【文档说明】河北省邯郸市曲周县第一中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题含答案.docx，共(7)页，204.623 KB，由小赞的店铺上传

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1高二数学试卷考试时长：120分钟试卷总分：150分注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上.2.作答非选

择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，

不折叠、不破损.3.考试结束后，请将答题纸交回.一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知𝑝:𝑥2−𝑥<0，那么命题p的一个必要条件是()A.0<𝑥<1B.−1<𝑥<1C.12<𝑥<2

3D.12<𝑥<22.下列四个函数中，在𝑥=0处取得极值的是()①𝑦=𝑥3；②𝑦=𝑥2+1；③𝑦=|𝑥|；④𝑦=2𝑥．A.①②B.②③C.③④D.①③3.曲线𝑦=−1𝑥在点(12,−2)处的切线方程是()A.

𝑦=4𝑥B.𝑦=4𝑥−4C.𝑦=4(𝑥+1)D.𝑦=2𝑥+44.2020年11月24日，嫦娥五号发射成功，九天揽月，见证中华民族复兴！11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行．环月轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100km，远月点

与月球表面距离为400𝑘𝑚.已知月球的直径约为3476km，则该椭圆形轨道的离心率约为()A.340B.125C.18D.355.已知，𝑞:2𝑎≤𝑥≤𝑎2+1，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是()A.𝑎≤−1B.C.D.6.

如图，在空间直角坐标系𝐷−𝑥𝑦𝑧中，四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1为长方体，𝐴𝐴1=𝐴𝐵=2𝐴𝐷，点E为𝐶1𝐷1的中点，则二面角𝐵1−𝐴1𝐵−𝐸的余弦值为

()A.−√33B.−√32C.√33D.√327.设曲线𝑦=𝑥2+1上任一点(𝑥,𝑦)处的切线的斜率为𝑔(𝑥)，则函数𝑦=𝑔(𝑥)cos𝑥的部分图象可以为()A.B.C.D.8.椭圆𝑥2

𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1,𝐹2，过焦点𝐹1的倾斜角为30∘直线交椭圆于𝐴,𝐵两点，弦长|𝐴𝐵|=8，若三角形𝐴𝐵𝐹2的内切圆的面积为𝜋，则椭圆的离心率为()A.√22B.√36C.

12D.√33二、本多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的是()A.“𝑝∧𝑞”是真命题是“𝑝∨𝑞”为真命题的必要不充分条件B.命题“∀𝑥

∈𝑅，cos𝑥≤1”的否定是“∃𝑥0∈𝑅，cos𝑥0>1”C.若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真D.在△ABC中，是𝐴>𝐵的充要条件10.己知双曲线E：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的一条渐近线过点𝑃(√62,√32)，点F为双

曲线E的右焦点，则下列结论正确的是()A.双曲线E的离心率为√62B.双曲线E的渐近线方程为𝑥±√2𝑦=0C.若点F到双曲线E的渐近线的距离为√2，则双曲线E的方程为𝑥24−𝑦22=1D.设O为坐标原点，若𝑃𝑂=𝑃𝐹，则

△𝑃𝑂𝐹的面积为3√2211.已知抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，且𝐴(𝑝4,𝑎)，|AF|=32.下列结论正确的是()A.𝑝=4B.𝑎=±√2C.𝐵𝐹=3D.△𝐴�

�𝐵的面积为3√2212.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥−2𝑒𝑥，则下列结论正确的是()A.函数𝑓(𝑥)有极小值也有最小值B.函数𝑓(𝑥)存在两个不同的零点C.当时，𝑓(𝑥)=𝑘恰有三个实根D.若𝑥

∈[0,𝑡]时,𝑓(𝑥)max=6𝑒2,则t的最小值为22三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”.

如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是________．14.双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的一条渐近线与圆𝑀：(x−3)2+y2=8相交于A、B两点，|𝐴𝐵

|=2√2，则双曲线的离心率等于__________．15.如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，E，F为上底圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥𝐴−𝐵𝐸𝐹的体积最大时，直线AC与平面BE

F所成角的正弦值为________．16.已知𝑓1(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥，记𝑓2(𝑥)=𝑓1′(𝑥)，…，𝑓𝑛+1(𝑥)=𝑓𝑛′(𝑥)，…，则𝑓1(𝜋3)+𝑓2(𝜋3

)+𝑓3(𝜋3)+⋯+𝑓2021(𝜋3)=______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知𝑎>0，命题p：𝑥2−𝑥−12≤0，命题q：(𝑥−2)2≥𝑎2．(Ⅰ)当𝑎=3时，若命题𝑝∧(¬𝑞)为真，求x的

取值范围；(Ⅱ)若p是¬𝑞的充分条件，求a的取值范围．18.如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐶𝐶1⊥平面ABC，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，𝐶𝐶1=3，点D，E分别在棱�

�𝐴1和棱𝐶𝐶1上，且𝐴𝐷=1，𝐶𝐸=2，M为棱𝐴1𝐵1的中点．(Ⅰ)求证：𝐶1𝑀⊥𝐵1𝐷；(Ⅱ)求二面角𝐵−𝐵1𝐸−𝐷的正弦值；(Ⅲ)求直线AB与平面𝐷𝐵1𝐸所成角的正弦值．19.已知函数𝑓(𝑥)=

𝑎𝑥2+𝑏ln𝑥在𝑥=1处有极值12．(1)求实数a、b的值;(2)判断函数𝑓(𝑥)的单调区间，并求极值．20.已知椭圆𝑥2𝑏2+𝑦2𝑎2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为√22，且𝑎2=2

𝑏．(1)求椭圆的方程;(2)是否存在实数m，使直线𝑙:𝑥−𝑦+𝑚=0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆𝑥2+𝑦2=5上?若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由．21.如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，△

𝑃𝐴𝐷是等边三角形，四边形ABCD是矩形，𝐶𝐷=√2，F为棱PA上一点，且𝐴𝐹=𝜆𝐴𝑃(0<𝜆<1)，M为AD的中点，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的体积为2√63．(1)若无𝜆=12，N是PB的中点，

求证：平面𝑀𝑁𝐹//平面PCD，(2)是否存在𝜆，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为√3311？22.已知函数𝑓(𝑥)=1𝑎𝑥2+ln𝑥−(2+1𝑎)𝑥，(𝑎≠0)．(1)求函数𝑓(𝑥)

的单调区间；(2)令𝐹(𝑥)=𝑎𝑓(𝑥)−𝑥2，若𝐹(𝑥)<1−2𝑎𝑥在𝑥∈(1,+∞)恒成立，求整数a的最大值．(参考数据：ln3<43，ln4>54)高二数学试卷答案及解析31.【答

案】B解：𝑥2−𝑥<0⇔0<𝑥<1，根据充分条件必要条件的定义可知：A中0<𝑥<1是p的充要条件;B中−1<𝑥<1是p的必要条件;C中12<𝑥<23是p的充分不必要条件;D中12<𝑥<2是p的既不充分也不必要

条件．2.【答案】B解：①𝑦′=3𝑥2≥0恒成立，所以函数在R上递增，无极值点②𝑦′=2𝑥，当𝑥>0时函数单调递增；当𝑥<0时函数单调递减且𝑦′|𝑥=0=0②符合③结合该函数图象可知在(0,+∞)递增，在(−∞,0]递减，③符合④𝑦=

2𝑥在R上递增，无极值点3.【答案】B解：𝛥𝑦=−112+𝛥𝑥+2=2𝛥𝑥𝛥𝑥+12，𝛥𝑦𝛥𝑥=2𝛥𝑥+12，𝑙𝑖𝑚𝛥𝑥→02𝛥𝑥+12=4，所以切线的斜率为4，所以切线

方程为𝑦=4(𝑥−12)−2=4𝑥−4．4.【答案】A解：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，月球半径为R，则𝑎+𝑐=400+1738且𝑎−𝑐=1738+100，解得𝑎=1988，𝑐=150，所以𝑒=1501988≈340，5.【答案】D解：设满足p的

实数集合为M，满足q的实数集合为N，p是q的必要条件⇒𝑁⊆𝑀，即{−1⩽2𝑎2>𝑎2+1，解得−12⩽𝑎<1．6.【答案】C解：不妨设𝐴𝐷=1，则𝐴1(1,0，2)，𝐵(1,2，0)，因为E为𝐶1𝐷

1的中点，所以𝐸(0,1，2)，所以𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,0)，𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,−2)，设𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)是平面𝐴1𝐵𝐸的法向量，则{𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑚⃗⃗⃗=0,𝐴1𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑚⃗⃗⃗=0,所以{−𝑥+𝑦=02𝑦−2𝑧=0，所以{𝑦=𝑥𝑦=𝑧,取𝑥=1，则𝑦=𝑧=1，所以平面𝐴1𝐵𝐸的一个法向量为𝑚⃗⃗⃗=(1,1,1)．又𝐷𝐴⊥平面𝐴1𝐵1𝐵，所以𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0)是平面𝐴1𝐵1𝐵的一个法向量

，所以cos⟨𝑚⃗⃗⃗,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⟩=𝑚⃗⃗⃗⋅𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑚⃗⃗⃗||𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1√3=√33．又二面角𝐵1−𝐴1𝐵−𝐸为锐二面角，所以二面角𝐵1−𝐴1𝐵

−𝐸的余弦值为√33，7.【答案】A解：𝑔(𝑥)=2𝑥，𝑔(𝑥)⋅𝑐𝑜𝑠𝑥=2𝑥⋅𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑔(−𝑥)=−𝑔(𝑥)，cos(−𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥，∴𝑦=𝑔(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥为奇函数，故排除B

、D．令𝑥=0.1，𝑦=𝑔(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥>0．故排除C．8.【答案】C解：直线AB的方程为𝑦=√33(𝑥+𝑐)，即𝑥−√3𝑦+𝑐=0，𝐹2到直线AB的距离𝑑=2𝑐2=𝑐，三角形�

�𝐵𝐹2的内切圆的面积为𝜋，4则半径为1，∴由等面积可得12×8×𝑐=12×4𝑎×1，∴𝑒=𝑐𝑎=12，9.【答案】BCD解：对于A，“𝑝∧𝑞”是真命题，则p，q均为真命题，则“𝑝∨

𝑞”一定为真命题，“𝑝∨𝑞”是真命题，则p，q可能一真一假，则“𝑝∧𝑞”不一定为真命题，故“𝑝∧𝑞”是真命题是“𝑝∨𝑞”为真命题的充分不必要条件，故A错误；对于B，命题“∀𝑥∈𝑅，cos𝑥⩽1”的否定是“

∃𝑥0∈𝑅，cos𝑥0>1”，故B正确；对于C，一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，同真假，故C正确；对于D，∵𝐴,𝐵∈(0,𝜋),𝑦=cos𝑥,𝑥∈(0,𝜋)时单调递减，，故D正确．10.【答案】ABC解：由题意，双曲

线E：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的一条渐近线过点𝑃(√62,√32)，所以渐近线方程为𝑦=±√22𝑥，所以B选项正确；所以𝑏𝑎=√22，离心率𝑒=𝑐𝑎=√𝑎2+𝑏2𝑎2=√1+12=√62，所以A选项正确；由点F到双曲线E的渐近线的距离为√2可得�

�=√6，进而可得𝑎=2，𝑏=√2，则双曲线E的方程为𝑥24−𝑦22=1，所以C选项正确；O为坐标原点，若𝑃𝑂=𝑃𝐹，𝑃(√62,√32)，所以𝐹(√6,0)，𝑆△𝑃𝑂𝐹=12×√6×√32=3√24，所以D选项错误；11.【答案】BCD解：由椭

圆，𝐴(𝑝4,𝑎)在抛物线上，则2𝑝×𝑝4=𝑎2⇒𝑝2=2𝑎2，又𝐹(𝑝2,0)，则|𝐴𝐹|=√𝑝216+𝑎2=32⇒2𝑎216+𝑎2=94⇒𝑎2=2⇒𝑎=±√2，故B正确；则𝑝2=4⇒𝑝=2，故A错误；当𝑎=√2时

，𝐴(12,√2),𝐹(1,0)，直线l的方程为𝑦=−2√2𝑥+2√2，与抛物线方程联立，消去y，得2𝑥2−5𝑥+2=0，解得𝑥=2或12，故B(2,−2√2)，则|𝐵𝐹|=2+𝑝2=3，同理可证当

𝑎=−√2时，|𝐵𝐹|=3，故C正确；𝑆△𝐴𝑂𝐵=12|𝑂𝐹||𝑦𝐵|+12|𝑂𝐹||𝑦𝐴|=12×1×2√2+12×1×√2=3√22，故D正确，12.【答案】ABD解：∵函

数𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥−2𝑒𝑥，∴𝑓′(𝑥)=(2𝑥+2)𝑒𝑥−(𝑥2+2𝑥−2)𝑒𝑥𝑒2𝑥=−𝑥2+4𝑒𝑥，令𝑓′(𝑥)>0，则−2<𝑥<2，则函数𝑓(𝑥)的单调增区间为(−2,2)，单调减区间为(−∞,−2)，(2,+∞)．𝑓(−2)=−

2𝑒2,𝑓(2)=6𝑒2，且当𝑥>2时，𝑓(𝑥)>0，当𝑥→−∞时，𝑓(𝑥)→+∞，当𝑥→+∞时，𝑓(𝑥)→0，画出函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象如图：所以𝑓(𝑥)的极小值就是最小值，故A正确；函

数𝑓(𝑥)存在两个不同的零点，故B正确；当时，𝑓(𝑥)=𝑘恰有2个实根，故C错误；若𝑥∈[0,𝑡]时,𝑓(𝑥)max=6𝑒2,则𝑡⩾2，故t的最小值为2，故D正确．所以ABD正确，13.【答案】乙解：假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲

不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾，不符合．故甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是乙．14.【答案】√3解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为：𝑏𝑥+𝑎𝑦=0，圆(𝑥−3)

2+𝑦2=8的圆心(3,0)，半径为：2√2，由题意可得圆心到双曲线渐近线的距离𝑑=√8−2=√6，即3𝑏√𝑎2+𝑏2=√6，得𝑏2=2𝑎2，所以𝑐2−𝑎2=2𝑎2，解得𝑒=𝑐𝑎=√3．15.【答案】3√10

10解：因为𝑉𝐴−𝐵𝐸𝐹=𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐺+𝑉𝐹−𝐴𝐵𝐺，的值不变，所以当EF垂直CD时，三棱锥𝐴−𝐵𝐸𝐹的体积最大．建立如图所示的空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧，则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2

，2)，𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0，0)，𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1，−2)．设平面BEF的法向量𝑛⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)，则{𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=0,𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=0,得{𝑥+𝑦−2𝑧=0,2𝑥−0,令𝑧=1，则𝑛⃗⃗=(0,2，1)．5设

直线AC与平面BEF所成角为𝜃，则sin𝜃=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|=62√2×√5=3√1010．16.【答案】1+√32解：𝑓1(𝑥)=sin𝑥+cos𝑥，，，，，则𝑓1(𝜋3)+𝑓2(𝜋3)+𝑓3(𝜋3)+𝑓4(𝜋3

)所以𝑓1(𝜋3)+𝑓2(𝜋3)+𝑓3(𝜋3)+⋯+𝑓2021(𝜋3)=(𝑓1(𝜋3)+𝑓2(𝜋3)+𝑓3(𝜋3)+𝑓4(𝜋3))×505+𝑓2021(𝜋3)=(𝑓1(𝜋3)+𝑓2(𝜋3)+𝑓3(𝜋3)+𝑓4(𝜋3

))×505+𝑓2021(𝜋3)，17.【答案】解：(Ⅰ)命题p：𝑥2−𝑥−12≤0，则p：−3≤𝑥≤4，当𝑎=3时，命题q：(𝑥−2)2≥9，解得：𝑥≥5或𝑥≤−1，则¬𝑞：−1<𝑥<5，若𝑝∧(¬𝑞)为真，则−1<𝑥≤4

；(Ⅱ)命题q：(𝑥−2)2≥𝑎2．¬𝑞：2−𝑎<𝑥<2+𝑎，若p是¬𝑞的充分条件，则[−3,4]⊆(2−𝑎,2+𝑎)，即2−𝑎<−3且2+𝑎>4，∴𝑎>5．【解析】本题考查了不等式的解法、充分

条件的判定、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力．(1)当𝑎=3时，命题p：−3≤𝑥≤4；命题q：𝑥≥5或𝑥≤−1，由𝑝∧(¬𝑞)为真，则可得x的取值范围；(2)若p是¬𝑞的充分条件，则

[−3,4]⊆(2−𝑎,2+𝑎)，进而求出a的取值范围．18.【答案】解：根据题意，以C为原点，𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则𝐶(0,0，0)，𝐴(2,0，0)，𝐵(0,2，0)，

𝐶1(0,0，3)，𝐴1(2,0，3)，𝐵1(0,2，3)，𝐷(2,0，1)，𝐸(0,0，2)，𝑀(1,1，3)，(Ⅰ)证明：依题意，𝐶1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1，0)，𝐵1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−2,

−2)，∴𝐶1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2−2+0=0，∴𝐶1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即𝐶1𝑀⊥𝐵1𝐷；(Ⅱ)依题意，𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0，0)是平面𝐵𝐵1𝐸的一个法向量，𝐸

𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2，1)，𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0，−1)，设𝑛⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)为平面𝐷𝐵1𝐸的法向量，则{𝑛⃗⃗⋅𝐸𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗⋅𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0，即{2𝑦+𝑧=02𝑥−𝑧=0，不妨设𝑥=1，

则𝑛⃗⃗=(1,−1,2)，∴cos<𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗>=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=√66，∴sin<𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗>=√1−16=√306，∴二面角𝐵−𝐵1𝐸−𝐷的正弦值为√306；(Ⅲ

)依题意，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2，0)，由(Ⅱ)知，𝑛⃗⃗=(1,−1,2)为平面𝐷𝐵1𝐸的一个法向量，∴cos<𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗>=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=−√33，∴直线AB与平面𝐷𝐵1𝐸所成角的正

弦值为√33．【解析】本题考查了空间向量在几何中的应用，线线垂直的证明、二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力．(Ⅰ)建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；(Ⅱ)先求得平面𝐷𝐵1𝐸的法向量𝑛⃗⃗，而�

�𝐴⃗⃗⃗⃗⃗是平面𝐵𝐵1𝐸的一个法向量，再根据向量的夹角公式求解；(Ⅲ)求出cos<𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗>值，即可求出直线AB与平面𝐷𝐵1𝐸所成角的正弦值．19.【答案】解：(1)因为𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏ln𝑥，所以𝑓′(𝑥)=2𝑎𝑥+�

�𝑥．又函数𝑓(𝑥)在𝑥=1处有极值12，故{𝑓⬚′(1)=0,𝑓(1)=12即{2𝑎+𝑏=0𝑎=12,可得𝑎=12，𝑏=−1．(2)由(1)可知𝑓(𝑥)=12𝑥2−ln𝑥

.其定义域为(0,+∞)，且𝑓′(𝑥)=𝑥−1𝑥=(𝑥+1)(𝑥−1)𝑥.令𝑓′(𝑥)=0，则𝑥=−1(舍去)或𝑥=1．当x变化时，𝑓′(𝑥)，𝑓(𝑥)的变化情况如表：x(0,1)1(1,+∞)𝑓′(𝑥)−0+𝑓(𝑥)↘极小值↗所以函

数𝑓(𝑥)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,+∞)，且函数𝑓(𝑥)在定义域上只有极小值𝑓(1)=12，而无极大值．6【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值．(1)函数𝑓(𝑥)在𝑥=1处有极值12，故{𝑓⬚′(1)=0,𝑓(1)=12，可求

a，b的值．(2)先求导，分析单调性的变化情况，确定极值．20.【答案】解(1)由题意得{𝑐𝑎=√22,𝑎2=2𝑏,𝑏2=𝑎2−𝑐2,解得{𝑎=√2,𝑐=1,𝑏=1,故椭圆的方程为𝑥2+𝑦22=1．(2)设𝐴(𝑥1

,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，线段AB的中点为𝑀(𝑥0,𝑦0).联立直线与椭圆的方程{𝑥2+𝑦22=1,𝑥−𝑦+𝑚=0,得3𝑥2+2𝑚𝑥+𝑚2−2=0，所以𝛥=(2𝑚)2−4×3×(𝑚2−

2)>0，即𝑚2<3，且𝑥0=𝑥1+𝑥22=−𝑚3，𝑦0=𝑥0+𝑚=2𝑚3，即𝑀(−𝑚3,2𝑚3)，又因为M点在圆𝑥2+𝑦2=5上，所以(−𝑚3)2+(2𝑚3)2=5，解得𝑚=±3，与𝑚2<3矛盾，故实数m不存

在．21.【答案】证明：(1)∵𝜆=12，∴𝐹是A的中点，∵𝑁是PB的中点，∴𝐹𝑁//𝐴𝐵，∵四边形ABCD是矩形，∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，故F𝑁//𝐶𝐷，∵𝐶𝐷⊂平面PCD，𝐹𝑁⊄平面PCD，∴𝐹𝑁

//平面PCD，𝐹𝑀//𝐷𝑃，𝐷𝑃⊂平面PCD，𝐹𝑀⊄平面PCD，∴𝐹𝑀//平面PCD，𝐹𝑀∩𝐹𝑁=𝐹，FM，𝐹𝑁⊂平面FMN，∴平面𝐹𝑀𝑁//平面PCD．解：(2)连结PM，过M作𝑀𝐸//

𝐶𝐷，交BC于E，由△𝑃𝐴𝐷是等边三角形，得𝑃𝑀⊥𝐴𝐷，面𝑃𝐴𝐷⊥面ABCD，面𝑃𝐴𝐷∩面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝑃𝑀⊥𝐴𝐷，𝑃𝑀⊂面PAD，∴𝑃𝑀⊥平面ABCD，以

M为原点，MA为x轴，ME为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，假设存在𝜆，满足题意，设𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，𝜆∈(0,1)，则𝐴(1,0，0)，𝑃(0,0，√3)，𝐵(1,√2,0)，𝑀(0,0，

0)，𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,√2,0)，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(−𝜆,0,√3𝜆)，则𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(1−𝜆,0,√3𝜆)，设面FMN的法向量𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)，则{𝑚⃗⃗

⃗⋅𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑚⃗⃗⃗⋅𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即{𝑥+√2𝑦=0(1−𝜆)𝑥+√3𝜆𝑧=0，取𝑦=−√2，得𝑚⃗⃗⃗=(2,−√2,2𝜆−2√3𝜆)，取PAD的法向量𝑛⃗⃗=(0,1，0)，由题知|cos<𝑚⃗⃗⃗,𝑛⃗⃗>|=|𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗

⃗||𝑚⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=|−√2|√6+(2𝜆−2√3𝜆)2=√3311，解得𝜆=12，∴存在𝜆=12，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为√3311．【解析】(1)由𝜆=12，推导

出四边形ABCD是矩形，从而𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐹𝑁//𝐶𝐷，进而𝐹𝑁//平面PCD，同理𝐹𝑀//平面PCD，由此能证明平面𝐹𝑀𝑁//平面PCD．(2)连结PM，过M作𝑀𝐸//𝐶𝐷，交BC于E，以M为原点，MA为x轴，ME为y轴，MP为z轴，

建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在𝜆=12，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为√3311．本题考查面面平行的证明，考查满足二面角的余弦值的实数值是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解

能力，考查数形结合思想，是中档题．22.【答案】解：(1)函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)且𝑓′(𝑥)=2𝑎𝑥+1𝑥−(2+1𝑎)=2𝑥2−(2𝑎+1)𝑥+𝑎𝑎𝑥=(𝑥−�

�)(2𝑥−1)𝑎𝑥，①当𝑎<0时，由𝑓′(𝑥)>0得0<𝑥<12，所以𝑎<0时，𝑓(𝑥)的单调增区间为(0,12)，单调减区间为(12,+∞);②当0<𝑎<12时，令𝑓′(𝑥)>0得0<𝑥<𝑎或𝑥>12，可知𝑓(𝑥)的单调增区

间为(0,𝑎)和(12,+∞).单调减区间为(𝑎,12).③当𝑎=12时，𝑓′(𝑥)≥0恒成立，此时𝑓(𝑥)的单调增区间为(0,+∞)，无单调递减区间：④当𝑎>12时，令𝑓′(𝑥)>0得0<𝑥<12，或𝑥>𝑎，此时𝑓(𝑥)的单调递增区间为(0

,12)和(𝑎,+∞)，单调减区间为(12,𝑎)．(2)𝐹(𝑥)=𝑎𝑓(𝑥)−𝑥2=𝑎ln𝑥−(2𝑎+1)𝑥，则𝐹(𝑥)<1−2𝑎𝑥⇔𝑎<𝑥+1ln𝑥(𝑥>1)恒成立．令ℎ(𝑥)=�

�+1ln𝑥,(𝑥>1),∴ℎ′(𝑥)=ln𝑥−1𝑥−1(ln𝑥)2，令𝑡(𝑥)=ln𝑥−1𝑥−1，(𝑥>1)，可知𝑡(𝑥)在(1,+∞)单调递增，且𝑡(3)<0，𝑡(4)>0，所以∃𝑥0∈(3,4)，使得𝑡(𝑥0)=ln𝑥0−1𝑥0−

1=0，从而ℎ(𝑥)在(1,𝑥0]单调递减，在[𝑥0,+∞)单调递增，7所以，因为𝑎<𝑥+1ln𝑥,(𝑥>1)恒成立，所以，故整数a的最大值为3．【解析】【试题解析】本题考查利用导数研究函数单调性与最值及恒成立问题，解题关键是：(1)求得𝑓′(𝑥)=(

𝑥−𝑎)(2𝑥−1)𝑎𝑥，结合二次函数性质对a进行讨论求解单调性；(2)𝐹(𝑥)=𝑎ln𝑥−(2𝑎+1)𝑥，问题转化为𝑎<𝑥+1ln𝑥,(𝑥>1)恒成立．