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专练13函数与方程授课提示：对应学生用书25页[基础强化]一、选择题1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则g(x)＝bx2－ax－1的零点是()A．－1和16B．1和－16C．12和13D．－12和－13答案：B解析：由题意得x2－ax＋b＝0有两根2，3.∴

2＋3＝a，2×3＝b，得a＝5，b＝6.由bx2－ax－1＝0，得6x2－5x－1＝0，得x＝－16或x＝1.2．方程log4x＋x＝7的根所在区间是()A．(1，2)B．(3，4)C．(5，6)D．(6，7)答案：C解析：令f(x)＝log4x＋x－7，则函数f

(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)f(6)<0，所以函数f(x)＝log4x＋x－7的零点所在的区间为(5，6)，即方程log4x＋x＝7的根所在区间是(5，6).故选C.3．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，l

gx－1，x>0，的所有零点之和为()A．7B．5C．4D．3答案：A解析：由x2＋2x－3＝0，x≤0，得x1＝－3，由lgx－1＝0，x>0，得x2＝10，∴函数f(x)的所有零点之和为10－3＝7.4．设

函数f(x)＝13x－lnx，则函数y＝f(x)()A.在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，

e)内有零点答案：D解析：∵f1e＝13e＋1>0，f(1)＝13>0，f(e)＝e3－1<0，∴f(x)在1e，1内无零点，在(1，e)内有零点．5.若幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，2)，则函数g(

x)＝f(x)－3的零点是()A．3B．9C．(3，0)D．(9，0)答案：B解析：∵幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，2)，∴f(2)＝2α＝2，解得α＝12，∴f(x)＝x12，∴函数g(x)＝f(x)－3＝x12－3.令g(x)＝x12－3＝

0，得x＝9，∴g(x)＝f(x)－3的零点是9.故选B.6．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞b＞a答案：A解析：在同一坐标系中画出

y＝2x和y＝－x的图象，可得a＜0，用同样的方法可得b＞0，c＝0，所以b＞c＞a，故选A.7．函数f(x)＝x12－12x的零点的个数为()A.0B．1C．2D．3答案：B解析：∵函数f(x)＝x12－12x为单调增函数，且f(0)＝－1<0

，f(1)＝12>0,∴f(x)在(0，1)内有一个零点．8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3,－1，1，3}C．{2－7，1，3}D．{－2－7，1，3}答案：D解析：

当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x，∴g(x)＝x2－4x＋3，x≥0，－x2－4x＋3，x<0，由x2－4x＋3＝0，x≥0，得x＝1或x＝3；由－x2－4x＋3＝0，x<0，得x＝－

2－7，故选D.9．已知函数f(x)＝kx＋2，x≤0，lnx，x>0(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k满足()A.k≤2B．－1<k<0C．－2≤k<－1D．k≤－2答案：D解析：由于|f(x)|≥0，

故必须－k≥0，即k≤0，显然k＝0时两个函数图象只有一个公共点，所以k<0，f(x)＝kx＋2恒过点(0，2)，要使y＝|f(x)|与y＝－k的图象有三个公共点(如图所示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．故选D.二、填空题10．函数f(x)＝

ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.答案：13，1解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1，1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，

要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得13<a<1，所以实数a的取值范围是13，1.11．设函数f(x)＝3－x－2，x≤0，x，x>0，若f(x0)＝1，则x0＝________.

答案：±1解析：由题意得3－x0－2＝1，x0≤0或x0＝1，x0>0，得x0＝±1.12.已知偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个

零点，则实数a的取值范围是________．答案：(3，5)解析：∵偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，∴函数f(x)的周期为2.在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于f(x

)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在区间[－1，3]内有3个交点．当0<a<1时，不成立，所以a>1且loga(1＋2)<1，loga(3＋2)>1，解得a∈(3，5).[能力提升]13．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在

α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是()A．[2，4]B．2，73C．73，3D．[2，3]答案：D解析：

易知函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，则α＝1，设函数g(x)＝x2－ax－a＋3的一个零点为β，若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，根据定义，得|1－β|≤1，解得0≤β≤2.作出函数g(x)

＝x2－ax－a＋3的图象(图略)，因为g(－1)＝4，要使函数g(x)在区间[0，2]内存在零点，则g（0）≥0，ga2≤0，0<a2<2，即－a＋3≥0，a24－a22－a＋3≤0，0<a<4，解得2≤a≤3.故选D.14．(多选)[2024·广东适应性测试]设三个

函数y＝2x＋x－2，y＝log2x＋x－2和y＝x3－3x2＋3x－1的零点分别为x1，x2，x3，则有()A．x1x2＜x3B．x1x2＞x3C．x1＋x2＝2x3D．x1＋x2≥2x3答案：AC解析：因为y＝x3－3x2＋3x

－1，所以y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，所以y＝x3－3x2＋3x－1在R上是增函数，又当x＝1时y＝13－3×12＋3×1－1＝0，所以x3＝1.作出y＝2x，y＝log2x，y＝2－x三个函数的图象如图所示，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)分别是函数y＝2x，y＝log2

x的图象与直线y＝2－x的交点．因为指数函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，且y＝2－x也关于y＝x对称，所以交点A，B关于直线y＝x对称，所以x1＋x22＝y1＋y22，即2－x1＋2－x2＝x1＋x2，所以x1＋x2＝2＝2x3，再由基本不等式及x1≠x2得x

1x2＜x1＋x222＝1＝x3(0＜x1＜x2).故选AC.15．已知函数f(x)＝log2（x＋1），x>0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．答案：(

0，1)解析：函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，等价于y＝f(x)与y＝m有三个交点，画出y＝f(x)的图象，其中抛物线的顶点为(－1，1)，由图可知，当0<m<1时，y＝m与y＝f(x)的图象有三个交点．16．已知λ∈R，函数f(x)＝

x－4，x≥λ，x2－4x＋3，x<λ.当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．答案：(1，4)(1，3]∪(4，＋∞)解析：当

λ＝2时，不等式f(x)<0等价于x≥2，x－4<0或x<2，x2－4x＋3<0，即2≤x<4或1<x<2，故不等式f(x)<0的解集为(1，4).易知函数y＝x－4(x∈R)有一个零点x1＝4，函数y＝x2－4x＋3(x∈R)有两个零点x2＝1，

x3＝3.在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略)，要使函数f(x)恰有2个零点，则只能有以下两种情形：①两个零点为1，3，由图可知，此时λ>4.②两个零点为1，4，由图可知，此时1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞).