【文档说明】（北京专用，范围：空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆） 高二数学期中模拟卷（参考答案）.docx，共(6)页，459.836 KB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678910DAABDBBABC二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．直线或单位圆12．45；1813．3214．5

1,51−+215．①②③三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。16．（13分）【详解】（1）据点()A3,5可设直线方程为()()()()sin3cos50txty−−−=.圆O的方程可化为()()2212

4xy−+−=，故点()1,2到所求直线的距离为2，从而222sin3cos2sincostttt−+=+.（4分）所以222242sin3cos9cos4sin12sincos45cos12sincosttttttttt=−+=+−=+−，得()cos5cos12sin0ttt−=

.这就说明cos0t=或5tan12t=，所以所求直线的方程为3x=或512450xy−+=.（7分）（2）设所求圆的圆心坐标为(),3Ptt，由于该圆与x轴相切，故该圆的半径为3t，所以该圆的方程是()()22239xtytt−

+−=，即222260xtxytyt−+−+=.（11分）而该圆被直线0xy−=截得的弦长为27，故该圆圆心到直线0xy−=的距离为()2223797dtt=−=−.所以22972tt−=−，解得1t=.故所求的圆的方程为222610xxyy++++=或22

2610xxyy−+−+=.（13分）17．（14分）【详解】（1）设圆A的半径为r，由题意知，圆心到直线l的距离为221472512d−++==+，即25r=，所以圆A的方程为22(1)(2)20xy++−=；（5分）（2）当直线

l与x轴垂直时，直线方程为2x=−，即20x+=，点A到直线的距离为1，此时2201219MN=−=，符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设:(2)lykx=+，即20kxyk−+=，取MN的中点Q，连接AQ，则AQMN⊥，（9分）因为219MN=，所以2019

1AQ=−=，（10分）又点A到直线l的距离为221kAQk−=+，（12分）所以2211kk−=+，解得34k=，所以直线l方程为3460xy−+=．综上，直线l的方程为2x=−或3460xy−+=．（14分）18．（13分）【详解】（1）因为1AA

⊥平面ABC，,ACAB平面ABC，所以11,AAACAAAB⊥⊥，又因为ABAC⊥，以1,,ACABAA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，𝐴(0,0,0),()1,0,0C,()10,0,2A,()

0,1,0B,()1,0,0AC=,()10,1,2AB=−,()1,1,0BC=−（5分）设平面1ABC的法向量为(),,nxyz=100ABnBCn==得200yzxy−=−=，取2,2,1xyz===，()2,2,1n=（9分）设直线AC与平面1A

BC所成角为，所以2sincos,3ACnACnACn===.（11分）（2）因为()10,1,2B,()10,0,2BB=，()2,2,1n=设点1B到平面1ABC的距离为d，所以1223441BBndn=

==++.（13分）19．（15分）【详解】（1）由题意得2225,cabc==+，且1222122abab==，即6ab=，解得3,2ab==，所以椭圆C的离心率53cea==.（5分）（2）由题意，得5PQMPMQMQ=−=−.设

()11,Qxy，则2211194xy+=.（8分）所以()()2222211111459161149955MQxyxxx=−+=−+−=−+，（12分）因为13,3x−，所以当195x=时，min45||5MQ=；当13x=−时，max||4MQ=

.所以PQ的取值范围为451,55−.（15分）20．（15分）【详解】（1）平面ABC⊥平面11,AACCABAC⊥，平面ABC平面11AACCAC=，AB平面ABC，所以AB⊥平面11AA

CC，所以1ACAB⊥，因为三棱柱111ABCABC－中，1AAAC=，所以四边形11AACC为菱形，所以11ACAC⊥,1AC平面1ABC，AB平面1ABC,1ACABA=，所以1AC⊥平面1ABC；（4分）（2）因为111AABBAA∥，平面11BBCC，1BB平面11BBCC，所以

1AA∥平面11BBCC，因为平面1AAEF平面11BBCCEF=，1AA平面1AAEF，所以1AAEF∥，因为平面ABC∥平面111ABC，平面1AAEF平面ABCAF=，平面1AAEF平面1111ABCAE=，所以1AEAF∥，所

以四边形1AAEF为平行四边形；（8分）（3）在平面11AACC内，过A作AzAC⊥.因为AB⊥平面11AACC，如图建立空间直角坐标系Axyz−，由题意得，()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0ABC

，()()110,1,3,0,3,3AC.因为23BFBC=，所以244,,0333BFBC==−，所以24,,033F.（10分）由（1）得平面1ABC的法向量为()10,1,3AC=−.设平面1ACF的法向量为𝑛⃗=(𝑥

,𝑦,𝑧)，则100nACnAF==，即33024033yzxy+=+=，令1y=，则2,3xz=−=−，所以()2,1,3n=−−，（14分）所以1112cos,2nACnACnAC

==，由图知二面角1BACF−−的平面角是锐角，所以二面角1BACF−−的大小为45°.（15分）21．（15分）【详解】（1）若4a=时，沿向量AB的方向击打母球A，则()4,4AB=−，而()4,4BB=−，

所以ABBB=，即两向量同向共线，所以沿向量AB的方向击打母球A，能使目标球B向球B的球心方向运动；（3分）（2）若0a=，过点𝐵(4,0)与点()8,4B−的直线方程为40xy+−=．依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线40xy+−=上，且在第一象限，设A，B两球碰

撞时球A的球心坐标为(),Aab，此2AB=，则有2240(4)20,0ababab+−=−+=，解得422ab=−=，（7分）即A，B两球碰撞时球A的球心坐标为(42,2)A−，∴母球A的球心运动的直线方程为2221742yxx+==−；（9分）（3）若2a=−

，由（2）知(42,2)A−．又()()0,2,4,0AB−，∴()()42,22,2,2AABA=−+=−，∴()()42,222,24220AABA=−+−=−，故AAB为锐角．（13分）∴点𝐵(4,0)到线段AA的距离小于2，故球A的球心未到直线

BB上的点A之前就会与球B碰撞．故不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向()8,4B−处运动．（15分）