【文档说明】2024届高考一轮复习数学习题（新教材新高考新人教A版）第二章　§2.8　对数与对数函数 Word版含答案.docx，共(15)页，386.744 KB，由小赞的店铺上传

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§2.8对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数

y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底

的对数叫做自然对数，记作lnN.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，logaNa＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0

，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数换底公式：logab＝logcblogca(a>0，且a≠1；b>0；c>0

，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指

数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．logab·logba＝1，logmnab＝nmlogab.2．如图给出4个对数函数的图象则b>a>1>d>c>0，即在

第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，1a，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(×)(2)函数y＝loga

2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(×)(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(4)函数y＝log2x与y＝121logx的图象重合．(√)教材改编题1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为()A．[0,1]B．

(0,1)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)答案A解析根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0,1]．2．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点_____

___．答案(3,2)解析∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．3．eln2＋log202216log20224＝________.答案4解析eln2＋log202216log20224＝2＋log416

＝2＋2＝4.题型一对数式的运算例1(1)若2a＝5b＝10，则1a＋1b的值是()A．－1B.12C.710D．1答案D解析由2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴1a＝lg2，1b

＝lg5，∴1a＋1b＝lg2＋lg5＝lg10＝1.(2)计算：log535＋122log2－log5150－log514＝________.答案2解析原式＝log535－log5150－log514＋()212log2＝log535150×14＋12log2＝log5125－1＝log

553－1＝3－1＝2.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log85，

则4a－3b＝________.答案925解析因为2a＝3，所以a＝log23，又b＝log85，所以b＝13log25，所以a－3b＝log235，4a－3b＝232log52＝925.(2)(lg5)2＋lg2lg5＋12lg4－log3

4×log23＝________.答案－1解析原式＝lg5(lg5＋lg2)＋12lg4－2lg2lg3×lg3lg2＝lg5＋lg2－2＝1－2＝－1.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)

＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案A解析由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由

函数图象可知－1<logab<0，解得1a<b<1.综上，0<a－1<b<1.(2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析f(x)＝|lnx|的图象如图，因为f(a)＝f(b

)，所以|lna|＝|lnb|，因为0<a<b，所以lna<0，lnb>0，所以0<a<1，b>1，所以－lna＝lnb，所以lna＋lnb＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b＝1a，所以a＋2b＝a＋2a，令g(x)＝x＋2x(0<x<1)，则g(x)在(0,1)上单

调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(

与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝1logbx的图象可能是()答案B解析∵lga＋

lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab＝1，∴a＝1b，∴g(x)＝1logbx＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝1logbx互为反函数，∴函数f(x)＝ax与g(x)＝1logbx的图象关于直线

y＝x对称，且具有相同的单调性．(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为()答案D解析由函数y＝ax的图象可得a>1.当a>1时，y＝logax经过定点(1,0)，为增函数．因为y＝loga

x与y＝loga(－x)关于y轴对称，所以y＝loga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数．而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(

0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c

B．b<a<cC．a<c<bD．c<a<b答案C解析a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b.命题点2解对数方程

、不等式例4若loga(a＋1)<loga(2a)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．答案14，1解析由题意loga(a＋1)<loga(2a)<loga1，得a

>1，a＋1<2a<1或0<a<1，a＋1>2a>1，解得14<a<1.命题点3对数函数的性质及应用例5(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)()A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C．是奇函数，

且在(3，＋∞)上单调递增D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增答案A解析函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，令g(x)＝|x2－9|，则f(x)＝lng(x)，函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知，当x∈(－∞，－3)，x∈(

0,3)时，g(x)单调递减，当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间．由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题

：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1,3]B．

(1,3)C．(0,1)D．(1，＋∞)答案A解析令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a

>1，故有a>1，6－2a≥0，解得1<a≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝logax2－ax＋12(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．答案(1，2)解析令u(x)＝x2－ax＋12＝x－a22＋12－a24

，则u(x)有最小值12－a24，欲使函数f(x)＝logax2－ax＋12有最小值，则有a>1，12－a24>0，解得1<a<2，即实数a的取值范围为(1，2)．课时精练1．函数f(x)＝log0.5(

2x－1)的定义域为()A.12，1B.12，1C.－∞，12D．[1，＋∞)答案A解析由题意，要使函数f(x)＝log0.5(2x－1)有意义，则满足log0.5(2x－1)≥0，所以0<2x

－1≤1，解得12<x≤1，即函数f(x)的定义域为12，1.2．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于()A．－1B．1C．2D．3答案B解析依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a

≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，则a＝3，f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1，所以f(log28)＝1.3．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为()答案A解析函数f(x)＝log2(|x|－1)的定义域为(－∞，

－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030

年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验

公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20A时，放电时间t＝20h；当放电电流I＝30A时，放电时间t＝10h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为()(参考数据：lg2≈0.30，lg

3≈0.48)A.43B.53C.83D．2答案B解析根据题意可得C＝20n·20，C＝30n·10，两式相比得20n·2030n·10＝1，即23n＝12，所以n＝23321loglog22＝＝lg2lg32＝lg2lg3－lg2≈0.30.48－0.3＝53.

5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)D．∅答案B解析不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，由图象可知y＝log2(

x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．6．(多选)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是

()A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C．函数f(x)在区间－12，1上的最小值为0D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]答案ACD解析将(0,0

)代入函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝

|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)单调递增，故B错误；当x∈－12，1时，x＋1∈12，2，所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正确；当x∈[1,2]时，f(x)＝|

loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知loga2≥1，解得1<a≤2，故D正确．7．(2023·淮北模拟)计算：12－2＋2log224log4＋＝______.答案10解析12－2＋()224log22log2222

4log422log2＋＝＋＋＝4＋2＋4＝10.8．函数f(x)＝()22loglog2xx的最小值为________．答案－14解析依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝

log2x＋122－14≥－14，当且仅当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.9．已知f(x)＝()213log5.xaxa－＋(1)若a＝2，求f(x)的值域；(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解(1)当a＝2时，f(x)

＝()213log210xx－＋，令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，∴t≥9，f(x)≤13log9＝－2，∴f(x)的值域为(－∞，－2]．(2)令u(x)＝x2－ax＋5a，∵y＝13logu(x)为减函数，∴u(x

)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，∴a2≤1，1＋4a>0，解得－14<a≤2，∴a的取值范围是－14，2.10．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数．(1)求k

；(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1)．解(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，∴2kx＝log3(9－x＋1

)－log3(9x＋1)＝log39－x＋19x＋1＝log33－2x＝－2x，∴k＝－1.(2)由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log39x＋13x＝log3(3x＋3－x)，则不等式f(x)≥log3

(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0，由7·3x－1>0，解得x>－log37；由3x＋3－x≥7·3x－1，得6·(3x)2－3x－1≤0，得0<3x≤12，即x≤－log32，综上，不等式的解集为(－lo

g37，－log32]．11．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则()A.1a＋1b＝1cB.2a＋2b＝1cC.1a＋1b＝2cD.2a＋1b＝2c答案A解析由已知，得2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，所以1a

＝logk2，1b＝logk3，1c＝logk6，而2×3＝6，所以1a＋1b＝1c.12．(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是()A．f(x)的最大值为1B．f(x)在区间(0,2)上为增函数C．f(x)的图象关于直线x＝2对称D．f(

x)的图象关于点(2,0)对称答案BC解析函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)，当x＝2时，4x－x2取到最大值4，故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，A错误；f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作

是由函数y＝log2u，u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成，而y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故f(x)在区间(0,2)上为增

函数，在(2,4)上为减函数，故B正确；因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确；因为f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)≠－f(x)，故f(x)的图象不关于点(2,0)对称，D错

误．13．已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过点(0,1)，对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x2>1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集为()A．(ln2，＋∞)B．(－∞，ln2)C．(ln2,1)

D．(0，ln2)答案D解析因为f(x1)－f(x2)x1－x2>1，不妨设x1>x2，则f(x1)－x1>f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x，则g(x)在R上单调递增，又f(0)＝1，则不等式f(

ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)，等价于f(ln(ex－1))－ln(ex－1)<1＝f(0)－0，即g(ln(ex－1))<g(0)，所以ln(ex－1)<0，则0<ex－1<1，解得0<x<ln2.14．(多选)已知函数f(x)＝

|log2x|，0<x<2，x2－8x＋13，x≥2，若f(x)＝a有四个解x1，x2，x3，x4且满足x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是()A．0<a<1B．x1＋2x2∈(3，＋∞)C．x1＋

x2＋x3＋x4∈10，212D．x4∈[4，＋∞)答案AC解析作函数f(x)＝|log2x|，0<x<2，x2－8x＋13，x≥2的图象如图所示，f(x)＝a有四个解，即y＝a与y＝f(x)的图象有4个交点x1，x2，x3，x4且x1<x2<x3<

x4，可得0<a<1，故选项A正确；由图象可得x1·x2＝1，则1x1＝x2，∴x1＋2x2＝x1＋2x1，∵12<x1<1，且1<x2<2，对勾函数y＝x＋2x在区间12，1上单调递减，故当12<x1<1时，x1＋2x2＝x1＋2x1∈

3，92，故B错误；x1＋x2＝1x1＋x1，∵12<x1<1，∴1x1＋x1∈2，52，∵x3＋x4＝8，∴x1＋x2＋x3＋x4∈10，212，故选项C正确；令x2－8x＋

13＝0，解得x＝4±3，由图象可知x4∈(4＋3，6)，故选项D错误．