【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第10讲 对数与对数函数 Word版含解析.docx，共(11)页，817.134 KB，由小赞的店铺上传

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第10讲对数与对数函数思维导图知识梳理1．对数概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝log

aN(a>0，且a≠1)loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaMN＝logaM－logaNlog

aMn＝nlogaM(n∈R)换底公式logab＝logcblogca(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质

定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数核心素养分析幂函数、指数函数与对数函数是最

基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本讲的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决

实际问题中的作用。题型归纳题型1对数式的化简与求值【例1-1】（2020•枣庄模拟）已知0ab，若5loglog2abba+=，baab=，则(ab=)A．2B．2C．22D．4【分析】对baab=两边取以a为底的对数得lo

gabab=，同理logbaba=，代入5loglog2abba+=，即可求出ab的值．【解答】解：对baab=两边取以a为底的对数，得baaalogalogb=，即logabab=，同理有：logbaba=，代入5loglog2abba+=，得52baab+=，因为0ab，所以

1ab，所以2ab=，12ba=，故选：B．【例1-2】（2019秋•巢湖市期末）计算：61log022log825469.8(lglg++++=)A．1B．4C．5D．7【分析】利用指数对数运算性质即可得出．【解答】解：原式231log2(254)122lg=+++2215=++=．故

选：C．【跟踪训练2-1】（2020春•兴宁区校级期末）计算：233722log13log731logln+−+=．【分析】进行对数的运算即可．【解答】解：原式32031300=+−+=．故答案为：0．【跟踪训练2-2】（202

0•温州模拟）著实数a，b满足2log2log31ab==，则a=，3b=．【分析】由2log2log31ab==，可得2a=，321log23blog==．即可得出3b．【解答】解：由2log2log31ab

==，2a=，321log23blog==．32332logb==．故答案为：2，2．【名师指导】对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质

化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型2对数函数的图象及应用【例2-1】（2020春•吉林期末）函数|(1)|ylgx=+的图象是()A．B．C．D．【分析】本

题研究一个对数型函数的图象特征，函数|(1)|ylgx=+的图象可由函数(1)ylgx=+的图象x轴下方的部分翻折到x轴上部而得到，故首先要研究清楚函数(1)ylgx=+的图象，由图象特征选出正确选项

【解答】解：由于函数(1)ylgx=+的图象可由函数ylgx=的图象左移一个单位而得到，函数ylgx=的图象与x轴的交点是(1,0)，故函数(1)ylgx=+的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数|(1)|ylgx=+的图象与x轴的公共点是(0,0)，考察四个选项中的图象只有A选项符合

题意故选：A．【例2-2】（2020•九江三模）如图所示，正方形ABCD的四个顶点在函数1logayx=，22logayx=，3log3(1)ayxa=+的图象上，则a=．【分析】设出各点坐标，根据AB平

行于x轴得到221xx=，再结合CD平行于x轴得到2112loglog3aaxx=+，可得1xa=，22xa=，再结合边长相等即可得到结论．【解答】解：设1(Bx，12log)ax，1(Cx，1log3)ax+，2(Ax，2log)ax，2(Dx，22log)ax，则

21log2logaaxx=，221xx=，又212loglog3aaxx=+，2112loglog3aaxx=+，即1xa=，22xa=，ABCD为正方形，||||ABBC=；可得22aa−=，解得2a=．故答案为：2．【跟踪训练2-1】（2020•怀柔区一模）

函数2|log|yx=的图象是()A．B．C．D．【分析】要想判断函数2()|log|fxx=的图象，我们可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，

对其进行分析，找出符合函数性质的图象．【解答】解：22log1()log01.xxfxxx=−…则函数的定义域为：(0,)+，即函数图象只出现在Y轴右侧；值域为：(0,)+即函数图象只出现在X轴上方；在区间(0,1)上递减的曲线，在区间(1,)+上递增

的曲线．分析A、B、C、D四个答案，只有D满足要求故选：D．【跟踪训练2-2】（2019•衡水二模）如图，已知过原点O的直线与函数8logyx=的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数2logyx=图象交于C，D两点，若//BCx轴，则四边形AB

CD的面积为．【分析】设出A、B的坐标，求出OA、OB的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，从而解出B、C、D的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可

．【解答】解：设点A、B的横坐标分别为1x、2x由题设知，11x，21x．则点A、B纵坐标分别为81logx、82logx．因为A、B在过点O的直线上，所以818212logxlogxxx=，点C、D

坐标分别为1(x，21log)x，2(x，22log)x．由于BC平行于x轴知2182loglogxx=，即得21221loglog3xx=，321xx=．代入281182loglogxxxx=得3181181log3logxxxx=．由于11x知81log0x，3113xx

=．考虑11x解得13x=．于是点A的坐标为(3，8log3)即(3A，162log3)(33B，21log3)2，(3C，21log3)2，(33D，23log3)2．梯形ABCD的面积为11()(22SACBDBC=+=222143l

og3log3)23log333+=．故答案为：243log33．【名师指导】对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方

程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．题型3对数函数的性质及应用【例3-1】（2020•新课标Ⅲ）已知5458，45138．设5log3a=，8log5b=，13log8c=，则()A．abcB．bacC．bcaD．cab【分析】根

据ab，可得ab，然后由8log50.8b=和13log80.8c=，得到cb，再确定a，b，c的大小关系．【解答】解：2255555583(38)24log3log8()1542loglogloglogablog+===

，ab；5458，554log8，5log81.25，8log50.8b=；45138，1345log8，13log80.8c=，cb，综上，cba．故选：A．【例3-2】（2019•陆良县一模）已知函数2()(||1)1fxlnxx=+++

，则使得()(21)fxfx−的x的取值范围是()A．1(,1)3B．1(,)(1,)3−+C．(1,)+D．1(,)3−【分析】判断函数()fx是定义域R上的偶函数，且在0x…时单调递增，把不等式()(21)fxfx−转化为|||21|xx

−，求出解集即可．【解答】解：函数2()(||1)1fxlnxx=+++为定义域R上的偶函数，且在0x…时，函数单调递增，()(21)fxfx−等价为(||)(|21|)fxfx−，即|||21|xx−，两边平方得22(21

)xx−，即23410xx−+，解得113x；使得()(21)fxfx−的x的取值范围是1(3，1)．故选：A．【例3-3】（2019秋•静宁县校级月考）已知函数212()log(23)fxxax=−+．（1）若()fx的定义域为R，求a的取值

范围；（2）若(1)3f−=−，求()fx单调区间；（3）是否存在实数a，使()fx在(,2)−上为增函数？若存在，求出a的范围？若不存在，说明理由．【分析】（1）2230xax−+恒成立，△0（2）求出a转化为二次函数问题（3）根据符合函数单调性求解

．【解答】解：（1）函数212()log(23)fxxax=−+的定义域为R，2230xax−+恒成立，△0，24120a−即a的取值范围33a−（2）(1)3f−=−，2a=212()log(43)fxxx=−+．2430xx−+，1x或3x

设2()43mxxx=−+，对称轴2x=，在(,1)−上为减函数，在(3,)+上为增函数根据符合函数单调性规律可判断：()fx在(,1)−上为增函数，在(3,)+上为减函数（3）函数212()log(23)fxxax=−+．设2()23nxxax=−

+，可知在(,)a−上为减函数，在(,)a+上为增函数()fx在(,2)−上为增函数2a…且4430a−+…，2a…且74a„，不可能成立．不存在实数a，使()fx在(,2)−上为增函数．【跟踪训练3-1】（2020•昆明一模）已知4log3a=，3bln=，33log2c=

，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．abcC．bcaD．bac【分析】结合对数函数的特殊函数值及单调性即可比较大小．【解答】解：31blnlne==，421log3log3(2a==，1)，331log(0,)22c=，bac

．故选：D．【跟踪训练3-2】（2020春•安徽期末）已知52log3a=，51log22b=，7log3clog=，则()A．acbB．abcC．cabD．cba【分析】利用对数函数的性质直接求解．【解答】解：555512log3log3log2log22ab=

===，77log3log3clog==，ac，52log41b=，72log91c=，cb．acb．故选：A．【跟踪训练3-3】（2019秋•武邑县校级期中）已知函数()log(0afxxa=且1)a，满足(1)(2)f

afa++，则2(2)0fxx−的解集是()A．(−，10)(,1)2B．1(,1)2−C．11(,0)(,1)22−D．1(,)(12−，)+【分析】根据函数的单调性求出a的范围，【解答】解：12aa++，而(1)(2)fafa++，故

()fx在(0,)+递减，故01a，2(2)0fxx−，即2021xx−，解得：102x−或112x，故选：C．【跟踪训练3-4】已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取

值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【解】(1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－a

x为减函数，x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．所以3－2a>0.所以a<32.又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪1，32.(2)t(x)＝3－ax，因为a>

0，所以函数t(x)为减函数．因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，所以y＝logat为增函数，所以a>1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，所以3－2a>0，loga（3－a）＝1，即

a<32，a＝32.故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.【名师指导】1.比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断

底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较2.求解对数不等式的两种类型及方法类型方法logax>logab借

助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论logax>b需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解3.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤