【文档说明】甘肃省天水市一中2021届高三下学期5月第十次模拟考试数学（文）试题 含答案.docx，共(8)页，131.438 KB，由小赞的店铺上传

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天水市一中2018级2020-2021学年度第十次考试试题数学试题（文科）命题谢君琴张莉娜审核马静一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合𝐴={𝑥|1≤𝑥≤3}，𝐵={𝑥|2<𝑥<4}，则𝐴∪𝐵=（）A.{𝑥|2<𝑥≤3}B.{𝑥|2≤𝑥≤3}C.{𝑥

|1≤𝑥<4}D.{𝑥|1<𝑥<4}2.已知命题p：∀𝑥∈𝑅，𝑥2≥0，则p是（）A.∀x∈R，x2<0B.∃x0∈R，x02≥0C.∀x∈R，x2≤0D.∃x0∈R，x02<03.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：

“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28

粒，则这批米内夹谷约为（）A.153石B.154石C.169石D.170石4.设向量)0,1(=a，)21,21(=b，则下列结论正确的是（）A.|𝑎⃗|=|𝑏⃗|B.22=baC.(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)⊥𝑏⃗D.𝑎⃗⃗//𝑏⃗

5.已知首项为1，公比为q的等比数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，则“33=S”是“𝑞=−2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知)(xf在R上是奇函数，且)()4(xfxf=+，当)2,0(

x时，22)(xxf=，则)7(f=（）A.98B.2C.−98D.−27.执行右面的程序框图，输出的S的值为（）A.1B.2C.3D.48.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A.18πB.20

πC.322D.26π9.设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若𝑎sin𝐴=𝑏cos𝐶+𝑐cos𝐵，则ABC的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定10.直线3x+4y=b与圆x2+y2−2x−2y+1=0相切，则b

=（）A.2或12B.2或−12C.−2或−12D.−2或1211.关于函数xxxfcos1)(+=有下列四个结论：①𝑓(𝑥)在定义域上是偶函数；②𝑓(𝑥)在），（20上是减函数；③𝑓(𝑥)在(0,𝜋)上的最小值是2；④𝑓(𝑥)在(0

,2π)上有两个零点.其中结论正确的编号是（）A.①②B.②④C.②③D.③④12.已知椭圆)0(12222=+babyax的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，以O为圆心，𝐹1𝐹2为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P，且直线OP的斜率为√3，则椭圆的离心率为（）A.1-3B.21-3C.

22D.23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z满足iz=−11(𝑖为虚数单位)，则||_z=______．14.双曲线12422=−xy的渐近线方程为____________．15.若,912cos=x则=xsin_______

_____．16.等差数列na的前n项和为nS,，，10343==Sa则=nkkS11=____________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）17.(12分）如图，在平面四边形ABCD中，若∠𝐴𝐷𝐶=90°，833sin=A，AB=8，BD=6．(1)求

∠ADB；(2)若DC=2√3，求BC．18.(12分）如图①，在菱形ABCD中，∠𝐴=60°且𝐴𝐵=2，E为AD的中点．将△𝐴𝐵𝐸沿BE折起使𝐴𝐷=√2，得到如图②所示的四棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷𝐸．（1）求证：⊥BC平面𝐴𝐵𝐸

.（2）若P为AC的中点，求三棱锥PCDB−的体积．19.(12分）某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难

，新研发出A、B两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品.现把测量数据整理如下，其中B配方废品有6件．A配方的频数分布表质量指标值分组

[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数8a36248（1）求a，b的值；（2）试确定A配方和B配方哪一种好？(说明：同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)20.

(12分）已知直线l：𝑦=𝑘𝑥+1过抛物线𝐸:𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)的焦点，且与抛物线E交于𝐴,𝐵两点，点M为AB中点．(1)求抛物线E的方程；(2)以AB为直径的圆与x轴交于𝐶,𝐷

两点，求𝛥𝑀𝐶𝐷面积取得最小值时直线l的方程．21.(12分）已知函数.,3ln)(Raaxxxf+−=(1)当a=1时，求函数𝑓(𝑥)的极值；(2)求函数𝑓(𝑥)的单调区间；(3)若𝑓(𝑥)≤0恒成立，求实数

a的取值范围．（二）选做题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.）22.(10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{𝑥=𝑐𝑜𝑠𝛼+√3𝑠𝑖𝑛𝛼𝑦=𝑠𝑖𝑛𝛼−√3𝑐𝑜𝑠𝛼(𝛼为参数)，以坐标原点O为极

点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.2)6cos(=+（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与y轴交点为P，经过点P的直线与曲线C交于A，B两点，证明：||||PBPA为定值．23.(10分）已知a>0

，b>0，c>0，设函数f(x)=|x−b|+|x+c|+a，x∈R（1）若a=b=c=1，求不等式f(x)<5的解集；（2）若函数𝑓(𝑥)的最小值为1，证明：)(18941cbaaccbba+++++++答案和解析一、选择题1—5.CDCCB6—1

0.DCAAA11—12.BA解：在𝑅𝑡△𝑃𝐹1𝐹2中，∠𝐹1𝑃𝐹2=90°，∠𝑃𝑂𝐹2=60°，∴|𝑃𝐹2|=𝑐，|𝑃𝐹1|=√3𝑐，又|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=𝑐+√3𝑐，∴𝑐𝑎=2√3+1=√3−1，二

、填空题13.√214.xy2=15.3216.12+nn三、解答题17.【答案】解：(1)在△𝐴𝐵𝐷中，𝑠𝑖𝑛𝐴=3√38，𝐴𝐵=8，𝐵𝐷=6，可得𝐵𝐷𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐴𝐵

sin∠𝐴𝐷𝐵，即有sin∠𝐴𝐷𝐵=𝐴𝐵⋅𝑠𝑖𝑛𝐴𝐵𝐷=8×3√386=√32，可得锐角ADB为60°；(2)在△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷=6，𝐶𝐷=2√3，∠𝐶𝐷𝐵=

90°−60°=30°，可得𝐵𝐶2=𝐷𝐵2+𝐷𝐶2−2𝐷𝐶⋅𝐷𝐵𝑐𝑜𝑠∠𝐶𝐷𝐵=36+12−2⋅2√3⋅6⋅√32=12，可得𝐵𝐶=2√3．18.【答案】证明：(Ⅰ)连接BD．∵四边形ABCD为菱形，∠𝐴=60∘，∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形．∵

𝐸为AD的中点，∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐸，𝐵𝐸⊥𝐷𝐸．又∵𝐴𝐵=2，∴𝐴𝐸=𝐷𝐸=1．𝐴𝐷=√2，∴𝐴𝐸2+𝐸𝐷2=𝐴𝐷2．∴𝐴𝐸⊥𝐸𝐷．∵𝐵𝐶//𝐷𝐸，∴𝐵𝐶⊥𝐵𝐸，𝐵𝐶⊥𝐴𝐸．又𝐵𝐸∩𝐴𝐸=𝐸，AE，𝐵�

�⊂平面ABE．∴𝐵𝐶⊥平面ABE．(2)由(1)知𝐴𝐸⊥𝐷𝐸，𝐴𝐸⊥𝐵𝐸．∵𝐵𝐸∩𝐷𝐸=𝐸，BE，𝐷𝐸⊂平面BCDE．∴𝐴𝐸⊥平面BCDE．∵P为AC的中点∴P到平面BCD的距离为12AE=12∵3=BCDS6

321.31===−−AESVVBCDBCDPPCDB19.【答案】解：(1)依题意，A、B配方样本容量相同，设为n，又B配方废品有6件．由B配方的频频率分布直方图，得废品的频率为6𝑛=0.006×10，解得𝑛=100.∴𝑎=100−

(8+36+24+8)=24.由(0.006+𝑏+0.038+0.022+0.008)×10=1解得𝑏=0.026.因此a，b的值分别为24，0.026；(2)由(1)及A配方的频数分布表得，A配方质量指标值的样本平均数为𝑥𝐴=80×8+90×24+

100×36+110×24+120×8100=100质量指标值的样本方差为𝑠𝐴2=1100[(−20)2×8+(−10)2×24+0×36+102×24+202×8]=112．由B配方的频频率分布直方图得，B配方质量指标值的样本平均数为𝑥𝐵=80×0.06+90×0.26+100×0.

38+110×0.22+120×0.08=100.质量指标值的样本方差为𝑠𝐵2=∑(5𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)2𝑝𝑖=(−20)2×0.06+(−10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.综上𝑥𝐴=

𝑥𝐵，𝑠𝐴2>𝑠𝐵2，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值不够稳定，所以选择B配方比较好.20.【答案】解：(1)抛物线𝐸:𝑥2=2𝑝𝑦的焦点为(0,𝑝2)，则(0,𝑝2)在𝑙:

𝑦=𝑘𝑥+1上，∴𝑝2=1，∴𝑝=2，∴抛物线E的方程为𝑥2=4𝑦．(2)设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，由{𝑥2=4𝑦𝑦=𝑘𝑥+1得𝑥2−4𝑘𝑥−4=0，

则AB中点𝑀(2𝑘,2𝑘2+1)，𝐴𝐵=√1+𝑘2|𝑥1−𝑥2|=√1+𝑘2√16𝑘2+16=4(1+𝑘2)，∴以AB为直径的圆M的半径𝑟=2(1+𝑘2)，M到CD的距离𝑑=2

𝑘2+1，𝐶𝐷=2√𝑟2−𝑑2=2√4𝑘2+3，∴𝑆△𝑀𝐶𝐷=12×2×(2𝑘2+1)√4𝑘2+3=(2𝑘2+1)√4𝑘2+3，令𝑘2=𝑡(𝑡≥0)，则𝑆=(2𝑡+1)√4𝑡2+3在[0,+∞)单调递增，

∴𝑡=0即𝑘=0时，S取最小值√3，此时的方程为𝑦=1．21.【答案】解：(1)当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑥+3,𝑥∈(0,+∞)，𝑓′(𝑥)=1𝑥−1=1−𝑥𝑥，∴函数𝑓(𝑥)的极大值为𝑓

(1)=2，无极小值；(2)𝑓′(𝑥)=1𝑥−𝑎=1−𝑎𝑥𝑥,𝑥∈(0,+∞)，①当𝑎≤0时，𝑓′(𝑥)>0恒成立，故𝑓(𝑥)在𝑥∈(0,+∞)是增函数；②当𝑎>0时，对𝑥∈(0,1

𝑎),𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)是增函数，对𝑥∈(1𝑎,+∞),𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)是减函数，综上，当𝑎≤0时，𝑓(𝑥)在(0,+∞)是增函数；当𝑎>0时，𝑓(𝑥)在(0,1𝑎)是增函数

，在(1𝑎,+∞)是减函数(3)要使得𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥+3≤0恒成立，则𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥⩽0，由(2)可知，𝑓(𝑥)的极大值𝑓(1𝑎)即为𝑓(𝑥)的最大值，∴𝑓(1

𝑎)=ln1𝑎−1+3=−ln𝑎+2≤0,ln𝑎≥2=ln𝑒2,𝑎≥𝑒2，∴实数a的取值范围为[𝑒2,+∞)．22.【答案】解：(Ⅰ)由𝑥2+𝑦2=(𝑐𝑜𝑠𝛼+√3𝑠𝑖𝑛�

�)2+(𝑠𝑖𝑛𝛼−√3𝑐𝑜𝑠𝛼)2=4，得曲线C：𝑥2+𝑦2=4．直线l的极坐标方程展开为√32𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−12𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃=2，故l的直角坐标方程为√3𝑥−𝑦−4=0．(Ⅱ)

显然P的坐标为(0,−4)，不妨设过点P的直线方程为{𝑥=𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=−4+𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼(𝑡为参数)，代入C：𝑥2+𝑦2=4得𝑡2−8𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼+12=0，设A，B对应的参数为𝑡1

，𝑡2所以|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|=|𝑡1𝑡2|=12为定值．23.【答案】解：(Ⅰ)若𝑎=𝑏=𝑐=1，不等式𝑓(𝑥)<5，即|𝑥−1|+|𝑥+1|<4，而|𝑥−1|+|𝑥+1|表示数轴上的x对应点到1、−1对应点的距离之和，而

−2、2对应点到1、−1对应点的距离之和正好等于4，故它的解集为(−2,2)．(Ⅱ)函数𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑏|+|𝑥+𝑐|+𝑎的最小值为|𝑏+𝑐|+𝑎=𝑏+𝑐+𝑎=1，∴(1𝑎+𝑏+4𝑏+𝑐+9𝑐+𝑎)(𝑏+𝑐+𝑎)=(1𝑎+�

�+4𝑏+𝑐+9𝑐+𝑎)⋅12(𝑎+𝑏+𝑏+𝑐+𝑎+𝑐)=12(√𝑎+𝑏+4√𝑏+𝑐+9√𝑎+𝑐)(𝑎+𝑏+𝑏+𝑐+𝑎+𝑐)≥12⋅(1√𝑎+𝑏⋅√𝑎+𝑏+2√𝑏+

𝑐⋅√𝑏+𝑐+3√𝑎+𝑐⋅√𝑎+𝑐)2=18=18(𝑎+𝑏+𝑐)．