【文档说明】2024届高考一轮复习数学习题（新教材新高考新人教A版）第二章　§2.6　二次函数与幂函数 Word版含答案.docx，共(16)页，372.168 KB，由管理员店铺上传

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§2.6二次函数与幂函数考试要求1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂

函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇

数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－

x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24

a奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在－∞，－b2a上单调递减；在－b2a，＋∞上单调递增在－∞，－b2a上单调递增；在－b2a，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝1212x是幂函数．(×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(√)(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(

×)教材改编题1．已知幂函数f(x)的图象经过点5，15，则f(8)的值等于()A.14B．4C．8D.18答案D解析设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点5，15，所以f(5)＝5

α＝15，解得α＝－1，所以f(x)＝x－1，则f(8)＝8－1＝18.2．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为()A．(－∞，－2]B．(－∞，2]C．[－2，＋∞)D．[2，

＋∞)答案A解析f(x)＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，故函数f(x)的对称轴为x＝－2，又函数f(x)的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]．3．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为()A．[－6,2]B．[－6,

1]C．[0,2]D．[0,1]答案A解析函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6,2].题型一幂函数

的图象与性质例1(1)若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1，0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1答案B解析由图象知，y＝x

m在(0，＋∞)上单调递增，所以m>0，又y＝xm的图象增长得越来越慢，所以m<1，y＝xn在(0，＋∞)上单调递减，所以n<0，又当x>1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，所以n<－1.综上，n<－1，0<m

<1.(2)(2023·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)225mmx＋－在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于()A．27B．9C.19D.127答案A解析由题意，得m2＋m－5＝1，即m2＋m－6＝0，解

得m＝2或m＝－3，当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m＝－3时，可得f(x)＝x－2，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握

只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪

训练1(1)已知幂函数3pyx＝(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则()A．p为奇数，且p>0B．p为奇数，且p<0C．p为偶数，且p>0D．p为偶数，且p<0答案D解析因为函数3pyx＝的图象关于y轴对称，所以函数

3pyx＝为偶函数，即p为偶数，又函数3pyx＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，所以p3<0，即p<0.(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知函数y＝254mmx－＋(

m∈Z)为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值可以为()A．1B．2C．3D．4答案BC解析因为函数在区间(0，＋∞)上单调递减，所以m2－5m＋4<0，解得1<m<4，因为m∈Z，所以m＝2或3，当m＝2时，函数y＝x－2为偶函数，符合题意；当m＝3时，函数y＝x－2为

偶函数，符合题意，综上，m＝2或m＝3.题型二二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解方法一(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c

＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称

轴为x＝2＋(－1)2＝12，所以m＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝ax－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三(利用“零点

式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a(－2a－1)－(－a)24a＝8.解得

a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知

图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________．答案y＝12x2＋x－32或y＝－12x2－x＋32解析因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，所以可设二次函

数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为－12a2－4a24a＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以|－4a|＝2，即a＝±12，所以二次函数的解析式为y＝12x2＋x－32或y＝－12x2－x＋32.题型三二次函数的图象

与性质命题点1二次函数的图象例3设abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()答案D解析因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；B中，a<0

，b>0，c>0，不符合题意；C中，a>0，b>0，c<0，不符合题意；D中，a>0，b<0，c<0，符合题意．命题点2二次函数的单调性与最值例4(2023·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1

.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．解(1)当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝12a，所以f(x)在区间[1,2]上单调递减

需满足12a≥2，a>0，解得0<a≤14.当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝12a<0，所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0，综上，a的取值范围是(－∞，0)∪

0，14.(2)①当0<12a<1，即a>12时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.②当1≤12a≤2，即14≤a≤12时，f(x)在区间1，12a上单调递减，在区间12a，2上单调递增，此时g(a)＝f12a＝2a

－14a－1.③当12a>2，即0<a<14时，f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3，综上所述，g(a)＝6a－3，a∈0，14，2a－14a－1，a∈14，12，3a－2，a∈

12，＋∞.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3(1)(多选)(20

22·茂名模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是()A．2a＋b＝0B．4a＋2b＋c<0C．9a＋3b＋c<0D．abc<0答案ACD解析由二次函数图象开口向下知，a<0，

对称轴为x＝－b2a＝1，即2a＋b＝0，故b>0.又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x

＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是____．答案[2,4]解析解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，由于函数f(x)

在区间[a，b]上的值域为[－2,2]．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，所以b－a的最大值为4.所以b－a的取值范

围是[2,4]．课时精练1．已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案D解析f(x)＝x－2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故充分性不成立；f(x)＝2x－1的图象过点(0,0)

，但其不是幂函数，故必要性不成立．所以p是q的既不充分也不必要条件．2．(2023·保定检测)已知a＝432，b＝233，c＝1225，则()A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b答案A解析由题意得b＝2

24333342=＝a，a＝432＝234<4<5＝1225＝c，所以b<a<c.3．(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是()答案C解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋

bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.4．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f

(x2)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[0,3]C．(－∞，0]∪[3，＋∞)D．[3，＋∞)答案C解析二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2

∈[－1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1,2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．5．(多选)幂函数f(x)＝()22657mmmx－－＋在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是

()A．m＝3B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增C．函数f(x)是偶函数D．函数f(x)的图象关于原点对称答案ABD解析因为幂函数f(x)＝()22657mmmx－－＋在(0，＋∞)上单调递增，所以m2－5m＋7＝1，m2－6>0，解得m＝3，所以f(x)＝x3

，所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增．6．(多选)若二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a等于()A．－13B.13C．－5D．5答案BC解析显然

a≠0，有f(x)＝a(x＋1)2－a＋1，当a>0时，f(x)在[－2,3]上的最大值为f(3)＝15a＋1，由15a＋1＝6，解得a＝13，符合题意；当a<0时，f(x)在[－2,3]上的最大值为f(－1)＝1－a，由1－a

＝6，解得a＝－5，符合题意，所以a的值为13或－5.7．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．答案f(x)

＝x2－4x＋3解析∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(

x－3)(a≠0)，∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.8．(2022·人大附中质检)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则1a＋4c

的最小值为________．答案3解析因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则a>0，所以f(x)min＝4ac－44a＝ac－1a＝1，即ac－1＝a，可得a＝1c－1>0，则c>1，所以1a＋4c＝c

＋4c－1≥2c·4c－1＝3，当且仅当c＝2时，等号成立，因此1a＋4c的最小值为3.9．已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2)242mx－(m∈R)为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a的值．解(1)由

幂函数可知2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝32，当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意；当m＝32时，f(x)＝x7，函数为奇函数，不符合题意，故f(x)的解析式为f(x)＝x2.(2)由(1)得，g(x)＝f(x)－

2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1.函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)，由题意得，在区间[0,4]上，f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝

9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，所以实数a的值为2.10．设二次函数f(x)满足：①当x∈R时，总有f(－1＋x)＝f(－1－x)；②函数f(x)的图象与x轴的两个交点为A，B，且|AB|＝4；③f(0)＝－34.(1)求f(x)的解析式；(2)若存在

t∈R，只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1成立，求满足条件的实数m的最大值．解(1)由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且方程f(x)＝0的两根为－3和1，设f(x)＝a(x＋3)(x－1)，又f(0)＝－34，则f(0)＝

－3a＝－34，解得a＝14.故f(x)＝14x2＋12x－34.(2)只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1，即x2＋2(t－1)x＋(t＋1)2≤0，取x＝1，t2＋4t≤0，－4≤t≤0；取x＝m，[m＋(t－1)]2≤－4t，即1－t－2

－t≤m≤1－t＋2－t，由－4≤t≤0得0≤－t≤4,1－t＋2－t≤1＋4＋2×4＝9，故当t＝－4时，m≤9；当m＝9时，存在t＝－4，只要x∈[1,9]，就有f(x－4)－(x－1)＝14(x－1)(x－9)≤0成立，满足题意．故满足条件的实数m的最大值为9.11.已知幂函数y＝

xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0<m<1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于()A.12B．1C.2D．2答案B解析由题意，|AB|＝|

(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1时，(m2)a>(m2)b，ma>mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，

因为ma－mb>0，所以ma＋mb＝1.12．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案7解析由题意有α＋β＝

2m，αβ＝2－m，且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，解得m≤－2或m≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，令f(m)＝4m2＋2m＋1，而f(m)图象的对称轴为m＝－14，且m≤－2或m≥1，所以f(m)min＝f(1)＝7.13．已知函数f(x)＝2a

x2－2022x－2023，对任意t∈R，在区间[t－1，t＋1]上存在两个实数x1，x2，使|f(x1)－f(x2)|≥1成立，则a的取值范围是()A.－12，12B．[－1,1]C．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞)D.－

∞，－12∪{0}∪12，＋∞答案D解析存在两个实数x1，x2，使|f(x1)－f(x2)|≥1⇔f(x)max－f(x)min≥1，当a＝0时，f(x)＝－2022x－2023，f(t－1)－f(t＋1)＝2×2

022>1，显然符合；当a≠0时，f(x)＝2ax2－2022x－2023与y＝2ax2的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合．因为t－1≤x≤t＋1且t∈R，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1，因此取纵坐

标之差最小的状态为f(x)＝2ax2(－1≤x≤1)，当a>0时，此时f(x)max－f(x)min＝2a－0≥1，故a≥12；当a<0时，此时f(x)max－f(x)min＝0－2a≥1，故a≤－12，综上，a的取值范围是－∞，－12∪{0}∪1

2，＋∞.14．已知函数f(x)＝x2－4x＋1，设1≤x1<x2<x3<…<xn≤4，若|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|≤M，则M的最小值为()A．3B．4C．5D．6答案C解析函数f(x)＝x2－4x＋1在[1

,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增．由绝对值的几何意义，∴|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|表示将函数f(x)在(x1，xn)上分成n－1段，取每段两端点函数值差的绝对值总和．又根据f(x)的单调性知原式最大值为|f(1)－f

(2)|＋|f(2)－f(4)|＝f(1)－f(2)＋f(4)－f(2)＝5，∴M≥5，则M的最小值为5.