【文档说明】黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三考前模拟训练（二）数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(29)页，2.444 MB，由小赞的店铺上传

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铁人中学2017级高三学年考前模拟训练（二）数学（理科）试卷一、选择题1.已知集合()20log42Axx=+，22Byyxx==−+−，则AB=（）A.B.0C.2D.30xx−−【答案】A【解析】【分析】由初等函数的定义域

以及值域可得集合A，B，再求交集即可.【详解】∵()20log4230Axxxx=+=−，函数22yxx=−+−的定义域满足2020xx−−，解得2xx=，∴220Byyxx==−+−=，∴AB=，故选：

A.【点睛】本题主要考查了常见函数定义域以及值域的求法，集合间交集的运算，属于基础题.2.设,abR，i是虚数单位，则“复数bzai=+为纯虚数”是“0ab=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条

件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】【分析】根据复数的分类，以及充分条件与必要条件的概念，即可求出结果.【详解】因为bzaabii=+=−，若复数bzai=+为纯虚数，则0a=，0b≠，所以0ab=；即“复数bza

i=+为纯虚数”是“0ab=”的充分条件；若0b=，则0ab=，但复数bzai=+不是纯虚数；即“复数bzai=+为纯虚数”不是“0ab=”的必要条件；综上，“复数bzai=+为纯虚数”是“0ab=”的充分不

必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及复数的分类，属于基础题型.3.图（1）是某品牌汽车2019年月销量统计图，图（2）是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列

说法错误的是（）A.该品牌汽车2019年全年销量中，1月份月销量最多B.该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份，下半年的销售淡季是10月份C.2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多D.该品牌汽车2019年下半年

月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳【答案】C【解析】【分析】根据图（1）中的条形统计图可判断出A、B、D选项的正误，结合图（1）和图（2）比较该品牌汽车所属公司7月份和8月份销量的大小，可判断出C选项的正误.【详解】根据图（1）中的条形统计图可知，该品牌汽车2019年全年销量中，1月

份月销量最多，A选项正确；该品牌汽车2019年上半年销量最少的月份是5月份，下半年销量最少的月份是10月份，B选项正确；由条形统计图中的波动性可知，该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳，D选项正确；由图（1

）和图（2）可知，该品牌汽车7月份和8月份的销量相等，但该品牌汽车7月份的销量占该品牌汽车所属公司当月总销量的比例较8月份的大，所以，2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份少，C选项错误.故选：C.【点睛】本题

考查条形统计图与频率分布折线图的应用，考查学生数据处理的能力，属于中等题.4.若1aab=−=，且a与ab−的夹角为60，则ab+=（）A.7B.3C.7D.3【答案】B【解析】【分析】将1ab−=rr两边同时平方结合()12aab−=可求出1b=，再对ab+进行平方即可得结果.【详

解】∵1aab=−=，且a与ab−的夹角为60，∴2221aabb−+=，即22bab=，()2111122aabaab−=−==，即12ab=，可得1b=，∴2221212132abaabb+=++=++=，即3ab+=rr，故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量的

数量积与模长和夹角的计算问题，求出1b=是解题的关键，属于基础题.5.在如图所示的正方形中随机投掷40000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布()2,4N−的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：()2~,

XN，则()0.6827PX−+=，()220.9545PX−+=.）A.906B.1359C.2718D.3413【答案】B【解析】【分析】利用曲线C为正态分布密度曲线计算阴影面积，注意原正方形面积为4，计算得到正确答案即可

.【详解】因为(2,4)XN−，所以阴影部分的面积为：11(02)(62)(40)(0.95450.6827)0.135922SPXPXPX==−−−=−=，则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为0.13594P=，所以落入阴影部分的

点的个数的估计值为0.13594000013594=.故选：B.【点睛】本题主要考查正态分布，解题关键是熟练掌握正态分布曲线的特征，考查计算能力，属于常考题.6.在钝角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且ab

，已知6a=，3sin3sinsinBCA−=，7cos29A=−，则ABC的面积为（）A.4B.8C.42D.82【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，由正弦定理角化边，得到2bc−=，由7cos29A=−，利用余弦的二倍角公式求得1cos3A=，1cos3A=时推出矛盾，得到1co

s3A=−，进而结合余弦定理求得12bc=,进而利用三角形的面积公式计算可得.【详解】已知6a=，3sin3sinsinBCA−=，由正弦定理得336,2bcabc−==−=,27cos22cos19AA=−=−，∴1cos3A=，当1cos3A=时，由余

弦定理得：2222cosabcbcA=+−，即：()222244364333bcbcbcbcbc=+=−+=+−,∴24bc=,与2bc−=联立解得6,4,bc==不满足ab，舍去.∴1cos3A=−，∴222sin1cos3AA=−=.由余弦定理得：2222cosab

cbcA=+−，即：()222288364333bcbcbcbcbc=++=−+=+,∴12bc=,与2bc−=联立解得113,113,bc=+=−+满足ab，ABC的面积为1122sin1242223ABCSbcA===,故选：C.【点睛】本题考查正余

弦定理在解三角形计算中的综合应用，考查三角形的面积公式，涉及分类讨论思想，属中档题.7.执行如图所示的程序框图，若输入的,,abc依次为()sin，()tan，()tansin，其中0,4，则输出的x为（）A.()sin

B.()tanC.()tansinD.()sintan【答案】B【解析】【分析】由程序框图判断程序的功能是输出,,abc中的最大值，由三角函数线得到01sintan，进而利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，得到答案.【详解】由程序框图知，该程序输出的x的值为,,abc中

的最大值，∵0,4，画出如图所示的三角函数线，显然，0sin，又∵OATOAPSS扇形，∴2111122tan，即tan，显然1,tanATOA==综上，01sintan,∴指

数函数()xysin=是单调减函数，()()tansinsin，幂函数yx=是()0,+上的单调递增函数，()()sintan,∴输出的值为()tan，故选：B.【点睛】本题考查程序框图的输出值的确定，涉及三角函数的性质，利用指数函

数、幂函数的性质比较大小，，难度较大，其中由三角函数线得到01sintan，是整个问题的关键.8.已知函数()33tan222xxfxx−+=+的最大值为M，最小值为m，则Mm+的值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】先化()3t

an212xfxx=−+，令()3tan22xgxx=+，判断()3tan22xgxx=+为奇函数，根据奇函数的性质，以及题中条件，即可求出结果.【详解】因为()333tan22tan2122xxxfxxx−+==−++，令()3tan22xgxx=+，则

()()33tan2tan222xxgxgxxx−−==−=−−++，所以函数()3tan22xgxx=+为奇函数，又函数()33tan222xxfxx−+=+的最大值为M，最小值为m，所以()()()()maxmi

nminmax11mnfxfxgxgx+=+=−+−()()maxmin22gxgx=−+=.故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.9.过原点O作圆22:4450Cxyxy++++=的两条切线，设切

点分别为,AB，则直线AB的方程为（）A.2250xy+−=B.4450xy+−=C.2250xy++=D.4450xy++=【答案】C【解析】【分析】根据圆的一般方程求得圆心坐标，写出以OC为直径的圆的方程，与原方程相减，消去平方项，得到切点弦所在直线方程.【详解】22:4450Cxyx

y++++=的圆心坐标为()2,2C−−,以OC为直径的圆的方程为()()220xxyy+++=,与已知圆的方程相减，得到2250xy++=,此即切点弦AB所在的直线AB的方程.故选：C.【点睛】本题考查圆的切点弦所在直线方程，涉及圆的普通方程求圆心坐标，以线段为直径的圆的方程，应用圆系方

程求公共弦所在直线方程，属中档题.从圆外一点P作圆的切线，切点弦方程是原来圆的方程与以P和圆心为直径的圆的方程相减所得的直线方程.10.在四棱锥ABCDE−中，ABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为（）A.2121πB.84πC.72

1πD.2821π【答案】D【解析】【分析】取BC的中点为M，,NF分别是正三角形ABC的中心和正方形BCDE的中心，根据已知条件可得MF⊥平面ABC，AM⊥平面BCDE，过,NF分别做,MFAM的平行线交于O，则O为球心，

求出ON，即可求出外接球的半径，即可求解.【详解】取BC的中点为M，N是正三角形ABC的中心,F为正方形BCDE的中心，连接,AMFM,则有MFBC⊥，AMBC⊥，平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC，MF⊥平面ABC，AM⊥平面BCDE，过,NF分别做1//lMF，

2//lAM，则1l⊥平面ABC，2l⊥平面BCDE，12,ll交于O，则O为球心，//,//OFMNONMF，MNMF⊥所以四边形OFMN为矩形，3ONMF==，2222223,3(23)213ANAMOAONAN===+=+=所以外接球的体积为34(21)282

13=.故选:D.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，解题的关键是根据球的性质确定球心，考查空间想象能力，属于中档题.11.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图

2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角23412357

241324282444正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前200

0年C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年【答案】D【解析】【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确

选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，则−即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan1.610==，169.4tan0.6610−==，tan

tan1.60.66tan()0.4571tantan11.60.66−−−==++．0.4550.4570.461，估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D．【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能

力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．12.设1F，2F是双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若12AFF△的内切圆M的半径为a，且12AFF

△的重心G满足12MGFF=，则双曲线C的离心率为（）A.3B.5C.2D.25【答案】C【解析】【分析】根据12MGFF=，得到MGyya==，33AGyya==，然后由等面积法由()12121123222AFFScaAFAFca==++，结合122AFAFa−=

，解得12,AFAF，再利用距离公式得到2Axa=，进而得到A的坐标，代入双曲线方程求解即可.【详解】如图所示：因为12MGFF=，所以12//MGFF，所以MGyya==，33AGyya==，所以()12121123222AFFScaAFAFca==++，又1

22AFAFa−=，解得122,2AFcaAFca=+=−，设(),AAAxy，()1,0Fc−，所以()221AAAFxcy=++()22221AAxxcba=++−，2222AAexcxa=++()2A

Aexaexa=+=+.所以1AAFaex=+，解得2Axa=，所以()2,3Aaa，代入双曲线方程得：()()2222231aaab−=，解得223,2bacaba==+=，所以2cea==.故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的第一定义和焦半径公式以及内切圆的应用，离心率的求法，还考查了数形

结合的思想和运算求解的能力，属于难题.二、填空题13.若()51mx+展开式中各项的系数和比其二项式系数和大211，则m=______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，分别求出二项展开式的各项系数和，以及二项式系数之和，由题中条件列出方程求解，即可得出结果.【详解】令1x=，则()51mx+

展开式中各项的系数和为()51m+，又()51mx+展开式中二项式系数和为52，()51mx+展开式中各项的系数和比其二项式系数和大211，所以()5522111m−+=，即()51243m+=，解得：2m=.故答案为：2.【点睛】本题主要考查由二项展开式的各项系数和与

二项式系数和求参数的问题，属于基础题型.14.自新冠肺炎疫情爆发后，各省纷纷派出医疗队支援湖北，全国上下凝聚一心，众志成城，终于取得抗疫胜利！小亮、小红、小金听闻支援湖北的“英雄”即将归来，各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的医院，这三幅十字绣分别命名

为“医者仁心”、“最美逆行者”、“德医双馨”，为了弄清作品都是谁制作的，院长对三人进行了问话，得到回复如下：小亮说：“最美逆行者”是我制作的；小红说：“医者仁心”不是小亮制作的，就是我制作的；小金说：“德医双馨”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的.通过以上信息判断，“最美逆行者

”的制作者应该是______.【答案】小红【解析】【分析】根据题意，分别假设一个正确，推理出三人所制作的作品与假设不矛盾即可得出结论.【详解】根据题意，若小亮说法正确，则“最美逆行者”是小亮制作；小金的说法是错误的，则“德医双馨”是小金制作的；根据前面的推断，“医者仁心”是小红制作的与小红

的说法错误矛盾；若小红说法正确，则“医者仁心”不是小亮制作的，就是小红制作的；小金说法错误，则“德医双馨”是小金制作的；小亮说法错误，则“最美逆行者”只能是小红制作的，小亮制作了“医者仁心”.符合题意；若小金的说法是正确的，则“德

医双馨”是小红或者小亮制作的；小亮的说法是错误的，则“最美逆行者”是小金或小红制作的；小红的说法是错误的，则“医者仁心”只能是小金制作的，那么小红制作了“最美逆行者”，小亮制作了“德医双馨”.综上所述，“最美逆行者”的制作者应该是小红制作的

.故答案为：小红【点睛】本题考查推理证明的实际应用，属于基础题.15.小明同学对棱长为2的正方体的性质进行研究，得到了如下结论：①12条棱中可构成16对异面直线；②过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形；③以正方体各表面

中心为顶点的正八面体的表面积是434+；④与正方体各棱相切的球的体积是：823.其中正确的序号是______.【答案】④【解析】【分析】画出图形，对四个选项逐一分析即可得出正确选项.【详解】对于①，12条棱中可构成异面直线的有24对，

原因为：对于每一条棱，有三条和它平行，四条和它相交，因此有4条和他是异面，而扩展到12条棱为：12448=，而由于两条作为一对，需要再除以2，得到24对，故错误；对于②，如下图，过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形，

故错误；对于③，先画出图形：正八面体每个面是全等的正三角形，棱长为2222?，表面积为()2382434=，故错误；对于④，由于此球与正方体的各棱相切，则球的半径正好是正方体的面对角线的一半，正方

体的棱长为2，则球的半径是2222R==，则()3344233823VR===，故正确.故答案为：④.【点睛】本题考查简单几何体的特征，考查几何体的体积和表面积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.16.已知

函数()eln2xfxx=，()22xgxxm=−，若函数()()()hxgfxm=+有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则()()()1232fxfxfx++的取值范围是_________．【答案】()11002−，，【解析】【分析】先根据题意，求出()

()()hxgfxm=+的解得(),2mfx=或()fxm=−，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数()()()hxgfxm=+有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情况讨论求出()()()1232f

xfxfx++的取值范围.【详解】解：令t=f（x），函数()()()hxgfxm=+有3个不同的零点，即()22tgttm=−+m=0有两个不同的解，解之得12,2mttm==−即(),2mfx=或()fxm=−因为(

)eln2xfxx=的导函数()()21ln(0)2exfxxx−=，令()0fx，解得x>e，()0fx，解得0<x<e，可得f（x）在（0，e）递增，在(),e+递减；f(x)的最大值为()12fe=，且()()0,;,0xf

xxfx→→−→+→且f(1)=0；要使函数()()()hxgfxm=+有3个不同的零点，（1）(),2mfx=有两个不同的解，此时()fxm=−有一个解；（2）()fxm=−有两个不同的解，此时(),2mfx=有一个解当(),2mfx=有两个不同的

解，此时()fxm=−有一个解，此时11,24mm−==−，不符合题意；或是0,0mm−==不符合题意；所以只能是01022mm−解得01m()1fxm=−，()()23,2mfxfx==此时()()()1232fxfxfx++=-m，此时10m−−()

fxm=−有两个不同的解，此时(),2mfx=有一个解此时1,122mm==，不符合题意；或是0,02mm==不符合题意；所以只能是02102mm−解得102m−()12mfx=，()()23fxfxm==−此时()()()1232fxfxfx++=m−，1

02m−综上：()()()1232fxfxfx++的取值范围是()11002−，，故答案为()11002−，，【点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.三、解答

题17.已知数列na的前n项和为nS，11a=，1nnSpa+=（0p且1p−，*nN）（1）求na的通项公式；（2）在①132,,kkkaaa+++②213,,kkkaaa+++这两个条件中任选一个

，补充在下面的问题中：对任意的正整数k，若将123,,kkkaaa+++按______的顺序排列后构成等差数列，求p的值.【答案】（1）()()211112nnnapnpp−==+；（2）①23−；②13−.【解析】【分析

】（1）根据1nnSpa+=，利用数列通项与前n项和间的关系，分2n和1n=求解.（2）由（1）得1111kkpapp−++=，211kkpapp++=，1311kkpapp++

+=，然后利用等差中项求解.【详解】（1）因为1nnSpa+=，所以121...0nnaaapa++++−=，所以当2n时，121...0nnaaapa−+++−=，两式相减，得()112nnapnap++=，故数列na从第二项起是

公比为1pp+的等比数列，又当1n=时，120apa−=，11a=，所以21ap=，所以()()211112nnnapnpp−==+（2）由（1）得1111kkpapp−++=，211kkpapp++=，1

311kkpapp+++=若选①，则1232kkkaaa++++=，所以211210pppp++−−=，解得11pp+=或112pp+=−，所以23p=−.若选②，则2312kkkaaa++++=，所以21120pppp+++−=

，解得11pp+=或12pp+=−，所以13p=−.【点睛】本题主要考查数列通项与前n项和间的关系以及等差中项，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：C）平均在36C37C−之间即为正常体温，超过37

.1C即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.138T；高热：3840T；超高热（有生命危险）：40T．某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗．医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该

患者进行消炎退热．住院期间，患者每天上午8：00服药，护士每天下午16：00为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用情况没有使用使用“抗生素A”疗使用“抗生素B”治疗日期12日13日14日15日16日17日18日19日体温（C）38.73

9.439.740.139.939.238.939.0抗生素使用情况使用“抗生素C”治疗没有使用日期20日21日22日23日24日25日26日体温（C）38.438.037.637.136.836.636.3（I）请你计算住院期间该患者

体温不低于39C的各天体温平均值；（II）在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a项目”的检查，记X为高热体温下做“a项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望；（III）抗生素治疗一般

在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果．假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．【答案】（I）平均值为39.55C（II）分布列见解析，65．（III）“抗生素C”治疗效果最佳，理由见解析.【解析】【分析】

（I）根据所给表格，可计算体温不低于39C的各天体温平均值；（II）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，分别求得各自的概率，即可得分布列，进而求得数学期望；（III）根据三种抗生素治疗后温度的变化情况，结合平均体温和体温方差，即

可做出判断.【详解】（I）由表可知，该患者共6天的体温不低于39C，记平均体温为x，()139.439.740.139.939.239.039.55C6x=+++++=．所以，患者体温不低于39C的各天体温平均值为39.

55C（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2()3032351010CCPXC===，()213235631105CCPXC====，()1232353210CCPXC===，则X的分布列为：X012P110353

10所以()1336012105105EX=++=．（Ⅲ）“抗生素C”治疗效果最佳，理由如下：①“抗生素B”使用期间先连续两天降温后又回升0.1C，“抗生素C”使用期间持续降温共计1.2C，说明“抗生素C

”降温效果最好，故“抗生素C”治疗效果最佳②“抗生素B”治疗期间平均体温39.03C，方差约为0.0156：“抗生素C”平均体温38C，方差约为0.1067，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C”治

疗效果最佳．【点睛】本题考查了平均数的求法，古典概型概率求法，离散型随机变量分布列及数学期望的求法，分析实际问题方案的解决方法，属于中档题.19.如图，四边形ABCD为平行四边形，且2ABBD==，点E，F为平面ABCD外两点，//EFAC且223EF

ACAE===，EADEAB=.（1）在多面体EFABCD中，请写出一个与BD垂直的平面，并说明理由；（2）若60EAC=，求直线AE与平面BDF所成的角.【答案】（1）BD⊥平面ACFE，理由见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）设BD与A

C相交于点G，连接EG，先证BDAC⊥，再证BDEG⊥，即可证明BD⊥平面ACFE；（2）在平面AEFC内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACFE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，故直线GM，GA，GB两两互相垂直，分别以GA，GB，GM为x，y，

z轴建立空间直角坐标系Gxyz−，利用向量法求出直线AE与平面BDF所成的角即可.【详解】（1）BD⊥平面ACFE，理由如下：设BD与AC相交于点G，连接EG，由题可知，2AB=，1BG=，3AG=，所以，2

22ABBGAG=+，即BDAC⊥，在EAD和EAB中，ABAD=，AEAE=，EADEAB=，所以，EADEAB△△，所以EDEB=，故BDEG⊥，又ACEGG=，所以BD⊥平面ACFE；（2）如图，在平

面AEFC内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACFE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，故直线GM，GA，GB两两互相垂直，分别以GA，GB，GM为x，y，z轴建立空间直角坐标系Gxyz−，因为60EAC=，则()3

,0,0A，()0,1,0D−，33,0,22E，333,0,22F−，所以33,0,22AE=−，333,1,22DF=−，()0,2,0DB

=，设(),,mxyz=是平面BDF的一个法向量，则00mDBmDF==即20333022yxyz=−++=，解得03yzx==−，取1x=，则()1,0,3m=−，所以，1cos,2mAEmAEmAE==，故直线AE与平面BDF所成的角为6.【点睛】本题

考查线面垂直的证明，考查利用向量法求线面角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题.20.在平面直角坐标系xOy中，P为直线0l：4x=−上的动点，动点Q满足0PQl⊥，且原点O在以PQ为直径的圆上.记动点Q的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程：（2）过点()2,0E的直线1l与曲线C交

于A，B两点，点D（异于A，B）在C上，直线AD，BD分别与x轴交于点M，N，且3ADAM=，求BMN△面积的最小值.【答案】（1）24yx=（2）82【解析】【分析】（1）设动点(),Qxy，表示出,OPOQ，再由原点O在以PQ为直径的圆上，转化为0OPOQ=，得到曲线C的方程.（2）设而

不解，利用方程思想、韦达定理构建BMN△面积的函数关系式，再求最小值.【详解】解：（1）由题意，不妨设(),Qxy，则()4,Py−，()4,OPy=−，(),OQxy=∵O在以PQ为直径的圆上，∴0OPOQ=，∴()()24,,40yxyxy−=−+=，∴24yx=，∴曲线C的

方程为24yx=.（2）设()11,Axy，()22,Bxy，()33,Dxy，(),0Mm，(),0Nn，依题意，可设1l：xtya=+（其中2a=），由方程组24xtyayx=+=消去x并整理，得2440ytya−−=，则124yyt+=，1248yya=−=−，同理可设1:

AMxtym=+，2:BNxtyn=+，可得134yym=−，234yyn=−，∴134yym=−，234yyn=−，又∵3ADAM=，∴()()313111,3,xxyymxy−−=−−，∴3113yyy−=−，∴312yy=−，∴13231231144MNmnyyyyy

yy=−=−=−12111211242yyyyyy=−−=−，∴()2221212121211248224BMNSMNyyyyyyyyyt==−=+−=+△，∴当0t=时，BMN△面积取得最小值，其最小值为82.【点睛】本题以直线与抛物线为载体，其几何关系的向量表达为背

景，利用方程思想、韦达定理构建目标函数，利用坐标法解决几何问题贯穿始终，主要考查直线与抛物线的位置关系最值问题，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.21.已知函数()()cosxfxae

xaR−=+.（1）若函数()fx在,02−上单调递减，求实数a的取值范围；（2）当1a=−时，0x为函数()fx在()0,上的零点，求证：()000012sincosxxexx−−.【答案】（1）422ae−；（2）证明

见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到()sinxfxaex−=−−，根据题意，得到sinxaex−，设()sinxgxex=−，,02x−，对其求导，用导数的方法求出最大值，即可得出结果；（2）先当,2x

时，()cos0xfxex−=−+，得到00,2x，对()cosxfxex−=−+求导，研究其在0,2x上的单调性，得到0,42x，00

1cosxxe=，将()000012sincosxxexx−−化为()0000sincoscos02xxxx−−−，设()()sincoscos2hxxxxx=−−−，,42x，对其求导

，研究其单调性，求得()02hxh=，即可证明结论成立.【详解】（1）()sinxfxaex−=−−.当函数()fx在,02−上单调递减，则()0fx在,02−上恒成立，即sinxaex−.设()sinxg

xex=−，,02x−，则()()sincos2sin4xxgxexxex=−+=−+.∵,02x−，所以444x−+.∴当,24x−−时，()0gx

，函数()gx单调递增；当,04x−时，()0gx，函数()gx单调递减.∴()4max242gxge−=−=，故422ae−.（2）因为1a=−时，()cosxfxex−=−+

，当,2x时，()cos0xfxex−=−+，故00,2x，当0,2x时，可知()sinxfxex−=−，令()()sinxxfxex−==−，0,2x，所以()cos0xxex−

=−−∴()x在0,2上单调递减.即()fx在0,2上单调递减.又()010f=，42042fe−=−，∴存在唯一的10,4x，使得()10fx=

，∴()fx在()10,x单调递增，在1,2x单调递减，又()00f=，42042fe−=−+，202fe−=−，∴函数()cosxfxex−=−+在()0,上的零点0,42x，即001cosxxe=，要证()000012

sincosxxexx−−，即证()0000sincoscos02xxxx−−−.设()()sincoscos2hxxxxx=−−−，,42x，则()()()()cossinsincossi

ncossincos22hxxxxxxxxxxx=+−−−+=+−+.显然()0hx在,42x上恒成立，所以()hx在,42上单调递增.∴()02hxh=，故原不等式得证.【点睛】本题主

要考查由函数单调性求参数，以及导数的方法证明不等式，灵活运用导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.22.如图所示，在直角坐标系xOy中，曲线C由中心在原点，焦点在x轴上的半椭圆和以原点为圆心，半径为2的半圆构成，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C

的极坐标方程；（2）已知射线()304=与曲线C交于点M，点N为曲线C上的动点，求MON△面积的最大值.【答案】（1）243sin12,2=+，0；（2）2105.【解析】【分析】（1）分别写出曲线C的上、下两半部分的直角坐标方程，结合极坐标与直角坐标的互化

公式，即可求解；（2）把射线()304=代入曲线C的极坐标方程，求得点M的极经，然后写出MON△的面积，求得其最大值即可.【详解】（1）由题设可知，曲线C上半部分的直角坐标方程为()22104xyy+=

，所以，曲线C上半部分的极坐标方程为()22403sin1=+曲线C下半部分的直角坐标方程为()2210xyy+=，所以，曲线C下半部分的极坐标方程为()22=，故曲线C的极

坐标方程为243sin12,2=+，0.（2）由题设，将()304=代入曲线C的极坐标方程可得：2105MOM==，又点N为曲线C上的动点，所以()()maxmax2NON==，由面积公式得：11210sin

225MONSOMONMONOMON=△，当且仅当sin1MON=，2ON=时等号成立，故MON△面积的最大值为2105.【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，以及极坐标的应用，其中解答中熟练应用极坐标的几何意义是解答的关键，意在考查推理与运算能力.23.已知

,ab均为实数，且3410ab+=.（Ⅰ）求22ab+的最小值；（Ⅱ）若2232xxab+−−+对任意的,abR恒成立，求实数x的取值范围.【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）3-2，.【解析】【分析】

（1）利用柯西不等式即可得出（2）由（1）可知，22ab+的最小值为4，则324xx+−−，再利用零点分段讨论法解不等式组，得到实数x的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）因为()()()()2222222210343425ababab=+++=+所以

224ab+，当且仅当34ab=，即6585ab==，或6585ab=−=−时取等号，即22ab+的最小值为4.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2232xxab+−−+对任意的,abR恒成立324xx+−−354x

−−，或-32214xx+，或254x3x−，或33-322xx所以实数x的取值范围为3-.2，【点睛】解决本题的关键是要熟练运用柯西不等式：若1

212,,,aabbR，则()()()2222212121212aabbaabb+++，等号成立1221abab=．