【文档说明】内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学答案.docx，共(16)页，1.051 MB，由管理员店铺上传

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2024-2025学年第一学期高三七诊考试（数学试卷）考试时间：120分钟；试卷分值：150分命题人：薛梅一、单选题（共8小题，每小题5分）1.集合260Axxx=−−，集合2Bxx=，则AB=（）A.()2,3−B.(),3−C.()2,2−D.()0,2

【答案】C【解析】【分析】先解不等式求出集合A，B，再根据交集的定义求解即可．【详解】由26023Axxxxx=−−=−，222Bxxxx==−，则232222ABxxxxxx=−−=−，即()

2,2AB=−，故选：C.2.已知复数z满足41zi=+，则1z−=（）A.2B.5C.3D.10【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求得复数z，再利用复数的模长公式可求得结果.【详解】()()()41422111iziiii−===−++−，112zi−=−，因此，()221125z

−=+−=.故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，考查逻辑推理和运算求解能力，属于基础题.3.已知直线l经过点()2,3−，且与直线250xy−−=垂直，则直线l的方程为（）A.240xy++=B.240xy+−=C.280xy−−=D.280xy−+=【答案】A【解析】【分析】由垂直得直

线斜率，再由点斜式写出直线方程，化简即得．【详解】直线250xy−−=的斜率为2，直线l与之垂直，则12lk=−，又l过点(2,3)P−，所以直线方程为13(2)2yx+=−−，即240xy++=．故选：A．4.

设Sn为等差数列{an}的前n项和，且71136aaa−+=，则S13=（）A.78B.91C.39D.26【答案】A【解析】【分析】利用等差数列基本量的运算可得7a，然后利用等差数列的前n项和公式求解即可.【详解】因为71136aaa

−+=，则()1111761266aadadada−+++=+==，()1131371313782aaSa+===.故选：A5.若a、bR+且1ab+=，则下列不等式中正确的是（）A.14abB.14abC.1

14ab+D.2212ab+【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.【详解】因为a、bR+且1ab+=，由基本不等式可得2124abab+=，当且仅当12ab==时，等号成立

，AB均错；()11112224abababababbaba+=++=+++=，当且仅当12ab==时，等号成立，C错；()()()()()222222222221abababababab+=+++++=+=，即2212ab+，当且仅当12ab==时，等

号成立，D对.故选：D.6.若向量ab，的夹角为3，|2|||abab−=+，若()atab⊥+，则实数t=（）A.12−B.12C.32D.32−【答案】A【解析】【分析】由|2|||abab−=+两边平方得22bab=，结合条件可得ba=，又由()atab⊥+，可得20taab+

=，即可得出答案.【详解】由|2|||abab−=+两边平方得2222442aabbaabb−+=++.即22bab=，也即22cos3bab=，所以ba=.又由()atab⊥+，得()0atab+=，即20taab+=.所以2221122babtab=−=−=−

故选：A【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.7.已知函数()233sincoscos2fxxxx=++，则（）A.它的最小值为1−B.它的最大值为2C.它的图象关于直线π6x=对称D.它的图象关于点π,012−

对称【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简()πsin226fxx=++，然后结合三角函数的性质依次判断各个选项，得到正确结果.【详解】2331π()3sincoscossin2cos22sin222226fxxxxxxx=++=++=++∵，

函数()fx的最小值为1，最大值为3，故A，B错误；由πππsin223666f=++=，可知函数的图象关于直线π6x=对称，故C正确；由π2π,Z6xkk+=得ππ,Z122kx

k=−+，则函数的图象关于点ππ2(Z122kk−+),对称，故D错误.故选：C．8.设椭圆2222:1xyCab+=（0ab）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为12的直线与C的

一个交点为Q（点Q在x轴上方），且OFOQ=，则C的离心率为（）A.32B.13C.23D.53【答案】D【解析】【分析】连接Q和右焦点F，可知|OQ|＝12'||FF，可得∠FQF＝90°，由12FQk＝得2FQk−＝，

写出两直线方程，联立可得Q点坐标，Q点坐标代入椭圆标准方程可得a、b、c关系﹒【详解】设椭圆右焦点为F，连接QF，∵OFOQ=，'OFOF=，∴|OQ|＝12'||FF，∴∠FQF＝90°，∵12FQk＝，∴2FQk−＝，F

Q过F(－c，0)，FQ过F(c，0)，则()()122FQyxcFQyxc−−：＝＋，：＝，由()()1342552yxcccQyxc−−＝＋，＝，∵Q在椭圆上，∴222234551ccab＋＝，又

222cab−＝，解得2249ba＝，∴离心率22451193bea−−＝＝＝．故选：D．二、多选题（共3小题，每小题6分）9.2022年，是中国共产主义青年团成立100周年.为庆祝建团100周年，某中学全体学生参加了主题为“赓续红色血脉·争当青春先锋”的知识

竞赛，随机抽取了若干名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.直方图中x的值为0.030B.成绩在区间)90,100内的学生最多C.

估计全校学生的平均成绩为84分D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分【答案】ABC【解析】【分析】根据频率和为1可知A正确；根据频率分布直方图可知成绩在区间)90,100的学生对应频率最大，知B正确；利用频率分布直方图估计平均数的额方法可知C正

确；利用频率分布直方图估计百分位数的方法可知D错误.【详解】对于A，()0.0050.0100.0150.040101x++++=，0.030x=，A正确；对于B，成绩在区间)90,100的学生对应频率最大，成绩在区间)90,100内的学生最多，B正确；对于C，平均成绩

为550.05650.1750.15850.3950.484++++=，C正确；对于D，80%分位数约为0.29010950.4+=，D错误.故选：ABC.10.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，线段1

1BD上有两个动点,EF，且13EF=，下列选项正确的是（）A.ACBE⊥B.EF∥平面ABCDC.AEF△的面积与BEF△的面积相等D.三棱锥EAFB−的体积为定值【答案】ABD【解析】【分析】由正方体性质得线面垂直，线面平行，点到平面的距离，由体积公

式确定三棱锥体积，从而判断各选项．【详解】由正方体的性质1BB⊥平面ABCD,AC平面ABCD,则1BBAC⊥，又ACBD⊥，1BBBDB=，1,BBBD平面11BBDD，所以AC⊥平面11BBDD，BE平面11BBDD，则ACBE⊥，A正确；由正方体的性质知11//BD

平面ABCD，即EF∥平面ABCD，B正确；由正方体性质得A到直线EF的距离为36222=，而B到直线EF的距离为1，两个三角形面积不相等，C错；1111236BEFS==!，而A到平面BEF的距离即A到平面11BBDD的距离，为22，因此112236236EAFBABEFVV

−−===为定值，D正确，故选：ABD．11.抛物线2:2Cxpy=的焦点为F、P为其上一动点，当P运动到(),1t时，2PF=，直线l与抛物线相交于A、B两点，点()4,1M，下列结论正确的是（）A.抛物线的方程为28xy=B.PM

PF+的最小值为4C.当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切D.存在直线l，使得,AB两点关于50xy+−=对称【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据抛物线定义即可得到；对于B，利用三角形两边之和大于第三边即可得到；对

于C，借助直线与圆相切的性质即可得到；对于D，设出直线方程，与抛物线联立后，借助对称性思想即可得到.【详解】对于A：当P运动到(),1t时，122pPF=+=，故2p=，即抛物线为24xy=，故A错误；对于B：由24xy=，故()0,1F，

则4PMPFMF+=，故B正确；对于C：当直线l过焦点F时，设A为()00,xy，则0012pFAyy=+=+，故以AF为直径的圆的半径为012y+，又()0,1F，故以AF为直径的圆的圆心坐标为001,22xy+，有圆心到x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与x轴相切,故C正确

；对于D：设存在该直线l，则l与直线50xy+−=垂直，则该直线的斜率111k−==−，即可设该直线为yxm=+，A、B分别设为()11,xy、()22,xy，由24yxmxy=+=，消去y可得

，2440xxm−−=，则16160m=+，即1m−，有124xx+=，124xxm=，故1222xx+=，1212222yyxmxmm++++==+，则弦AB的中点()2,2m+在直线50xy+−=上，即有2250m++−=，解得11m=−，故存在直

线l，使得,AB两点关于50xy+−=对称，故D正确.故选：BCD.三、填空题（共3小题，每小题5分）12.记nS为递增等比数列na的前n项和，若11S=，425SS=，则na=___．【答案】12n−【解析】【分析】根据前n项和公式先求出

公比q，即可求出na.【详解】由11S=，425SS=，可得215q+=，解得2q=或2q=−.因为na为递增的等比数列，所以12,2nnqa−==，故答案为：12nna−=.【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式应用，属于容易题.13.为了落实立德树人的根本任务，践行五

育并举，某校开设,,ABC三门德育校本课程，现有甲､乙､丙､丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有_____________.【答案】36【解析】【分析】根据已知对四位同学分3组，根据分组分

配方法求解即可．【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学选A，B，C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，则三组人数为1、1、2，此时有1123432322CCCA36A=种故答案为：36．14.设函数()y=fx

是定义在R上的奇函数，且满足(2)()fxfx−=−对一切xR都成立，又当[1,1]x−时，3()fxx=，则下列四个命题：①函数()y=fx是以4为周期的周期函数；②当[1,3]x时，3()(2)fxx=−；③函数()y=fx的图象关于1x=对称；

④函数()y=fx的图象关于(2,0)对称.其中正确的命题是_______．的.【答案】①②③④【解析】【分析】由题可得：()()fxfx−=−且()00f=，将2x−代入(2)()fxfx−=−可得：()(4)fx

fx−=，所以①正确；当[1,3]x时，2[1,1]x−−，可得：()3()2(2)fxfxx=−−=−，所以②正确；将1x+代入(2)()fxfx−=−并结合()()fxfx−=−整理得：(1)(1

)fx=f+x−，所以③正确；将2x−代入(2)()fxfx−=−结合()()fxfx−=−可得：()(4)=0fxfx+−，所以④正确；问题得解.【详解】因为函数()y=fx是定义在R上的奇函数所以()()f

xfx−=−且()00f=又(2)()fxfx−=−将2x−代入(2)()fxfx−=−可得：()(4)(2)fxfxfx−=−−=，所以函数()y=fx是以4为周期的周期函数，所以①正确；当[1,3]x时，2[1,1]x−

−，所以()33()2(2)(2)fxfxxx=−−=−−=−，所以②正确；将1x+代入(2)()fxfx−=−可得：(1)(1)fxfx−=−+，结合()()fxfx−=−整理得：(1)(1)fx=f+x−，所以函数()y=fx的图象关

于1x=对称，所以③正确；将2x−代入(2)()fxfx−=−可得：()(4)(2)=fxfxfx−=−−，所以()(4)fxfx−−=所以()()(4)()0fxfxfxfx+−=−=，所以函数()y=fx的图象关于(2,0)对称，所以④正确；故

填：①②③④【点睛】本题主要考查了求函数的周期及函数的解析式，还考查了赋值法及函数对称性的特点，考查分析能力及转化能力，属于难题．四、解答题（共77分）15.在𝛥𝐴𝐵𝐶中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且2sin5cos0aBbA−=.（1）求cos

A；（2）若5a=，2b=，求𝛥𝐴𝐵𝐶的面积.【答案】（1）2cos3A=；（2）5S=.【解析】【详解】试题分析：(1)利用正弦定理边化角，然后结合同角三角函数基本关系可得5tan2A=，则2cos3A=.(2)利用余弦定理可求得边

长3c=，则△ABC的面积为1sin52SbcA==.试题解析：（1）由正弦定理得2sin5cos02sinsin5sincosaBbAABBA−==∵sin0B，∴5tan2A=，∵()0,A，∴

2cos3A=.（2）∵5a=，2b=，∴22222253cc+−=，即23830cc−−=，则()()3130cc+−=，∵0c，∴3c=由（1）得5sin3A=，∴ABC的面积1sin52SbcA==.16.如图，

在三棱柱111ABCABC−中，四边形11AABB是矩形，122BBBCAB===，11605BCCAC==，．（1）求证：1BC⊥平面1ABC；（2）求平面1ABC与平面11ABC所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析

】（1）由1BBBC=得四边形11BCCB为菱形，则11BCBC⊥，由已知的数据结合勾股定理逆定理得1ABBC⊥，而1ABBB⊥，则AB⊥平面11BCCB，所以1ABBC⊥，再由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）取1CC的中点M，连

结BM，则1,,ABBBBM两两垂直，所以以B为原点，1,,BMBBBA所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：在平行四边形11BCCB中，因为1BBBC=，所以四边形11BCCB为菱形，故11BC

BC⊥，又因为160BCC=，故1BCC为等边三角形，故12BCBC==．在1ABC中，15AC=，12,1BCAB==,所以22211ACABBC=+，故1ABBC⊥又因为111,ABBBBBBCB⊥

=，11,BBBC平面11BCCB，所以AB⊥平面11BCCB，因为1BC平面11BCCB，因此1ABBC⊥．又因为1ABBCB=I，1,ABBC平面1ABC，所以1BC⊥平面1ABC；【小问2详解】解：取1CC中点M，连

结BM，因为1BCC为等边三角形，所以1BMCC⊥，因为1BB‖1CC，所以1BMBB⊥，因为AB⊥平面11BCCB，1,BMBB平面11BCCB，所以1,ABBMABBB⊥⊥，故1,,ABBBBM两两垂直，所以以B为原点，1,,BMBBBA所在的直线分别为,,xyz轴建

立空间直角坐标系，的则111(0,0,0),(0,0,1),(3,1,0),(0,2,0),(0,2,1),(3,1,0)BACBAC−，111(3,1,1),(0,2,1),(3,1,0),(0,2,1),ACABBCBA=−−=−==设平面1ABC的法向量为1111(,,)nxyz

=，则111111113020nACxyznAByz=−−==−=，令11y=，得1(3,1,2)n=；设平面11ABC的法向量为2222(,,)nxyz=，则212221223020nBCxynBAyz=+==+=,令2

1y=−，得23,1,23n=−．设平面1ABC与平面11ABC所成角为，则1212446cos441223141433nnnn====++++．17.设函数()()e1ln0xfxxaaxx

=−−.（1）ea=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）证明：()fx至多只有一个零点.【答案】（1）0y=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当ea=时，()1e1lnxfxxxx−=−−，

得到()122(1)e11xxfxxxx−−=−+，进而可求出(1)0f=，(1)0f=，再根据导数的几何意义，即可求出结果；（2）将()fx的零点个数转化成ln1()exxxhx+=与1ya=交点个数，对()hx求导，利用

导数与函数单调性间的关系，得到ln1()exxxhx+=在区间(0,)+上单调递减，即可证明结果.【小问1详解】当ea=时，()1e1lnxfxxxx−=−−，则()122(1)e11xxfxxxx−−=−+，所以(1)0f=，又(1)0f=，所以曲线()yfx=在点

()()1,1f处的切线方程为00(1)yx−=−，即0y=.【小问2详解】由()0fx=，得到e1ln0xxaxx−−=，整理得到n1l1exxxa+=，令ln1()exxxhx+=，则2(ln1)ee

lnln(1)ln()(ee(ln1e))xxxxxxxxxxxxhxx+−−==+=−，当(0,1)x时，(1)ln0xx−，当(1,)x+时，(1)ln0xx−，所以()0hx在区间(0,)+上恒成立，当且仅当1x=时取等号，故ln1()exxxhx+=在区

间(0,)+上单调递减，则1ya=与ln1()exxxhx+=最多有一个交点，即()fx至多只有一个零点18.已知椭圆()222210xyCabab+=：过点31,2，且离心率12e=.（1）求椭圆C标准方

程；（2）若直线lykxm：＝＋与椭圆C相交于AB，两点(AB，不是左右顶点)，椭圆的右顶点为D，且满足0DADB=，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）22143xy+=（2）直线过定点2,07【解析】【分析

】（1）由12e=可得12ca=，利用222abc=+，把点31,2代入椭圆方程，即可得出椭圆C的标准方程；的（2）设()()1122,,,AxyBxy，，联立22143ykxmxy=++=，得到根与系数的关系，利用0DADB=，，得到·1ADBDkk=−，即可得出

结论.【详解】（1）由题意椭圆的离心率12e=，∴12ca=，即2ac=，∴22223bacc==－∴椭圆方程为2222143xycc+=又点31,2在椭圆上，于是2223()12143cc+=，得21c=∴椭圆的方程为22143xy+=.（2）设()()1122,,,Axy

Bxy，由22143ykxmxy=++=得()()222348430kxmkxm+++－＝，()()222264163430mkkm＝－＋－，22340km＋－又122834mkxxk−+＋＝，21224(3)·34m

xxk−+＝∴()()()22221212121223(4)··34mkyykxmkxmkxxmkxxmk−+＝＋＋＝＋＋＋＝，∵0DADB=，∴·1ADBDkk=−又椭圆的右顶点()2,0D，∴1212122yyxx=−−−，则()121212240yyxxxx＋－

＋＋＝，2222223(4)4(3)16++40343434mkmmkkkk−−+=+++，2271640mmkk＋＋＝，解得12272mkkm−＝－，＝，且满足22340km＋－当2mk＝－时，()2lykx：＝－，直线过定点()2,0与已知矛盾；当27mk−＝时，

27lykx−：＝)，直线过定点2,07．综上可知，直线l过定点，定点坐标为2,07.19.已知数列na的前n项和为nS，点(),nnS在函数()224fxxx=+图象上；（1）证明na是等差数列；（2）若函数()2xgx-=，数列nb满足()n

bgn=，记nnncab=，求数列nc前n项和nT；（3）是否存在实数，使得当x时，()2401nafxxxn=+−+对任意n+N恒成立？若存在，求出最大的实数，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）125102nnnT

−+=−（3）存，1=.【解析】【分析】（1）首先确定nS，由nS与na关系可得na，进而由定义证得数列为等差数列；（2）结合（1）中结论可求得nc，采用错位相减法即可得到nT；（3）将恒成立的式子变为2

41naxxn−++，可求得min31nan=+，由此可得243xx−+，解不等式即可求得的值.【小问1详解】点(),nnS在函数()224fxxx=+图象上，224nSnn=+，当1

n=时，116aS==；当2n时，()()()22124214142nnnaSSnnnnn−=−=+−−+−=+，在则()1424124nnaann−−=+−−−=，数列na是以6为首项，4为公差的等差数列.【小问2

详解】由（1）得：42nan=+；又()12nnbgn==，422nnnnncab+==，123161014424222222nnnnnT−−+=+++++，23411610144242222222nnnnnT+−+=+++++，

21123411111421111422234341222222212nnnnnnnT−++−++=−+++++=−+−111422410325222nnnnn+−+++−+−=−，12510

2nnnT−+=−.【小问3详解】假设存在实数，使得当x时，()2401nafxxxn=+−+对任意n+N恒成立，即241naxxn−++对任意n+N恒成立，42nan=+，()41242244131111nnannnnn+−+===−−=++++，24

3xx−+，解得：1x或3x，则存在最大的实数1=，使得()2401nafxxxn=+−+对任意n+N恒成立.