【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(26)页，1.963 MB，由小赞的店铺上传

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哈尔滨市第一中学2020届高三学年六月第－次模拟考试数学（理工类）第Ⅰ卷（选择题，共60分）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置.上填写学校、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写

在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题（本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U=R，集合22,AyyxxR==+，集合()lg3B

xyx==−，则AB=（）A.2,3B.()2,3C.(2,3D.)2,3【答案】D【解析】【分析】化简集合A,B，根据交集运算即可.【详解】22,[2,)AyyxxR==+=+,()lg3(,3)B

xyx==−=−,[2,3)AB=故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数，对数函数的性质，集合的交集运算，属于容易题.2.已知i是虚数单位，202013zii=+−，且z的共轭复数为z，则zz=（）A.3B.5

C.5D.3【答案】C【解析】【分析】根据复数概念及运算，化简可得复数z，由共轭复数概念可得z，进而由复数乘法运算得解.【详解】324=,=1,=,=1,iiiiii−−,202050544505==()1iii=20201313=2+=ziiii=+−+−−，2zi=−−2(2)(2)

45zziii=−+−−=−=故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题.3.已知命题p：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是（）A.pqB

.pqC.pqD.pq【答案】D【解析】【分析】先判断命题,pq的真假，根据复合命题的真假判断法则可得正确的选项.【详解】对于命题p，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形，如果该

棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360，但六棱锥的侧面的顶角和小于360，矛盾，故p为假命题.对于命题q，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q为假命题.故pq为真命题.故选：D.【点睛】复合命题pq的真假判断为“一真必真，全假才假”，pq

的真假判断为“全真才真，一假必假”，p的真假判断是“真假相反”．4.在△ABC中，若coscosAbBa=，则△ABC的形状（）A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形【答案】B【解析】【详解】由正弦

定理，得cossincossinAbBBaA==，coscos22sinAAsinBBsinAsinB==，又因为(),0,AB，所以22AB=或22AB+=，即AB=或2AB+=，所以ABC

是等腰三角形或直角三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化

角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5.若()828012812xaaxaxax−=++++，则01238aaaaa+++++

=（）A.821−B.82C.831−D.83【答案】D【解析】【分析】采用赋值法，取1x=−，可得结果.【详解】由题可知：x的奇数次幂的系数均为负数所以0123801238+++++=−+−++aaaaaaaaaa()201288812xa

axaxax−=++++令1x=−得8012383aaaaa−+−++=则8012383+++++=aaaaa故选：D【点睛】本题考查二项式定理，考查系数的绝对值的和，考查赋值法，属于基础题.6.我们可从这个商标中抽象出一个如图靠背而坐的两条优美的曲

线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（）A.()sin622xxxfx−=−B.()cos22xxxfx−=−C.()sin622xxxfx−=−D.()cos622xxxfx−=−【答案】D【解析】【分析】由图象可知，函数()yfx=为偶函数，且在0x=右边

附近的函数值为正，然后逐项分析各选项中函数的奇偶性及其在0x=右边附近的函数值符号，即可得出合适的选项.【详解】由图象可知，函数()yfx=为偶函数，且在0x=右边附近的函数值为正.对于A选项，令220xx−−，得22

xx−，解得0x，函数()sin622xxxfx−=−的定义域为0xx，()()()sin6sin6sin6222222xxxxxxxxxfxfx−−−−−==−==−−−，该函数为偶函数，当012x时，062x，则sin60x，且2

20xx−−，此时()sin6022xxxfx−=−，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，函数()cos22xxxfx−=−的定义域为0xx，()()()coscos2222xxxxxxfxfx−−−−==−=−−

−，该函数为奇函数，不合乎题意，B选项错误；对于C选项，()sin622xxxfx−=−的定义域为0xx，()()()sin6sin62222xxxxxxfxfx−−−−==−=−−−，该函数为奇函数，不合乎题意，C选项错误；对于D选项，函数

()cos622xxxfx−=−的定义域为0xx，()()()cos6cos62222xxxxxxfxfx−−−−===−−，该函数为偶函数，当012x时，062x，则cos60x，且220xx−−，则()cos6

022xxxfx−=−，合乎题意，D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查利用函数图象选择函数解析式，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.已知定义在R上的函数满足(2)()fx

fx+=−，2(]0,x时，()sinfxxx=−，则20201()ifi==（）A.6B.4C.2D.0【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得()()4fxfx+=，即()fx是周期为4的周期函数，结合函数的解析式求出()()

1,2ff的值，分析可得()()3,4ff的值，进而可得()()()()12340ffff+++=，又由()()()()()20201()5051234ififfff==+++，分析可得答案．【详解】根据题意，函数()fx

满足()()2fxfx+=−，则()()4fxfx+=，即()fx是周期为4的周期函数，当(02x，时，()sinfxxx=−，则()11sin1f=−=，()22sin22f=−=，又由()()2fxfx+=−，则()()311ff=−=−，()()422ff=−=−，所以()()

()()12340ffff+++=，所以()()()()()20201()50512340ififfff==+++=.故选：D．【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．8.若3tan24=−，则22sin2co

s12sin+=+（）A.14−或14B.34或14C.34D.14【答案】D【解析】【分析】由二倍角正切公式计算出tan的值，再将所求分式变形为2222sincoscos3sincos++，然后利用弦化切的思想即可求

出所求分式的值.【详解】由二倍角的正切公式得22tan3tan21tan4==−−，整理得23tan8tan30−−=，解得tan3=或13−，所以，2222222sincoscos2tan13sincos3tan1sin2cos

12sin++=+=+++.当tan3=时，原式223113314+==+；当1tan3=−时，原式21211341313−+==−+.综上所述，22sin2cos112sin4+=+.故选：D

.【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式以及弦化切思想求值，解题的关键就是求出tan的值，考查计算能力，属于中等题.9.已知点P为双曲线()222210,0xyabab−=右支上一点，点1F，2F分别为双曲线的左右焦点，点I是12PFF的内心（三角形内切圆的圆心）

，若恒有121222IPFIPFIFFSSS−成立，则双曲线的离心率取值范围是()A.()1,2B.)2,+C.(1,2D.()2,+【答案】B【解析】【分析】根据所给条件和三角形面积公式，求得a，c的关系式，即可求得离心率的范围.【详解】设12PFF的内切圆半径为

r，则111=2IPFSPFr，221=2IPFSPFr，12121=2IFFSFFr，因为121222IPFIPFIFFSSS−，所以121222PFPFFF−，由双曲线的定义可知12=2PFPFa−，12=2FFc，所以

22ac，即2ca.故选：B.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于,,abc的齐次式，再化简转化成关于e的不等式即可得解，本题属于较难题.10.2020年疫情的

到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若

该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（）A.0.99%B.99%C.49.5%.D.36.5%【答案】C【解析】【分析】利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实

患病的概率.【详解】设A为“某人检验呈阳性”，B为“此人患病”.则“某人检验呈阳性时他确实患病”为|BA，又()()()99%0.1%|49.5%0.2%PABPBAPA===，故选：C.【点睛】本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事

件的概率或条件概率.11.已知函数()()21ln12fxxxmxx=−+−有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A.1,0e−B.11,1e−−C.1,1e−−）D

.()1,−+【答案】B【解析】【分析】根据函数()()21ln12fxxxmxx=−+−有两个极值点，则()()ln1fxxmx=−+有两个变号零点，即ln1xmx+=有两个不同的交点，令()lnxgxx=，用导数法得到其图象，利用数形结合法求解.【详解】

因为函数()()21ln12fxxxmxx=−+−，所以()()ln1fxxmx=−+，因为函数()()21ln12fxxxmxx=−+−有两个极值点，所以()()ln1fxxmx=−+有两个变号零点，ln1xmx+=有两个不同的交点，令(

)lnxgxx=，所以()21lnxgxx−=，当0xe时，()0gx，当xe时，()0gx，所以当xe=时，()()max1gxgee==，如图所示：则101me+，解得111me−−，所以实数m的取值范围为111me−−.故选：B【点睛】

本题主要考查导数与函数的极值点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12.设2OA=，1OB=uuur，0OAOB=，OPOAOB=+且1+=，则向量OA在OP上的投影的取值范围（）A.45,25−

B.5,25C.25,25−D.25,25【答案】A【解析】【分析】根据题意可建立直角坐标系，设点()2,0A，()0,1B，即可求出向量,OAOP，再根据投影的概念求出向量OA在OP上的投影的表达式224cos4OAOPOAOP==+，利用值

域的求法即可求解．【详解】因为2OA=，1OB=uuur，0OAOB=，建立以点O为原点的直角坐标系，设()2,0A，()0,1B，则()2,0OA=，()()()2,00,12,OPOAOB=+=+=

，即有224OP=+．设向量OA与OP的夹角为，所以向量OA在OP上的投影为224cos4OAOPOAOP==+．当0=时，cos0OA=；当0时，22244cos44OA=

=++，由1+=可得，1111−==−−，即20，所以(cos0,2OA；当0时，22244cos44OA==−++，由1+=可得，1111−==−−，即21，所以45cos,05O

A−．综上可知，向量OA在OP上的投影的取值范围为45,25−．故选：A．【点睛】本题主要考查利用坐标法解决向量问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题.将答案填

在答题卡相应的位置上）13.若1π4x=，23π4x=是函数()()()sin0fxx=+两个相邻的零点，则=______.【答案】2【解析】【分析】根据所给的相邻的零点可求周期，从而得到的值.【详解】因为1π4x=，23π4x

=是函数()()()sin0fxx=+两个相邻的零点，故3π22π44T−==，所以T=，故2=，故答案为：2.【点睛】本题考查三角函数的图象性质，一般地，相邻两个零点之间的距离为半周期，相邻两条对称轴之间的距离也是半周期.14.已知AB是过抛物

线24yx=焦点F的弦，O是原点，则OAOB=uuruuur______.【答案】3−【解析】【分析】当直线AB的斜率不存在时，得出,AB的坐标，根据数量积公式得出3OAOB=−，当直线AB的斜率存在时，设:ABykxk=−，

并与抛物线方程联立，结合韦达定理，即可得出3OAOB=−.【详解】由题意得，(1,0)F当直线AB的斜率不存在时，(1,2),(1,2)AB−，则112(2)3OAOB=+−=−当直线AB的斜率存在时，设:ABykxk=−，()()1

122,,,AxyBxy由24ykxkyx=−=，得2440kyyk−−=所以124yy=−，()21212116yyxx==即1212143OAOBxxyy=+=−=−综上，3OAOB=−故答案为：3−【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的交点问题以及数量积

的计算，属于中档题.15.已知正三棱柱111ABCABC−，若有一半径为4的球与正三棱柱的各条棱均相切，则正三棱柱的侧棱长为______.【答案】43【解析】【分析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出侧棱的长度.【详解】设底面△ABC外接圆圆心G,如图因为△ABC的外接圆即为球的大圆，且

4r=，则GA=GB=GC=4，从而正△ABC边长43,设球心O，由题意知E、D在球面上，4OEOD==,F为DE中点，则1,22OFDEOFGDGC⊥===，在RtOEF中，4,2,23OEOFEF===，43DE=侧棱143AA=，故答案为：43【点睛】本题主要考

查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的侧棱长，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题.16.牛顿迭代法（Newton´smethod）又称牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r是(

)0fx=的根，选取0x作为r初始近似值，过点()()00,xfx作曲线()yfx=的切线l，l与x轴的交点的横坐标()()()()010000fxxxfxfx=−，称1x是r的一次近似值，过点()()11,xfx作曲线()yfx=的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为()()1211fxx

xfx=−()()10fx，称2x是r的二次近似值.重复以上过程，得到r的近似值序列.请你写出r的1n+次近似值与r的n次近似值的关系式______，若()22fxx=-，取01x=作为r的初始近似值，试求()0fx=的一个根2的三次近似值______（请用分数做答）.【答案】(1)

.()()()()10nnnnnfxxxfxfx+=−(2).577408【解析】【分析】根据nx的定义可得其递推关系，再结合()22fxx=-将前者具体化，从而可求2的三次近似值.【详解】由题设可

得()()()()010000fxxxfxfx=−，()()1211fxxxfx=−，()()3222fxxxfx=−，依次类推，则可得()()1nnnnfxxxfx+=−，其中()0nfx.因为()22f

xx=-，故1222222nnnnnnxxxxxx+−+=−=，因为01x=，故132x=，21712x=，2577408x=，故答案为：()()()()10nnnnnfxxxfxfx+=−，57

7408.【点睛】本题考查导数的应用以及递推数列的指定项的求法，考查了学生对给定材料的理解与应用，本题为基础题.三、解答题（本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知数列

na的前n项和为nS，*nN，且11a=，1222nnnaan++=+（1）证明：数列1nan+是等比数列：（2）求数列na的通项公式与前n项和nS.【答案】（1）证明见解析；（2）()112nnan=+

，()1332nnSn=−+.【解析】【分析】（1）题设中的递推关系可转化为11221nnanan++=+，从而可证1nan+为等比数列.（2）由等比数列的通项公式可求出1nan+

的通项，从而可得na的通项公式，利用错位相减法可求nS.【详解】（1）因为11a=，由已知1222nnnaan++=+可得11221nnaann+=++，因为11022a=，故01nan+即11221nnanan++=+为常数.所以1nan+是以12为首项，12为公比

的等比数列.（2）由1nan+是以12为首项，12为公比的等比数列.得11111222nnnan−==+，所以()112nnan=+.所以()123111123412222nnSn=+++++

，()234111111234122222nnSn+=+++++，所以()234111111111222222nnnSn+=+++++−+()131322

nn+=−+.所以()1332nnSn=−+.综上，()112nnan=+，()1332nnSn=−+.【点睛】本题考查数列通项的求法、错位相减法求数列的前n项和，前者应结合递推关系构造新数列（等差数列或等

比数列），后者应根据通项的特征来选择合理的求和方法.18.如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，45ABE=，2AB=，2BG=，1BC=.（1）求证：AG⊥平面ADF；（2）求二面角DCAG−−的正切

值.【答案】（1）证明见解析；（2）5−.【解析】【分析】（1）可证AD⊥平面ABEF，从而得到ADAG⊥，又可证AGAF⊥，从而得到AG⊥平面ADF.（2）以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量和面ACG的法向量后计算它们的

夹角的余弦值，再结合二面角为钝角以及同角的三角函数基本关系式可求二面角的正切值.【详解】（1）证明：∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，ADAB⊥，∵矩形ABCD菱形ABEFAB=，AD平面ABCD，∴AD⊥平面ABEF.∵AG平面ABEF，∴ADAG⊥，∵菱形ABEF中，45

ABE=，2AB=，2BG=，故24222222AG=+−=，∴由勾股定理得AGBE⊥，∴AGAF⊥，∵ADAFA=，∴AG⊥平面ADF.（2）由（1）可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，A

G为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，由已知()0,0,0A，()2,2,1C−，()0,0,1D，()2,0,0G，()2,2,1AC=−，()0,0,1AD=，()2,0,0AG=设平面

ACD的法向量()1111,,nxyz=，则1111112200ACnxyzADnz=−+===，取11y=得()11,1,0n=.设平面ACG的法向量()2222,,nxyz=，则22222222020ACnxyzAGnx=−+===，取21y=得()20,1,2

=n设二面角DCAG−−的平面角为，则0,且12126cos6nnnn==，所以30sin6=，由为钝角，所以二面角DCAG−−的正切值为5−.【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内

且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算19.在新冠病毒肆虐全

球的大灾难面前，中国全民抗疫，众志成城，取得了阶段性胜利，为世界彰显了榜样力量.为庆祝战疫成功并且尽快恢复经济，某网络平台的商家进行有奖促销活动，顾客购物消费每满600元，可选择直接返回60元现金或参

加一次答题返现，答题返现规则如下：电脑从题库中随机选出一题目让顾客限时作答，假设顾客答对的概率都是0.4，若答对题目就可获得120元返现奖励，若答错，则没有返现.假设顾客答题的结果相互独立.（1）若某顾客购物消费

1800元，作为网络平台的商家，通过返现的期望进行判断，是希望顾客直接选择返回180元现金，还是选择参加3次答题返现？（2）若某顾客购物消费7200元并且都选择参加答题返现，请计算该顾客答对多少次概率最大，最有可能返回多少现金？【答案】（1）商家希望顾客参加答题返现；（2）该顾客答对5次的概率

最大，最有可能返回600元现金.【解析】【分析】（1）设X表示顾客在三次答题中答对的次数，利用二项分布计算可得()1.2EX=，从而可得顾客在三次答题中可获得的返现金额的期望为1.2120144=元，从而可得商家的正确选择.（2）由已知顾客可以参加12次答题

返现，设其中答对的次数为Y.利用二项分布可得()()()12120.40.6kkkPYkC−==，0k=，1，2，…，12，由()()()()11PYkPYkPYkPYk==−==+可得5k=，从而可得该顾客答对5次

的概率最大，故可得最有可能返回的现金额.【详解】（1）设X表示顾客在三次答题中答对的次数，由于顾客每次答题的结果是相互独立的，则()~3,0.4XB，.所以()30.41.2EXnp===.由于顾客每答对一题可获得120元返现奖励，因此该顾客在三次答题中可获得的返现金额的期望为1.2

120144=元.由于顾客参加三次答题返现的期望144元小于直接返现的180元，所以商家希望顾客参加答题返现..（2）由已知顾客可以参加12次答题返现，设其中答对的次数为Y.由于顾客答题的结果是相互独立的，

则()~12,0.4YB，.()()()12120.40.6kkkPYkC−==，0k=，1，2，…，12假设顾客答对k次的概率最大，则有()()()()()()()()121131121212111112120.40.60.40.60.40.60.40.6kkkkkkk

kkkkkCCCC−−−−−+−+解得，则4.25.2k，所以5k=，所以()5PY=最大.所以该顾客答对5次的概率最大，最有可能返回5120600=元现金.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对

应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等）.20.已知椭圆C：()222210xyabab+=的长轴长为4，左、右顶点分别为M，N，点G是椭圆.上异于左右顶点的动点，直线GM，GN的斜率

分别为GMk和GNk，且12GMGNkk=−.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：()2ykx=−与椭圆相交于A，B两点、点(),0Pm，若x轴是APB的角平分线，求P点坐标.【答案】（1）22142xy+=；（2）()22,0.【解析】【分析】

（1）利用题中所给的条件，求得2a=，设()00,Gxy，利用斜率坐标公式，结合题中所给的条件，建立等量关系，结合点在椭圆上，整理得出2212GMGNbkka=−=−，即222ab=，进而求得椭圆的方程；（2）联立方程组，消元整理得出()()22221242410kxkxk+−+−=，

，21224221kxxk+=+，()21224121kxxk−=+，根据题意得到0PAPBkk+=，求得22m=，从而求得P点坐标.【详解】（1）由已知24a=，所以2a=设()00,Gxy，(),0Ma−，(),0Na200022000GMGNyyykkxaxaxa

==−+−又因为2200221xyab+=所以22022202222200112GMGNxbaybkkxaxaa−===−=−−−所以222ab=所以24a=，22b=2242ab==，故椭圆C的方程为22142xy+=.（2）l：(

)2ykx=−与椭圆C：22142xy+=联立解得()()22221242410kxkxk+−+−=设()11,Axy，()22,Bxy所以，21224221kxxk+=+，()21224121kxxk−=+.因为x轴是APB的角平分线，所以有()()()()12211212120PA

PByxmyxmyykkxmxmxmxm−+−+=+==−−−−()()()()1221220kxxmxxm−−+−−=()12122(2)220xxmxxm−+++=()()22228142(2)2221021kmkmkk−−+++=+.解得

22m=∴P点坐标为()22,0.【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线关于x轴对称的条件，属于中档题目.21.设函数()3xfxex=+，()27lnxgxxxetx=−−

+，（1）求曲线()yfx=过原点的切线方程；（2）设()()()Fxfxgx=+，若函数()Fx的导函数()Fx存在两个不同的零点m，()nmn，求实数t的范围：（3）在（2）的条件下证明：()30Fmn+【答案】（1）()3yex=+；（

2）02t；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出直线斜率，点斜式即可求出直线方程；（2）函数()Fx存在两个不同的零点m，转化为一元二次方程有两个不同的正根，利用方程根的分布即可求解；（3）化简()Fm

n，构造函数()()422ln012hmmmmmm=−++−，利用导数求其最小值即可求证.【详解】（1）设切点坐标为()000,3xxex+，()3xfxe=+所以()003xkfxe==+.所以切线方程为()()()000033xxexexx−+=+−.又因为切线

过原点，所以()()()000033xxexex−+=+−所以000xxexe=，所以01x=故所求切线方程为()3yex=+.（2）∵()()()()24ln0Fxfxgxxxtxx=+=−+∴()()224240txxtFxxxxx−+=−+=因为函数()Fx的导函

数存在两个不同的零点m，()nmn，所以方程2240xxt−+=有两个不同的正根m，()nmn，所以12121680002txxtxx=−+=解得02t.（3）由()0Fx

=，得2240xxt−+=，则由已知2mn+=，∵mn，∴012mn∴()()222442ln4ln22mmmmmFmmmtmnmm−+−−+==−−()()22422ln2mmmmm−−+−=−422ln2mmmm=

−++−设函数()()422ln012hmmmmmm=−++−所以()()()()224412ln22ln022mmhmmmmm−=−−++=+−−所以()hm在区间()0,1上单调递减所以()

()13hmh=−所以()3Fmn−即()30Fmn+得证【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数零点与方程的根，利用导数求函数的最小值，转化思想，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，

如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号涂黑.22.在平面直角坐标系中，曲线1C：12xy=，曲线2C：63cos263sin2xy=−=−（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线

1C，2C的极坐标方程：（2）曲线3C的极坐标方程为π0,02=，3C分别交1C，2C于A，B两点，当取何值时，21OBOA−取得最小值.【答案】（1）21sincos2=；6sin6cos=+；（2）π12=或者5π12=.【解析】【

详解】（1）1C的极坐标方程为21sincos2=.2C的普通方程为2266322xy−+−=对应极坐标方程为6sin6cos=+（2）曲线3C的极坐标方程为π0,02=设()1,A

，()2,B，则211sin2=，()26sincos=+所以()21sin26sincosOBOA−=−+设πsincos2sin4t=+=+则2sin21t

=−，则22161OBttOA−=−−，则当62t=即π3sin42+=时，取得最小值52−又因为π02，所以ππ3π444+，所以当π12=或者5π12=时，21OBOA−取得最小值52−23.已知函数2()fxxaxa=−++（1）当2a=时，求不等

式()5fx的解集；（2）当2a时，证明：4()2(21)(2)fxaa++−.【答案】（1）2xx−或3x；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分3段1x−、12x−、2x去绝对值解不等式组，再取并集；（2）由题2()fxx

axa=−++，2a，由三角绝对值不等式得222xaxaaaaa−+++=+，再利用基本不等式可证．【详解】（1）当2a=时，()21fxxx=−++①当1x−时，原不等式等价于(2)(1)5xx−−+，解得2x−；②当12x−时，原

不等式等价于35，不等式无解；③当2x时，原不等式等价于(2)(1)5xx−++，解得3x，综上，不等式()5fx的解集为2xx−或3x（2）由已知，2()fxxaxa=−++因为2a，所以222xa

xaaaaa−+++=+所以()2fxaa+，当且仅当()20xaxa−+即2[,]xaa−时等号成立，所以()()()42422222222fxaaaaaaaaaaaa+++=++−=+−−−−，因为20a−所以()()

42222222222fxaaaaaa++−+++−−−.所以当且仅当22a=+且22,22x−+时等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法以及均值定理证明不等式，属于中档题．