【文档说明】四川省绵阳市南山中学实验学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题 含解析.docx，共(19)页，1.324 MB，由小赞的店铺上传

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保密★启用前绵阳南山中学实验学校高2021级5月半期数学（理科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至3页，第II卷3至4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅

笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2、选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案

无效；在草稿纸、试题卷上答案无效.3、考试结束后将答题卡收回.第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.命题“R,sinxxx”的否定是（）A.R,sinxxxB.R,si

nxxxC.R,sinxxxD.R,sinxxx【答案】A【解析】【分析】全称量词命题否定为存在量词命题即可.【详解】命题“R,sinxxx”的否定是“R,sinxxx”.故选：A2.复数z满足(1)3zii+=

−，则复数z是A.2i+B.2i−C.12i−D.12i+【答案】C【解析】【详解】依题意()()()()3i1i3i24i12i1i1i1i2z−−−−====−++−.3.函数()elnfxxx=−的单调递减区间是（）A.10,eB.1,e−C.1,e+

D.()0,e【答案】A【解析】【分析】利用导数求函数单调递减区间.【详解】()elnfxxx=−，函数定义域为()0,+，()1e(0)fxxx=−，令()0fx，得10ex，所以函数()fx的单调递减区间是10,e.故选：A.4.4

名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（）A.48B.96C.120D.240【答案】D【解析】【分析】相邻元素运用捆绑法解决即可.【详解】第一步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列，第二步将两名女生内部排列，即：5252AA240

=.故选：D.5.已知命题p：1x，3log0x；命题q：0xR，0202xx，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.()()pqC.()pqD.pq【答案】A【解析】【分析】先确定命题,pq的真假，

再根据真值表逐一判断选项即可.【详解】当1x时，33loglog10x=故命题p：1x，3log0x是假命题；当2x=时，2222=，故命题q：0xR，0202xx是真命题；所以pq为真命题，()()pq，()pq，pq均为假命题故选：A6.

函数()21sincos2fxxxxx=+的图象大致是（）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数性质及图象的特征逐项排除即可得解.【详解】因为()()()()()2211sincossincos22fxxxxxxxxxf

x−=−−−−=−−=−，所以函数()fx为奇函数，故排除C、D；当0,2x时，21sin02xx，cos0xx，所以()0fx，故排除B.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.7.已知函数f(x)的导函数()fx，且满足

关系式2()3(2)lnfxxxfx=++则(2)f的值等于（）A.2B.—2C.94D.94−【答案】D【解析】【分析】对函数求导，再令2x=即可得出结果..的【详解】因为2()3(2)lnfxxxfx

=++，所以1()23(2)fxxfx=++，令2x=，则1(2)=43(2)2ff++，即92(2)2f=−，解得9(2)=4f−，故选：D8.如图，正方体1111ABCDABCD−中，P是1AD的中点，给出下列结论：①1//PBDC；②//PB平面

11BDC③1PBBC⊥；④PB⊥平面11ACD其中正确的结论个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对四个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间

直角坐标系，设正方体的边长为2，则()()()1,0,1,2,2,0,1,2,1PBPB=−,()()()110,0,2,0,2,0,0,2,2DCDC==−，不存在实数使得1PBDC=，所以①错误.()()

()11112,2,2,2,2,0,2,0,2BDBCB==，设平面11BDC的法向量为()111,,xnyz=，则1111111220220nDBxynCBxz=+==+=，令11x=，得

111yz==−,故可设()1,1,1n=−−，1210PBn=−+=，所以PBn⊥，由于PB平面11BDC，所以//PB平面11BDC，②正确.1220PBCB=−=，所以1PBBC⊥，③正确.()()()11112

,0,2,0,2,2,2,2,0ACAC=−，112420PBAC=−+=，所以PB与11AC不垂直，11AC平面11ACD，所以PB与平面11ACD不垂直，所以④错误.故正确的个数为2个.故选：B9.已知函数()2lnafxxxx=+−在

区间1,2上单调递减，则实数a的取值范围为（）A.(,3−−B.)3,−+C.(,10−−D.)10,−+【答案】C【解析】【分析】将问题转化为()0fx在1,2上恒成立，由此可得(

)2min2axx−−，根据二次函数最值的求法可求得结果.【详解】()fx在1,2上单调递减，()2221220axxafxxxx++=++=在1,2上恒成立，即22axx−−在1,2上恒成立，又2224210xx−−−−=−，10a−，实数a的取值范围

为(,10−−.故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，本题解题的基本思路是将问题转化为()0fx恒成立的问题，进而采用参变分离的方法将问题转化为二次函数最值的求解问题.10.如图所示，在平行六面

体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点，若ABa=，ADb=，1AAc=，则BM=（）A.1122abc−+B.1122abc++C.1122abc−−+D.1122−++abc【答案】D【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则得到答案.

【详解】因为M为11AC与i1BD的交点，所以111111122BMBABC=+，故1111111111111222222BMBBBMAABABCcABADabc=+=++=−+=−++.故选：D11.第24届冬季奥运会举行期间，安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆，国家速滑馆

，首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的方案种数为（）A.18B.16C.14D.12【答案】C【解析】【分析】根据分到首钢滑雪大跳台的人数分两类分别计算可

得.【详解】首钢滑雪大跳台只安排1人：先从丙、丁两人中选择1人安排到首钢滑雪大跳台有2种，再将剩余3人分成两组有23C种，最后将两组分到高山滑雪馆和国家速滑馆有22A种，所以甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台，且只安排1人的方案共有22322CA23212==种；首钢滑雪大跳台安

排2人：丙、丁两人只能安排到首钢滑雪大跳台，然后将甲、乙安排到高山滑雪馆和国家速滑馆有22A2=种.综上，满足条件的方案种数为12214+=种.故选：C12.已知0.3πa=，20.9πb=，sin0.

1c=，则a，b，c的大小关系正确的是（）A.abcB.cabC.acbD.bac【答案】B【解析】【分析】作差法比较出ab，构造函数，利用函数单调性比较出ca，从而得出cab.【详解】222

0.30.90.3π0.90.330.90ππππab−−−=−==，所以0ab−，故ab，又()πsin3fxxx=−，则()πcos3fxx=−在π0,6x上单调递减，又()0π3

0f=−，π3π3062f=−，所以存在0π0,6x，使得()00fx=，且在()00,xx时，()0fx¢>，在0π,6xx时，()0fx，即()πsin3fxxx=−在()00,xx上单调递增，在0π,6xx

单调递减，且π6+2π30124f=−，所以0π12x，又因为()00f=，所以当()00,xx时，()πsin30fxxx=−，其中因为1π1012，所以()010,10x，所以1πsin0.10.3010f=−，故sin0.10.3π，即cab

.故选：B第II卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()24ln3fxxx=−的图象在1x=处的切线方程为________．【答案】210xy++=【解析】【分析】

求出()1f及导函数，即可求出切线斜率，再利用点斜式求出切线方程.【详解】因为()24ln3fxxx=−，所以()214ln1313f==−−，()46fxxx=−，则()416121f=−=−，的所以切线方程为()321yx

+=−−，即210xy++=.故答案为：210xy++=14.在612xx+的展开式中，含4x项的系数为________【答案】192【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得答案.【详解】二项式612xx+展开式的通项公式为()6662

661C2C2,0,1,2,3,4,5,6rrrrrrxxrx−−−==，令624r−=，得1r=，所以展开式中含4x项的系数为156C2192=.故答案为：192.15.由数字0,1,2,3,4组成的各

位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为__【答案】42130【解析】【分析】利用排列数公式求得由数字0,1,2,3,4组成的各位上没有重复数字的五位数的各种情况，进而得到从小到大排列第88个数.【详解】由数字0,1,2,3,4组成的各位上没有重复数字的五位数中，1在万位的

有44A24=个，2在万位的有44A24=个，3在万位的有44A24=个，4在万位的有44A24=个，则从小到大排列第88个数为4在万位的五位数，4在万位0在千位的有33A6=个，4在万位1在千位的有33A6=个，4在万位

2在千位的有33A6=个，则从小到大排列第88个数为4在万位2在千位的五位数，4在万位2在千位的五位数从小到大排列依次为42013，42031，42103，42130，42301，42310，则从小到大排

列第88个数为42130.故答案为：42130.16.若对区间D上的任意x都有12()()()fxfxfx成立，则称()fx为1()fx到2()fx在区间D上的“任性函数”，已知2121()ln,()3fxxxfxxx=+=+，若()fxxa=+是1()fx到2()

fx在1,12上的“任性函数”，则a的取值范围是____________【答案】022a【解析】【分析】由题意可知21ln3xxxaxx+++，令2()lngxxxx=+−，1()2hxxx=+，则()maxmin()aghxx，

分别求出()maxmin(,)hxgx即可求解【详解】由题意，对区间D上的任意x都有12()()()fxfxfx成立，即对1,12上的任x，都有21ln3xxxaxx+++.由22lnlnxxxaaxxx+++−，设221211()ln()21=,,12x

xgxxxgxxxxxx−+=+=+−−，因此()gx在1,12x上单调递增，2max()(1)ln1110agxg==+=−；由111332xaxaxxxxxx+++−=+，设221

1211()2()2=,,12xhxxhxxxxx−=+=−+，因此()hx在12,22x上单调递减，在2,12x上单调递增，即22x=是()hx的极小值点，也是

最小值点，故min212()2222222ahxh==+=.综上，022a三、解答题：本大题共6小题，17题10分，18题到22题每题12分，一共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.17.设命题p：实数x满足()()30xaxa−−，其中0a，命题q：实数x满足428x．（1）若1a=，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）)2,3（2）()1,2【解析】【分析】（1）求出1a=

时的命题p，再解指数不等式得到命题q，然后由两个命题均为真命题，求解即可；（2）设{|3,0}Axaxaa=，{|23}Bxx=，将q是p的充分不必要条件，转化为BA，利用真子集的定义列出关于a的不等关系，求解即可．【小问1详解

】解：由已知()(3)0xaxa−−，又0a，所以3axa，当1a=时，命题:13px，由428x，即23222x，解得23x即命题:23qx，因为p、q都为真，即2313xx，

解得23x所以实数x的取值范围为)2,3；【小问2详解】解：设{|3,0}Axaxaa=，{|23}Bxx=，因为q是p的充分不必要条件，所以BA，则有233aa，解得12a，所以实数a的取值范围()1,2．18.已知函数()32fxaxbx=+

的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．（1）求实数a，b的值；（2）若函数()fx在区间（m，m+1）上单调递增，求m的取值范围．【答案】（1）a=1，b=3；（2）m≥0或m≤﹣3．【解析】【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得

到关于a，b的一个等式；求出导函数，根据f′（-2）=0，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求导解不等式求出函数的单调递增区间，据题意知（m，m+1）⊆（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），列出端点的大小，求出m的范围．【详解】

解：（1）∵()fx的图象经过点M（1，4），∴4ab+=①式()232fxaxbx=+则()2f−=0，即620ab−+=②式由①②式解得a=1，b=3；（2）()()3223,36fxxxfxxx=+=+,令()fx≥0得x≥0或

x≤﹣2，∵函数()fx在区间（m，m+1）上单调递增∴（m，m+1）⊆（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3．19.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，ABBC⊥，12ABBCBB===，D，E分别为AB，1CC的中点.（1）判

断直线DE与平面11ABC的位置关系，并说明理由；（2）求异面直线1AB与BE所成角的余弦值.【答案】（1）直线DE∥平面11ABC，理由见解析（2）1010【解析】【分析】（1）直线DE∥平面11ABC，取1A

B的中点F，连接DF，1CF，证明1DEFC∥即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式计算可得结果.小问1详解】直线DE∥平面11ABC，证明如下：取1AB的中点F，连接DF，1CF，因为D为AB的中点，所以1DFBB

∥，且112DFBB=，又E为1CC的中点，11BBCC∥，11BBCC=，所以11ECBB∥，且1112ECBB=，所以1DFEC∥，且1DFEC=，所以四边形1DECF为平行四边形，所以1DEFC∥，又DE平面11ABC，

1FC平面11ABC，所以直线DE∥平面11ABC.【小问2详解】因为ABBC⊥，由已知得1BB⊥平面ABC，以B为坐标原点，以BC，BA，1BB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，由12ABBCBB===，得()0,2,0A，()10,0,2B，()2,0,1E，

()10,2,2AB=−，()2,0,1BE=.设异面直线1AB与BE所成的角为，则11121010225coscos,ABBEABBEABBE====，所以异面直线1AB与BE所成角的余弦值为1010.【20.设函数f(x)＝－x2＋ax＋l

nx(a∈R)．（1）当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在1,33上有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为10,2，单调递减区间为1,2+；

（2）ln31,33−.【解析】【分析】（1）求得()fx，利用导数，即可由()fx的正负判断函数的单调性；（2）对－x2＋ax＋lnx0=分离参数，构造函数g(x)＝x－lnxx，利用导数研究其单调性和最值，即可求得参数范围.【详解】（

1）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝－2x－1＋1x＝221xxx−−+，令f′(x)＝0，得x＝12(负值舍去)，当0＜x＜12时，f′(x)＞0；当x＞12时，f′(x)＜0.∴f(x)的单调递增区间为10,2，单

调递减区间为1,2+.（2）令f(x)＝－x2＋ax＋lnx＝0，得a＝x－lnxx.令g(x)＝x－lnxx，其中x∈1,33，则g′(x)＝1－21lnxx−＝22ln1xxx+−，令g′(x)＝0，得x＝1，当13≤x＜1时，g′(x)＜0；当1＜x≤3时

，g′(x)＞0，∴g(x)的单调递减区间为1,13，单调递增区间为(1，3]，∴g(x)min＝g（1）＝1，∴函数f(x)在1,33上有两个零点，又13g＝3ln3

＋13，g（3）＝3－ln33，3ln3＋13＞3－ln33，∴实数a的取值范围是ln31,33−.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数由函数零点个数求参数范围，涉及分离参数法，属综合中档题.21.如图，四

棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，ABAD⊥，ABDC，1DCADPD===，2AB=，E为线段PA上一点，点F在边AB上且CFBD⊥.（1）若E为PA的中点，求四面体BCEP的体积；（2）在线段P

A上是否存在点E，使得EF与平面PFC所成角的余弦值是63？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）16（2）存在，210【解析】【分析】（1）根据题意，以D为原点，，，DADCDP所在直线分别为xyz，，轴建立空间

直角坐标系Dxyz−，进而利用坐标法求得点E到平面PBC的距离为d，再计算体积即可；（2）设点F坐标为()1,,0t，根据0CFDB=得11,,02F，进而根据线面角的向量方法求解即可.【小问1详解】解：

由题意可得,,DADCDP两两互相垂直，所以可以以D为原点，,,DADCDP所在直线分别为xyz，，轴建立空间直角坐标系Dxyz−，如图所示：∴()1,0,0A，()1,2,0B，()0,1,0C，()0,0,1P，11,0,22E∴()1,1,0BC=−−，()0,1,

1CP=−，11,1,22CE=−.设平面PBC的一个法向量(),,mxyz=，00mBCxymCPyz=−−==−+=，不妨令y＝1，∴()1,1,1m=−.设点E到平面PBC的距离为d，则13

33mCEdm===，又因为2BCPC==，6PB=，∴PBC的面积为32.∴四面体BCEP的体积为13313236=.【小问2详解】设点F坐标为()1,,0t，∴()1,1,0CFt=−，()1,2,0DB=.∵CFBD⊥，即0CFDB=，∴12t=，∴11,

,02F，∴11,,02CF=−.设(),0,AEAP==−，0,1，∴1,,2FEFAAE=+=−−.设平面PFC的一个法向量(),,nabc=

，∴00nCFnCP==，即12abbc==，令1a=得()1,2,2n=∴1nFE=−，∴22122cos,1381324FEn−−==++，∵FE与面PFC所成角的余弦值是63，正弦值为263133−=

.∴22233381−=+，整理得220810+−=，∴110=，12=−（舍去）.∴存在满足条件的点E，11,0,1010AE=−且210AE=.22.设函数()2xfxeax=−−，其导函数为()fx.（1）求

函数()2xfxeax=−−的单调区间；（2）若1a=，k为整数，且当0x时，()()10xkfxx−++，求k的最大值.【答案】（1）若0a，()fx在R上单调递增；若0a，()fx的单调减区间是：(),lna−，增区间是：()ln,a+；（2）2.

【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论，利用导数的正负，可求()fx的单调区间；（2）当0x时，()()10xkfxx−++等价于11xxkxe++−（0x），令()1e1xxgxx+=+−

，求导，利用导函数以及零点存在性定理研究函数的最值，即可求k的最大值.【详解】（1）()fx定义域为R，()exfxa=−，若0a，则()0fx¢>，()fx在R上单调递增；若0a，则()0fx=解得lnxa=.当x变化时，()fx，()fx变化如下表：

x(),lna−lna()ln,a+()fx-0+()fx减极小值增综上所述：若0a，()fx在R上单调递增；若0a，()fx的单调减区间是：(),lna−，增区间是：()ln,a+.（2）由于1a=，所以()()()()1e11xxxkfkxxx+−−+=++−.

故当0x时，()()10xkfxx−++等价于11xxkxe++−（0x），①令()1e1xxgxx+=+−，则()()()2ee2e1xxxxxg−−−=.由（1）知，当1a=时，函数()e2xfxx=−−在()0,+上单调递增，而()1

0f，()20f，所以()fx在()0,+存在唯一的零点.的故()gx在()0,+存在唯一的零点.设此零点为a，则()1,2a.当()0,xa时，()0gx；当(),xa+时，()0gx.所以()gx在()0,+的最小值为()ga

.又由()0ga=，可得e2aa=+，所以()()12,3gaa=+.由于①式等价于()kga，故整数k的最大值为2.【点睛】关键点睛：本题考查函数的单调性，考查函数的最值；解决本题的关键是第一

小题应用分类讨论的方法；第二小题将问题转化为求函数的最小值问题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com