【文档说明】广东省深圳市南头中学2022-2023学年高二上学期期中考试 数学 答案.docx，共(17)页，924.849 KB，由小赞的店铺上传

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南头中学2022-2023学年度第一学期期中考试高二数学命题人：王章贵审核人：郑君许（满分：150分考试时间：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的1.圆22(1)3xy−+=的圆心坐标和半径分别是（）A(-1，0)，3B.(1，0)，3C.()1,0,3−D.()1,0,3【答案】D【解析】【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.【详解】根据圆的标准

方程可得，22(1)3xy−+=的圆心坐标为(1,0)，半径为3，故选：D.2.已知()1,4,4a=−−，(),2,21bmm=−+，若ab∥，则m的值为（）A.－2B.2C.12−D.12【答案】C【解析】【分析

】根据向量共线的性质即可求解.【详解】因为ab∥，所以221144mm−+==−−，解得12m=−，故选：C.3.若直线l的斜率k=−2，又过一点(3，2)，则直线l经过点（）A.(0，4)B.(4，0)C.(0，−4)D.(−2，1)【答案】B【解析】【分析】利用斜率公式逐个验证

即可.【详解】对于A，4222033k−==−−−，不符合题意；对于B，20234k−==−−，所以B正确；对于C，2(4)2230k−−==−−，不符合题意；对于D，21123(2)5k−==−−−，不符合题意，故选：B4.直线:

3410lxy+−=被圆22:2440Cxyxy+−−−=所截得的弦长为（）A.25B.4C.23D.22【答案】A【解析】【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.【详解】由题意圆心()1,2C，圆C半径为3，故C到:34

10lxy+−=的距离为22381234+−=+，故所求弦长为2223225−=.故选：A.5.设xR，向量(,1,1),(1,2,1),(3,6,3)axbc==−=−且ac⊥，则||ab+=（）A.22B.23C.4D.3【答案】D【解析】【分析】利用

向量垂直求出x，再求出ab+的坐标后可求其模.【详解】因为ac⊥，故3630x−+=，故1x=，故()2,1,2ab+=−，故||93ab+==，故选：D.6.如果实数xy，满足等()22314xy−+=，那么yx的最大值是（

）A.12B.33C.3D.1【答案】C【解析】的【分析】yx可理解为00yx--，即点(,)xy与原点连线的斜率，数形结合即可解决.【详解】yx的几何意义是圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，如图所示，设直线方程为ykx=，则2321kdk==+，解得斜率的最大值为3，所以()y

xmax＝3．故选：C7.已知点()2,3A−，()3,2B−−．若直线():11lymx=−+与线段AB相交，则实数m的取值范围是（）A.(3,4,4−−+B.3,44−C

.)3,4,4−−+D.34,4−【答案】A【解析】【分析】先求出直线所过的定点，再计算临界的直线的斜率，从而可求参数的取值范围.【详解】直线():110lmxy−−+=，令1010xy−=−=

，解得11xy==，直线l必过定点()1,1P．31421PAk−−==−−，213314PBk−−==−−．直线():11lymx=−+与线段AB相交，由图知，34m或4m−，则实数m的取值范围是(3,4,4+−−．故选：A

.8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的

位置为()2,0B−，若将军从山脚下的点1,03A处出发，河岸线所在直线方程为23xy+=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.1453B.5C.1353D.163【答案】A【解析】【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.【详解】如图所示，设点()2

,0B−关于直线23xy+=的对称点为()11,Cxy，在直线23xy+=上取点P，连接PC，则PBPC=．由题意可得1111112222322yxxy−=−+−+=，解得1104xy==，即点()0,4C，所以()22114504033PAPBPAPCAC

+=+=−+−=，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为1453．故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得

5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于椭圆223412xy+=有以下结论，其中正确的有（）A.离心率为12B.长轴长是23C.焦点在y轴上D.焦点坐标为(-1，0)，(1，0)【答案】AD【解析】【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选

项.【详解】将椭圆方程化为标准方程为221,43xy+=所以该椭圆的焦点在x轴上，故C错误；焦点坐标为()1,0,()1,0−，故D正确；2,a=长轴长是4,故B错误;因为2,3,ab==所以1,c=离心率1,2cea==故A正确.故选：AD.10.已知点(2,3),(4,5)AB−到直

线:(3)(1)10+−++−=lmxmym的距离相等，则实数m的值可以是（）A.75−B.75C.95−D.95【答案】AC【解析】【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】因为点(2,3),(4,5)AB−到直线:(3)(1)10+−+

+−=lmxmym的距离相等，所以有22222(3)3(1)14(3)5(1)1(3)(1)(3)(1)mmmmmmmmmm+−++−++++−=++++++，化简得：581m+=，解得95m=−，或75m=-，故选：AC11.已知空间中三点()0,1,0A，()2,2,0B，()1

,3,1C−，则下列说法正确的是（）A.AB与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255055，，C.平面ABC的一个法向量是()12,5−，D.点P()2,2,2到平面ABC的距离是303【答案】BCD【解析】【分析】首先利用向量共线定理，即可判断A错误；再利

用单位向量的定义判断B正确；接着利用法向量的含义可以判断C；再用空间向量求点面距离的方法，即可判断D正确.【详解】对于A，()2,1,0AB=，()1,2,1AC=−，可知ABAC，AB与AC不共线，A错误；对B()2,1,0AB=，5AB=，255,,0

55ABAB=即与AB同向的单位向量是255055，，，B正确；对于C，设平面ABC的法向量()nxyz=，，，则2030nABxynBCxyz=+==−++=，令1x=

，解得：=2y−，5z=，()1,2,5n=−，即平面ABC的一个法向量为()12,5−，，C正确.对于D()2,1,2AP=，距离303APndn==，D正确；故选：BCD12.已知直线:cossin1lxy+=与圆22:6Oxy+=交于A，B两点，则（）A.线段AB

的长度为定值B.圆O上总有4个点到l的距离为2C.线段AB的中点轨迹方程为221xy+=D.直线l的倾斜角为2+【答案】AC【解析】【分析】对于A，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦AB的长；对于B，由于圆心到

直线的距离为1，而圆的半径为6，从而可得圆上只有2个点到直线的距离为2；对于C，由选项A可知圆心到直线的距离为1，即线段AB的中点到圆心(0,0)O的距离为1，从而可得结论；对于D，当0时，设直线的倾斜角为，则1

tantan−=，即tantan()2=+，而当2时，直线的倾斜角2+，【详解】对于A，因为圆心(0,0)O到直线:cossin1lxy+=的距离220011cossind+−==+

，所以226125AB=−=，所以A正确；对于B，由于圆心到直线的距离为220011cossind+−==+，而圆的半径为6，所以圆O上只有2个点到l的距离为2，所以B错误；对于C，由于圆心到直线的距离为220011cossind+−==+

，所以线段AB的中点到圆心(0,0)O的距离为1，所以线段AB的中点轨迹是以(0,0)O为圆心，1为半径的圆，即方程为221xy+=，所以C正确；对于D，当0=时，则cos1,sin0==，此时直线为1x=，则直线倾斜角

为2，满足2+；当0时，由cossin1xy+=，得直线的斜率为cos1sintank=−=−，设直线的倾斜角为，则1tantan−=，即tantan()2=+，当02时，直线的倾斜角2

=+，而当2时，直线的倾斜角2+，所以D错误，故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点()2,3，且斜率为2的直线l的斜截式方程为________．【答案】21yx=−的【解析】【分析】

利用点斜式可求得直线方程，整理可得斜截式方程.【详解】直线l的点斜式方程为：()322yx−=−，整理可得其斜截式方程为21yx=−.故答案为：21yx=−.14.如图所示，在平行六面体1111ABCD

ABCD−中，1111ACBDF=，若1AFxAByADzAA=++，则xyz++=___________.【答案】2【解析】【分析】题中几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，1111112AFABBBBFABBBBD=++=++,再将11AD转化为AD，以及将11AB转

化为AB,11BBAA=,总之等式右边为AB，AD，1AA,从而得出12xy==，1z=.【详解】解：因为1111112AFABBBBFABBBBD=++=++()1111112ABBBADAB=++−11122ABBBADAB=+

+−11122ABADAA=++，又1AFxABADzAA=++，所以12xy==，1z=，则2xyz++=.故答案为：2.【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将1AFxABADzAA=++作为转化的目标，从而得解.15.如图所示，点A、B、C

分别在空间直角坐标系Oxyz−的三条坐标轴上，()0,0,2OC=，平面ABC的一个法向量为()2,1,2n=，平面ABC与平面ABO的夹角为，则cos=________.【答案】23【解析】【分析】分析可知平面ABO的一个法向量为OC，利用空间向量法可求得

cos的值.【详解】由题意可知，平面ABO的一个法向量为()0,0,2OC=，所以，42cos233OCnOCn===.故答案为：23.16.已知函数()()212fxxkx=−+−有两个不同的零点，则常数k的取值范围是___________.【答案】303k

【解析】【分析】根据题意，函数()()212fxxkx=−+−有两个不同的零点，等价于21yx=−与()2ykx=−−的图象有两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.【详解】由函数()()212fxxkx=−+−有两个不同的零点，可知21yx=−与

()2ykx=−−的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当21yx=−与()2ykx=−−的图象相切时，2211kk=+，即33k=，由图可知0k−，故相切时33k=，因此结合图象可知，当303k时，21yx=−与()2y

kx=−−的图象有两个不同的交点，即当303k时，函数()()212fxxkx=−+−有两个不同的零点.故答案为：303k.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在棱长为2的正方体中，,EF分别为1DD，BD的中点，

点G在CD上，且14CGCD=．（1）求证：1EFBC⊥；（2）求EF与CG所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】(1)根据空间向量证明垂直关系即可证明结果；(2)根据空间向量求线线夹角的方法求解.【小问1详

解】建立以D点为坐标原点,1DADCDD，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,0,1),(1,1,0),(2,2,2),(0,2,0)EFBC，则(1,1,1)EF=−，1(2,0,2

),BC=−−所以11(2)0(1)(2)0EFBC=−++−−=，即1EFBC⊥，所以1EFBC⊥.【小问2详解】由（1）知，31(0,,0),(0,,0),22GCG=−则101()032cos,

13||||32EFCGEFCGEFCG+−+===−，因为EF与CG所成角的范围为π0,2，所以其夹角余弦值为33.18.直线l过点()1,2A且与直线210xy++=垂直.（1）求直线l的方程；（2）求圆心

在直线l上且过点()0,0O、()2,0B的圆的方程.【答案】（1）2yx=；（2）()()22125xy−+−=.【解析】【分析】（1）设直线l的方程为20xyc−+=，将点A的坐标代入直线l的方程，求出c的值，即可得出直线l的方程；（2）设圆心的坐标为(),2aa，根据已知条件可得出

关于实数a的等式，求出a的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）因为直线l与直线210xy++=垂直，则直线l的方程可设为20xyc−+=，又因为直线l过点()1,2A，所以2120c?+=，即

0c=，所以直线l的方程为2yx=；（2）因为圆心在直线:2lyx=上，所以圆心坐标可设为(),2aa，又因为该圆过点()0,0O、()2,0B，所以有()()()()2222020220aaaa-+-=-+-，解得1a=，所以圆心坐标为()1,2，半径()()2251020r=−+−

=，故圆的方程为()()22125xy−+−=.19.椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点()0,1且长轴长为22.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()1,0M且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长AB.【答案】（

1）2212xy+=（2）423【解析】【分析】（1）先设出椭圆方程，然后由题意可得2,1ab==，从而可得椭圆方程，（2）由题意可得直线l的方程为1xy=+，代入椭圆方程中，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果.小问1详解】由题意设

椭圆的方程为22221(0)xyabab+=，因为椭圆C经过点()0,1且长轴长为22，所以2,1ab==，【所以椭圆方程为2212xy+=，【小问2详解】因为直线l过点()1,0M且斜率为1，所以直线l的方程为1yx=−，设1122(,),(,)AxyBxy，将1yx=−代入221

2xy+=，得22(1)12xx+−=，整理得2340xx−=，所以12124,03xxxx+==，所以2212121()4ABkxxxx=++−22442114033=+−=20.已知圆221:2280Cxyxy+++−=与圆222:210240Cxyxy+−+−=

相交于A，B两点.（1）求直线AB的方程；（2）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程；【答案】（1）240xy−+=；（2）()()22215xy++−=.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到经过两圆公共点的圆系方程，再令1=−即可得到公共弦方程.（2）首先联立22240

2280xyxyxy−+=+++−=得到设()4,0A−，()0,2B，从而得到当AB为所求圆的直径时，圆的面积最小，再计算圆的方程即可.【详解】（1）由题知：经过圆1C和圆2C的公共点的圆系方程为：()2222210240228xyxyxyxy+++−+−+−=+.

令1=−，得公共弦方程为：240xy−+=.（2）222402280xyxyxy−+=+++−=，解得：40xy=−=或02xy==.设()4,0A−，()0,2B，当AB为所求圆的直径时，圆的面积最小.AB的中点为()2,1−，()()22

400225AB=−−+−=，则所求圆的方程为：()()22215xy++−=21.如图，在三棱锥−PABC中，2AC=，4BC=，PAC△为正三角形，D为AB的中点，ACPD⊥，90PCB=.（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求PD与平

面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）PD与平面PBC所成角的正弦值为2114.【解析】【分析】（1）、取AC的中点O，连接,ODOP，证明OPAC⊥结合ACPD⊥，先证明AC⊥平面POD，

得到ACOD⊥，再证明ACBC⊥，然后证明BC⊥平面PAC；（2）、以O为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量及PD，利用向量法求线面角.【详解】（1）证明：作AC的中点O，连接,ODOP，因为PAC△是正三角形，所以OPAC⊥，又,,,ACPDPDOPPPDOP⊥=平面

POD，所以AC⊥平面POD，又OD平面POD，所以ACOD⊥，因为OD∥BC，所以ACBC⊥，又,,,PCBCPCACCPCAC⊥=平面PAC，所以BC⊥平面PAC；（2）以O为坐标原点,OAODOP、、所在直线分别为为,,xyz轴非负半轴，建立空间直角坐标系如图示，则()

()()()1,0,0,0,2,0,1,4,0,0,0,3CDBP−−，所以()()()1,0,3,0,4,0,0,2,3CPCBPD===−，设平面PBC的法向量为(),,mxyz=，则3040mCPxzmCBy=+===，取3x=，则()3,0,1m=−，设PD

与平面PBC所成角为，则321sin=144331mPDmPD==++.PD与平面PBC所成角的正弦值为2114.22.已知圆C：()22225xy−+=．（1）设点31,2M−，过点M作直线l

与圆C交于A，B两点，若8AB=，求直线l的方程；（2）设P是直线60xy++=上点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【答案】（

1）=1x−或3490xy−+=（2）证明见解析，所有定点的坐标为()()2,0,2,4−−.【解析】【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，分直线l的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出直

线方程；（2）设(),6Pmm−−，根据切线性质得到经过A，P，C三点的圆即为以PC为直径的的圆，求出圆心和半径，写出圆的方程，整理后得到2226020xyxyyx+−+=−+=，求出定点坐标.【小问1详解】根据题意，圆C的方程为()22

225xy−+=，其圆心C为（2，0），半径=5r，若直线l的斜率不存在，即=1x−，代入圆方程得，4y=，即8AB=，成立；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为()312ykx−=+，即22320kxyk−++=，若8AB=，则圆

心C到直线l的距离25163d=−=，则24032344kkdk−++==+，解得34k=，即直线l的方程为()33124yx−=+，化简得3490xy−+=综上所述，直线l的方程为=1x−或3490

xy−+=．【小问2详解】由于P是直线60xy++=上的点，设(),6Pmm−−，由切线的性质得AC⊥PA，BC⊥PB，经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，PC的中点坐标为26,22mm+−−，且()()222262840PCmmmm=−+−−=++

，所以圆的方程为22226420222mmmmxy++++−++=，整理得()()22262)0xyxymyx+−++−+=，令2226020xyxyyx+−+=−+=，解得

20xy==或24xy=−=−．则经过A，P，C三点的圆必过定点，所有定点的坐标为()()2,0,2,4−−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com