【文档说明】2023届高考北师版数学一轮复习试题（适用于老高考新教材） 第五章　三角函数 课时规范练21　三角恒等变换含解析【高考】.docx，共(9)页，49.464 KB，由小赞的店铺上传

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1课时规范练21三角恒等变换基础巩固组1.(2021天津和平高三模拟)已知sinα+π2=√55,α∈-π2,0,则sin2α=()A.45B.-45C.4√55D.-4√552.(2021广东广州高三月考)2sinπ1

2sin5π12cosπ6=()A.√32B.√34C.14D.123.(2021江苏南京高三期中)化简:sin2π3+α-sin2π6-α=()A.cos2α+4π3B.sin2α+π6C.-cos2α-π3D.sinπ6-2α4.已知sinα-π4=3√210(0<α<π)

,则sin(π-2𝛼)sin𝛼+cos𝛼=()A.-2√721B.-16√41205C.16√41205D.2√7215.(2021湖南高三模拟)已知角α,β∈(0,π),tan(α+β)=12,cosβ=7√210,则角2α+β=()A.9π4B.

3π4C.5π4D.π46.(2021山西临汾高三模拟)已知α满足sinα+π4=√26,则tan2𝛼+12tan𝛼=()A.98B.-98C.3D.-37.已知π4≤α≤π,π≤β≤3π2,sin2α=45,cos(α+β)

=-√210,则()A.cosα=-√10102B.sinα-cosα=-√55C.β-α=3π4D.cosαcosβ=-√258.(2021安徽安庆高三检测)√1+cos100°sin20°cos20°=.

9.(2021北京海淀高三检测)已知α为锐角,且sinα·(√3-tan10°)=1,则α=.10.(2021江西南昌二中高三检测)化简:1+sin𝛼1+sin𝛼+cos𝛼+12√1-cos𝛼1+cos𝛼α∈-π

,-π2.11.(2021福建莆田高三月考)已知sin𝛽sin𝛼=cos(α+β),求证:tanβ=sin2𝛼3-cos2𝛼.3综合提升组12.函数f(x)=sin2x-4sin3xcosx(x∈R)的最小正周期为()A.π8B.π4C.π2D.π13.(2021四川宜宾高

三期中)已知角α,β满足cos2α+52cosα=sinπ3+β·sinπ3-β+sin2β,且α∈0,π,则α等于()A.π6B.π4C.π3D.π214.设sinβ+π6+sinβ=√3+12,则sinβ-π3=()A.√32或12B

.12或-√32C.-12或√32D.-√3215.(2021河南信阳高三月考)(tan30°+tan70°)sin10°=.416.已知函数f(x)=cos2x-cos2x-π3.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在-π6,π3上的值域.5创新应

用组17.(2021辽宁大连高三期中)若▲表示一个整数,该整数使得等式▲cos40°+√3sin40°=4成立,这个整数▲为()A.-1B.1C.2D.318.(2021江苏无锡高三月考)已知α,β∈(0,π),cosα=-3√1010,若sin(2α+β)=12sinβ,则α+β

=()A.54πB.23πC.76πD.74π6课时规范练21三角恒等变换1.B解析:因为sinα+π2=√55,所以cosα=√55.因为α∈-π2,0,所以sinα=-√1-cos2𝛼=-√1-(√55)2=-2√55,所以sin2

α=2sinαcosα=2×-2√55×√55=-45.故选B.2.B解析:2sinπ12sin5π12cosπ6=2×√32sinπ12cosπ2−5π12=√3sinπ12cosπ12=√32sinπ6=√34,故选B.3.B解

析:由题意可知,sin2π3+α-sin2π6-α=sin2π3+α-cos2π3+α=-cos2π3+α=-cos2π3+2α=cosπ3-2α=sin2α+π6,故选B.4.C解析:因为sinα-π4=3√210,所以sinα-cosα=35.两边同时平方,得sin2α

+cos2α-2sinαcosα=925,sinαcosα=825>0.因为0<α<π,所以sinα>0,cosα>0,则sinα+cosα=√(sin𝛼+cos𝛼)2=√1+2sin𝛼·cos𝛼=√415,于是sin(π-2𝛼)sin𝛼+cos𝛼=si

n2𝛼sin𝛼+cos𝛼=2sin𝛼cos𝛼sin𝛼+cos𝛼=1625√415=16√41205,故选C.5.D解析:∵cosβ=7√210,∴sinβ=√1-(7√210)2=√210,则tanβ=17,故tanα=tan

(α+β-β)=tan(𝛼+𝛽)-tan𝛽1+tan(𝛼+𝛽)tan𝛽=12-171+12×17=13,则tan(2α+β)=tan(α+β+α)=tan(𝛼+𝛽)+tan𝛼1-tan(𝛼+𝛽)tan𝛼=12+131

-12×13=1.∵0<tan(α+β)<1,0<tanα<1,∴0<α+β<π4,0<α<π4,则0<2α+β<π2,则2α+β=π4,故选D.6.B解析:由sinα+π4=√26,可得√22(sinα+cosα)=√26,即sinα+cosα=13,平方可得1

+2sinαcosα=19,即sin2α=-89,故tan2𝛼+12tan𝛼=sin2𝛼cos2𝛼+12sin𝛼cos𝛼=1cos2𝛼·cos𝛼2sin𝛼=12sin𝛼cos𝛼=1sin2𝛼=-98,故选B

.7.C解析:对于A,因为π4≤α≤π,所以π2≤2α≤2π.又sin2α=45>0,故有π2≤2α≤π,π4≤α≤π2,则cos2α=-35.又cos2α=2cos2α-1,则cos2α=15,故cosα=√55,故A错误;对于B,因为

(sinα-7cosα)2=1-sin2α=15,π4≤α≤π2,所以sinα>cosα,所以sinα-cosα=√55,故B错误;对于C,因为π≤β≤3π2,所以5π4≤α+β≤2π.又cos(α+β)=-√210<0,所以5π4≤α+β≤3π2,解得sin(α+

β)=-7√210,所以cos(β-α)=cos[(α+β)-2α]=-√210×-35+-7√210×45=-√22.又因为5π4≤α+β≤3π2,-π≤-2α≤-π2,所以π4≤β-α≤π,有β-α=3π4,故C正确;对于D,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-√

210,cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ=-√22,两式联立得cosαcosβ=-3√210,故D错误.故选C.8.2√2解析:√1+cos100°sin20°cos20°=√2cos250°12sin4

0°=√2cos50°12cos50°=2√2.9.40°解析:由已知得sinα=1√3-tan10°=1√3-sin10°cos10°=cos10°√3cos10°-sin10°=cos10°2sin50°=sin80°2sin50°=2si

n40°cos40°2cos40°=sin40°.由于α为锐角,所以α=40°.10.解原式=sin2𝛼2+2sin𝛼2cos𝛼2+cos2𝛼22cos2𝛼2+2sin𝛼2cos𝛼2+12√2sin2𝛼22cos2𝛼2=

(sin𝛼2+cos𝛼2)22cos𝛼2(sin𝛼2+cos𝛼2)+12tan𝛼2=12tan𝛼2+12+12tan𝛼2,而𝛼2∈-π2,-π4,即tan𝛼2<0,故原式=12tan𝛼2

+12−12tan𝛼2=12.11.证明因为sin𝛽sin𝛼=cos(α+β),所以sinβ=sinα(cosαcosβ-sinαsinβ),即sinβ(1+sin2α)=12sin2αcosβ,因此tanβ=s

in2𝛼2+2×1-cos2𝛼2=sin2𝛼3-cos2𝛼,故tanβ=sin2𝛼3-cos2𝛼成立.12.C解析:f(x)=sin2x-4sin3xcosx=2sinxcosx-4sin3xcosx=2sinxcosx(1-2sin2x)=sin2x

cos2x=12sin4x,所以函数的最小正周期T=2π𝜔=2π4=π2,故选C.13.C解析:由于sinπ3+β·sinπ3-β+sin2β=√32cosβ+12sinβ√32cosβ-12sinβ+si

n2β=34cos2β-14sin2β+sin2β=34cos2β+34sin2β=34,因此cos2α+52cosα=34,即2cos2α-1+52cosα=34,解得cosα=12.又因为α∈(0,π),故α=π3,

故选C.814.C解析:依题意sinβ+π6+sinβ=√3+12,sinβ-π3+π2+sinβ-π3+π3=√3+12,所以cosβ-π3+12sinβ-π3+√32cosβ-π3=12sinβ-π3+√3+22cosβ-π3=√3+12,因此sinβ-π3+(√3+2)

cosβ-π3=√3+1,所以cosβ-π3=(√3+1)-sin(𝛽-π3)√3+2.代入sin2β-π3+cos2β-π3=1,得sin2β-π3+(√3+1)-sin(𝛽-π3)√3+22=1,化简得(8+4√3)sin2β-π3-(2√3+2)sinβ-π3-(3+2√3)=0,

两边除以√3+2,可得4sin2β-π3+(2-2√3)sinβ-π3-√3=0,2sinβ-π3+12sinβ-π3-√3=0,解得sinβ-π3=-12或sinβ-π3=√32,故选C.15.√33解析:(tan30°+tan70°)sin10°=sin30°c

os30°+sin70°cos70°sin10°=(sin30°cos70°+cos30°sin70°)sin10°cos30°cos70°=sin100°sin10°√32sin20°=2sin10°cos10°√3sin20°=√33.16.解(1)

f(x)=cos2x-cos2x-π3=1+cos2𝑥2−1+cos(2𝑥-2π3)2=12cos2x-cos2x-2π3=12cos2x--12cos2x+√32sin2x=-√34sin2x+34cos2x=-√

32sin2x-π3,故函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)当x∈-π6,π3时,2x-π3∈-2π3,π3,所以sin2x-π3∈-1,√32,则-√32sin2x-π3∈-34,√32,故函数f(x)的值域是-34,

√32.17.B解析:因为▲cos40°+√3sin40°=4,所以▲sin40°+√3cos40°=2sin80°,则▲sin40°+√3cos40°=2cos10°,因此▲sin40°+√3cos40°=2cos(40°-30°),即▲sin40°+√3cos40°=2cos40°cos3

0°+2sin40°=sin30°,所以▲sin40°+√3cos40°=2×√32cos40°+2×12sin40°,即▲sin40°+√3cos40°=sin40°+√3cos40°,所以▲=1,故选B.18.A解析:由题意可知,sin(

2α+β)=12sinβ,可化为sin[α+(α+β)]=12sin[(α+β)-α],展开得sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=12cosαsin(α+β)-12sinαcos(α+

β),则9cosαsin(α+β)+3sinαcos(α+β)=0,因为α,β∈(0,π),且cosα=-3√1010,所以sinα=√1-cos2𝛼=√1010,则-3√1010sin(α+β)+3×√1010cos(α+β)=0,且α∈π2,π,所以sin(α+β)=

cos(α+β).当cos(α+β)=0时,不满足题意,所以tan(α+β)=1.因为α∈π2,π,β∈(0,π),所以α+β∈π2,2π,则α+β=54π,故选A.