【文档说明】黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三考前模拟训练（二）数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(25)页，2.156 MB，由小赞的店铺上传

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大庆铁人中学2017级高三学年考前模拟训练数学试题（文）一、选择题1.若全集{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4},}UMN===，，则集合()()UUCMCNÈ等于（）A.{5,6}B.{1,5,6}C.{2,5,6}D.{1256}，，，【答案】D【解析】【分析】根据补集、并

集的定义计算即可；【详解】解：因为{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4},}UMN===，，所以2,5,6UCM=，1,5,6UCN=所以()()1,2,5,6UUCNMC=故选：D【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知单位向量a、b

满足ab⊥，则()aab−=（）A.0B.12C.1D.2【答案】C【解析】【分析】本题首先可以通过题意得出1ab==rr以及0ab=，然后通过()2aabaab−=−即可得出结果.【详解】因为单位向量a、b满足ab⊥，所

以1ab==rr，0ab=，所以()221aabaabaab−=−=−=，故选：C.【点睛】本题考查单位向量以及向量垂直的相关性质，若向量ab⊥，则0ab=，考查计算能力，体现了基础性，是简单题

.3.欧拉公式cossiniei=+，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos和sin联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足()1iezii−=+则|z|=（）A.5B.2C.22D.3【答案】A【解析】【分析】由新定义将ie化为复数的代数形式

，然后由复数的除法运算求出z后再求模．【详解】由欧拉公式cossiniei=+有：cossin1iei=+=−.由()1iezii−=+，即(1)1zii−−=+所以111izii+−−==−，即2zi

=−+所以()22215z=−+=故选：A【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化ie为代数形式，然后求解．属于中档题.4.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分10

0分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则xy+的值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答

即可．【详解】由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x＝3．由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80

+y+91+91+96＝597+y，又乙班学生的平均分是86，总分等于86×7＝602．所以597+y＝602，解得y＝5，可得x+y＝8．故选B．【点睛】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x+y的

值．5.等比数列{an}中，a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，则a3•a9等于（）A.﹣3B.3C.﹣4D.4【答案】B【解析】【分析】根据根与系数关系关系列方程，结合等比数列的性质求得39aa的值.【详解】∵a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，∴a

5、a7是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴a5•a7＝3，由等比数列的性质可得：a3•a9＝a5•a7＝3．故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查根与系数关系，属于基础题.6.从2名男同学和

3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.

详解：设2名男同学为12,AA，3名女同学为123,,BBB，从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,AAABABABABABABBBBBBB共10种可能，选中的2人都是女同学的

情况共有121323,,BBBBBB共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为30.310P==，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A；第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；第三步，利用公

式()mPAn=求出事件A的概率.7.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积V，求这个球的直径d的近似公式，即3169dV.随着人们对圆周率π值的认知越来越精确，还总结

出了其他类似的近似公式.若取3.14=，试判断下列近似公式中最精确的一个是()A.32dVB.3169dVC.32011dVD.32111dV【答案】D【解析】【分析】利用球体的体积公式得333443326ddVR===

，得出d的表达式，再将的近似值代入可得出d的最精确的表达式.【详解】由球体的体积公式得333443326ddVR===，36Vd=，61.9108，161.77789，211.909111，201.818211，2111与6最为接近

.故选：D【点睛】本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查学生分析问题和理解问题的能力.8.已知,ab是两条直线，,是两个平面，则ab⊥rr的一个充分条件是（）A.a⊥，b//，⊥B.a⊥，b⊥，//C.a，b⊥，//D.a，b//，⊥【答案

】C【解析】【分析】在A中，a与b可以成任意角；在B中a与b是平行的；在C中，可得b⊥，从而得到ab⊥rr；在D中，可得a与b可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a，b是两条不同的直线，,是两个不同的平面，在A中，a⊥，b//，⊥，因

为b的方向不确定，则a与b可以成任意角，故A错误；在B中，a⊥，b⊥，//，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，故B错误；在C中，由a，b⊥，//，可知b⊥，由线面垂直的性质可知ab⊥r

r，故C正确；在D中，a，b//，⊥，可得a与b可以成任意角，故D错误．故选：C.【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．9.若直线22(0,0

)mxnymn−=−被圆222410xyxy++−+=截得弦长为4，则41mn+的最小值是（）A.9B.4C.12D.14【答案】A【解析】【分析】圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得,mn满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得41mn+的最小值．【详

解】圆标准方程为22(1)(2)4xy++−=，圆心为(1,2)C−，半径为2r=，直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴222mn−−=−，1mn+=，又0,0mn，∴41414()()5nmmnmnmnmn+=++=++4529nmmn+=，当且仅当

4nmmn=，即21,33mn==时等号成立．∴41mn+的最小值是9．故选A．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得,mn的关系1mn+=，然后用“1”的代换法把41mn+凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值

．10.已知函数()21cos4fxxx=+，()fx是函数()fx的导函数，则()fx的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除,BD，再根据02f，可排除C，从而得到结果.【详解】由题意得：(

)1sin2fxxx=−()()1sin2fxxxfx−=−+=−()fx为奇函数，图象关于原点对称可排除,BD又当2x=时，1024f=−，可排除C本题正确选项：A【点睛】此题考查函

数图象的识别，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，关键是能够利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．11.双曲线222:19xyCb−=的左、右焦点分别为1F、2,FP在双曲线C上，且12PFF是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C的离心率为（）A.89B.83C.

149D.143【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b，进一步求得c，则双曲线的离心率可求．【详解】如图，由22219xyb−=，得229cb=+，29cb=+．设1||PFm=，2||PFn=，由题意，6mn−=，若2229ncb==

+，26629mnb=+=++，则2266922mncb++=++=，解得b；若2229mcb==+，26296nmb=−=+−．则2269622mncb++=+−=，解得21159b=．222115196999cab

=+=+=，143c=．1414339cea===．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因此被称为“阴

阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”的一个示意图，整个图形是一个圆面，其中黑色区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色部分的概率是12；②当32a=−时，直线2yaxa=+与白色部分有公共点；③

黑色阴影部分中一点(),xy，则xy+的最大值为2；④设点()2,Pb−，点Q在此太极图上，使得45OPQ=，b的范围是22−,．其中所有正确结论的序号是（）A.①②B.②③C.①③D.①④【答案】D【解析】【分析】根据几何概型概率计算，判

断①的正确性；根据直线332yx=−−和圆()2211xy++=的位置关系，判断②的正确性；根据线性规划的知识求得xy+的最大值，由此判断③的正确性；将45OPQ=转化为过P的两条切线所成的角大于等于90，由此求得OP的取值范围，进而求得b的取值范围，从

而判断出④的正确性.【详解】对于①，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12，①正确；对于②，当

32a=−时，直线()()33222322yaxaaxxx=+=+=−+=−−,过点()()2,0,0,3−−，所以直线2yaxa=+与白色部分在第I和第IV象限部分没有公共点.圆()2211xy++=的圆心为()0,1−，半径为1，圆心()0,1−到直线332yx=−−，即直线3260xy++

=的距离为224411332=+，所以直线2yaxa=+与白色部分在第III象限的部分没有公共点.综上所述，直线y＝ax+2a与白色部分没有公共点，②错误；对于③，设l：z＝x+y，由线性规划知识可知，当直线l与圆x2+（y

﹣1）2＝1相切时，z最大，由112z−=解得z21=+（12z=−舍去），③错误；对于④，要使得∠OPQ＝45°，即需要过点P的两条切线所成角大于等于90，所以22sin452OP=，即OP≤22，于是22+b2≤8，解得22b−≤≤，④正确．故选

：D【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何概型概率计算，属于中档题.二、填空题13.求值：331log15log252−=_________．【答案】1【解析】【分析】根据对数运算,化简即可得解.【详解】由对数运算,化简可得331

log15log252−1233=log15log25−33=log15log5−3=log3=1故答案为:1【点睛】本题考查了对数的基本运算,属于基础题.14.在正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE

与CD所成角的正切值为______【答案】52【解析】【分析】直接利用异面直线所成的角的求法及解三角形的知识即可求出结果．【详解】如图所示：在正方体体1111ABCDABCD−中，连接BE，所以异面直线AE与CD所成

角，即为直线AE和AB所成的角或其补角．设正方体的棱长为2，由于AB⊥平面BCE，所以ABE为直角三角形．所以22215BE=+=，所以52BEtanBAEAB==．故答案为52【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，涉及转化思想及运算求解能力，属于基础题型．15.已知数列na的各项

均为正数，其前n项和nS满足()2*42nnnSaanN=+，设()11nnnnbaa+=−，nT为数列nb的前n项和，则20T=______．【答案】880【解析】【分析】令1n=求出1a的值，令2n，由242nnnSaa=+得211142nnnSaa−−−=+，两

式作差可推导出数列na为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求得数列na的通项公式，然后计算出212nnbb−+，利用等差数列求和公式可求得20T的值.【详解】由于正项数列na的前n项和为nS，且242nnnSaa=+

.当1n=时，21111442aSaa==+，得21120aa−=，10a，解得12a=；当2n时，由242nnnSaa=+得211142nnnSaa−−−=+，两式作差得2211422nnnnnaaaaa−−=−+−，可得2211220nnnnaaaa−−−−−=，()(

)1120nnnnaaaa−−+−−=，对任意的nN，0na，则10nnaa−+，12nnaa−−=，所以，数列na是以2为首项，以2为公差的等差数列，()2212nann=+−=.()()()11141nnnnnbaann+=−=−+，(

)()2124212422116nnbbnnnnn−+=−−++=，所以，20T可视为数列212nnbb−+的前10项和，因此，()20101616108802T+==.故答案为：880.【点睛】本题考查利用nS与na之间

的关系求通项，同时也考查了并项求和法，考查计算能力，属于中等题.16.下列说法正确的是：①在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差；②回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；③在回归直线方

程0.110yx=+中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.1个单位④若()1sin2+=，()1sin3−=，则tan5tan=；⑤已知正方体1111ABCDABCD−，P为底面ABCD内一动点，P到平面11AADD的距离

与到直线1CC的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分．正确的序号是：______．【答案】②③④⑤【解析】【分析】根据回归分析概念及回归系数的含义，可判定①不正确；②是正确的；③是正确的；由三角恒等变换的公式，可判定④是正确的；根据正方体结构特

征和抛物线的定义以⑤是正确的.【详解】对于①中，在做回归分析时，由残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，所以①不正确；对于②中，回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好是正确的，所以

②是正确的；对于③中，在回归直线方程0.110yx=+中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.1个单位，所以③是正确的.对于④中，若()1sin2+=，()1sin3−=，可得1sincoscossin2+=，1sincosco

ssin3−=，解得51sincos,cossin1212==，所以tansincos5tancossin==，所以④是正确的；⑤在正方体1111ABCDABCD−，则PC是点P到直线1CC的距离，过P作PE垂直于直线AD，则PE

到平面11AADD的距离为PE，因为P到平面11AADD的距离到直线1CC的距离，所以PCPE=，根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是抛物线的一部分，所以⑤是正确的.故答案为：②③④⑤.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉

及到回归直线分析，以及三角函数的恒等变换，以及抛物线的定义等知识点的综合应用，涉及到的知识点较多，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题17.如图，在四边形ABCD中，ABAD⊥，_________，DC=2，在

下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答.(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)①234,sin3ABBCACB==；②tan36BAC+=；③2cos23BCACB

ACAB=−.（1）求DAC的大小；（2）求△ADC面积的最大值.【答案】（1）3；（2）3.【解析】【分析】（1）若选①，利用正弦定理得出6BAC=，再结合2BAD=，即可得出DAC；若选②，由tan36BAC

+=，得出6BAC=，再结合2BAD=，即可得出DAC；若选③，利用正弦定理的边化角公式化简得出得出6BAC=，再结合2BAD=，即可得出DAC；（2）由余弦定理结合基本不等式得出4ACAD，最后由三角形的

面积公式得出△ADC面积的最大值.【详解】（1）解：若选①在ABC，由正弦定理可得：sinsinABBCACBBAC=又234,sin3ABBCACB==，可得：1sin,26BACBAC==又ABAD⊥，2BAD=，3DAC=（2）在ACD△中，=2DC，

由余弦定理可得：2224DCACADACADACAD==+−即4ACAD113sin43222ADCSACADDAC==△当且仅当ACAD=时取“=”若选择②（1）由tan36BAC+

=可得：6BAC=又ABAD⊥，,23BADDAC==（2）在ACD△中，2DC=，由余弦定理可得：2224DCACADACADACAD==+−即4ACAD113sin43222ADCSACADD

AC==△当且仅当ACAD=时取“=”.若选③（1）2cos23BCACBACAB=−，由正弦定理得：2sincos2sin3sinBACACBABCACB=−()2sincos2sin3sinBACACBACBBACACB=+−2sincos2sincos2c

ossin3sinBACACBACBBACACBBACACB=+−即2sincos3sinACBBACACB=sin0ACB3cos2BAC=()0,BAC6BAC=又A

BAD⊥，所以,23BADDAC==；（2）在ACD△中，2DC=，由余弦定理可得：2224DCACADACADACAD==+−即4ACAD113sin43222ADCSACADDAC==△当且仅当ACAD=时取“=”【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦

定理，三角形面积公式的应用，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.18.如图，三棱锥PABC−中，底面△ABC是边长为2的正三角形，2PA=，PA⊥底面ABC，点,EF分别为AC，PC的中点.（1）求证：平面BEF⊥平面

PAC；（2）在线段PB上是否存在点G，使得三棱锥BAEG−体积为36？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）存在，G为PB中点.【解析】【分析】（1）由PA⊥底面ABC推出PABE⊥，结合

BEAC⊥可推出BE⊥平面PAC，线面垂直推出面面垂直；（2）过G作GHAB⊥，由面面垂直的性质证明GH⊥平面ABC，再利用等体积法由36BAEGGABEVV−−==即可求得GH，根据线面垂直的性质及中

位线的性质即可求得点G的位置.【详解】（1）因为PA⊥底面ABC，BE底面ABC，所以PABE⊥，因为△ABC是等边三角形且E为AC的中点，所以BEAC⊥，又PAACA=，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BE⊥平面PAC，因为BE平面BEF，所以平面BEF⊥平

面PAC；（2）过G作GHAB⊥,PA⊥平面ABC，PA平面PAB，平面PAB⊥平面ABC又平面PAB平面ABC=AB，GH⊥平面ABC,36BAEGGABEVV−−==，1336ABEGHS=V，1332=222ABES=，1GH=，PA⊥平面ABC，GH⊥平面ABC，//PA

GH,12GHPA=，G为PB中点.【点睛】本题考查面面垂直的判定及性质、线面垂直的性质、等体积法求点到平面的距离，属于中档题.19.某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表周跑量（km/

周）)1015，)1520，)2025，)2530，)3035，)3540，)4045，)4550，)5055，人数100120130180220150603010（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直

方图:注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为28.5km，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价

格不一样，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?【答案】(1)见解析；(2)中位数为29.

2，分布特点见解析；(3)3720元【解析】【分析】（1）根据频数和频率之间的关系计算，即可得到答案；（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；（3）根据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精英跑者分别人数，进而求出平均值．

【详解】（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：（2）中位数的估计值：由50.0250.02450.0260.350.5++=，0.3550.0360.530.5+=所以中位数

位于区间)2530，中，设中位数为x，则()0.35250.0360.5x+−=，解得29.2x，因为28.529.2，所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．（3）依题意可知，休闲跑者共有()50.0250.0241000220

+=人，核心跑者()50.02650.03650.04450.0301000680+++=人，精英跑者1000220680100−−=人，所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要22025006804000100450037201000++=元．【点

睛】本题主要考查了平均数、中位数的求法，以及频率分布直方图的性质等相应知识的综合应用，着重考查了化简能力，推理计算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．20.已知函数()sinxfxex=，其中xR，2.71828e=为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()fx的单调

区间；（Ⅱ）当[0,]2x时，()fxkx，求实数k的取值范围．【答案】（1）单调递增区间：3(2,2)44kk−+，单调递减区间：37(2,2)44kk++，kZ；（2）(,1]−．【解析】试题分析：（Ⅰ）'()(sinco

s)xfxexx=+，令sincos2sin()4yxxx=+=+，当3(2,2)44xkk−+，'()0fx，()fx单增，37(2,2)44xkk++，'()0fx，()fx单减；（Ⅱ）令()

()sinxgxfxkxexkx=−=−，即()0gx恒成立，而'()(sincos)xgxexxk=+−，利用导数的性质和零点存在定理，即可求出结果．试题解析：（Ⅰ）'()sincos(sinco

s)xxxfxexexexx=+=+，令sincos2sin()4yxxx=+=+，当3(2,2)44xkk−+，'()0fx，()fx单增，37(2,2)44xkk++，'()0fx，()fx单减；（Ⅱ）令()

()sinxgxfxkxexkx=−=−，即()0gx恒成立，而'()(sincos)xgxexxk=+−，令()(sincos)'()(sincos)(cossin)2cosxxxxhxexxhxexxexxex=+=++−=，∵[0,]2x，'()0()hxhx在[0,]2上单

调递增，21()hxe，当1k时，'()0gx，()gx在[0,]2上单调递增，()(0)0gxg=，符合题意；当2ke时，'()0()gxgx在[0,]2上单调递减，()(0)0gxg=，与题意不合；当21ke时，()gx为一个单调递增的函数，

而'(0)10gk=−，2'()02gek=−，由零点存在性定理，必存在一个零点0x，使得0'()0gx=，当0[0,)xx时，'()0gx，从而()gx在0[0,)xx上单调递减，从而()(0)0gxg=，与题意不合，综上所述：k的取值范围为(,1]−．考

点：1．导数在函数单调性中的应用；2．函数的零点存在定理．21.已知抛物线2:2Cyx=，过点()2,0的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点()4,2P−，求直线l与

圆M的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）当1m=时，直线l的方程为20xy−−=，圆M的方程为()()223110xy−+−=．当12m=−时，直线l的方程为240xy+−=，圆M的方程为2291854216xy

−++=．【解析】【分析】（1）设:2lxmy=+，()11,Axy，()22,Bxy，与抛物线方程联立可得124yy=−，()2121244yyxx==，可证OA的斜率与OB的斜率之积为121241

4yyxx−==−，即可得证明结论.（2）因为圆M的直径为AB，且过点()4,2P−，由圆的性质得出⃑0APBP=，结合（1）中的韦达定理，代数化简求得m的值，因此得出直线l的方程和圆M的方程.【详解】解：（1）证明：

设()11,Axy，()22,Bxy，:2lxmy=+，由222xmyyx=+=，可得2240ymy−−=，则124yy=−．又2112yx=，2222yx=，故()2121244yyxx==．因此OA的斜率与OB的斜率之

积为1212414yyxx−==−，所以OAOB⊥，故坐标原点O在圆M上．（2）由（1）可得122yym+=，()21212424xxmyym+=++=+，故圆心M的坐标为()22,mm+，圆M的半径()2222rmm=++．由于圆M

过点()4,2P−，因此0APBP=，故()()()()121244220xxyy−−+++=，即()()1212121242200xxxxyyyy−+++++=，由（1）可知124yy=−，124xx=，所以2210mm−−=，解得1m=，或12m=−．当1m=时，直线l的

方程为20xy−−=，圆心M的坐标为()3,1，圆M的半径为10，圆M的方程为()()223110xy−+−=．当12m=−时，直线l的方程为240xy+−=，圆心M的坐标为91,42−，圆M的半径为854，圆M的方程为22

91854216xy−++=．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，联立方程并写出韦达定理，求圆的方程，还结合运用圆的性质和向量垂直，以及直线方程和圆的标准方程，属于中档题.22.在直角坐标系xOy中，直线l1的

参数方程为2+,,xtykt==（t为参数），直线l2的参数方程为2,,xmmmyk=−+=（为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为

极轴建立极坐标系，设()3:cossin20l+−=，M为l3与C的交点，求M的极径.【答案】（1）()2240xyy−=（2）5【解析】（1）消去参数t得1l的普通方程()1:2lykx=−；消去参数m得l2的普通方程()21:2lyxk=

+.设(),Pxy,由题设得()()212ykxyxk=−=+，消去k得()2240xyy−=.所以C的普通方程为()2240xyy−=.（2）C的极坐标方程为()()222cossin402π,π−=.联立()

()222cossin4,cossin20−=+−=得()cossin2cossin−=+.故1tan3=−，从而2291cos,sin1010==.代入()222cossin4−=得2

5=，所以交点M的极径为5.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解

.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23.选修4-5不等式选讲设abcd,,,均为正数，且abcd+=+，证明：（Ⅰ）若abcd，则abcd++；（Ⅱ）abcd++是abcd−−的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）因为2()2ababab+=++，2(

)2cdcdcd+=++，由题设abcd+=+，abcd，得22()()abcd++．因此abcd++．（Ⅱ）（ⅰ）若abcd−−，则22()()abcd−−．即22()4()4ababcdcd+

−+−．因为abcd+=+，所以abcd，由（Ⅰ）得abcd++．（ⅱ）若abcd++，则22()()abcd++，即2abab++2cdcd++．因为abcd+=+，所以abcd，于是22()()4ababab−=+−2(

)4cdcd+−2()cd=−．因此abcd−−，综上，abcd++是abcd−−的充要条件．考点：推理证明．