【文档说明】天津市静海区第一中学2022-2023学年高一下学期3月学业能力调研数学试题含解析.docx，共(17)页，972.918 KB，由小赞的店铺上传

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静海一中2022-2023第二学期高一数学（3月）学生学业能力调研试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（81分）和第Ⅱ卷提高题（39分）两部分，共120分。其中学习习惯占8分（含3分卷面分）知识与技能学习能力内容平面向量的概念平面向量的运算平面

向量在平面几何中的应用正余弦定理平面向量与三角函数的综合老学法新学法分数62622421335第Ⅰ卷基础题（共81分）一、选择题:每小题3分，共21分.1.下列命题：①若ab=，则ab=；②若ab=，bc=，则

ac=；③ab=的充要条件是ab=且//abrr；④若//abrr，//bc，则//acrr；⑤若A、B、C、D是不共线的四点，则ABDC=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】A

【解析】【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取0b=可判断④.【详解】对于①，因为ab=，但a、b的方向不确定，则a、b不一

定相等，①错；对于②，若ab=，bc=，则ac=，②对；对于③，ab=且//abab=或ab=−，所以，所以，“ab=且//abrr”是“ab=”的必要不充分条件，③错；对于④，取0b=，则a、c不一定共线，④错；对于⑤，若A、B、C、D是不共线的四点，当ABDC=时，则/

/ABCD且ABDC=，此时，四边形ABCD为平行四边形，当四边形ABCD为平行四边形时，由相等向量的定义可知ABDC=，所以，若A、B、C、D是不共线的四点，则ABDC=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件，⑤对.故选：A.2.在A

BC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断正确的是（）A.60B=，4c=，5b=，有两解B.60B=，4c=，3.9b=，有一解C.60B=，4c=，3b=，有一解D.60B=，4c=，2b=，无解【答案】D【解析】【分析】

已知60B=，4c=前提下，利用直角ADB构造出关于b的不等式，即可得出三角形的个数解.【详解】因为60B=，4c=，如图ADBD⊥于D，由直角ADB可得sin6023ADc==.当23b=或4b时，有一解；当23b时，无解；当234b时，有两解

.结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误.的故选：D3.已知5MNab=+，2(4)NPab=−−，3()PQab=−，则（）A.M，N，P三点共线B.M，N，Q三点共线C.M，P，Q三点共线D.N，P，Q三点共线【答案】B【解

析】【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可．【详解】28NPab=−+，3()PQab=−，283()5NQNPPQababab=+=−++−=+，5MNab=+，MNNQ=，由平面向量共线定理可知，MN与NQ为共线向量，又

MN与NQ有公共点N，M，N，Q三点共线，故选：B．4.在ABC中，若满足222sinsin3sinsinsinABBCC=++，则A等于（）A.30B.60C.120D.150【答案】D【解析】【分析】利用

正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cosA的值，进而求得A.【详解】由正弦定理得2222223,3abcbcbcabc=+++−=−，2223cos22bcaAbc+−=−=，由于0180A，所以150A=.故

选：D5.已知向量2=a，1=b，且37ab−=，则向量,ab的夹角是（）A.5π6B.π6C.2π3D.π3【答案】D【解析】【分析】由237ab−=可求得ab，根据向量夹角公式可求得结果.【详解】2223691367abaabbab−=−+=−=，1

ab=，1cos,2ababab==，又,0,πab，π,3ab=.故选：D.6.在ABC中，若30A=，1b=，3ABCS=，则sinsinabAB++的值为（）A.213B.237C.

37D.13【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理进行求解.【详解】在ABC中，设角ABC，，所对的边分别为abc，，，由题知，13sin2ABCSbcA==，又30A=，1b=，

所以43c=，由余弦定理有：2222cosabcbcA=+−，解得37a=，所以由正弦定理有：372371sinsinsinsin2ababABAB+====+，故A，C，D错误.故选：B.7.设O是ABC所在平面内一定点,P是平面内一动点,若()()()(

)0PBPCOBOCPCPAOAOC−+=−+=,则点O是ABC的A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】B【解析】【分析】设,BCAC的中点分别为,DE，可得2,2OBOCODOAOCOE+=+=，再由已知可得20CBOD=，得ODBC⊥，同

理可得OEAC⊥，即可得出结论.【详解】设,BCAC的中点分别为,DE，2,2OBOCODOAOCOE+=+=，()()20,OPBPCOBOCCBCBDOD−+==⊥，所以ODBC⊥，点O在线段BC的垂直平分线上，同理点O在线段AC的垂直平分线上，所以O为ABC的外心.故选:B.【点睛】

本题考查三角形外心的向量表示，考查向量线性运算以及垂直的向量表示，考查数形结合思想，属于中档题.二、填空题：每小题4分，共24分.8.已知向量a、b不共线，且(),21cxabdaxb=+=+−，若c与d共线，则实数x的值为___________【答

案】1或12−【解析】【分析】利用向量共线的充要条件以及一元二次方程求解.【详解】已知向量a、b不共线，(),21cxabdaxb=+=+−，所以0,0cd，若c与d共线，则存在实数t，使ctd=，即()21xabta

xb+=+−，所以()121xttx==−，即2210xx−−=，解得1x=或12−.故答案为：1或12−.9.在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若222()tanabcCab+−=，则角C的值__________．【答案】6【解析】【详解】在ABC

中，由()222tanabcCab+−=，，整理得222122tanabcabC+−=，，即coscos2CCsinC=，，cos0CQ，1sin,2CC=为ABC内角，6C=或56，因为ΔABC为锐角三角形，6C=，故答案为6.【思

路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cosabcbcA=+−；（2）222cos2bcaAbc+−=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三

角函数值，以便在解题中直接应用.10.已知一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为______海里每小时.【答案】()2062−【解析】【分析】设货轮最后的位

置为N，根据题意，画出示意图，利用正弦定理求出MN的长，即可求解货轮的速度，得到答案．【详解】设货轮最后的位置为N，由题意如图所示，301545,451530,105MSN=+==−==，在MNS

中，20MS=，()62sin105sin45604+=+=，因为sinsinMNMSSN=，所以()12021062624MN==−+，所以货轮速度为()()1062206212−=−海里每

小时.故答案为：()2062−.的11.若()()3abcbcabc+++−=，且sin2sincosABC=，那么ABC是____________三角形【答案】等边三角形【解析】【分析】根据余弦定理得到3A=

，再根据正弦定理结合余弦定理得到bc=，得到答案.【详解】由题设可得222bcabc+−=，故2221cos22bcaAbc+−==，故3A=，根据正弦定理得到：2cosabC=，故22222abcabab+−=，即

220bc−=，即bc=，即该三角形是等边三角形．故答案为：等边三角形.【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.如图，在ABC中，D是AB的中点，O是CD上一点，且2COOD=，过点O作一条直线与边,ACBC分

别相交于点,EF，若3,4CECACFCB==，则=__________．【答案】35##0.6【解析】【分析】利用线性运算得到4193COCECF=+，然后根据,,EOF三点共线得到41193+=，最后解不等式

即可.【详解】3112122232CDCOCACBCECF==+=+，所以4193COCECF=+，因为,,EOF三点共线，所以41193+=，解得35=.故答案：35.为13.在边长为6的正三角形ABC中，

E为BC的中点，F在线段AC上且12AFFC=．若AE与BF交于M，则MAMB=_____．【答案】274−【解析】【分析】先以,ABAC为基底表示出,MAMB，再利用向量数量积的定义即可求得MAMB的值.【详解】令,ABcACb==，则

()1,312AcbEbcBF==−+令()2bAMAEc==+，则()2222BMAMABcccbb−=−=+−=+由//BMBF，可得=BMBF，则12322=−=−，解之得3412==则()14bAMc=+，1344BcbM−=则()

2211331144416168MAMBccccbbbb=−+−=−+−+311π27363666cos1616834=−+−=−故答案为：274−三、解答题：(本大题共3小题，共36分)14.平面内给出三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4，

1)，求解下列问题：（1）求向量a在向量b方向上的投影向量的坐标；（2）若向量ab+与向量mcb+的夹角为锐角，求实数m的取值范围；（3）若(a＋kc)⊥(2b－a)，求实数k的值.【答案】（1）12(,)55−（2）12m−且47m（3）1118−

【解析】【分析】（1）根据投影向量坐标公式计算即可；（2）根据ab+与mcb+的夹角为锐角得到()()0abmcb++且ab+与mcb+不同向共线，然后列不等式求解即可；（3）根据()()2akcba+⊥−得到()()20akcba+−=，然后解方程即可.【小问1详解】a在b方向上的

投影向量坐标为()1,23412cos,,5555babbaabbbb−−+===−.【小问2详解】()2,4ab+=，()41,2mcbmm+=−+，因为ab+与mcb+的夹角为锐角，所以()()82480abmcbmm++=−++，且ab+与mcb+不同向共线，即(

)()22441mm+−，解得12m−且47m.【小问3详解】()34,2akckk+=++，()25,2ba−=−，因为()()2akcba+⊥−，所以()()()()2534220akcbakk+−=−+++=，解得1118k=−.15.在ABC中，内角、、ABC所对

边长分别为abc、、，且满足2cossinsinbABcC=.（1）求A；（2）若43,4ab==，求ABCS.【答案】（1）π3的（2）83【解析】【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出A；（2）由正弦定理

得出1sin2B=，再由面积公式求解.【小问1详解】因为2cossinsinbABcC=，由正弦定理可得，2sincossinsinsinBABCC=因为sinsin0BC，所以1cos2A=因为A为三角形的内角，所以π3A=【小

问2详解】因为43a=，4b=，π3A=，由正弦定理可得：434sin32B=，所以1sin2B=因为A为三角形的内角，所以ππ,62BC==11sin4348322ABCSabC===.16.如图，在边长为2的等边三

角形ABC中，D是BC的中点.（1）求向量AD与向量2ACAB−的夹角；（2）若O是线段AD上任意一点，求OAOB的最小值；（3）通过本题的解答，试总结利用平面向量解决平面问题的基本方法【答案】（1）2π3；（2）34−；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）利用向量夹角公式即可求得向量

AD与向量2ACAB−的夹角；（2）先求得OAOB的代数表达式，再利用二次函数最值即可求得OAOB的最小值；（3）合理使用平面向量基本定理和向量数量积是解决平面向量问题的基本方法.【小问1详解】由题意可得2()3ADACADAD

DCAD=+==，()23ADABADADDBAD=+==，π22cos23ABAC==，(2)cos,2|||2|ADACABADACABADACAB−−=−222||44ADACADABADA

CACABAB−=−+22323||44ADACACABAB−=−+22312324242−==−−+.因为π0,2ADACAB−，故向量AD与向量2ACAB−的夹角为2π3.【小问2详解】()OAOBOAOAAB=+2OAAOAB=−2π||||||c

os6OAOAAB=−2||3||OAOA=−233||24OA=−−.当3||2OA=时，OAOB取得最小值，且最小值为34−.【小问3详解】用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通

过向量的运算来解决．求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用数量积的几何意义；利用向量的坐标运算．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．第Ⅱ卷提高题（共39分）四、填空题：(每小题6分，共6分)17.如图，在平面四边形AB

CD中，ABAD⊥，23ABBC==，3ABC=，且12ADAC=，则AD=___________，若M是线段AB上的一个动点，则DMCM的取值范围是___________.【答案】①.4②.45[,18]4【解析】【分析】根据题意求出6=CAD，23AC=，

再根据平面向量数量积的定义可得AD；设(01)AMtABt=，将DM和CM化为AB、AC、AD表示，利用定义求出DMCM关于t的二次函数，根据二次函数知识可求得结果.【详解】因为23ABBC==，3ABC=，所以ABC为正三角形，

所以23AC=，3BAC=，因为ABAD⊥，所以6=CAD，因为12ADAC=，所以|||cos6ADAC12=，所以12||43232AD==.因为M是线段AB上的一个动点，所以可设(01)AMtABt=，所

以DMCM()()AMADAMAC=−−()()tABADtABAC=−−22tABtABACtABADADAC=−−+()2212323230122tt=−−+212612tt=−+214512()44t=−+，因为01t，所

以14t=时，214512()44t−+取得最小值454，当1t=时，214512()44t−+取得最大值18，所以DMCM的取值范围是45[,18]4.故答案为：4；45[,18]4【点睛】关键点点睛：将DM和CM化为AB、AC、AD表示，利用定义求

出DMCM是解题关键.五、解答题：(本大题共2小题，共25分)18.已知向量()1sin,1,3cos,cos22mxnxx==，函数()fxmn=.（1）求函数()fx的最大值及相应自变量的取值；（2）在ABC中，角ABC､

､的对边分别为abc､､，若()1,22fAa==，求bc+的取值范围.【答案】（1）1；π,Z6πkxk=+（2）(2,4【解析】【分析】(1)利用向量坐标运算，二倍角公式和辅助角公式表示出()fx，即可求出其最大值以及相应自变量的取值；(2)结合(1)中的()fx

，求出π3A=，再利用余弦定理和基本不等式变形即可求出结果.【小问1详解】由题知，()13sincoscos22fxmnxxx==+31πsin2cos2sin2226xxx=+=+，所以当Z2ππ2,6

2πkkx=++，即π,Z6πkxk=+时，()fx最大，且()fx最大值为1；【小问2详解】由(1)知，()πsin26fxx=+，则()π1sin262fAA=+=，解得π,ZAkk=或ππ,Z3kk+，所以ABC中，π3A=，又2a=，则

2221cos22bcaAbc+−==，整理得()243bcbc+−=，则()22432bcbcbc+−+=≤，当且仅当bc=时，等号成立，整理可得()216bc+，又在ABC中，所以24bc+，即bc+的取值范围为(2,4.19.已知ABC中的三个内角A，B，C所对的边分

别为a，b，c，()22234ABCSabc=−−△.（1）求角A的大小；（2）若2b=，D为BC边上一点，DABA⊥，且4BDDC=，求cosC.【答案】（1）2π3A=（2）277【解析】【分析】（1）运用三角形面积公式及余弦定理化简求解即可.（2）运用正

弦定理求得c的值，运用余弦定理可求得a的值，进而求得cosC的值.【小问1详解】因为()22234ABCSabc=−−△，所以13sin(2cos)24bcAbcA=−，即sin3cosAA=−，所以tan3A=−，又()0,πA，所以2π3A=.【小问2

详解】由（1）可知2π3A=，所以2πππ326CAD=−=，又πADBADC+=，所以sinsinADBADC=，根据正弦定理，在△CAD中，2πsinsin6CDADC=，在△BAD中，πsinsin2BDcADB=，又4BDDC=，∴4c=，所以在△ABC中，由余弦定

理可得22212cos416224282abcbcA=+−=+−−=，则27a=，所以2222841627cos272272bcbaCa+−+−===.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com