【文档说明】2024届高考一轮复习数学习题（新教材新高考新人教A版）第二章　§2.7　指数与指数函数 Word版含答案.docx，共(15)页，382.655 KB，由小赞的店铺上传

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§2.7指数与指数函数考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1

，且n∈N*.(2)式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(na)n＝a.当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a<0.2．分数指数幂正数的正分

数指数幂：mna＝nam(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：mna－＝1mna＝1nam(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运

算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数

的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常

用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，－1，1a.2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，

底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)4(－4)4＝－4.(×)(2)2a·2b＝2ab.(×)(3)函数y＝13x－1的值域是(0，＋∞)．(×)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(×)教材改编题

1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于()A．不确定B．0C．1D．2答案C解析由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.2．计算：()()2223271

3－－＋－－＝________.答案1解析原式＝2333－＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.答案2或12解

析若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝12.题型一指数幂的运算例1计算：(1)(－1.8)0＋32－2·33382－10.01＋93；(2)()()3112123324140.1abab−

−−−(a>0，b>0)．解(1)(－1.8)0＋32－2·33382－10.01＋93＝1＋2233222710938−+＝1＋232·322－10＋33＝1＋1－10＋27＝19.(2)()()3112

123324140.1abab−−−−＝331322223322240.1abab−−＝2×1100×8＝425.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算

的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1计算：(1)933713332÷·aaaa−−；(2)()013633470.001+16+238−−.解(1)因为a－3有意义，所

以a>0，所以原式＝7139333322aaaa−−＝3a3÷a2＝a÷a＝1.(2)原式＝()()61113343234101+2+23−−－＝10－1＋8＋23·32＝89.题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知非零实数a，

b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是()A．a<bB．若a<0，则b<a<0C．|a|<|b|D．若0<a<log32，则ab<ba答案BCD解析如图，由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确；D选项中，0<a<log32⇒0<a<

b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两

函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)函

数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<0答案BD解析由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝a

x的图象向左平移所得，如图，∴－b>0，∴b<0，故D正确．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式大小例3设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则()A．b<c<aB．c<a<bC．a<b<

cD．b<a<c答案D解析b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c.命题点2解简单的指数方程或不等式例4(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是()A．[2,4]B．(－∞，0)

C．(0,1)∪[2,4]D．(－∞，0]∪[1,2]答案D解析∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝8x＋a·2xa·4x(a为常数，且a≠0，a∈R

)，且f(x)是奇函数．(1)求a的值；(2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．解(1)f(x)＝1a×2x＋12x，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以1a×

12x＋2x＝－1a×2x＋12x，所以1a＋12x＋12x＝0，即1a＋1＝0，解得a＝－1.(2)因为f(x)＝12x－2x，x∈[1,2]，所以122x－22x≥m12x－2x，所以m≥12x＋2x，x∈[1,2]，令t＝2x，t∈

[2,4]，由于y＝t＋1t在[2,4]上单调递增，所以m≥4＋14＝174.思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复

合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝3x－13x＋1，下列说法正确的有()A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)

的值域为(－1,1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)－f(x2)x1－x2<0答案AC解析对于A中，由f(－x)＝3－x－13－x＋1＝－3x－13x＋1＝－f(x)，可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；对于C中，设y＝3x－13x＋

1，可得3x＝1＋y1－y，所以1＋y1－y>0，即1＋yy－1<0，解得－1<y<1，即函数f(x)的值域为(－1,1)，所以C正确；对于D中，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)－f(x2

)x1－x2<0，可得函数f(x)为减函数，而f(x)＝3x－13x＋1＝1－23x＋1为增函数，所以D错误．(2)已知函数f(x)＝24313axx－＋，若f(x)有最大值3，则a的值为________．答案1解析令g(x)＝ax

2－4x＋3，则f(x)＝13g(x)，∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，则a>0，3a－4a＝－1，解得a＝1.课时精练1．若m＝5(π－3)5，n＝4(π－4)4，则m＋n的值为()A．－7B

．－1C．1D．7答案C解析m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为()A.12B．1C.32D．2答案D解析由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝12.当a＝2时

，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当a＝12时，f(x)＝12x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．∴a＝2.3．函数y＝ax－1a(a>0，且a≠1)的图象可能是()答案D解析当a>

1时，0<1a<1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y＝ax－1a的图象由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度可得，故A，B错误；当0<a<1时，1a>1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y＝ax－1a的图象由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度可得

，故D正确，C错误．4．已知1122xx－＋＝5，则x2＋1x的值为()A．5B．23C．25D．27答案B解析因为1122xx－＋＝5，所以21122xx－＋＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，所以x2＋1x＝x＋1x＝x＋x－1＝23

.5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则()A．2a＋2b>2B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1C．2a＋2b＝2D．a＋b<0答案CD解析画出函数

f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错，C对．由基本不等式可得2＝2a＋2b>22a·2b＝22a＋b，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错，D对．6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y

＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝nmx的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为()A．(0,6]B．(0,20]C．[2,6]D．[2,20]答案C解析令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图

象必过定点(1,2)，所以m＝1，n＝2，f(x)＝nmx＝2x，由0≤x≤2，0≤2x≤2，解得x∈[0,1]，g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x，则y＝t2＋t，t∈[1,2]，所以g(x)的值域为[2,6]．7．计算化简：(1

)()1123232770.02721259−+−＝________；(2)223113132ababbaab−−−−＝________.答案(1)0.09(2)1566ab

−解析(1)112323277(0.027)21259−+−＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)223113132ababbaab−−−−＝2211333212113

332abbaabab−−−＝2112112132332333·ab＋－－－－－＝1566.ab－8．已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是________．答案(－1,1)

解析因为函数f(x)＝3x＋1－4x－5，所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5，在同一平面直角坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示，因为y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象都经过A(1,9)，B(－1,1)，所以f(x)<0，即y＝3x＋1的图象在y＝4x＋5图象的下方，所以

由图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1,1)．9．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数．(1)求实数k的值；(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围

．解(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，∴k＝2.(2)f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，∵f(1)<0，∴a－1a<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1，从而y＝ax在R上单调递减，y＝

a－x在R上单调递增，故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，不等式f(m2－2)＋f(m)>0可化为f(m2－2)>f(－m)，∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2<m<1，∴实数m的取值范围是(－2,1)．1

0．(2023·武汉模拟)函数f(x)＝a2x＋ax＋1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a的值．解由f(x)＝a2x＋ax＋1，令ax＝t，则t>0，则y＝t2＋t＋1＝t＋122＋34，其对称轴为t＝－12.该二次函数在－12，＋∞上单调递增．①若a

>1，由x∈[－1,1]，得t＝ax∈1a，a，故当t＝a，即x＝1时，ymax＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去)．②若0<a<1，由x∈[－1,1]，可得t＝ax∈a，1a，故当t＝1a，即x＝－1时，ymax＝

1a2＋1a＋1＝13.解得a＝13或a＝－14(舍去)．综上可得，a＝3或13.11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝a·12|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A．a＋b＝

0B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0C．若x<y<0，则f(x)<f(y)D．f(x)的值域为[0,2)答案ABD解析∵函数f(x)＝a·12|x|＋b的图象过原点，∴a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a·12|x|

－a，且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·12|x|＋2，故A正确；由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单

调递减，故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；∵12|x|∈(0,1]，∴f(x)＝－2·12|x|＋2∈[0,2)，故D正确．12．(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值

为________．答案1＋2ln2解析依题意，ex＝ey＋e，ey>0，则e2x－y＝e2xey＝(ey＋e)2ey＝ey＋e2ey＋2e≥2ey·e2ey＋2e＝4e，当且仅当ey＝e2ey，即y＝1时取“＝”，此时，(2

x－y)min＝1＋2ln2，所以当x＝1＋ln2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln2.13．(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为()A．f(c

x)≥f(bx)B．f(cx)≤f(bx)C．f(cx)>f(bx)D．f(cx)＝f(bx)答案A解析根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，则有b2＝1，即b＝2，又由f(0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x，若x<0

，则有cx<bx<1，而f(x)在(－∞，1)上单调递减，此时有f(bx)<f(cx)，若x＝0，则有cx＝bx＝1，此时有f(bx)＝f(cx)，若x>0，则有1<bx<cx，而f(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时有f(bx)<f(cx)，综上可得f(bx)

≤f(cx)．14．(2023·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________．答案－23

，0解析∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，∴03x−＋m－1＝－03x－m＋1，∴2m＝－03x−－03x＋2，构造函数y＝－03x−－03x＋2，x0∈[

－1,1]，令t＝03x，t∈13，3，则y＝－1t－t＋2＝2－t＋1t在13，1上单调递增，在(1,3]上单调递减，∴当t＝1时，函数取得最大值0，当t＝13或t＝3时，函数取得最小值－43，∴y∈

－43，0，又∵m≠0，∴－43≤2m<0，∴－23≤m<0.