【文档说明】浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测数学试题 含解析.docx，共(27)页，2.392 MB，由小赞的店铺上传

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衢州、丽水、湖州2023年11月三地市高三教学质量检测试卷数学1.本试题卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑

，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用，黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.1.若集合3log1Axx=，2Bxx=，则AB=（）A.(,3−B.(,2−C.(0,2D.(0,3【答案】C【解析】【分析】利用对数函数3logyx=在()0,+单调递增

，解对数不等式，再结合交集的概念即可.【详解】∵3logyx=在()0,+单调递增，∴(3log10,3Axx==，则(0,2AB=.故选：C.2.若复数z满足()34i2iz+=+（i为虚数单位），则z=（）A.55B.35C.15D.34【答案】A

【解析】【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.详解】由()()()()()2i34i2i2i2134i2ii34i34i34i555zz+−+−+=+====−++−，所以22215555z=+−=.故选：A【3.已知向量()2,3a=r，()1,bx

=−，则“()()abab+⊥−”是“23x=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由平面向量的坐标运算结合()()abab+⊥−得出x的值，即可判断出答案．【详解】由

已知得，(1,3)abx+=+，(3,3)abx−=−，若()()abab+⊥−，则()()0abab+−=，即2390x+−=，解得23x=，所以“23x=”“()()abab+⊥−”，但“()

()abab+⊥−”¿“23x=”，所以“()()abab+⊥−”是“23x=”的必要不充分条件，故选：B．4.下列命题中错误．．的是（）A.已知随机变量16,2XB，则()216DX−=B.已知随机变量()2,N，若函数()()11fxPxx=−+为偶函数，则0

=C.数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8D.样本甲中有m件样品，其方差为21s，样本乙中有n件样品，其方差为22s，则由甲乙组成的总体样本的方差为2212mnssmnmn+++【答案】D【

解析】【分析】由二项分布方差计算公式可判断A，由正态分布密度曲线的性质即可判断B，根据第p百分位数定义可判断C，可按分层抽样样本方差的计算公式判断D.【详解】对于A，()()21121246622DXDX−===，A正确；对于B，由函数()()11fxPxx=−+为偶函数，则()()

fxfx−=，所以()()1111PxxPxx−−−+=−+，所以区间()1,1xx−−−+，()1,1xx−+关于x=对称，则0=，B正确；对于C，70.85.6=，所以数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是第六个数据8，C正确；对于D，由按分

层抽样样本方差的计算公式可知选项缺少平均数的相关数据，D错误.故选：D.5.已知π(,0)2−，且πtan()3cos24−=，则sin2=（）A.16−B.13−C.23−D.56−【答案】C【解析】【

分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的正余弦公式求解即得.【详解】由πtan()3cos24−=，得πsin()πππ43sin(2)6sin()cos()π244cos()4−=−=−−−，而π(,0)2

−，则ππ3π(,)444−，πsin()04−，因此2π12cos()43−=，即有π1()231cos2−=+，所以π2sin2cos(2)23=−=−.故选：C6.已知nS是等比数列na前n项和，且23S=，64512SS=−，则4S=（）A.11B.13C.15D.

17【答案】C【解析】【分析】由nS是等比数列na的前n项和得24264,,SSSSS−−成等比数列，结合64512SS=−，列方程求解即可．【详解】因为na是等比数列，nS是等比数列na的前n项和，所以24264,,SSSSS−−成等比数列，且42640,

0SSSS−−，所以242264()()SSSSS−−=，又因为64512SS=−，23S=，所以24445(13()23)SSS−−−=，即44(3)(15)0SS−−=，解得43S=或415S=，因为420SS−，所以415S=，的故选：C．7.设函数()3cos

sinfxxx=+，且函数()()24gxfx=−在0,5πx恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（）A.1316,1515B.531,630C.1114,1515D.2329,3030【答案】

B【解析】【分析】先化简为()π3cossin2sin3fxxxx=+=+，当05πx时，得到333πππ5πx++.若函数()()24gxfx=−在0,5πx恰好有5个零点，只需函数π()2sin3fxx=

+在区间0,5π上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立9ππ11π5π223+，求解即可.【详解】()π3cossin2sin3fxxxx=+=+，令()()240gxfx=−=，得()2fx=，因为函数()(

)24gxfx=−在0,5πx恰好有5个零点，所以函数π()2sin3fxx=+在0,5π上恰有5条对称轴．当05πx时，333πππ5πx++，令π3xt+=π33π5πt+，则sinyt=在ππ3,3

5π+上恰有5条对称轴，如图：所以9ππ11π5π223+，解得531,630．故选：B．8.四棱锥PABCD−的底面ABCD是平行四边形，点E、F分别为PC、AD的中点，连接BF交CD的延长线于点G，平面BGE将四棱锥PABC

D−分成两部分的体积分别为1V，2V且满足12VV，则12VV=（）A.43B.75C.53D.74【答案】B【解析】【分析】利用割补法与棱锥体积公式分别求所截两部分的体积即可.【详解】如图，连接GE交PD于点H，连接FH，则平面BGE将四棱锥PABCD

−分成多面体PFABEH−和多面体FDHBCE−两部分，显然21,PFABEHFDHBCEVVVV−−==.设平行四边形ABCD的面积为S，因为点F为AD的中点，所以1,4GFDGBCSSSS==，设P到

平面ABCD的距离为h，因为点E为PC的中点，所以点E到平面ABCD的距离为12h，取PD中点M，连接EM，则EMCD，且12EMCD=，又点,,GDC共线且GDDC=，所以EMGD∥，且12EMGD=，所以12MH

MEHDGD==，所以2113213DHPD==，所以点H到平面ABCD的距离为13h，故21111153234336EGBCHGFDVhVVShShS−−=−=−=，2115733636PABCDVShShShVV−=−=−=,因此1275VV=.故选：B.【点睛】求不规则几何体的体积通

常使用割补法.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知直线l：120mxym+−−=与圆O：222xyr+=有两个不同的公共点A，B，则（

）A.直线l过定点()2,1B.当4r=时，线段AB长的最小值为211C.半径r的取值范围是(0,5D.当4r=时，OAOB有最小值为16−【答案】ABD【解析】【分析】化简直线为(2)(1)0mxy−+−=，进而可判定A正确；利用弦长公式

，求得AB的最小值，可判定B正确；根据直线l与圆O有总有两个公共点，可得点()2,1M在圆O内部，可判定C不正确；结合向量的数量积的公式，以及直线与圆的位置关系，可判定D正确.【详解】由直线:120lmxym+−

−=，可化为(2)(1)0mxy−+−=，由方程组2010xy−=−=，解得2,1xy==，即直线l过定点()2,1M，所以A正确；当4r=时，圆O的方程为2216xy+=，可得圆心(0,0)O，则5OM=，可

得线段AB长的最小值为222211rOM−=，所以B正确；因为直线l与圆O有总有两个公共点，可得点()2,1M在圆O内部，所以22221r+，解得05r，所以C不正确；当4r=时，圆O的方程为2216xy

+=，则cos16cosOAOBOAOBAOBAOB==，当直线l过圆心(0,0)O，此时πAOB=，可得cosAOB的最小值1−，所以OAOB有最小值为16−，所以D正确.故选：ABD.10.关

于函数()1coscosfxxx=+由以下四个命题，则下列结论正确的是（）A.()fx的图象关于y轴对称B.()fx的图象关于原点对称C.()fx的图象关于,02对称D.()fx的最小值为2【答案】AC【解析】【分析】由函数解析式，根据奇偶性的定义，可

得A、B的正误；根据函数对称性，可得C的正误；根据余弦函数的性质，可得D的正误.【详解】由函数()1coscosfxxx=+，其定义域为()Z2xxkk+，且()()()()11cos

coscoscosxxxfxfxx=−=−++=−，故函数()fx为偶函数，故A正确，B错误；由()()()()11coscoscoscosfxxxfxxx−−=−−+=+=−，则函数()fx关于,02对称，故C正确；当,2x

时，cos0x，则()0fx，故D错误.故选：AC.11.正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是棱AB，BC上的动点（不含端点），且AEBF=，则（）A.1AF与AD的距离是定值B.存在点F使得1AF和平面1ACD平行C.11AFCE⊥D.三棱锥1BBEF−的外接球

体积有最小值【答案】ACD【解析】【分析】选项A求异面直线的距离，转化成求点A到1ABC面的距离；选项B用向量法求1AF垂直于平面1ACD的法向量即可判断；选项C用向量垂直证明；选项D用补体积法判断.【详解】以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设()1,0,1ABAEBFa===

，则()()()()()()()11111,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,0,1,1,1,0,1AACEaFaBD--对A，由图可知，因为1AF与AD是异面直线，转化为求异面直线的距离，因为//ADB

C,AD平面1ABC，所以1//ADABC面，所以点A到1ABC面的距离为1AB的一半，等于22，即为异面直线1AF与AD的距离；故A正确；对B，()()11,1,0,1,0,1CACD==，设平面1ACD的法向量为(),,nxyz=则

00xyxz+=+=，取1x=，则1,1yz=−=−，所以()1,1,1n=−−，若存在点F使得1AF和平面1ACD平行，因为()11,,1AFa=---，则1AFn^，故()()()()()1111100aa?+-?+-?=?，不符合题意，故B错误；对C，所以(

)()111,,1,1,1,1AFaCEa=---=--则11110AFCEaa?-+-+=，所以11AFCE⊥，故C正确；对D，采用补体积法，将三棱锥1BBEF−补到以BEF为底面以1BB为高的长方体里，则长方体的体对角线为外接球的半径的二倍，体对角线长为()()22222222113111

22aaBEBFBBaa−+++=−+++=，当且仅当1aa−=时取等号；故D正确；故选：ACD12.已知函数()3269fxxxx=−+，若()()()123fxfxfx==，其中123xxx，则（）A.112xB.122xx+C.

2326xx+D.12304xxx【答案】BCD【解析】【分析】根据函数()3269fxxxx=−+，求导后可判断原函数的单调性，根据数形结合思想，令()()()123fxfxfxt===，则04t，可判断出101x，213x，334x，由三次方程

()3200axbxcxda+++=的韦达定理为123bxxxa++=−，122313cxxxxxxa++=，123dxxxa=−，凑出选项，利用不等式的性质或者函数的单调性求出范围即可.【详解】因为()3269fxxxx=−+，xR，所以()()(

)()223129343313fxxxxxxx¢=-+=-+=--，所以当()0fx时，13x，当()0fx¢>时，1x或3x，所以当13x时，()3269fxxxx=−+单调递减，当1x或3x时，()3269fxxxx=−+单调递增，且当1x=时，()32

1161914f=-??，当3x=时，()323363930f=-??，且()4fx=时，1x=或4x=，()()()()322+=2+6292fxxxx-+++，()()()()322=26292fxxxx----+-，整理得：()()2++2=4fxfx-，所以(

)fx的对称中心为()22，，如图所示：令()()()123fxfxfxt===，04t则由图可知：101x，213x，334x，所以A错误；B选项中，()()()()()()()23322693fafbabababababab轾-=---+-=-+--犏臌，又因为101x，

所以1122x−，且213x，所以()()()()2111122210fxfxxx--=-->，所以()()()1122fxfxfx->=，因为()fx在()1,3上单调递减，故122xx−，所以122xx+，B正确；C选项中，根据三次方程的韦达定理知，

1236xxx++=，所以3122266xxxx=++>-，所以C正确；D选项中，因为101x，213x，334x，所以1230xxx，由101x，213x知，()2121230

xxxx+--=，由B知，122xx+，所以1224xx+，故()()2121230,1xxxx=+-?，又334x，所以12304xxx，所以D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()52

xy−展开式中4xy的系数为______.【答案】10−【解析】【分析】根据二项式定理计算即可.【详解】设()52xy−的通项为()()5555C2C2rrrrrrrrrTxyTxy−−=−=−，当1r=时，()1141415C210Txyxy

=−=−.故答案为：10−14.设函数()yfx=的定义域为R，且()1fx+为偶函数，()1fx−为奇函数，当1,1x−时，()21fxx=−，则()20231kfk==______.【答案】1−【解析】【分析】推导出函数()fx是周期为8的周期函数

，根据题中条件求出()()1,2,3,,8fkk=的值，结合函数的周期性可求得()20231kfk=的值.【详解】因为函数()yfx=的定义域为R，且()1fx+为偶函数，()1fx−为奇函数，则()()11fxfx−

=+，()()11fxfx−−=−−，所以，函数()fx的图象关于直线1x=对称，也关于点()1,0−对称，所以，()()2fxfx−=+，()()2fxfx−=−−，所以，()()22fxfx+=−−，则()()()84fxf

xfx+=−+=，所以，函数()fx是周期为8的周期函数，当1,1x−时，()21fxx=−，则()10f=，()()710ff=−=，()()801ff==，()()201ff==，()()310ff=−=，()()()4621fff=−−=−=−，()()()

5310fff=−=−=，()()()6801fff=−−=−=−，所以，()81010101010kfk==++−+−++=，又因为202382531=−，所以，()()()20238112538011kkfkfkf===−=−=−.故答案为：1−.【点睛】

结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()fx的图象关于直线xa=和xb=对称，则函数()fx的周期为2Tab=−；（2）若函数()fx的图象关于点(),0a和点(),0b对称，则函数()fx的周期为2Tab=−；（3）若函数()fx的图象关于直线xa=和点

(),0b对称，则函数()fx的周期为4Tab=−.15.已知函数()lnfxx=，()24xgx=，写出斜率大于12且与函数()yfx=，()ygx=的图象均相切的直线l的方程：______.【答案】1yx=−【解析】【分析】公切线问题，求导，再利用斜率相等即可解题.【详解】∵()l

nfxx=，()24xgx=∴()'1fxx=，()'12gxx=，设相切的直线l与函数()yfx=，()ygx=的图象的切点分别为()11,lnxx，222,4xx，且2111122xx=

，∴2212112ln1142xxxxxx−==−，且1202,1xx，解得121,2xx==，∴两切点分别为()1,0，()2,1∴与函数()yfx=，()ygx=的图象均相切的直线l的方程为：1yx=−.故

答案为：1yx=−.16.已知双曲线C：22221xyab−=的左右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，A，B为C上位于x轴上方的两点，且12//AFBF，1260AFF=．记2AF，1BF交点为P，过点P作1//PQAF，交x轴于点Q．若2OQPQ=，则双

曲线C的离心率是______．【答案】2【解析】【分析】作出图像，由余弦定理及双曲线的定义表示出1AF和2BF，再根据12AFPQBF得出12111AFBFPQ+=，即可表示出PQ，由212PQFAFF列出齐次式，求解即可．【详解】做出图像，如图所示，则122

FFc=，在12AFF△中，由1260AFF=得，2221122121121cos22AFFFAFAFFAFFF+−==，设1AFm=，则22AFma=+，所以222(2)(2)1222mcmamc+−+=，解得222bm

ca=+，即2122bAFca=+，在12BFF△中，由2118060120BFF=−=得，2222121212121cos22BFFFBFBFFBFFF+−==−，设2BFn=，则12BFna=+，所以222(2)(2)1222ncnanc+−+=−

，解得222bnac=−，即2222bBFac=−，因为12AFPQBF，所以21112212,PQQFPQQFAFFFBFFF==，则211212121PQPQQFQFAFBFFFFF+=+=，即12111AFBFPQ+=，所以221

2111112222bbAFBFPQcaac+=+=+−，解得22bPQa=，所以22222bOQaPbQa===，由1PQAF可得，212PQFAFF，则2112PQQFAFFF=，所以222222

2bbcaabcca+=+，整理得20caac−=，解得2ca=，故答案：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且sinsincoscoscoscossinBCBABAC+−=+.（1）求sinA；（2）若点D在边BC上，2BDDC=，2cb=，2AD=，求ABC的面积.【答案】（1）32（2）932【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理，代入计算，即可得到结果；（2

）根据题意，由πADBADC+=可得coscosADBADC=−，结合余弦定理列出方程，即可求得,bc，再由三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意得22222sinsinsincoscossinsinBCCBAAB+=−=−，所以222bcabc+−

=−，故2221cos22bcaAbc+−==−因为0πA，3sin2A=.【小问2详解】设CDx=，则2BDx=，在ADB中，有2222244cos28ADBDABxcADBADBDx+−+−==.为在ADC△中，有222224cos24ADCD

ACxbADCADCDx+−+−==.又πADBADC+=，所以coscosADBADC=−，所以有2226212cxb=−+.又2cb=，所以222bx=+.在ABC中，由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−.又3ax=，2cb=，2π3A=，所以有22222194472

xbbbb=+−−=.联立2222297bxxb=+=，解得73xb==，所以26cb==，所以11393sin362222ABCSbcA===.18.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD⊥

平面ADEF，//EFAD，2AFAD==，1EF=，23CF=，BE与CF交于点M．（1）若N是BF中点，求证：ANCF⊥；（2）求直线MD和平面ABE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）255【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质，线

面垂直的判定与性质，勾股定理逆定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量公式计算即可．【小问1详解】因为四边形ABCD为正方形，所以ABAD⊥，因为平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD=，

ABAD⊥，所以AB⊥平面ADEF，又因为AF平面ADEF，所以ABAF⊥，连接AC，则22AC=，在ACF△中，2222222(22)(23)AFACCF=++==，所以AFAC⊥，因为AFAC⊥，ABAF⊥，,ABAC平面ABCD

，且ABACA=，从而AF⊥平面ABCD，又AD平面ABCD，所以AFAD⊥，因为ABAD⊥，AFAD⊥，,ABAF平面BAF，且ABAFA=，所以AD⊥平面BAF，又AN平面BAF，所以ADAN⊥，又因为ADBC∥，所以BCAN⊥，又N是BF中点，AFAB=，所以ANB

F⊥，因为ANBF⊥，BCAN⊥，,BFBC平面BCEF，且BFBCB=，所以AN⊥平面BCEF，又因为CM平面BCEF，所以ANCM⊥．【小问2详解】由（1）知，AF⊥平面ABCD，且ABAD⊥，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AF所在的

直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A、()2,0,0B、()0,2,0D、()0,1,2E，则(2,1,2)BE=−，(2,0,0)AB=，(0,1,2)AE=，由BCMEFM得，12EFMEBCBM==，所以2424(,,)3333B

MBE==−，所以224,,333M，244,,333MD=−−，设面ABE的法向量为(),,nxyz=，由00nABnAE==得，2020xyz=+=，取2y=，则()0,2,1

n=−，设直线MD和平面ABE所成角为，则842533sincos,54161614999MDn+===+++，所以直线MD和平面ABE所成角的正弦值为255．19.某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种

创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.（1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如图：现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善22列联表，并说明是否

有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关；甲乙总和合格不合格总和151530附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++.()20PKk0.150.100.050.0250.010

0.0010k2.0722.7063.8415.0246.63510.828（2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为35，来自乙生产的概率为25），检测结果

显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关（2）89【解析】【分析】（1）根据题意完善列联表，计算2K得出结论；（2）分别用A、B、C

表示事件，根据全概率公式求出()PA，再由(|)()(|)()PABPBPBAPA=计算即可得解.【小问1详解】完善联表如下：甲乙总和合格12618不合格3912总和151530()22301081853.8411

8121515K−==，根据临界值表可知，有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.【小问2详解】记事件A代表“一袋中有4个合格品”，事件B代表“所抽取的这袋来自甲生产”，事件C代表“所抽取的这袋来自乙生产”，故()35PB=，()25PC=,故求()PBA：由(

)()()()()PAPABPBPACPC=+44413232864555555553125=+=故()()()()()()4413555

5886493125PABPBPABPBAPAPA====∣.20.已知函数()cossinfxxxax=+.（1）若1a=−，证明：当01x时，()33xfx

−；（2）求所有的实数a，使得函数()yfx=在π,π−上单调.【答案】（1）证明见解析（2）1a=−【解析】【分析】（1）设()()33xgxfx=+（01x），对()gx求导，设()sinh

xxx=−（01x），对()hx求导，讨论()hx与0的大小，可得()()00hxh=，即可证明；（2）先求出()fx为奇函数，要使函数()yfx=在π,π−上单调，只要函数()yfx=在0,π上单调，解法1：对()fx求导，由()(

)00π0ff解出实数a，即可得出答案；解法2：讨论()00f=，()00f和()00f结合零点存在性定理即可得出答案.【小问1详解】设()()33xgxfx=+（01x），则()()()2singxfxxxxx+=

−=，设()sinhxxx=−（01x），则()1coshxx=−，显然()1cos0hxx=−所以()hx在()0,1上单调递增，故()()00hxh=，所以()0gx.则()gx在()0,1上单调递增，所以()()00g

xg=，因此()33xfx−【小问2详解】解法1：因为()()cossinfxxxaxfx−=−−=−，所以()fx为奇函数.要使函数()yfx=在π,π−上单调，只要函数()yfx=在0,π上单调.又()()1cossinfxaxxx=+−.因为ππ022

f=−，所以函数()yfx=在0,π只能单调递减，由()()()010π10fafa=+=−+，解得1a=−.下证当1a=−时，()cossinfxxxx=−在π,π−上单调.由于()fx是奇函数，只要()yfx=在0,π单调，因为()sin

0fxxx=−，所以()yfx=在0,π单调递减.解法2：因为()()cossinfxxxaxfx−=−−=−，所以()fx为奇函数.要使函数()yfx=在π,π−上单调，只要函数()yfx=在0,π上单调.又()()1cossinfxaxxx=+

−.（ⅰ）若()010fa=+=，即1a=−时，()sin0fxxx=−，所以函数()yfx=在0,π上单调递减，所以1a=−满足题意；（ⅱ）若()010fa=+，则()()π10fa=−+，故()()0π0ff，

所以由零点存在定理得存在1x，()20,πx，使得当()10,xx时，()0fx¢>，当()2,πxx时，()0fx，所以()yfx=在()10,x单调递增，在()2,πx单调递减，因此1a−不合题意；（ⅲ）若()010fa=+，则()()10fa=−+，故()()

0π0ff，所以由零点存定理得存在3x，()40,πx，使得当()30,xx时，()0fx，当()4,πxx时，()0fx¢>，所以()yfx=在()30,x单调递减，在()4,πx单调递增，因此1a−不合题意；因此所求实数

a的取值范围是1a=−.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2

）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21.已知等差数列na满足11a=.（1）若2243aaa

+=，求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足2123nnnbaa+=−−，*Nn，且nb是等差数列，记nT是数列1nnab的前n项和.对任意*Nn，不等式4nT恒成立，求整数的最小值.【

答案】（1）12nna+=或32nna−=（2）3【解析】【分析】（1）设出公差，得到方程，求出公差，得到通项公式；（2）法一：设nbpnq=+，na的公差为d，代入题目条件变形后对照系数得到方程组，求出20pdq===，在得

到21,2nnanbn=−=，()11221nnkTkk==−，利用放缩法和裂项相消求和得到234nT，得到整数的最小值；法二：记na的公差为d，由2124bdd=+−，22424bdd=+−，23924bdd=+−结合3212bbb=−求出212bb=，进而得到2d=，进而求

出21,2nnanbn=−=，进而得到()11221nnkTkk==−，利用放缩法和裂项相消求和得到234nT，得到整数的最小值.【小问1详解】设数列na的公差为d，则()211312ddd+++=+，得12d=，故12nn

a+=或32nna−=【小问2详解】法一：由nb为等差数列，可设nbpnq=+，记na的公差为d，故()11nand=+−.所以()()212213pnqndnd+=+−−−−，显然0p，0pnq+，平方得22222224pnp

qnqdnd++=+−，该式对任意*Nn成立，故2222024pdpqqd===−，解得20pdq===.故21,2nnanbn=−=.因此()1111221nnnkkkkTabkk====−，一方面，()111221212kkkk=−−−，()1111

11111111122124212223nnnkkkkTabkkkk=====−+−++−−=−−，故42nT，.另一方面，()11111144412212nnnnkkkkkTabkkkk======−−()22211111222213111

2nnnkkkkkkknkk====++=+−=+−−−−.故整数的最小值为3.法二：记na的公差为d，则2124bdd=+−，22424bdd=+−，23924bdd=+−，上式平方后消去d可得2222322135bbbb−−=

，因为nb是等差数列，所以3122bbb+=，故3212bbb=−，将其代入2222322135bbbb−−=中，得222121320bbbb−+=，解得212bb=或21bb=，当212bb=时，22424224dddd+−

=+−，解得2d=，故()1121naandn=+−=−，14442b=+−=，故2nbn=，当21bb=时，0d=，此时14b=−无意义，舍去，因此()1111221nnnkkkkTabkk====−，一方面，()111221212kkkk=−−−，()111111111111

122124212223nnnkkkkTabkkkk=====−+−++−−=−−，故42nT，另一方面，()11111144412212nnnnkkkkkTabkkkk======−−()22211111222213111

2nnnkkkkkkknkk====++=+−=+−−−−.故整数的最小值为3.【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法

和数学归纳法，技巧性较强.22.已知抛物线C：22ypx=（05p）上一点M的纵坐标为3，点M到焦点距离为5.（1）求抛物线C的方程；（2）过点()1,0作直线交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线1l与2l，1l与2l相交于点D，过点A作直线3l垂直于1l，过点B

作直线4l垂直于2l，3l与4l相交于点E，1l、2l、3l、4l分别与x轴交于点P、Q、R、S.记DPQV、DAB、ABE、ERS△的面积分别为1S、2S、3S、4S.若12344SSSS=，求直线AB的方程.【答案】（1）22yx=（2）610xy−=【解析】【分析】（1）结合抛物线定义

即可.（2）设经过()11,Axy，()22,Bxy两点的直线方程为ABl：1xmy=+（mR），与抛物线方程联立得12yy+，12yy.将每条直线表达出来，1S、2S、3S、4S表达出来，再由12344SSSS=得出m即可.【小问1详解】设

(),3Mt，由题意可得9252ptpt=+=，即9522pp+=，解得1p=或9p=（舍去），所以抛物线C的方程为22yx=.【小问2详解】如图，设经过()11,Axy，()22,Bxy两点的

直线方程为ABl：1xmy=+（mR），与抛物线方程22yx=联立可得222ymy=+，即2220ymy−−=，2480m=+∴122yym+=，122yy=−.∵22yx=，则2yx=，∴'112yyx==，∴过点A作C的切线1l方程为()11

111112yyxxyxyy=−+=+，令0y=，得212yx=−，即21,02yP−.同理，过点B作C的切线2l方程为2212yyxy=+，令0y=，得222yx=−，即22,02yQ−.∴222122yyPQ=−.联立两直线方程1122

1212yyxyyyxy=+=+，解得1212122yyxyyym==−+==，即()1,Dm−，则D到直线ABl的距离22211211DABmmmdmm−−−−+==++.又∵过点A作直线3l垂直于1l，直线3l的方程为311111112yyyxxy

yyxy=−++=−++，令0y=，得2112yx=+，即211,02yR+.同理，直线4l的方程为32222yyyxy=−++，令0y=，得2212yx=+，即221,02yS+.∴222122yyRS=

−.联立两直线方程3111322222yyyxyyyyxy=−++=−++，解得()2212121212122yyyyxyyyyy++=++=−，整理后可得2222xmym=+=，即()222,2Emm+，则E到直线ABl的距离2222221111EABmmmd

mm−+−−==++.由上可得22211112222DyySPQym==−，22212221dABmSABdABm−+==+，3211221EABSABdABm−==+，222141122222EyySRSym==−，∴2222122123212242122

222112124212222yymmABSSmSSAymBmym+−==++=−+，得6m=，∴直线AB的方程为61xy=+即610xy−=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com