点到直线的距离求得3ab=，利用双曲线中,,abc的关系，求得2cb=，进而得到其离心率.【详解】依题意可知双曲线()

222210,0xyabab−=经过第二、四象限的渐近线方程为0bxay+=，因为26AB=，圆()()22319xy−+−=的圆心为(3,1)，半径为3，所以圆心到渐近线的距离为963d=−=，即2233baab+=+，解得3ab=，所以222cabb=+=

，所以双曲线的离心率为22333cbeab===，故答案为：233.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，双曲线的离心率，利用圆的方程写出其圆心和半径，点到直线的距离公式，属于简单题目.16.某几何体的三视图如图所示，正视图为等腰三角形，俯

视图为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积是______．【答案】13π3【解析】【分析】由三视图画出四棱锥PABCD−，取AD的中点1O，BC的中点E，连接1OE，PE，由平面几何知识可得1O为梯形ABCD的外接圆圆心，过1O作1OO⊥平面ABCD，易知该几何体外接球球心在直线1

OO上，设球心为O，1OOm=，球的半径为R，由222RODOP==列方程即可得2R，再由球的表面积公式即可得解.【详解】由三视图画出几何体，如图所示四棱锥PABCD−，取AD的中点1O，BC的中点E，连接1OE，PE，可知该四棱锥的底面为等腰梯形，2

AD=，1BC=，梯形的高132OE=，棱锥的高32PE=，所以22111131122OCOBOAOD==+===，所以1O为梯形ABCD的外接圆圆心，过1O作1OO⊥平面ABCD，易知该几何体外接球球心在直线1OO上，设球心为O

，1OOm=，球的半径为R，过点O作OFPE⊥于E，连接OD、OP，易得22222111RODOODOm==+=+，2222223322ROPOFPFm==+=+−,所以22233122mm+=+−，解得36m=，所以2213112R

m=+=，所以该几何体外接球的表面积2131344123SR===.故答案为：133【点睛】本题考查了由三视图还原几何体的应用，考查了几何体外接球表面积的求解及空间思维能力，属于中档题.三．

解答题：（本大题共6个小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.在ABC中，AD是BC边的中线，222ABACABACBC++=,且ABC的面积为3.(1)求BAC的大小及·ABAC的值;(2)若4AB=,求AD的长.【答案

】(1)23BAC=，2−.(2)132AD=.【解析】【详解】分析：(1)根据所给的式子，利用余弦定理2221cos22ABACBCBACABAC+−=−=可以求出23BAC=，再根据三角形的面积公式即可求出·ABAC的值．(2)根据4AB=

,可求得1AC=，利用余弦定理可求得21BC=,ABD在中应用余弦定理即可求得AD的值．详解：(1)在ABC中,由222ABACABACBC++=可得2221cos22ABACBCBACABAC+−=−=,故23BAC=因为1123223ABCS

ABACsinBACABACsin===,所以13322ABAC=,解得4ABAC=.所以21·cos4232ABACABAC==−=−.(2)由4,4ABABAC==得1AC=．在ABC中,出余弦定理得2222BCABACABACcosBAC+−=

得21BC=,由正弦定理sinsinBCACBACABC=得31sin721421ACBACsinABCBC===.∵03ABC故32114cosABC=在ABC中,2222ADABBDABBDcosABD+−=解得132AD=.点睛

：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，结合面积公式求相应的边长和角．理清条件与所求结果间的关系，综合选择合适的方法，属于简单题．18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在)1

00,150，)150,200，)200,250，)250,300，)300,350，)350,400（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．（1）经计算估计这组数据的中位数；（2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数

据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所有芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）中位数为26

8.75；（2）应选B方案．.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可得中位数在)250,300内，利用中位数两侧的频率和相等列方程即可得解；（2）由题意结合频率分布直方图求得每个芒果的平均质量，即可得方案A可获得的利润；由频

率分布直方图估计质量低于250克、高于或等于250克的芒果的数量，即可得方案B可获得的利润；比较大小即可得解.【详解】（1）由频率分布直方图可得：前3组的频率和为()0.0020.0020.003500.350.5++=，前4组的频率和为()0.0020.0020.00

30.008500.750.5+++=，所以中位数在)250,300内,设中位数为x，则有()0.352500.0080.5x+−=，解得268.75x=,故中位数为268.75；（2）由题意方案A可获得的利润：()1250.0021750.0022250.0032750.00

83250.0043750.001+++++5010000100.00125750=元；方案B可获得利润：由题意得低于250克可获利：()0.0020.0020.003501000027000++=元；高于或等于250克可获利：()0.0080.00

40.0015010000319500++=元，故总获利70001950026500+=元；由于2575026500，故B方案获利更多，应选B方案．【点睛】本题考查了利用频率分布直方图估计总体的中位数、

平均数，考查了频率分布直方图的实际应用与数据处理的能力，属于中档题.19.如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，26ABAD==，点E为线段AB上一点．（1）若点E是AB的中点，求证：//BM平面NDE；（2）若直线EM与平面ABC

D所成的线面角的大小为π6，求:EADMNECDMVV−−．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）连接AM，交ND于点F，连接EF，由题意结合平面几何知识可得//EFBM，再由线面平行的判定即可得解；（2）由题意结合面面垂直的性质、线面角的概

念可得6DEM?，进而可得32AE=，再由棱锥的体积公式求出EADMNV−、ECDMV−，即可得解.【详解】（1）连接AM，交ND于点F，连接EF，如图：因为四边形ADMN为正方形，所以F为线段AM的中点，又点E是AB的中点，所以//EFBM，因

为EF平面NDE，BM平面NDE，所以//BM平面NDE；（2）因为正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，所以DM⊥平面ABCD，EA⊥平面ADMN，所以DEM即为直线EM与平面ABCD所成的线面角，所以6DE

M?，因为26ABAD==，所以33tan6MDDE==，2232AEDEAD=-=，所以2131332923EADMNADMNVAES−===，因为四边形ADMN为正方形，四边形ABCD为矩形，由CDDMD=可得AD⊥平面MDC，所以111363

9332ECDMCDMVASD−===△，所以:2EADMNECDMVV−−=.【点睛】本题考查了线面平行的判定、面面垂直的性质及线面角相关问题的解决，考查了几何体体积的求解及空间思维能力，属于中档题.20.已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为12，且过点31,2

−，椭圆C的右顶点为A，点B的坐标为1,02．（1）求椭圆C的方程；（2）已知纵坐标不同的两点P，Q为椭圆C上的两个点，且B，P，Q三点共线，线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围．【答案】（1）22143xy+=；（2）11,88−

.【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得22222121914ceaababc==+==+，求得a、b即可得解；（2）由题意设直线PQ方程为12xmy=+，点()11,Pxy，()22,Qxy，()00,Rxy，直线AR的斜率为k，

联立方程结合韦达定理可表示出点R的坐标，进而可得244mkm=+，结合基本不等式即可得解.【详解】（1）∵椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为12，且过点31,2−，∴22222

121914ceaababc==+==+，解得2a=，3b=，∴椭圆C的方程为22143xy+=；（2）依题意知直线PQ过点1,02B，且斜率不为0，故可设其方程为12xmy=+，由2212143x

myxy=++=，消去x得()2243412450mymy++−=，，设点()11,Pxy，()22,Qxy，()00,Rxy，直线AR的斜率为k，故122334myym+=−+，∴()120223234yymym+=−+=，∴00212234xmym=+=+，又点A的坐标为(

)2,0，∴020244ymkxm==−+，当0m=时，0k=；当0m时，144kmm=+，∵44444248mmmmmm+=+=，当且仅当1m=时，等号成立，∴110484mm+，∴108k，∴1188k−且0k；综上所述，直线AR的斜率的取值

范围是11,88−．【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解及直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.21.已知函数2()ln,(,)fxaxbxxabR=−+.（1）当1ab==时，求曲线()yfx=在1x=处的切线方程；（2）当21ba=+时，讨论函数(

)fx的单调性；（3）当1,3ab=时，记函数()fx的导函数'()fx的两个零点是1x和2x（12xx），求证：123()()ln24fxfx−−.【答案】（1）2x－y－2＝0．（2）详见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数几何意义得曲线()yfx=

在1x=处的切线斜率为(1)f，所以先求导f′(x)＝2x－1＋1x，再求斜率k=f′(1)＝2，最后由f(1)＝0，利用点斜式可得切线方程；（2）先求函数导数：f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋1x＝(

21)(1)axxx−−．再分类讨论导函数在定义区间上的零点：当a≤0时，一个零点1；当a>0时，两个零点12a和1；再比较两个零点大小，分三种情形.（3）本题实质研究函数12()()()xfxfx=−最小值.因为221212121122)()ln,,()()()(xfxbxxxbxfx

xxxx=−=−−−+是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，所以222121221,2()bxxbxbxxx=−=−＋）；再由1212xx=得()x=22x－2214x－ln(222x)，最后根据零点存在定理确定2x取值范围2)1(,x＋，

利用导数可得()x在区间(2,)＋单调递增，即()()32ln24t==−＞.【详解】（1）因为1ab==，所以()2fxxxlnx+−＝，从而()121fxxx−+＝．因为f(1)＝0，f′(1)＝2，故曲线()yfx=在1x=处的切线方程y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0．

（2）因为21ba=+，所以()22()1fxaxaxlnx+−+＝，从而()212(21)1(21)(1)221),0(axaxaxxfxaxaxxxx−++−−−+==+＝．当0a时，)1(0x，时，())1,(0,fxx+时，()0fx

′，所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．当102a时，由()0fx′得0＜x＜1或12xa，由()0fx＜得112xa，所以()fx在区间(0，1)和区间1(,)2a+上单调递增，在区间1(1,)2a上单调递减．当12a=时，因为()0fx

（当且仅当x＝1时取等号），所以()fx在区间(0,)＋上单调递增．当12a时，由()0fx′得102xa或x＞1，由()0fx′得112xa，所以()fx在区间1(0,)2a和区间(1,)+上单调递增，在区间1(,1)2a上单调递减．（3）方法一：

因为1a=，所以()2fxxbxlnx−+＝，从而221()(0)xbxfxxx−+=．由题意知，12,xx是方程2210xbx−+＝的两个根，故1212xx=．记()221gxxbx=−+，因为3b，所以13()022−=bg，()130gb

−＝，所以211(0,),()12,xx+，且21(12,2)iibixx==+．()()2222121212212112()()lnfxfxxxbxbxxxxxxlnx==−+−−－－－＋．因为

1212xx=，所以()()2222221221ln(2),()1,4fxfxxxxx−=−+−，令22,)2(2tx=+，()()()121ln22ttfxfxtt−−=＝－．因为22(1)()0

2ttt−=，所以()t在区间(2，＋∞)单调递增，所以()()32ln24t=−，即()()123ln24fxfx−－．方法二：因为1a=，所以()2fxxbxlnx−+＝，从而221()(0)xbxfxxx−+=．由题意

知，12,xx是方程2210xbx−+＝的两个根．记()221gxxbx=−+，因为3b，所以13()022−=bg，()130gb−＝，所以211(0,),()12,xx+，且()fx在12[,]xx上为

减函数．所以()()1213()(1)()(l11n2ln242242)bffbbfxxf−−=−−=−−+−−．因为3b，故()()1233ln2ln2424bfxfx−+−−－．考点：导数几何意义，利用导数研究函数单调性，利用导数证明不等式【点睛】导数在不等式问题中的

应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式．①证明()()),,(fxgxxab，可以构造函数()()()Fxfxgx−＝，如果()0Fx，则()Fx在(,)ab上是减函数，同时若()0Fa，由减函数的定义可知，(,)xab时，有()0Fx，即证明

了()()fxgx．②证明()()),,(fxgxxab，可以构造函数()()()Fxfxgx−＝，如果()0Fx，则()Fx在(,)ab上是增函数，同时若()0Fa，由增函数的定义可知，(,

)xab时，有()0Fx，即证明了()()fxgx．(2)利用导数解决不等式的恒成立问题或存在型问题．利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直

接把问题转化为函数的最值问题．选考题：本题满分10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知

曲线C的极坐标方程为2sin＝cosa（a＞0），过点(2,4)P−−的直线l的参数方程为22,2{24,2xtyt＝－＋＝－＋（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的

普通方程；（Ⅱ）若2||PAPBAB=，求a的值．【答案】（Ⅰ），2yx=−（Ⅱ）2．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据222cos,sinxyxy=+==，可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线l的普通方程为2yx=−．（Ⅱ）由直线参数方程几何意义有

1212,PAPBttABtt==−，因此将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得22(8)4(8)0tata−+++=,由韦达定理有12122(8),4(8)ttatta+=+=+．解之得：2a=或8a=−（舍去）试题解析：（Ⅰ）由2sincos(0)aa=得22si

ncos(0)aa=,∴曲线C的直角坐标方程为．直线l的普通方程为2yx=−．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得22(8)4(8)0tata−+++=,设AB、两点对应的参数分别为12

,tt,则有12122(8),4(8)ttatta+=+=+．∵2PAPBAB=,∴21212()tttt−=,即21212()5tttt+=．∴22[2(8)]20(8),6160aaaa+=++−=．解之得：2a=或8a=−（舍去）,∴a的值为2．考点：极坐

标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程几何意义[选修4－5：不等式选讲]23.已知0,0ab，函数()2fxxaxb=++−的最小值为1．（1）证明：22ab+=．（2）若2abtab+恒成立，求实

数t的最大值．【答案】（1）2；（2）92【解析】分析：（1）将()2fxxaxb=++−转化为分段函数，求函数的最小值（2）分离参数，利用基本不等式证明即可．详解：（Ⅰ）证明：2ba−()3,,23,2

xabxabfxxabaxbxabx−−+−=−++−+−，显然()fx在,2b−−上单调递减，在,2b+上单调递增，所以()fx的最小值为122bbfa=+

=，即22ab+=．（Ⅱ）因为2abtab+恒成立，所以2abtab+恒成立，()212112122925+222ababababbababa++=++=+当且仅当23ab==时，

2abab+取得最小值92，所以92t，即实数t的最大值为92．点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题．