【文档说明】甘肃省天水市一中2021届高三下学期5月第十次模拟考试数学（理）试题 含答案.docx，共(9)页，129.782 KB，由小赞的店铺上传

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天水一中2018级第十次模拟考试数学（理）出题人：张莉娜、谢君琴审题人：马静一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x<1}，则图中阴影部分表示的集合为

()A.{x|x≥1}B.{x|x≤1}C.{x|0<x≤1}D.{x|1≤x<2}2.已知首项为1，公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，则“S3=3”是“q=−2”的()A.充分不必要条件B.必

要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在流行病学中，基本传染数指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.

假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗(VN称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为R0N(N−V).已知新冠病毒在某地的基本传染数R0=5，为了使1个感

染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为()A.50%B.60%C.70%D.80%4.已知角α的终边在直线y=√3x上，则cos(π2+2α)=()A.√32B.−√32C.±√32D.±125.执行

下面的程序框图，输出的S的值为()A.1B.2C.3D.46.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为()A.13B.12C.23D.347.在空间四边形ABCD中，

E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知函数f(x)=cos2x+sinx，则下列说法中正确的是()A.f(x)的

一条对称轴为x=π4B.f(x)在(π6,π2)上是单调递减函数C.f(x)的对称中心为(π2,0)D.f(x)的最大值为19.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如

其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.用该术可求得圆率π的近似值.现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体

积的近似值为()A.√3B.3C.3√3D.910.设向量a⃗,b⃗满足|a⃗|=|b⃗|=|a⃗+b⃗|=1，则|a⃗−tb⃗|(t∈R)的最小值为()A.√32B.12C.1D.211.已知直线y=kx(k≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，以AB为

直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若▵ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为()A.√2B.√3C.2D.√512.设a=sin1，b=2sin12，c=3sin13，则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13

.已知复数z满足1z−1=i(i为虚数单位)，则|z−|=______．14.若(x−2x)n的展开式的二项式系数和为32，则展开式中x3的系数为______．15.如图，在△ABC中，B=45°，且D是边BC上一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB

的长为________．16.若一直线与曲线y=lnx和曲线x2=ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）（一）必考题（60分）17.已知数列{an}的前

n项和为Sn，且2，an，Sn成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn=n⋅an，求数列{bn}的前n项和Tn．18.如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°且AB=2，E为AD的中点．将△ABE沿BE折起使AD=√2，得到如图②所示的四棱锥A−BCDE．(Ⅰ)求证：平面

ABE⊥平面ABC;(Ⅱ)若P为AC的中点，求二面角P−BD−C的余弦值．19.已知直线l：y=kx+1过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点，且与抛物线E交于A,B两点，点M为AB中点．(1)求抛物线E的方程；(2)以AB为直径的圆与x轴

交于C,D两点，求ΔMCD面积取得最小值时直线l的方程．20.体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.对于n(n∈N∗)份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次.二是混合检验，将n份血液样本分

别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这n份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这n份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则n份血液检验的次数共为n+1次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为√p3(

0<p<1)，而且各体检人是否患该疾病相互独立．(1)若p=89，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率；(2)某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组3位体检人血液样本采

用混合检验．若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由．21.已知函数f(x)=xlnx+2x−1．(1)求f(x)的极值；(2)若对任意的x>1，都有f(x)−k(x−1)>0(k∈Z)恒成立，求k的最大值．（二

）选做题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.）22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=cosα+√3sinαy=sinα−√3cosα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ

cos(θ+π6)=2(Ⅰ)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)直线l与y轴交点为P，经过点P的直线与曲线C交于A，B两点，证明：|PA|⋅|PB|为定值．23.已知a>0，b>0，c>0，设函数f(x)=|x−b|+|x+c|+a，x∈R(Ⅰ)

若a=b=c=1，求不等式f(x)<5的解集；(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为1，证明：1a+b+4b+c+9c+a≥18(a+b+c)答案和解析1——5.DBDBC6——10.BABDA11——12.DA11解：由题意可得图像如图所示：𝐹′为双曲线的左焦点，∵𝐴𝐵为圆的直径

，，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形𝐴𝐹𝐵𝐹′为矩形，∴𝑆▵𝐴𝐵𝐹=12𝑆𝐴𝐹𝐵𝐹′=𝑆▵𝐹𝐴𝐹′，又𝑆▵𝐹𝐴𝐹′=𝑏2tan45⬚∘=𝑏2=4𝑎2，可得𝑐2=5𝑎2，∴𝑒2=5⇒𝑒=√5．12、解：设，，当0

<𝑥≤1时，𝑐𝑜𝑠𝑥>0，𝑥<𝑡𝑎𝑛𝑥，则此时𝑓′(𝑥)<0，即函数𝑓(𝑥)在(0,1]上为减函数，则𝑓(13)>𝑓(12)>𝑓(1)，即𝑎<𝑏<𝑐，13.√214.−1015.5√6216.2e解：曲线𝑦=𝑙𝑛𝑥的

导数为：𝑦′=1𝑥，曲线𝑥2=𝑎𝑦(𝑎>0)即𝑦=1𝑎𝑥2(𝑎>0)的导数为：𝑦′=2𝑎𝑥，由1𝑥=2𝑎𝑥，𝑥>0得：𝑥=√𝑎2，即切点坐标应为：(√𝑎2,12)，代入𝑦

=𝑙𝑛𝑥得：12=ln√𝑎2，解得：𝑎=2𝑒，17.【答案】解：(1)由题意知2，𝑎𝑛,𝑆𝑛成等差数列，所以2𝑎𝑛=2+𝑆𝑛①，可得2𝑎𝑛−1=2+𝑆𝑛−1(𝑛≥2)②①−②得𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1(𝑛≥2)，又2𝑎1=2+𝑎1,

𝑎1=2，所以数列{𝑎𝑛}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴𝑎𝑛=2𝑛(2)由(1)可得𝑏𝑛=𝑛⋅2𝑛，用错位相减法得：𝑇𝑛=2+2×22+3×23+4×24+⋯+𝑛×2𝑛①2𝑇𝑛=22+2×23+⋯+(𝑛−1)×2𝑛+

𝑛×2𝑛+1②①−②可得𝑇𝑛=(𝑛−1)⋅2𝑛+1+2．18.【答案】证明：(Ⅰ)在图①中，连接BD．∵四边形ABCD为菱形，∠𝐴=60∘，∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形．∵𝐸为AD的中点，∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐸，𝐵𝐸⊥𝐷𝐸．又𝐴𝐵=2，∴𝐴𝐸=𝐷𝐸

=1．在图②中，𝐴𝐷=√2，∴𝐴𝐸2+𝐸𝐷2=𝐴𝐷2．∴𝐴𝐸⊥∵𝐸𝐷．𝐵𝐶//𝐷𝐸，∴𝐵𝐶⊥𝐵𝐸，𝐵𝐶⊥𝐴𝐸．又𝐵𝐸∩𝐴𝐸=𝐸，AE，𝐵𝐸⊂平面ABE．∴𝐵𝐶⊥平面ABE．∵𝐵𝐶⊂平面ABC，∴平面𝐴𝐵𝐸⊥平面A

BC．解：(Ⅱ)由∵𝐵𝐸∩(Ⅰ)，知𝐴𝐸⊥𝐷𝐸，𝐴𝐸⊥𝐵𝐸．𝐷𝐸=𝐸，BE，𝐷𝐸⊂平面BCDE．∴𝐴𝐸⊥平面BCDE．以E为坐标原点，𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，𝐸

𝐴⃗⃗⃗⃗⃗的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系𝐸—𝑥𝑦𝑧．则𝐸(0,0，0)，𝐴(0,0，1)，𝐵(√3,0，0)，𝐶(√3,2，0)，𝐷(0,1，0)．∵𝑃为AC的中点，∴𝑃(√32,1，12).∴𝑃

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(√32,−1,−12)，𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(−√32,0，−12).设平面PBD的一个法向量为𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)．由{𝑚⃗⃗⃗⋅𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑚⃗⃗⃗⋅𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0得{√32𝑥−𝑦−12𝑧=0,−√

32𝑥−12𝑧=0.令𝑧=√3，得𝑚⃗⃗⃗=(−1,−√3,√3).又平面BCD的一个法向量为𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0，1)．设二面角𝑃−𝐵𝐷−𝐶的大小为𝜃，由题意知该二面角得平面角为锐角．则cos𝜃=|𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑚⃗⃗⃗||𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

||𝑚⃗⃗⃗|=√31×√7=√217．∴二面角𝑃−𝐵𝐷−𝐶的余弦值为√217．19.【答案】解：(1)抛物线𝐸:𝑥2=2𝑝𝑦的焦点为(0,𝑝2)，则(0,𝑝2)在𝑙:𝑦=𝑘𝑥+1上，∴𝑝2=1，∴𝑝=2，∴抛物线E的方程为𝑥2=4𝑦．(2)设�

�(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，由{𝑥2=4𝑦𝑦=𝑘𝑥+1得𝑥2−4𝑘𝑥−4=0，则AB中点𝑀(2𝑘,2𝑘2+1)，𝐴𝐵=√1+𝑘2|𝑥1−𝑥2|=√1+𝑘2√

16𝑘2+16=4(1+𝑘2)，∴以AB为直径的圆M的半径𝑟=2(1+𝑘2)，M到CD的距离𝑑=2𝑘2+1，𝐶𝐷=2√𝑟2−𝑑2=2√4𝑘2+3，∴𝑆△𝑀𝐶𝐷=12×2×(2𝑘2+1)√4𝑘2+3=(2𝑘2+1)√4𝑘2+3，令𝑘2=𝑡(𝑡≥0)，则𝑆

=(2𝑡+1)√4𝑡2+3在[0,+∞)单调递增，∴𝑡=0即𝑘=0时，S取最小值√3，此时的方程为𝑦=1．20.【答案】解：(1）该混合样本阴性的概率为(√893)3=89，根据对立事件可知，阳性的概率为1−89=

19．(2)方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为X，则X的可能取值为1，7，𝑃(𝑋=1)=(√𝑝3)6=𝑝2，𝑃(𝑋=7)=1−𝑝2，X的分布列为：X17P𝑝21−𝑝2则𝐸(𝑋)=7−6𝑝2．方案二：由题意分析

可知，每组3份样本混合检验时，若为阴性则检验次数为1，概率为(√𝑝3)3=𝑝，若阳性，检验次数为4，概率为1−𝑝，方案二的检验次数记为Y，则Y的可能取值为2，5，8，𝑃(𝑌=2)=𝑝2，𝑃(𝑌=5)=𝐶21𝑝(1−𝑝)=2𝑝(1−𝑝)，𝑃(𝑌=8)=(1−

𝑝)2，其分布列为：Y258P𝑝22𝑝(1−𝑝)，(1−𝑝)2𝐸(𝑌)=2𝑝2+10𝑝(1−𝑝)+8(1−𝑝)2=8−6𝑝，𝐸(𝑌)−𝐸(𝑋)=8−6𝑝−(7−6𝑝2)=6𝑝2−6𝑝+1，当0

<𝑝<3−√36或3+√36<𝑝<1时，可得𝐸(𝑋)<𝐸(𝑌)，所以方案一更“优”；当𝑝=3−√36或𝑝=3+√36时，可得𝐸(𝑋)=𝐸(𝑌)，所以方案一、二一样“优”；当3−√36<𝑝<3+√36时，可得𝐸(𝑋)>𝐸(𝑌)，方案二更“优”．21.【答案】

解：(1)𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)，𝑓′(𝑥)=ln𝑥+3，令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥=𝑒−3，当𝑥∈(0,𝑒−3)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减；当𝑥∈(𝑒−3,+∞)时，𝑓′(𝑥)>

0，𝑓(𝑥)单调递增，∴𝑓(𝑥)有极小值𝑓(𝑒−3)=−3𝑒−3+2𝑒−3−1=−𝑒−3−1，𝑓(𝑥)无极大值;(2)𝑓(𝑥)−𝑘(𝑥−1)>0可化为𝑘<𝑓(𝑥)𝑥−1=𝑥ln𝑥+2𝑥−1�

�−1，令𝑔(𝑥)=𝑥ln𝑥+2𝑥−1𝑥−1(𝑥>1)，则𝑔′(𝑥)=𝑥−2−ln𝑥(𝑥−1)2，令ℎ(𝑥)=𝑥−2−ln𝑥(𝑥>1)，则ℎ′(𝑥)=1−1𝑥=𝑥−1𝑥>0，故ℎ(𝑥)在(1,+∞)上为增函数，

又ℎ(3)=1−ln3<0，ℎ(4)=2−ln4>0，故存在唯一的𝑥0∈(3,4)，使得ℎ(𝑥0)=𝑥0−2−ln𝑥0=0，即ln𝑥0=𝑥0−2，当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，ℎ(𝑥)>0，从而𝑔′(𝑥)>0，�

�(𝑥)单调递增；当𝑥∈(1,𝑥0)时，ℎ(𝑥)<0，从而𝑔′(𝑥)<0，𝑔(𝑥)单调递减，故𝑔(𝑥)min=𝑔(𝑥0)=𝑥0ln𝑥0+2𝑥0−1𝑥0−1=𝑥0(𝑥0−2)+2𝑥0−1𝑥0−1=𝑥0+1，又

𝑥0∈(3,4)，∴𝑥0+1∈(4,5)，故k的最大值为4．22.【答案】解：(Ⅰ)由𝑥2+𝑦2=(𝑐𝑜𝑠𝛼+√3𝑠𝑖𝑛𝛼)2+(𝑠𝑖𝑛𝛼−√3𝑐𝑜𝑠𝛼)2=4，得曲线C：𝑥2+𝑦2=

4．直线l的极坐标方程展开为√32𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−12𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃=2，故l的直角坐标方程为√3𝑥−𝑦−4=0．(Ⅱ)显然P的坐标为(0,−4)，不妨设过点P的直线方程为{𝑥=𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=−4+𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼(𝑡为参数)，代入C：𝑥2+𝑦

2=4得𝑡2−8𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼+12=0，设A，B对应的参数为𝑡1，𝑡2所以|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|=|𝑡1𝑡2|=12为定值．23.【答案】解：(Ⅰ)若𝑎=𝑏=𝑐=1，不等式𝑓(𝑥)

<5，即|𝑥−1|+|𝑥+1|<4，而|𝑥−1|+|𝑥+1|表示数轴上的x对应点到1、−1对应点的距离之和，而−2、2对应点到1、−1对应点的距离之和正好等于4，故它的解集为(−2,2)．(Ⅱ)函数𝑓(𝑥)=|𝑥−�

�|+|𝑥+𝑐|+𝑎的最小值为|𝑏+𝑐|+𝑎=𝑏+𝑐+𝑎=1，∴(1𝑎+𝑏+4𝑏+𝑐+9𝑐+𝑎)(𝑏+𝑐+𝑎)=(1𝑎+𝑏+4𝑏+𝑐+9𝑐+𝑎)⋅12(𝑎+𝑏+𝑏+𝑐+𝑎+𝑐)=12(√𝑎+𝑏+4√𝑏+𝑐+9√

𝑎+𝑐)(𝑎+𝑏+𝑏+𝑐+𝑎+𝑐)≥12⋅(1√𝑎+𝑏⋅√𝑎+𝑏+2√𝑏+𝑐⋅√𝑏+𝑐+3√𝑎+𝑐⋅√𝑎+𝑐)2=18=18(𝑎+𝑏+𝑐)．