【文档说明】黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三考前模拟训练（二）数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(29)页，2.444 MB，由小赞的店铺上传

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铁人中学2017级高三学年考前模拟训练（二）数学（理科）试卷一、选择题1.已知集合()20log42Axx=+，22Byyxx==−+−，则AB=（）A.B.0C.2D.30xx−−【答案】A【解析】【分析】由初等函数的定义域以及值域可得集合A，B，再

求交集即可.【详解】∵()20log4230Axxxx=+=−，函数22yxx=−+−的定义域满足2020xx−−，解得2xx=，∴220Byyxx==−+−=，∴AB=，故选：A.【点睛】本题主要考查了常见函数定义域以及值域的求法，集合间交集的运

算，属于基础题.2.设,abR，i是虚数单位，则“复数bzai=+为纯虚数”是“0ab=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】【分析】根据复数的分类，以及充分条件与必要条件的

概念，即可求出结果.【详解】因为bzaabii=+=−，若复数bzai=+为纯虚数，则0a=，0b≠，所以0ab=；即“复数bzai=+为纯虚数”是“0ab=”的充分条件；若0b=，则0ab=，但复数bzai=+不是纯虚数；即“复数bzai=+为纯虚数”不是“0ab=”的必要条件；综上，

“复数bzai=+为纯虚数”是“0ab=”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及复数的分类，属于基础题型.3.图（1）是某品牌汽车2019年月销量统计图，图（2）是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说

法错误的是（）A.该品牌汽车2019年全年销量中，1月份月销量最多B.该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份，下半年的销售淡季是10月份C.2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多D.该品牌汽车2019年下

半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳【答案】C【解析】【分析】根据图（1）中的条形统计图可判断出A、B、D选项的正误，结合图（1）和图（2）比较该品牌汽车所属公司7月份和8月份销量的大小，可判断出C选项的正误.【详解】根据图（1）中的条

形统计图可知，该品牌汽车2019年全年销量中，1月份月销量最多，A选项正确；该品牌汽车2019年上半年销量最少的月份是5月份，下半年销量最少的月份是10月份，B选项正确；由条形统计图中的波动性可知，该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳，D选

项正确；由图（1）和图（2）可知，该品牌汽车7月份和8月份的销量相等，但该品牌汽车7月份的销量占该品牌汽车所属公司当月总销量的比例较8月份的大，所以，2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份少，C选项错误.故选：C.【点睛】本题考查条形统计图与频率分布折线图的应用，考查学生数据处理的

能力，属于中等题.4.若1aab=−=，且a与ab−的夹角为60，则ab+=（）A.7B.3C.7D.3【答案】B【解析】【分析】将1ab−=rr两边同时平方结合()12aab−=可求出1b=，再对ab+进行平方即可得结果.【详解】∵1aab

=−=，且a与ab−的夹角为60，∴2221aabb−+=，即22bab=，()2111122aabaab−=−==，即12ab=，可得1b=，∴2221212132abaabb+=++=++=，即3ab+=rr，故选：B.【点睛】本题主要考查了平

面向量的数量积与模长和夹角的计算问题，求出1b=是解题的关键，属于基础题.5.在如图所示的正方形中随机投掷40000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布()2,4N−的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：()2

~,XN，则()0.6827PX−+=，()220.9545PX−+=.）A.906B.1359C.2718D.3413【答案】B【解析】【分析】利用曲线C为正态分布密度曲线计算阴影面积，注意原正方形面积为4，计算得到正确答案即可.【详解】因为(2,4)XN

−，所以阴影部分的面积为：11(02)(62)(40)(0.95450.6827)0.135922SPXPXPX==−−−=−=，则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为0.13594P=，所以落入阴影部分的点的个数的估计值为0.

13594000013594=.故选：B.【点睛】本题主要考查正态分布，解题关键是熟练掌握正态分布曲线的特征，考查计算能力，属于常考题.6.在钝角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且ab，已知6a=

，3sin3sinsinBCA−=，7cos29A=−，则ABC的面积为（）A.4B.8C.42D.82【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，由正弦定理角化边，得到2bc−=，由7cos29A=−，利用余弦的二倍

角公式求得1cos3A=，1cos3A=时推出矛盾，得到1cos3A=−，进而结合余弦定理求得12bc=,进而利用三角形的面积公式计算可得.【详解】已知6a=，3sin3sinsinBCA−=，由正弦定理得336,2bcabc

−==−=,27cos22cos19AA=−=−，∴1cos3A=，当1cos3A=时，由余弦定理得：2222cosabcbcA=+−，即：()222244364333bcbcbcbcbc=+=−+=+−,∴24bc=,与

2bc−=联立解得6,4,bc==不满足ab，舍去.∴1cos3A=−，∴222sin1cos3AA=−=.由余弦定理得：2222cosabcbcA=+−，即：()222288364333bcbcbcbcbc=++=−+=+,∴12bc=,与2bc−=联立解得113,113,

bc=+=−+满足ab，ABC的面积为1122sin1242223ABCSbcA===,故选：C.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形计算中的综合应用，考查三角形的面积公式，涉及分类讨论思想，属中档题.7.执行如图所示的程序框图，若输入的,,abc依次为

()sin，()tan，()tansin，其中0,4，则输出的x为（）A.()sinB.()tanC.()tansinD.()sintan【答案】B【解析】【分析】由程

序框图判断程序的功能是输出,,abc中的最大值，由三角函数线得到01sintan，进而利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，得到答案.【详解】由程序框图知，该程序输出的x的值为,,abc中的最大值，∵0,4

，画出如图所示的三角函数线，显然，0sin，又∵OATOAPSS扇形，∴2111122tan，即tan，显然1,tanATOA==综上，01sintan,∴指数函

数()xysin=是单调减函数，()()tansinsin，幂函数yx=是()0,+上的单调递增函数，()()sintan,∴输出的值为()tan，故选：B.【点睛】

本题考查程序框图的输出值的确定，涉及三角函数的性质，利用指数函数、幂函数的性质比较大小，，难度较大，其中由三角函数线得到01sintan，是整个问题的关键.8.已知函数()33tan222xxfxx−+=+的最大值为M，最小值为m，则Mm+的值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】

C【解析】【分析】先化()3tan212xfxx=−+，令()3tan22xgxx=+，判断()3tan22xgxx=+为奇函数，根据奇函数的性质，以及题中条件，即可求出结果.【详解】因为()333tan22tan2122xxxfxxx−+==

−++，令()3tan22xgxx=+，则()()33tan2tan222xxgxgxxx−−==−=−−++，所以函数()3tan22xgxx=+为奇函数，又函数()33tan222xxfxx−+=+的最大值为M

，最小值为m，所以()()()()maxminminmax11mnfxfxgxgx+=+=−+−()()maxmin22gxgx=−+=.故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.9.过原点O作圆22:4450Cxyxy+++

+=的两条切线，设切点分别为,AB，则直线AB的方程为（）A.2250xy+−=B.4450xy+−=C.2250xy++=D.4450xy++=【答案】C【解析】【分析】根据圆的一般方程求得圆心坐标，写出以OC为直径

的圆的方程，与原方程相减，消去平方项，得到切点弦所在直线方程.【详解】22:4450Cxyxy++++=的圆心坐标为()2,2C−−,以OC为直径的圆的方程为()()220xxyy+++=,与已知圆的方程相减，得到2250xy++=,此即切点弦AB所在的直线AB的方程.故选：C.【点睛】

本题考查圆的切点弦所在直线方程，涉及圆的普通方程求圆心坐标，以线段为直径的圆的方程，应用圆系方程求公共弦所在直线方程，属中档题.从圆外一点P作圆的切线，切点弦方程是原来圆的方程与以P和圆心为直径的圆的方程相减所得的直线方程.10.在四棱锥ABCDE−中

，ABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为（）A.2121πB.84πC.721πD.2821π【答案】D【解析】【分析】取BC的中点为M，,NF分别是正三角形ABC的中心和

正方形BCDE的中心，根据已知条件可得MF⊥平面ABC，AM⊥平面BCDE，过,NF分别做,MFAM的平行线交于O，则O为球心，求出ON，即可求出外接球的半径，即可求解.【详解】取BC的中点为M，N是正三角形ABC的中心,F为正方形BCDE的中心，连接,AMFM,则有MFBC⊥，AMBC⊥，平面A

BC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC，MF⊥平面ABC，AM⊥平面BCDE，过,NF分别做1//lMF，2//lAM，则1l⊥平面ABC，2l⊥平面BCDE，12,ll交于O，则O为球心，//,//OFMNONMF，MNMF⊥所以四边形OFMN为

矩形，3ONMF==，2222223,3(23)213ANAMOAONAN===+=+=所以外接球的体积为34(21)28213=.故选:D.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，解题的关键

是根据球的性质确定球心，考查空间想象能力，属于中档题.11.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛

测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角2341235724

1324282444正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A.公元前

2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年【答案】D【解析】【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日

光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，则−即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan1.61

0==，169.4tan0.6610−==，tantan1.60.66tan()0.4571tantan11.60.66−−−==++．0.4550.4570.461，估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D．【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能

力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．12.设1F，2F是双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若12AFF△的内切圆M的半径为a，且12AFF△的重心G满足12

MGFF=，则双曲线C的离心率为（）A.3B.5C.2D.25【答案】C【解析】【分析】根据12MGFF=，得到MGyya==，33AGyya==，然后由等面积法由()12121123222AFFScaAFAFca==++，结合122AFAFa−=，解得12,AFAF，

再利用距离公式得到2Axa=，进而得到A的坐标，代入双曲线方程求解即可.【详解】如图所示：因为12MGFF=，所以12//MGFF，所以MGyya==，33AGyya==，所以()12121123222AFFScaAFAFca==++，又122AFA

Fa−=，解得122,2AFcaAFca=+=−，设(),AAAxy，()1,0Fc−，所以()221AAAFxcy=++()22221AAxxcba=++−，2222AAexcxa=++()2AAexaexa=+=+.所

以1AAFaex=+，解得2Axa=，所以()2,3Aaa，代入双曲线方程得：()()2222231aaab−=，解得223,2bacaba==+=，所以2cea==.故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的第一定义和焦半径公式以及内切圆的应用，离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，

属于难题.二、填空题13.若()51mx+展开式中各项的系数和比其二项式系数和大211，则m=______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，分别求出二项展开式的各项系数和，以及二项式系数之和，由题中条件列出方程求解，即可得出结果.【详解】

令1x=，则()51mx+展开式中各项的系数和为()51m+，又()51mx+展开式中二项式系数和为52，()51mx+展开式中各项的系数和比其二项式系数和大211，所以()5522111m−+=，即()51243m+=，解得：2m=.故答案为：2.【点睛】本

题主要考查由二项展开式的各项系数和与二项式系数和求参数的问题，属于基础题型.14.自新冠肺炎疫情爆发后，各省纷纷派出医疗队支援湖北，全国上下凝聚一心，众志成城，终于取得抗疫胜利！小亮、小红、小金听闻支援湖北的“英雄”即将归来，

各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的医院，这三幅十字绣分别命名为“医者仁心”、“最美逆行者”、“德医双馨”，为了弄清作品都是谁制作的，院长对三人进行了问话，得到回复如下：小亮说：“最美逆行者”是我制作的；小红说：“医者仁心”不是小亮制作的，就是我制作的；小金说：“德医双馨”不是我制作的

，若三人的说法有且仅有一人是正确的.通过以上信息判断，“最美逆行者”的制作者应该是______.【答案】小红【解析】【分析】根据题意，分别假设一个正确，推理出三人所制作的作品与假设不矛盾即可得出结论.【详解】根据题意，若小亮说法正确，则“

最美逆行者”是小亮制作；小金的说法是错误的，则“德医双馨”是小金制作的；根据前面的推断，“医者仁心”是小红制作的与小红的说法错误矛盾；若小红说法正确，则“医者仁心”不是小亮制作的，就是小红制作的；小金说法错误，则“德医双馨”是小金制作的；小亮

说法错误，则“最美逆行者”只能是小红制作的，小亮制作了“医者仁心”.符合题意；若小金的说法是正确的，则“德医双馨”是小红或者小亮制作的；小亮的说法是错误的，则“最美逆行者”是小金或小红制作的；小红的说法是错误的，则“医者仁心”只能是小金制

作的，那么小红制作了“最美逆行者”，小亮制作了“德医双馨”.综上所述，“最美逆行者”的制作者应该是小红制作的.故答案为：小红【点睛】本题考查推理证明的实际应用，属于基础题.15.小明同学对棱长为2的正方体的性质进行研究，得到了如下结论：①12条棱中可构成16对异面直线；②过正方体的一个

顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形；③以正方体各表面中心为顶点的正八面体的表面积是434+；④与正方体各棱相切的球的体积是：823.其中正确的序号是______.【答案】④【解析】【分析】画出图形，对四个选项逐一

分析即可得出正确选项.【详解】对于①，12条棱中可构成异面直线的有24对，原因为：对于每一条棱，有三条和它平行，四条和它相交，因此有4条和他是异面，而扩展到12条棱为：12448=，而由于两条作为一对，需要再除以2，得到24对，

故错误；对于②，如下图，过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形，故错误；对于③，先画出图形：正八面体每个面是全等的正三角形，棱长为2222?，表面积为()2382434=，故错误；对于④，由于此球与正方体的各棱相切，则球的半径正好是正方体的面对角线的

一半，正方体的棱长为2，则球的半径是2222R==，则()3344233823VR===，故正确.故答案为：④.【点睛】本题考查简单几何体的特征，考查几何体的体积和表面积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.16.已知函数()el

n2xfxx=，()22xgxxm=−，若函数()()()hxgfxm=+有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则()()()1232fxfxfx++的取值范围是_________．【答案】()11002−，，【解析】【分析】先根据题意，求出()()()hxgfxm=

+的解得(),2mfx=或()fxm=−，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数()()()hxgfxm=+有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情况讨论求出()()()123

2fxfxfx++的取值范围.【详解】解：令t=f（x），函数()()()hxgfxm=+有3个不同的零点，即()22tgttm=−+m=0有两个不同的解，解之得12,2mttm==−即(),2mfx=或()fxm=−因为()

eln2xfxx=的导函数()()21ln(0)2exfxxx−=，令()0fx，解得x>e，()0fx，解得0<x<e，可得f（x）在（0，e）递增，在(),e+递减；f(x)的最大值为()12fe=，且()()0,;,0xfxxfx→→−→+→且f(1)=0

；要使函数()()()hxgfxm=+有3个不同的零点，（1）(),2mfx=有两个不同的解，此时()fxm=−有一个解；（2）()fxm=−有两个不同的解，此时(),2mfx=有一个解当(),2mfx=有两个不同的解，此时()fxm

=−有一个解，此时11,24mm−==−，不符合题意；或是0,0mm−==不符合题意；所以只能是01022mm−解得01m()1fxm=−，()()23,2mfxfx==此时()()()1

232fxfxfx++=-m，此时10m−−()fxm=−有两个不同的解，此时(),2mfx=有一个解此时1,122mm==，不符合题意；或是0,02mm==不符合题意；所以只能是02102mm−解得102m−()12

mfx=，()()23fxfxm==−此时()()()1232fxfxfx++=m−，102m−综上：()()()1232fxfxfx++的取值范围是()11002−，，故答案为()11002−，，【点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数

的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.三、解答题17.已知数列na的前n项和为nS，11a=，1nnSpa+=（0p且1p−，*nN）（1）求na的通项公式；（2）在①132,,kkkaaa+++②213,

,kkkaaa+++这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中：对任意的正整数k，若将123,,kkkaaa+++按______的顺序排列后构成等差数列，求p的值.【答案】（1）()()211112nnnapnpp−==+

；（2）①23−；②13−.【解析】【分析】（1）根据1nnSpa+=，利用数列通项与前n项和间的关系，分2n和1n=求解.（2）由（1）得1111kkpapp−++=，211kk

papp++=，1311kkpapp+++=，然后利用等差中项求解.【详解】（1）因为1nnSpa+=，所以121...0nnaaapa++++−=，所以当2n时，121...0nnaaapa

−+++−=，两式相减，得()112nnapnap++=，故数列na从第二项起是公比为1pp+的等比数列，又当1n=时，120apa−=，11a=，所以21ap=，所以()()211112nnnapnpp−==+（2）

由（1）得1111kkpapp−++=，211kkpapp++=，1311kkpapp+++=若选①，则1232kkkaaa++++=，所以211210pppp++−−=，解得11pp+=或112pp+=−，所以23

p=−.若选②，则2312kkkaaa++++=，所以21120pppp+++−=，解得11pp+=或12pp+=−，所以13p=−.【点睛】本题主要考查数列通项与前n项和间的关系以及等差中项，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18

.体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：C）平均在36C37C−之间即为正常体温，超过37.1C即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.138T；高热：3840T；超高热（有生命危险）：40T．某位患者因患肺炎发热，于12日至2

6日住院治疗．医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热．住院期间，患者每天上午8：00服药，护士每天下午16：00为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用情况没有使用使用“抗生素A

”疗使用“抗生素B”治疗日期12日13日14日15日16日17日18日19日体温（C）38.739.439.740.139.939.238.939.0抗生素使用情况使用“抗生素C”治疗没有使用日期20日

21日22日23日24日25日26日体温（C）38.438.037.637.136.836.636.3（I）请你计算住院期间该患者体温不低于39C的各天体温平均值；（II）在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为

该患者进行某一特殊项目“a项目”的检查，记X为高热体温下做“a项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望；（III）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果．假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中

数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．【答案】（I）平均值为39.55C（II）分布列见解析，65．（III）“抗生素C”治疗效果最佳，理由见解析.【解析】【分析】（I）根据所给表格，可计算体温不低于39C的各天体温平均值；（II）

由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，分别求得各自的概率，即可得分布列，进而求得数学期望；（III）根据三种抗生素治疗后温度的变化情况，结合平均体温和体温方差，即可做出判断.【详解】（I）由表可知，该患者共6天的体温不低于39C，

记平均体温为x，()139.439.740.139.939.239.039.55C6x=+++++=．所以，患者体温不低于39C的各天体温平均值为39.55C（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2()3032351010CCPXC===，()21323563

1105CCPXC====，()1232353210CCPXC===，则X的分布列为：X012P11035310所以()1336012105105EX=++=．（Ⅲ）“抗生素C”治疗效果最佳，理由如下：①

“抗生素B”使用期间先连续两天降温后又回升0.1C，“抗生素C”使用期间持续降温共计1.2C，说明“抗生素C”降温效果最好，故“抗生素C”治疗效果最佳②“抗生素B”治疗期间平均体温39.03C，方差约为0.0156：“抗生素C”平均体温38C，方差约为0

.1067，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C”治疗效果最佳．【点睛】本题考查了平均数的求法，古典概型概率求法，离散型随机变量分布列及数学期望的求法，分析实际问题方案的解决方法，属

于中档题.19.如图，四边形ABCD为平行四边形，且2ABBD==，点E，F为平面ABCD外两点，//EFAC且223EFACAE===，EADEAB=.（1）在多面体EFABCD中，请写出一个与BD垂直的平面，并说明理由；（2）若60EAC=，求直线AE与平面BD

F所成的角.【答案】（1）BD⊥平面ACFE，理由见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）设BD与AC相交于点G，连接EG，先证BDAC⊥，再证BDEG⊥，即可证明BD⊥平面ACFE；（2）在平面AEFC内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACFE⊥平面ABCD，所

以MG⊥平面ABCD，故直线GM，GA，GB两两互相垂直，分别以GA，GB，GM为x，y，z轴建立空间直角坐标系Gxyz−，利用向量法求出直线AE与平面BDF所成的角即可.【详解】（1）BD⊥平面ACFE，理由如下：设BD与AC相交于点G，连接EG

，由题可知，2AB=，1BG=，3AG=，所以，222ABBGAG=+，即BDAC⊥，在EAD和EAB中，ABAD=，AEAE=，EADEAB=，所以，EADEAB△△，所以EDEB=，故BDEG⊥，又ACEG

G=，所以BD⊥平面ACFE；（2）如图，在平面AEFC内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACFE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，故直线GM，GA，GB两两互相垂直，分别以G

A，GB，GM为x，y，z轴建立空间直角坐标系Gxyz−，因为60EAC=，则()3,0,0A，()0,1,0D−，33,0,22E，333,0,22F−，所以33,0,22AE

=−，333,1,22DF=−，()0,2,0DB=，设(),,mxyz=是平面BDF的一个法向量，则00mDBmDF==即20333022yxyz=−++=，解得03yzx==−

，取1x=，则()1,0,3m=−，所以，1cos,2mAEmAEmAE==，故直线AE与平面BDF所成的角为6.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查利用向量法求线面角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题.

20.在平面直角坐标系xOy中，P为直线0l：4x=−上的动点，动点Q满足0PQl⊥，且原点O在以PQ为直径的圆上.记动点Q的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程：（2）过点()2,0E的直线1l与曲线C交于A，B两点，点D（异于A，B）在C上，直线AD

，BD分别与x轴交于点M，N，且3ADAM=，求BMN△面积的最小值.【答案】（1）24yx=（2）82【解析】【分析】（1）设动点(),Qxy，表示出,OPOQ，再由原点O在以PQ为直径的圆上，转化为0O

POQ=，得到曲线C的方程.（2）设而不解，利用方程思想、韦达定理构建BMN△面积的函数关系式，再求最小值.【详解】解：（1）由题意，不妨设(),Qxy，则()4,Py−，()4,OPy=−，(),O

Qxy=∵O在以PQ为直径的圆上，∴0OPOQ=，∴()()24,,40yxyxy−=−+=，∴24yx=，∴曲线C的方程为24yx=.（2）设()11,Axy，()22,Bxy，()33,Dxy，(),0Mm，(),

0Nn，依题意，可设1l：xtya=+（其中2a=），由方程组24xtyayx=+=消去x并整理，得2440ytya−−=，则124yyt+=，1248yya=−=−，同理可设1:AMxtym=+，2:BNxtyn=+，可得13

4yym=−，234yyn=−，∴134yym=−，234yyn=−，又∵3ADAM=，∴()()313111,3,xxyymxy−−=−−，∴3113yyy−=−，∴312yy=−，∴13231231144MNmnyyyyyyy=−=−=−12111211242yyyyyy=−−=

−，∴()2221212121211248224BMNSMNyyyyyyyyyt==−=+−=+△，∴当0t=时，BMN△面积取得最小值，其最小值为82.【点睛】本题以直线与抛物线为载体，其几何关系的向量表达为背景，利用方程思想、韦达定理构建目标函数，利用坐标法解

决几何问题贯穿始终，主要考查直线与抛物线的位置关系最值问题，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.21.已知函数()()cosxfxaexaR−=+.（1）若函数()fx在,02−上单调递减，求实数a的取值范围；（2）当1a=−时，0x为

函数()fx在()0,上的零点，求证：()000012sincosxxexx−−.【答案】（1）422ae−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到()sinxfxaex−=−−，

根据题意，得到sinxaex−，设()sinxgxex=−，,02x−，对其求导，用导数的方法求出最大值，即可得出结果；（2）先当,2x时，()cos0xfxex−=−+，得到00,2x，对()cosxfxex−=−+求导，研究其在0,2x

上的单调性，得到0,42x，001cosxxe=，将()000012sincosxxexx−−化为()0000sincoscos02xxxx−−−，设()()s

incoscos2hxxxxx=−−−，,42x，对其求导，研究其单调性，求得()02hxh=，即可证明结论成立.【详解】（1）()sinxfxaex−=−−.当函数()fx

在,02−上单调递减，则()0fx在,02−上恒成立，即sinxaex−.设()sinxgxex=−，,02x−，则()()sincos2sin4xxgx

exxex=−+=−+.∵,02x−，所以444x−+.∴当,24x−−时，()0gx，函数()gx单调递增；当,04x−时，()0gx，函数()gx单调递减.∴()4max

242gxge−=−=，故422ae−.（2）因为1a=−时，()cosxfxex−=−+，当,2x时，()cos0xfxex−=−+，故00,2x，当0,2x

时，可知()sinxfxex−=−，令()()sinxxfxex−==−，0,2x，所以()cos0xxex−=−−∴()x在0,2上单调递减.即()fx在0,2上单调递减.又

()010f=，42042fe−=−，∴存在唯一的10,4x，使得()10fx=，∴()fx在()10,x单调递增，在1,2x单调递减，又()00f=，42042fe−

=−+，202fe−=−，∴函数()cosxfxex−=−+在()0,上的零点0,42x，即001cosxxe=，要证()000012sincosxxexx−

−，即证()0000sincoscos02xxxx−−−.设()()sincoscos2hxxxxx=−−−，,42x，则()()()()cossinsincossincossincos22hxxxxxxxx

xxx=+−−−+=+−+.显然()0hx在,42x上恒成立，所以()hx在,42上单调递增.∴()02hxh=，故原不等式得证.【点睛】本题主要考查由函数单调性求参数，以及导数的方法证

明不等式，灵活运用导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.22.如图所示，在直角坐标系xOy中，曲线C由中心在原点，焦点在x轴上的半椭圆和以原点为圆心，半径为2的半圆构成，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为

极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已知射线()304=与曲线C交于点M，点N为曲线C上的动点，求MON△面积的最大值.【答案】（1）243sin12,2=+，0；（2）2105.【解析】【分析】（1）分别写出曲线

C的上、下两半部分的直角坐标方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；（2）把射线()304=代入曲线C的极坐标方程，求得点M的极经，然后写出MON△的面积，求得其最大值即可.【详解】（1）由题设可知，曲线C上半部分的直角坐标

方程为()22104xyy+=，所以，曲线C上半部分的极坐标方程为()22403sin1=+曲线C下半部分的直角坐标方程为()2210xyy+=，所以，曲线C下半部分的极坐标方程为()22=，故曲线C的极坐标方程为243sin12,2

=+，0.（2）由题设，将()304=代入曲线C的极坐标方程可得：2105MOM==，又点N为曲线C上的动点，所以()()maxmax2NON==，由面积公式得：11210sin225MONS

OMONMONOMON=△，当且仅当sin1MON=，2ON=时等号成立，故MON△面积的最大值为2105.【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，以及极坐标的应用，其中解答中熟练应用极坐标的几何意义是解答的关键

，意在考查推理与运算能力.23.已知,ab均为实数，且3410ab+=.（Ⅰ）求22ab+的最小值；（Ⅱ）若2232xxab+−−+对任意的,abR恒成立，求实数x的取值范围.【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）3-2，.【解析】【分析】（1）利用柯西不等式即可得出（2）由（1

）可知，22ab+的最小值为4，则324xx+−−，再利用零点分段讨论法解不等式组，得到实数x的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）因为()()()()2222222210343425ababab=+++=

+所以224ab+，当且仅当34ab=，即6585ab==，或6585ab=−=−时取等号，即22ab+的最小值为4.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2232xxab+−−+对任意的,abR恒

成立324xx+−−354x−−，或-32214xx+，或254x3x−，或33-322xx所以实数x的取值范围为3-.2，【点睛】解决本题的关键是要熟练运用柯西不等式：若1212,,,aabbR，则()()()22222121

21212aabbaabb+++，等号成立1221abab=．