【文档说明】江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.278 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年第一学期高二年级10月学情调研测试数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过()0,4A，()3,1

B两点的直线的倾斜角为（）A.60−B.60C.120D.150【答案】C【解析】【分析】根据两点坐标可得直线斜率，进而可得倾斜角.【详解】由()0,4A，()3,1B，可知直线斜率14330k−==−−，所以直线倾斜角满足tan3=−，

且)0,180，所以120=，故选：C.2.直线(1)330axy+++=与直线(1)10xay+−+=平行，则实数a的值为（）A.2−B.12C.2D.2或2−【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行的公式求解即可

.【详解】因为直线(1)330axy+++=与直线(1)10xay+−+=平行，所以(1)(1)3aa+−=且(1)131a+，解得2a=−.故选：A.3.若双曲线2222xyab−=1()0,0ab离心率

为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.0xy=B.30xy=的C.30xy=D.50xy=【答案】C【解析】【分析】根据离心率求得ba，进而即得．【详解】由题意得2222212cabbeaaa+===+=，∴3ba=，又双曲线()222210,0xyabab−=的

渐近线方程为byxa=，∴双曲线的渐近线方程是3yx=，即30xy=．故选：C．4.《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国､秦､汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各

人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”则第1人比第3人多得钱数为（）A.16钱B.13钱C.12钱D.23钱【答案】B【解析】【分析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为1a，公差为d的等差数列{}na，则有1234

5aaaaa+=++，123455aaaaa++++=，从而可求出1,ad，进而即得.【详解】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为1a，公差为d的等差数列{}na，则有12345aaaaa+=++，123455aaaaa++++

=，故11123954552adadad+=++=，解得14316ad==−，则13123aad−=−=，故选：B.5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线2:8Cyx=，P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于,AB两点，若60OAP=，

则四边形OAPB的周长为（）A.64B.643C.6433D.643【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的对称性和几何关系得出四边形OAPB为菱形，然后设()2,0Pt，从而得出(),3Att，带入抛物线的方程求解即可.【详解】因为线段OP的垂直平分线交交C于,AB两点,所以结合抛物

线的对称性可得AB与OP互相平分,则四边形AOBP为菱形.设点()2,0Pt且0t,则线段OP的垂直平分线l方程为xt=,令l与x轴交于点H,又60OAP=,则在直角三角形AOH中30OAH=,所以(),3Att，A在抛物线2:8Cy

x=上，()2838,3ttt==，1622,3AOOHt===则四边形OAPB的周长为644,3AO=故选：D6.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交椭圆于,AB两点，若(1,1)

M−且2OAOBOM+=，则E的方程为（）A.22163xy+=B.22196xy+=C.221123xy+=D.221189xy+=【答案】D【解析】【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解．【详解】因为右焦点(3,0)F，故229ab=+，设1

(Ax,1)y,2(Bx,2)y，由2OAOBOM+=可知M是AB的中点，122xx+=，122yy+=−，且2222112222221,1xyxyabab+=+=，两式相减得1212121222()()()()0xxxxyyyyab+−+−+=，22212122221212

()2011()2312ABFMyybxxbbkkxxayyaa−++==−=−====−+−−，22229abb==+，29b=，218a=，故椭圆E方程为221189xy+=，故选：D.7.已知等

轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左焦点为1F，焦距为4，点A的坐标为(2,1)，P为双曲线右支上一动点，则1PFPA−的最大值为（）A.22B.17C.221+D.225+【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的性质的得到2a=，利用双曲线的定义将1PFPA−

最大值转化为22aPFPA+−的最大值，然后根据几何知识求最大值即可.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0xyabab−=，焦距为2c，由题意得ab=，2c=，则2242ca==，解得2a=由双曲线的定义得122PFPAaPFPA−=+−，所以1PFPA−最大值即22a

PFPA+−的最大值，如图，连接2AF与双曲线交于E，F两点，由题意得当点P在F处时22aPFPA+−最大，()22max22221aPFPAaAF+−=+=+.故选：C.8.已知双曲线:C()222210,0xyab

ab−=的左右顶点分别为12,AA，垂直于x轴的直线l与双曲线C交于,MN两点，且12180MANMAN+=，则双曲线C的离心率为（）A.2B.3C.2D.5【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，由题可得121MAMAkk=，设()00

,Mxy，利用两点连线斜率公式可化简得到221ba=，由221bea=+可求得双曲线的离心率.【详解】如图，因为12180MANMAN+=，所以1290MAxMAx+=，121MAMAkk=，由题意知()()12,0,,0AaAa−，设()00,Mxy，则2200221x

yab−=，所以1222022200022222000011MAMAxbayyybxaxaxaakakx−=====+−−−，双曲线C的离心率2212bea=+=.故选：A.二､多项选择题（本大题

共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.关于直线l：320xy++=，下列说法正确的有（）A.直线l的斜率为33−B.经过点(3,

1)−C.在y轴上的截距为2D.直线l经过第二､三､四象限【答案】BD【解析】【分析】根据直线方程可判断B，由一般式化为斜截式可判断ACD.【详解】因为直线l：320xy++=，令3x=−，可得1y=，即直线经过点(3,1)−，故B正确；由320xy++=可得32yx=

−−，所以直线的斜率为3−，直线在y轴上的截距为2−，直线l经过第二､三､四象限，故AC错误，D正确.故选：BD.10.下列说法正确的有（）A.数列1,2,3和3,2,1是两个不同的数列；B.数列24{}23nnn++的

最大项为31−；C.数列1{}n是递减数列；D.数列{}na的通项公式22nann=+，若数列{}na为递增数列，则4−.【答案】AC【解析】【分析】利用数列的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】对于A，因为数列1,2,3与数列3,2,1，两个数列的顺

序不同，所以它们是两个不同的数列，故A正确；对于B，因为2444313233222nnnnnnn==−+++++，当且仅当3=nn，即3n=等号成立，而*Nn，故等号不成立，故B错误；对于C，由反比例函数的性质可知数列1{}n是递减

数列，故C正确；对于D，由题可知()()()2212112420nnaannnnn+−=+++−+=++恒成立，即42n−−，*Nn恒成立，所以6−，故D错误.故选：AC11.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线22:221Cxxyy++=，点00(,)Pxy为曲线C上一点，则

（）A.曲线C关于y轴对称；B.曲线C关于原点对称；C.点P的横坐标0x的取值范围为[2,2]−；D.直线1yx=+与曲线C有且仅有两个公共点.【答案】BCD【解析】【分析】A选项，若曲线C关于y轴对称则()00,xy−满足曲线C的方程，代入不

一定成立，故曲线C不关于y轴对称；B选项，若曲线C关于原点对称则()00,xy−−满足曲线C的方程，代入成立，故曲线C关于原点对称；C选项，将曲线C的方程可整理为22112122yxx+=−，然后列不等式求解即可；D选项，联立方程，根据根的判别式判断即可.【

详解】由题意得220000221xxyy++=，将()00,xy−代入曲线C的方程中得2200000022141xxyyxy−+=−=，不一定成立，所以曲线C不关于y轴对称，故A错；将()00,xy−−代入曲线C的方程中得2200

00221xxyy++=，成立，所以曲线C关于原点对称，故B正确；曲线C的方程可整理为22112122yxx+=−，因为21202yx+，所以21102x−，解得22x−，故C正确；联立221221yxxxyy=+++=

得25610xx++=，26451160=−=，所以直线与曲线C有且仅有两个公共点，故D正确.故选：BCD.12.过抛物线C：()220ypxp=焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为1A，1B，O为坐

标原点，则（）A.以AB为直径的圆与准线l相切B.OAF△可能为正三角形C.112||||AFBFp+=D.记1111,,AAFAFBFBB的面积分别为123,,SSS，则22134SSS=【答案】ACD【解析】【分析】A选项，根

据抛物线的定义和梯形中位线的性质得到AB到准线的距离为2AB，即可说明相切；B选项，假设OAF△为正三角形，根据正三角形的性质得到1AMMA=，即可得到,2pAp−，此时1OAAA，即可说明不存在OAF△为正三角形；C选项，直线AB：2pxmy=+，联立直线和抛

物线方程，然后利用韦达定理求11AFBF+；D选项，根据三角形面积公式和韦达定理即可得到22134SSS=.【详解】如图，假设点A位于第四象限，根据抛物线的定义可得11ABAFBFAABB=+=+，设AB中点为G，点G在准线l上的射影为1G，所以1

1122AABBABGG+==，所以以AB为直径的圆与准线相切，故A正确；设1AA与y轴交于点M，若OAF△为正三角形，则1AMMA=，即2Apx=，此时,2pAp−，()221522pOAppAAp=+−==，所以此时OAF△不是正三角形，故B错

；设直线AB：2pxmy=+，联立222pxmyypx=+=得2220ypmxp−−=，则2AByypm+=，2AByyp=−，()22ABABxxmyyppmp+=++=+，()222244ABABABpmppxxmyyyy=+++=，所以()2112224ABABAB

ABABAFBFxxpxxpppppAFBFAFBFxxxxxx++++++===+++++()()22222222222424pmppmppppppppmppm+++===++++，故C正确；1122AAp

Sxy=−+，()212BASpyy=−，3122BBpSxy=+，()()()()222222134ABABABABABSSmypmypyymyympyypyypmpp=−++=

−+++=+，()()()222222222211444BABAABSpyypyyyypmpp=−=+−=+，所以22134SSS=，故D正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡中的横线上.）13.在数列na

中，12211,2,3nnnaaaaa++===+，则4a=___________.【答案】23【解析】【分析】根据递推关系赋值运算可得.【详解】∵12211,2,3nnnaaaaa++===+，令1n=，可得32173aaa=+=，令2n=，可得342

233aaa=+=.故答案为：23.14.点(1,2)关于直线2390xy−−=对称的点的坐标为___________.【答案】()5,4−【解析】【分析】设点(1,2)关于直线2390xy−−=对称的点的坐标是(,)ab

，根据垂直和中点列方程组可求出结果.【详解】设点(1,2)关于直线2390xy−−=对称的点的坐标是(,)ab，则2211312239022baab−=−−++−−=，解得54ab==−，所以点(1,2)关于直线2390xy−−=对称的点的坐标是()5,4−.故

答案为：()5,4−.15.已知直线:440lkxyk−+−=与曲线22yxx=−+有一个公共点，则实数k的取值范围为___________.【答案】12k或664k−=【解析】【分析】直线l过定点

()4,4P，曲线22yxx=−+表示以()1,0为圆心，1为半径的上半圆，数形结合可得答案.【详解】直线:440lkxyk−+−=，得()440kxy−−+=，可知直线l过定点()4,4P，由22yxx=−+可得()()22110xyy−+=，曲线22yxx=−+表示以()1,0为圆心，1为

半径的上半圆，当直线l与半圆相切时，24311kk−=+，解得664k−=，或664k+=(舍去)，曲线22yxx=−+与x轴交于点()()0,0,2,0OA，1,2POPAkk==，因为直线:440lkxyk−

+−=与曲线22yxx=−+有一个公共点，所以12k或664k−=.故答案为：12k或664k−=.16.已知直线l与圆22:16Oxy+=交于,AB两点，点(5,0)P满足PAPB⊥，若AB的中点为M，则OM的最大值为___________.【答案】572+【解析】【分析】设1122(,

),(,)AxyBxy，AB中点(,)Mxy，则122xxx+=，122yyy+=，由点在圆上可得2212212216xyyxxy−=++，再由向量垂直的坐标表示可得12121025xxxyy−=+，进而可得M的轨迹为圆，即可求OM的最大值.【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，AB

中点(,)Mxy，则122xxx+=，122yyy+=，又221116xy+=，222216xy+=，则222212121212112222(()2)322xyxyxxxxyyyy+−−++=+=++，所以2212212216xyyxxy

−=++，又PAPB⊥，则0PAPB=，而11(5,)PAxy=−，22(5,)PBxy=−，所以1212125()250xxxxyy−++=+，即12121025xxxyy−=+，综上，2222110256xyx+−−=，整理得225()724xy+−=，即为M的轨

迹方程，所以M在圆心为5(,0)2，半径为72的圆上，又225(0)0254427−=+，所以点O在圆225()724xy+−=外，则22max5(0)(07722250)OM−+=−+=+，即OM的最大值为572+故答案

为：572+.【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于AB中点(,)Mxy的轨迹方程.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知直

线:230lxy−−=（1）若直线1l过点(2,1)M−，且1ll⊥，求直线1l的方程；（2）若直线2//ll，且直线2l与直线l之间的距离为5，求直线2l的方程.【答案】（1）230xy+−=；（2）220xy-+=或280xy−−=.【

解析】【分析】（1）根据直线位置关系可得直线1l的斜率，然后利用直线的点斜式即得；（2）由题可设直线2:20lxyC−+=，然后根据平行线间距离公式即得.【小问1详解】由题可知直线l的斜率12k=，因为1ll⊥，所以直线1l的斜率为2−，所以直线1l的方程

是()122yx+=−−，即230xy+−=；【小问2详解】设直线2:20lxyC−+=，则平行线2l与l之间的距离223512Cd+==+，得2C=或8C=−，所以直线2l的方程是220xy-+=或280xy−−=.18.已知两圆221:2610Cxyxy++−+=和222:6120Cxyx

ym+−−+=，求：（1）当m取何值时两圆外切？（2）当9m=−时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.【答案】（1）41（2）4350xy++=；25【解析】【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可；（2）根据

两圆公共弦的性质，结合点到直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可.【小问1详解】由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：()()222122::(1)(3)9,(3)64545CxyxCymm++−=−+−=−，所以()()11221,3,3,3,6,45CrCrm−==−

，因为两圆外切，所以221212(13)(36)CCrr=−−+−=+，即3455m+−=，所以41m=；【小问2详解】当9m=−时，222212:2610,:61290CxyxyCxyxy++−+=+−−−

=，两圆相减得：86100xy++=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4350xy++=，圆心()11,3C−到直线4350xy++=的距离为22495243d−++==+，所以公共弦长为221229425

rd−=−=.19.已知圆C经过(1,1),(2,0)AB两点，且与y轴的正半轴相切.（1）求圆C的标准方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得2210PBPA−=？若存在，求点P个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1

）22(5)(4)25xy−+−=；（2）这样的点P有2个.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，根据条件列方程组即得；（2）假设在圆C上存在点(),Pxy，可得40xy−+=，然后根据直线与圆的位置关系即得.【小问1详解】设圆C的标准方程为222()()

(0)xaybrr−+−=，由条件可得：()()()()2222221120abrabrra−+−=−+−==，解得545abr===或101abr===，又因为圆C

与y轴正半轴相切，所以5,4,5abr===满足题意，圆C的标准方程为22(5)(4)25xy−+−=；【小问2详解】存在这样的点P，并且这样的点P有2个.假设在圆C上存在点(),Pxy使得22||||10PBPA−=，则2222(2)(1)(1)10xyxy−+−−+−=，

化简，得40xy−+=，说明点P为直线40xy−+=与圆C的公共点，又圆C的圆心到直线的距离54452522dr−+===，的即直线40xy−+=与圆C相交，所以在圆C上存在点P使得22||||10PBPA−=，并且这样的点P有

2个.20.已知O为坐标原点，4(),Qm位于抛物线2:2(0)Cypxp=上，且到抛物线的准线的距离为4.（1）求抛物线C的方程；（2）已知点(1,3)A−，过抛物线焦点的直线l交抛物线C于,MN两点，求AMAN的最小值以及此时直线l的方程.【答案】（1）28yx=（2）

2340xy−−=.【解析】【分析】（1）根据点Q在抛物线上，到准线的距离为4列方程，解方程即可；（2）设直线l的方程为2xty=+，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到()238162AMANtt=−−

R，然后求最小值和直线方程即可.【小问1详解】根据题意可得42pm+=，所以42pm=−又24242pp=−，解得4p=，故所求抛物线C方程28yx=.【小问2详解】设点()()1122,,,MxyNxy，

抛物线28yx=的焦点坐标为()2,0.当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：2xty=+；联立抛物线方程可得282yxxty==+，消去x得：281

60yty−−=，由韦达定理得128yyt+=，1216yy=−,易知()111,3AMxy=+−,()221,3ANxy=+−,故()()()()()()()()1212121211333333AMANxxyytytyyy=+++−

−=+++−−()()()()()()2212121331811633818tyytyyttt=++−++=+−+−+()22382428162tttt=−+=−−R所以当32t=时，AMAN取最小值16

−，此时直线l的方程为2340xy−−=.21.已知双曲线C的方程为22221(0,0)xyabab−=，离心率为2，左､右顶点分别为1(1,0)A−，2(1,0)A.（1）求双曲线C的方程；（2）已知点P

是直线1:2lx=上任意一点，若直线12,APAP分别与双曲线C交于点,MN，求证：直线MN恒过定点.【答案】（1）2213yx−=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件求得,ab，从而求得双曲线C的方程；（2）设1,2Pt

，由直线1PA、直线2PA的方程分别与双曲线方程联立，求得,MN两点的坐标，当32t=时可得直线MN经过双曲线的右焦点()2,0F，然后可得32t时，直线MN也经过点()2,0F，进而即得.【小问1详解】不妨设

双曲线的半焦距为c，由条件，1,2caa==，所以2c=，于是2223bca=−=，所以，双曲线C的方程为2213yx−=；【小问2详解】设1,2Pt，则直线12,APAP方程分别为()()21,213ytxytx=

+=−−，由222(1)313tyxyx=+−=，可得()222227484270txtxt−−−−=，记()11,Mxy，则1−和1x是该方程的两个根，则2112242736,274274ttxytt+==−−，即22242736,274274ttMt

t+−−，由()222113ytxyx=−−−=，得()2222348430txtxt−+−−=，记()22,Nxy，则1和2x是该方程的两个根，则222224312,4343ttxytt+−==−−，即2224312,434

3ttNtt+−−−，当32t=时，222227443227443tttt++==−−，直线MN垂直于x轴，直线MN经过双曲线的右焦点()2,0F，的下证当32t时，直线MN也经过点()2

,0F，22222360362742742745482274MFtttktttt−−==++−+−−223612122749tttt==−−，222221201243434386243NFtttktttt−−−−==++−+−−2212129449tttt−==−−，所以MFNFkk=，即直线

MN也经过点()2,0F，综上，直线MN恒过双曲线的右焦点()2,0F.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即

设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点,常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.22.在平面直角坐标系xOy中，

椭圆2222:(0)xyababG+=>>的离心率为33，其短轴的一个端点与两焦点，构成的三角形周长为2(31)+.（1）求椭圆的方程；（2）已知,,ABC是椭圆上的相异三点，并且,AC关于原点对称，若ABC的面积为6，求||||ABBC的取值范围.【答案】（1）22132xy+=（

2）26,5.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率知33ca=，由题意知()22231acc+=+，联立方程组即可求出a和c，根据222abc=+，求得b，即可求出椭圆方程.（2）首先需对直线A

B斜率是否存在分情况讨论，直线AB斜率不存在时，ABC为直角三角形，所以此时226ABBCS?=；当直线AB斜率存在时，设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，得到()()222236320kxkmm+++−=，根据直线与椭圆相交弦长公式，点到直线距离公式，求出

ABC中底边AB长，和底边AB上的高，表示出ABC面积，根据中位线的性质求出BC的长，然后得出ABBC，求其范围即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为c，则由3,33caca==，短轴的一个端点与两焦点构成的三角形周长为()222

31acc+=+，所以()()231231c+=+，解得1c=，从而22232abac==−=，，所以椭圆的方程为22132xy+=.【小问2详解】当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxm=+，由题意知0m.将ykxm

=+代入方程22132xy+=中，整理得()()222236320kxkmm+++−=，此时必须有()()2222Δ36122320kmkm=−+−，即2232km+（*），设()()1122,,,AxyBxy，则有()2121222

326,2323mkmxxxxkk−+=−=++，所以()()222121212114ABkxxkxxxx=+−=++−22222632123kmkk+−=++，又,AC关于原点的对称，则()11,Cxy−−，所以点C到直线AB的距离：()()()11112222111kxy

mkxkxmmmhkkk−++−+++===+++，所以三角形ABC的面积22222212632162231mkmSkkk+−=+=++，整理得22322km+=，符合（*）式，又122233322322xxkmkmkkmm+=−=−=−+，2212123231

2222yyxxkmkkmkmmmm++−=+=−+==，所以弦AB的中点为31,2kMmm−，从而22291224kBCOMmm==+()2222322112234mmmm−=+=−，222212226321

123kmABkxxkk+−=+−=++()2222221212616323mmmmm−+=+=，所以22222211116232233mABBCmmmm+=−=+−，因为22322km+=，所以21m，所以2

211256234mm+−，所以265ABBC，当直线AB的斜率不存在时，三角形ABC为直角三角形，226ABBCS?=，综上，||||ABBC的取值范围为26,5.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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