【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第9章 第5讲　椭圆（一） 含解析【高考】.doc，共(26)页，612.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第5讲椭圆(一)1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做01椭圆.这两个定点叫做椭圆的02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的03焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2

|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若04a>c，则集合P表示椭圆；(2)若05a＝c，则集合P表示线段；(3)若06a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围07－a≤x≤

08a09－b≤y≤10b11－b≤x≤12b13－a≤y≤14a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A

1A2的长为152a；短轴B1B2的长为162b焦距|F1F2|＝172c焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)2离心率e＝18ca∈19(0,1)a，b，c的关系c2＝20a2－b2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F

2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3

)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9答案B解析由4＝25－m2(m>0)⇒m＝3，故选B.2．设P是椭圆x2

25＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10答案D3解析依椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.故选D．3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(

a>b>0)的离心率为12，则()A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2bD．3a＝4b答案B解析因为椭圆的离心率e＝ca＝12，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B.4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于13，则椭圆C的方程是()A．

x24＋y23＝1B．x24＋y23＝1C．x24＋y22＝1D．x29＋y28＝1答案D解析依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，所以c＝1，ca＝13，c2＝a2－b2，解得a2＝9，

b2＝8.故椭圆C的方程为x29＋y28＝1.故选D．5．(2022·河北邢台诊断考试)已知点P(x1，y1)是椭圆x225＋y216＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是()A．1633

B．12C．16(2＋3)D．16(2－3)答案B解析∵椭圆的方程为x225＋y216＝1，∴a＝5，b＝4，c＝25－16＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1

PF2最大，此4时△PF1F2的面积S＝12×2×3×4＝12，故选B.6．若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是________.答案(3,4)∪(4,5)解析由已知得5－k＞0，k－3＞0，5－k≠k－3，解得

3＜k＜5且k≠4.考向一椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝

|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆．(2)如图，椭圆x2a2＋y24＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为()A．233

B．332C．334D．433答案D5解析由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即4a2－16＝(|P

F1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝163，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|sin60°＝433，故选D．(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦

点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．1．(多选)(2021·济南模拟)

已知P是椭圆x29＋y24＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝13，则()A．△PF1F2的周长为12B．S△PF1F2＝22C．点P到x轴的距离为2105D．PF1→·PF2→＝2答案BCD解析由椭圆方程知a＝3，b＝2，

所以c＝5，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋25，故A错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF

2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－23|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|sin∠

F1PF2＝12×6×223＝22，故B正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝12|F1F2|·d＝12×25d＝22，所以d＝2105，故C6正确；PF1→·PF2→＝|PF1→|·|PF2→|cos∠F1PF2＝6×13＝2

，故D正确．2．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.答案x225＋y216＝1解析设动圆的半径为r，圆心P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r，所以|PC

1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，即点P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，即点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.考向二椭圆的标准方程例2(1)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F

2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A．x22＋y2＝1B．x23＋y22＝1C．x24＋y23＝1D．x25＋y24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)

，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1

|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，AF2→＝2F2B→，∴B32，－b2.将B点坐标代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得94

a2＋b24b2＝1，∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－73，－2)，则该椭圆的方程为________.答案x2

9＋y23＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则6m＋n＝1，3m＋2n＝1，解得m＝19，n＝13.所以所求椭圆的方程为x29＋y23＝

1.求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a,2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程．(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b

的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解题步骤如下：3.(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为()A．x2100＋y2

84＝1B．x225＋y29＝1C．x284＋y2100＝1D．x29＋y225＝18答案BD解析因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以2a＝10，c＝4，解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x225＋y29＝1；当椭圆的焦点在y轴上

时，椭圆的标准方程为x29＋y225＝1.4．(2021·苏州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是()A．x27＋y22＝1B．x22＋y2

7＝1C．x29＋y24＝1D．x24＋y29＝1答案C解析设|MF1|＝m，|MF2|＝n，因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝25，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.因为c＝5，

所以b＝a2－c2＝2.所以椭圆的方程是x29＋y24＝1.多角度探究突破考向三椭圆的几何性质角度离心率问题例3(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为()A．22B．23C．59D

．53答案D解析设线段PF1的中点为M，另一个焦点为F2，由题意知，|OM|＝b，又OM是△F2PF1的中位线，9∴|OM|＝12|PF2|＝b，∴|PF2|＝2b，由椭圆的定义知|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2b.又|MF1|＝12|PF1|＝12(2a－2b

)＝a－b，|OF1|＝c，在Rt△OMF1中，由勾股定理得(a－b)2＋b2＝c2，又a2－b2＝c2，可得2a＝3b，故有4a2＝9b2＝9(a2－c2)，由此可求得离心率e＝ca＝53，故选D．

(2)(2022·泰安模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac<0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________.答案0，12解析∵c2－b2＋ac<0，∴c2－(a2－c2)＋ac<0，即2c2－a2＋

ac<0，∴2c2a2－1＋ca<0，即2e2＋e－1<0，解得－1<e<12.又0<e<1，∴0<e<12.∴椭圆的离心率e的取值范围是0，12.角度与椭圆有关的最值(范围问题)例4(1)设A，B是椭圆C：x

23＋y2m＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，3]∪[4，＋∞

)答案A解析由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．①如图1，当焦点在x轴，即m<3时，10a＝3，b＝m，tanα＝3m≥tan60°＝3，∴0<m≤1.②如图2，当焦点在y轴，即m>3时，a＝m，b＝3，tanα＝m3≥tan60°＝3，∴m≥9.综上，m的取值

范围是(0,1]∪[9，＋∞)，故选A．(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A．52B．6C．5D．2答案A解析由P在C上，设P(x0，y0)，则x205＋y20＝1，又B(0，1)，所以|PB|2＝x20＋(y0－1)2

，由x205＋y20＝1，得x20＝5－5y20，y0∈[－1,1]，代入上式，得|PB|2＝5－5y20＋(y0－1)2，化简，得|PB|2＝－4y0＋142＋254，y0∈[－1,1]．因此当且仅当y0＝－14时，|PB|的最大值为52.故选A．1．

求椭圆的离心率的方法(1)直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．11

2．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等式．5.若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8答

案C解析由题意，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则OP→＝(x，y)，FP→＝(x＋1，y)，∴OP→·FP→＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又x24＋y23＝1，∴y2＝3－34x2，∴OP→·FP→＝14x2＋x＋3＝14(x

＋2)2＋2.∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，OP→·FP→有最大值6.6．(多选)(2022·海南模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值

为2a－1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为0，5－12D．若PF1→＝F1Q→，则椭圆C的长轴长为5＋17答案ACD解析由题意可知2c＝2，则c＝1，因为点Q在椭圆上，所

以|QF1|＋|QF2|＝2a，|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|，又－1≤－|QF2|＋|QP|≤1，所以A正确；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以b＞1,2b＞2，所以B错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以1a2＋1b2＜1，即b2＋a2－a2b2＜0，又c＝

1，b2＝a2－c2，所以(a2－1)＋a2－a2(a2－1)＜0，化简可得a4－3a2＋1＞0，解得a2＞3＋52或a2＜3－52(舍去)，12则椭圆C的离心率e＝ca＜13＋52＝15＋12＝5－12，所以C正确；由PF1→＝F1Q→

可得，F1为PQ的中点，而P(1,1)，F1(－1,0)，所以Q(－3，－1)，|QF1|＋|QF2|＝(－3＋1)2＋(－1－0)2＋(－3－1)2＋(－1－0)2＝5＋17＝2a，所以D正确．故选ACD．7．已知F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左

、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________.答案22，1解析若存在点P，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，即b≤c＜a，

即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴22≤e＜1.椭圆中最值问题的求解方法1．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|PF1→＋PF2→|的最小值是()A．0B．1C．2D．22

答案C解析解法一：设P(x0，y0)，则PF1→＝(－1－x0，－y0)，PF2→＝(1－x0，－y0)，所以PF1→＋PF2→＝(－2x0，－2y0)，所以|PF1→＋PF2→|＝4x20＋4y20＝22－2y20＋y20＝2－y20＋2.因为点P在椭圆上，所以0≤y20≤1

，所以当y20＝1时，|PF1→＋PF2→|取最小值2.故选C．解法二：设P(x0，y0)，由PF1→＋PF2→＝PO→＋OF1→＋PO→＋OF2→＝2PO→，得|PF1→＋PF2→|＝2|PO→|＝2x20＋

y20，因为点P在椭圆上，所以x20＋2y20＝2，且0≤y20≤1，则2x20＋y20＝22－2y20＋y20＝2－y20＋2，当y20＝1时，|PF1→＋PF2→|取最小值2.故选13C．2．已知F是椭圆x29＋y25＝1的左焦点，P是此椭圆

上的动点，A(1,1)是一定点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．解由题意知a＝3，b＝5，c＝2，F(－2,0)．设椭圆右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF′|＋6.当P，A，F′三点共线时，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|＝2，或者最小

值－|AF′|＝－2.所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋2，最小值为6－2.答题启示椭圆中距离的最值问题一般有两种解法：(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；(

2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)．对点训练1．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆y24＋x23＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．

5B．4C．3D．2答案A解析∵椭圆的方程为y24＋x23＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|14＝4，∴|P

B|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5，即|PA|＋|PB|的最大值为5.2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．52B．

46＋2C．7＋2D．62答案D解析设椭圆上任意一点为Q(x，y)，且－10≤x≤10，－1≤y≤1，则圆心(0，6)到点Q的距离d＝x2＋(y－6)2＝－9y2－12y＋46＝－9y＋232＋50，当y＝－23时，dmax＝52，P，Q两点间的最大距

离d′＝dmax＋2＝62.3．(2022·湖北宜昌质检)如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF→·PA→的最大值为________.答案4解析由题意知a＝2，因为e＝ca＝12，所以c＝1，所以b2

＝a2－c2＝3.所以椭圆方程为x24＋y23＝1.设P点坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－3≤y0≤3.因为F(－1，0)，A(2,0)，PF→＝(－1－x0，－y0)，PA→＝(2－x0，－y0)，所以PF→·PA→＝15x20－x0－2＋y20＝14x20

－x0＋1＝14(x0－2)2.当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4.一、单项选择题1．若椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A．12B．33C．22D．24答案C解析因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a

2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝ca＝22，故选C．2．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A．13B．12C．9D．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF1|＋|MF2|

＝2a＝6.由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤|MF1|＋|MF2|22＝622＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．3．已知椭圆x211－m＋y2m－3＝1的长轴在y轴

上，且焦距为4，则m等于()A．5B．6C．9D．10答案C16解析由椭圆x211－m＋y2m－3＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，可得m－3－11＋m＝2，解得m＝9.故选C．4．椭圆x225＋y29＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是M

F1的中点，则|ON|等于()A．2B．4C．8D．32答案B解析设椭圆的另一焦点为F2，则在△MF1F2中，|ON|＝12|MF2|＝12×(2a－|MF1|)＝12×(10－2)＝4，故选B.5．(2021·湖南高三月考)明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示，清朝的一个青花山水楼阁

纹饰椭圆盘如图2所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图1,2,3中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139，5645，107，设图1,2,3中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则()A．e1>e3>e2B．e2>e3>e1C．e1

>e2>e3D．e2>e1>e3答案A解析因为椭圆的离心率e＝ca＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝1－2b2a2，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大．因为139≈1.44，5645≈1.24，107≈1.43，则1

39>107>5645，所以e1>e3>e2.故选A．176．(2022·苏州摸底)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为()A．2－12B．3－12C

．2－1D．3－1答案B解析由题意，F1(－c,0)，F2(c,0)，因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，3c)，将点P的坐标代入x2a2＋y2b2＝1，可得4c2a2＋3c2b2＝1，整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，所以4e4－8e2＋1＝0，因为0<e<1，所以

e＝3－12.故选B.7．椭圆x22＋y2＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则PF1→·PF2→的取值范围是()A．[－1,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[－1,2]答案C解析设F1为左焦点，则由椭圆方程得F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(x，y

)，∴PF1→＝(－1－x，－y)，PF2→＝(1－x，－y)，则PF1→·PF2→＝x2＋y2－1＝x22∈[0,1]，故选C．8．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则

椭圆的离心率为()18A．22B．2－3C．5－2D．6－3答案D解析设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝2m.由椭圆的定义可得△F1AB的周

长为4a，即有4a＝2m＋2m，即m＝(4－22)a，则|AF2|＝2a－m＝(22－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4×(2－2)2a2＋4×(2－1)2a2，即有c2＝(9

－62)a2，即c＝(6－3)a，即e＝ca＝6－3，故选D．9．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为()A．x236＋y216＝1B．

x240＋y215＝1C．x249＋y224＝1D．x245＋y220＝1答案C解析由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|＝12|FF′|，知∠FPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝|FF′

|2－|PF|2＝102－62＝8，由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，得a2＝49，于是b2＝a2－c2＝72－52＝24，所以椭圆C的方程为x249＋y224＝1，故选C．10．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的上顶点，若

C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()19A．22，1B．12，1C．0，22D．0，12答案C解析依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤

b，x20a2＋y20b2＝1，可得x20＝a2－a2b2y20，则|PB|2＝x20＋(y0－b)2＝x20＋y20－2by0＋b2＝－c2b2y20－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－b3c2≤－b，得

2c2≤a2，所以离心率e＝ca∈0，22，故选C．二、多项选择题11．(2021·汕头二模)2021年2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，

2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米、远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距

，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列结论正确的是()A．a1＋c1＝a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2(m＋r)(n＋r)D．a2c1<a1c2答案BC解析由已知得a1>a2，b1>b2，c1

>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故A错误；|PF|＝a120－c1＝a2－c2，故B正确；轨道Ⅱ的短轴长为2b2＝2a22－c22＝2(a2－c2)(a2＋c2)＝2(m＋r)(n＋r)，故C正确；由a1－c1＝a2－c2得a1＋c2＝a2＋c

1，两边平方得a21＋c22＋2a1c2＝a22＋c21＋2a2c1，即b21＋2a1c2＝b22＋2a2c1，由于b1>b2>0，故b21>b22，∴a1c2<a2c1，故D错误．故选BC．12．(2021·海南模拟)已知

P是椭圆C：x26＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝15上的动点，则()A．C的焦距为5B．C的离心率为306C．圆D在C的内部D．|PQ|的最小值为255答案BC解析依题意可知c＝6－1＝5，则C的焦距为25，e＝56＝306.设P(x，y)(－

6≤x≤6)，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－x26＝56x＋652＋45≥45＞15，所以圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为45－15＝55.故选BC．三、填空题13．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分

别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________.答案33解析设|PF2|＝m，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m.又|PF1|＋|PF2|＝2

a，|F1F2|＝2c，∴2a＝3m,2c＝3m，∴C的离心率为e＝ca＝33.2114．(2019·全国Ⅲ卷)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.答

案(3，15)解析设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆x236＋y220＝1上，所以联立方程可得(x＋4)2＋y2＝64，x236＋y220＝1，解得x＝3，

y＝±15.又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，15)．15．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________，离心率为

________.答案x212＋y29＝1或x29＋y212＝112解析焦点与椭圆上的点的最短距离为a－c＝3，又a＝2c，∴c＝3，a＝23，b＝3，∴椭圆的方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.离心率e＝ca＝12.16．(202

1·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.答案8解析由|PQ|＝|F1F

2|，得|OP|＝12|F1F2|(O为坐标原点)，所以PF1⊥PF2，又由椭圆的对称性，知四边形PF1QF2为平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF

1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.四、

解答题2217．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．解(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|

＝n，则m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3m＋n22＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴c2a2≥14，即e≥12.又0<e<1，∴椭圆的离心率的取值范围是

12，1.(2)证明：由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．18．(2019·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(

a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△

F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率为e＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当12|y|·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－

1，x2a2＋y2b2＝1，即c|y|＝16，①23x2＋y2＝c2，②x2a2＋y2b2＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2.又由①知y2＝162c2，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b

2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．19．(2022·武汉高三预测)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为32.(

1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.解(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由题意得a＝

2，ca＝32，解得c＝3.所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率kAM＝nm＋2，故直线DE的斜率kDE＝－

m＋2n.24所以直线DE的方程为y＝－m＋2n(x－m)．直线BN的方程为y＝n2－m(x－2)．联立y＝－m＋2n(x－m)，y＝n2－m(x－2)，解得点E的纵坐标为yE＝－n(4－m2)4－m2＋n2.由点M在椭圆C上，得4－m2＝4

n2，所以yE＝－45n.又S△BDE＝12|BD|·|yE|＝25|BD|·|n|，S△BDN＝12|BD|·|n|，所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.20．(2020·全国Ⅲ卷)已知椭圆C：x22

5＋y2m2＝1(0＜m＜5)的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．解(1)∵C：x225＋y2m2＝1(0＜m＜5)，∴a＝5，b＝m，根据离心率e＝

ca＝1－ba2＝1－m52＝154，解得m＝54或m＝－54(舍去)，∴C的方程为x225＋y2542＝1，25即x225＋16y225＝1.(2)过点P作x轴的垂线，垂足为M，

设直线x＝6与x轴的交点为N，根据题意画出图象，如图．∵|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB＝∠BNQ＝90°，∴∠PBM＋∠QBN＝90°，∠BQN＋∠QBN＝90°，∴∠PBM＝∠BQN.∴△PMB≌△BNQ.∵x225

＋16y225＝1.∴B(5,0)，∴|PM|＝|BN|＝6－5＝1.设P点坐标为(xP，yP)，不妨设yP>0，可得P点纵坐标为yP＝1，将其代入x225＋16y225＝1，可得x2P25＋1625

＝1，解得xP＝3或xP＝－3，∴P点坐标为(3,1)或(－3,1)．①当P点坐标为(3,1)时，|MB|＝5－3＝2，∵△PMB≌△BNQ，∴|MB|＝|NQ|＝2，∴Q点坐标为(6,2)，画出图象，如图．26由A(－5,0)，Q(6,2)，可求得直线AQ的方程为2x－11y＋10

＝0，点P到直线AQ的距离为d＝|2×3－11×1＋10|22＋112＝|5|125＝55，|AQ|＝(6＋5)2＋(2－0)2＝55，∴△APQ面积为12×55×55＝52.②当P点坐标为(－3,1)时，|M

B|＝5＋3＝8，∵△PMB≌△BNQ，∴|MB|＝|NQ|＝8，∴Q点坐标为(6,8)．画出图象，如图．由A(－5,0)，Q(6,8)，可求得直线AQ的方程为8x－11y＋40＝0，点P到直线AQ的距离为d＝|8×(－3)－11×1＋40|82＋112＝5185，|AQ|

＝(6＋5)2＋(8－0)2＝185，∴△APQ面积为12×185×5185＝52.综上所述，△APQ的面积为52.