【文档说明】2023届辽宁省东北育才学校科学高中部高三最后一次模拟考试 数学答案.docx，共(30)页，1.780 MB，由小赞的店铺上传

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东北育才学校科学高中部2023年高考模拟考试数学科试题命题人：高三数学组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知P，Q为R的两个非空真子集，若RQðPRð，则下列结论正确的是（）A.xQ，xP

B.0RxPð，0RxQðC.0xQ，0xPD.RxPð，RxQð【答案】B【解析】【分析】根据条件画出Venn图，根据图形，判断选项.【详解】因为RQðRPð，所以PQ，如图，对于选项A：由题意知P是Q的真子集，故xQ，xP，故不正确，对于选项B：由

RQð是RPð的真子集且RQð，RPð都不是空集知，0RxPð，0RxQð，故正确.对于选项C：由RQð是RPð的真子集知，xQ，xP，故不正确，对于选项D：Q是RPð的真子集，故RxPð，RxQ

ð，故不正确，故选：B2.已知复数z满足()202312iiz+=，则z=（）A.15B.55C.35D.255【答案】B【解析】【分析】方法一：先化简复数，求出z，在写出它共轭复数z，最后利用公式计算即可；方法二：先化简复数，利用

=zz即可.【详解】方法一：因为4i1n=，41iin+=，42i1n+=−，43iin+=−，的所以2023450533iiii+===−，所以()2023i2112iii12i55zz+==−=−−+，所以21i55z=−+，所以22215555

z=−+=．方法二：由()2023i2112iii12i55zz+==−=−−+，所以22215555zz==−+−=．故选：B．3已知随机变量,XY分别满足(8,)XBp，()2,YN，且期望()()EXYE=，又1(3)2P

Y=，则p=（）A.18B.14C.38D.58【答案】C【解析】【分析】利用正态分布的对称性可求得，根据二项分布以及正态分布的均值，结合题意列方程，可求得答案.【详解】由题意知(8,)XBp，()2,YN，()()EXYE=，故8p=，

由1(3)2PY=，知3=，故383,8pp==，故选：C4.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，123BBAB=，D是棱BC的中点，E在棱1CC上，且13CCCE=，则异面直线1AD与1BE所成角的余弦值是（）.A.66B

.64C.63D.32【答案】B【解析】【分析】取棱1BB靠近点B的三等分点F，取棱11BC的中点H，取1BF的中点G，连接1AH，DH，1AF，DF．证明1//DFBE，得1ADF是异面直线1AD与1BE所成的角（或补

角）．设4AB=，用余弦定理计算出余弦值．【详解】取棱1BB靠近点B的三等分点F，取棱11BC的中点H，取1BF的中点G，连接1AH，DH，1AF，DF．由已知1111133CECCBBBG===，又1//CEBG，

所以1CEBG是平行四边形，1//BECG，同时可得F是BG中点，而D是BC中点，所以//DFCG．所以1//DFBE，则1ADF是异面直线1AD与1BE所成的角（或补角）．又1//DHCC，1CC⊥平面111ABC，则DH⊥平面111ABC，1AH平面111ABC，则1DHAH⊥，设4AB=

，则16BB=，从而123AH=，6DH=，2BD=，2BF=，1114BFAB==，故142AF=，143AD=，22DF=．在1ADF中，由余弦定理可得22211116cos24ADDFAFADFADDF+−==．所以异面直线1

AD与1BE所成的角的余弦值为64．故选：B．5.若等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A.ABC+=B.2BAC=C.()22ABCAB+=+D.()()ACABBA−=−【答案】D【解析】

【分析】利用等比数列的性质可得2322,nnnnnnnnnSSSSqqSSS−−==−，所以BACBABA−−=−，进行整理可得答案．【详解】有题意可知：23,,nnnASBSCS===,由等比数列的性质可得：2nnnnSSqS−=，322nnnnnSSqSS−=−，所以BACBAB

A−−=−，整理可得：22()ABABC+=+．进而得()()ACABBA−=−故选：D6.设函数()()2cos03fxx=−，已知()fx在0,上有且仅有4个零点，则下列

说法错误的是（）A.的取值范围是1925,66B.()yfx=的图象与直线1y=在()0,上的交点恰有2个C.()yfx=的图象与直线1y=−在()0,上的交点可能有2个D.()fx在,42上

单调递减【答案】D【解析】【分析】由0,x可求得23x−的取值范围，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，可判断A选项；在()0,x时，由()1fx=可得出23x−的值，可判断B选项；取27332−，由()1fx=−可得出23x−的可能取

值，可判断C选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，因为0，当0,x时，222333x−−−，因为函数()2cos3fxx=−在0,上有且仅有4个零点，所以，527232−，解得192566，A对；对于

B选项，当()0,x时，222333x−−−且527232−，由()2cos13fxx=−=可得203x−=或2，故()yfx=的图象与直线1y=在()0,上的交点恰有2个，B对；对于C选项，若27332

−，即当112536时，由()2cos13fxx=−=−，可得23x−=或3，所以，()yfx=的图象与直线1y=−在()0,上的交点可能有2个，C对；对于D选项，当,

42x时，22243323x−−−，因为192566，则238438−，11217122312−，所以，函数()fx在,42不一定单调

递减，D错.故选：D.7.已知函数()fx的定义域为R，若()211fx+−为奇函数，322fx+为偶函数，()03f=，则下列结论一定正确的是（）A.函数()fx的周期为3B.()11f−=−C.()20230f=D.()20221f=−【答案】D【解析】【分析】

由条件结合奇函数和偶函数的性质可得()()22fxfx=−−，()()4fxfx=−，由此可得()()22fxxf−+=，再证明()fx为周期为4的函数，通过赋值可得()11f−=，()21f=−，由此判断B，结合周期函数定义判断A，根据周期函数性质判断C

D.【详解】因为()211fx+−为奇函数，所以()()211211fxfx−+−=−++，将x代换为12x−可得，()()22fxfx=−−，取1x=可得，()11f=，取2x=可得，()()220ff=−，又()03f=，所以()21f=−，因为322fx+

为偶函数，所以332222fxfx−+=+，将x代换为423x−可得，()()4fxfx=−，又()()22fxfx=−−所以()()242xfxf−−=−，将x代换为2x−可得，()()2

2fxxf−+=，所以()()()422fxfxfx+=−+=，所以函数()fx为周期函数，周期为4，由()()22fxxf−+=取=1x−可得()()211ff−−=，又()11f=，所以()11f−=，B错误；()()()20234506111fff=−=−=，C错误；()()()2

0225054221fff=+==−，D正确；因为()21f=−，()11f−=，所以函数()fx不是周期为3的函数，A错误；故选：D.8.已知圆()()2221:37Cxyaa++=和()222:31Cxy−+=，动圆M与圆1C，圆2C均相切，P是12MCC△的内心，且12123PM

CPMCPCCSSS+=△△△，则a的值为（）A.9B.11C.17或19D.19【答案】C【解析】【分析】由两圆方程得圆2C内含于圆1C，由P是12MCC△的内心，且12123PMCPMCPCCSSS+=△△△得12123CMCMCC+=，动圆M内切于圆1C，分别讨论圆2C

内切、外切于动圆M，由圆心距得121CMCMa+=，即可求解【详解】根据题意：圆()()2221:37Cxyaa++=，其圆心()13,0C−，半径1Ra=，圆()222:31Cxy−+=，其圆心()23,0C，半径21R=，又因7a，所以圆心距121261CCRRa=+=+，

所以圆2C内含于圆1C，因为P为12MCC△的内心，设内切圆的半径为0r，又由12123PMCPMCPCCSSS+=△△△，则有10201201113222CMrCMrCCr+=，得12123C

MCMCC+=，因为动圆M与圆1C，圆2C均相切，设圆M的半径为r，（1）当动圆M内切于圆1C，与圆2C外切（ra），则有11CMRrar=−=−，221CMRrr=+=+，所以121CMCMa+=+，所以123181CCa==

+，得a＝17；（2）当动圆M内切于圆1C，圆2C内切于动圆M，则有11CMRrar=−=−，221CMrRr=−=−，所以121CMCMa+=−，所以123181CCa==−，得a＝19.综上可得：a＝17或19；故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题

5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，sin2sinsinABC=，下列说法正确的是为（）A.若1a=，则34ABCS=B.ABC外接圆的半径为bcaC.cbbc+取得最小值

时，π3A=D.π4A=时，cbbc+取得最大值为22【答案】BD【解析】【分析】对A，由正弦定理化简sin2sinsinABC=可得1sin2Cb=，再根据三角形面积公式判断即可；对B，根据2sinabC=结合正弦定理判断即可；对C，根据正弦定理与余弦定理化简sin

2sinsinABC=可得π22sin4bcAcb+=+，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D，根据三角函数值域求解即可.【详解】对A，由正弦定理sin2sinsinABC=即2sinabC=，又1a=，故1si

n2Cb=，故三角形面积为1111sin12224SabCbb===，故A错误；对B，2sinabC=，则sin2aCb=，设ABC外接圆的半径为R，则2sincRC=，故22cbcRaab==，故B正确；对C，由sin2sinsinABC=及正弦定理可得22si

nabcA=，由余弦定理222sin2cosbccAbbcA=+−，即()222sincosbcAAbc+=+，化简可得π22sin4bcAcb+=+，由基本不等式，22bcbccbcb+=，当且仅当bc=时取等号，此时π2sin42A+=

，故当π2A=，π4BC==时，bccb+取得最小值2，故C错误；对D，由C，π22sin4bcAcb+=+，当π4A=时，bccb+取得最大值22，故D正确；故选：BD10.在正方体ABCDABCD−中，,,EFG分别为棱BB，DD，CC上的一点，且DF

BECGDDBBCC===，H是BC的中点，I是棱CD上的动点，则（）A.当13=时，G平面AEFB.当12=时，AC平面AEFC.当01时，存在点I，使,,,AFHI四点共面D.当01时，存在点I，使FI，EH，CC三条直线交于同一点【答案

】BCD【解析】【分析】利用图形，根据空间中点线面的位置关系逐一对各项进行判断即可得出结果.【详解】对于A，当13=时，如图1，在CC取点M，使13MCMC=,取CD中点N,易知////GNMDEA，GNË平面AEF，故G平面AEF，

所以选项A错误；对于B，如图2，当12=时，,,EFG分别为BB，DD，CC的中点，连接BG，FC，EC，GF，易知四边形BGCE与ABGF均为平行四边形，则//BGAF，//BGEC，所以//AF

EC，则A，F，E，C四点共面，AC平面AEF，所以选项B正确；对于C，如图3，延长AF与AD的延长线交于点M，连接MH与CD的交点即为点I，则A，F，H，I四点共面，所以选项C正确；对于D，如图4，连接EH并延长与CC的延长线交于点N，连接FN与CD的交点即为点

I，则存在点I，使FI，EH，CC三条直线交于同一点N，所以选项D正确.故选：BCD.11.已知1a，1b，21aaa=−，2log1bbb=−，则以下结论正确的是（）A.22logaabb+=+B

.21112logab+=C.2ab−−D.4ab+【答案】ABD【解析】【分析】先根据题意将条件转化为a，b是函数1()111xhxxx==+−−分别与函数()2xfx=，2()loggxx=图象交点的横坐标．从而得到两交点关于直线yx=对称，进而即可判断A

；结合选项A整理得到111ab+=，进而即可判断B；再结合选项A，构造函数2()logbbb=−，根据导函数性质即可判断C；结合选项B即基本不等式(注意：ab¹，即不等式取不到等号)即可判断D．【详解】对于A，由题意知，a，b是

函数1()111xhxxx==+−−分别与函数()2xfx=，2()loggxx=图象交点的横坐标，由1yx=的图象关于yx=对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为1()11hxx=+−，所以()hx的图象也关于yx

=对称，又()fx，()gx两个函数的图象关于直线yx=对称，故两交点(),2aa，()2,logbb关于直线yx=对称，所以2logab=，2ab=，故A正确；对于B，结合选项A得21aaba==−，则abab=+，即111ab+=

，即21112logab+=成立，故B正确；对于C，结合选项A得2log(24)abbbb−=−，令2()logbbb=−，则1()10ln2bb=−，所以2()logbbb=−在(2,4)上单调递减，则2()log442b−=−，故C错误；对

于D，结合选项B得11()24baabababab+=++=++(ab¹，即不等式取不到等号)，故D正确．故选：ABD．12.已知双曲线()222:0xyaa−=的左，右焦点分别为1F、2F

，过2F的直线l与双曲线的右支交于点B、C，与双曲线的渐近线交于点A、D（A、B在第一象限，C、D在第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若BCx⊥轴，则1BCF△的周长为6aB.若直线OB交

双曲线的左支于点E，则1//BCEFC.AOD△面积的最小值为24aD.1ABBF+的取值范围为()3,a+【答案】BD【解析】【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；利用平行四边形的几何性质可判断B选项；设直

线l的方程为2xmya=+，求出OA、OD，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断C选项；由双曲线的定义122ABBFAFa+=+，求出22AFa+关于m的函数关系式，利用函数的单调性可求得1ABBF+的取值范围，可判断D选项.【详解】双曲线的标准方程

为22221xyaa−=，则222caaa=+=，易知点()12,0Fa−、()22,0Fa，双曲线的渐近线方程为yx=.对于A选项，当BCx⊥轴，直线BC的方程为2xa=，联立2222xaxya=−=，可得2xaya==，此时，2BCa=，则()()11222246B

FCFBFaCFaBCaa+=+++=+=，此时，1BCF△的周长为118BCBFCFa++=，A错；对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点B关于原点O的对称点也在双曲线上，因为若直线OB交双曲线的左支于点E，则点B、E关于原点对称，即BE、12FF的中点均为原点，故四边形12

BFEF为平行四边形，所以，12//EFBF，即1//EFBC，B对；对于C选项，易知OA的方程为yx=，OD的方程为yx=−，所以，OAOD⊥，因为直线l与双曲线的右支交于点B、C，则直线l不与x轴重合，设直线l的方程为2xmya=+，

设点()11,Bxy、()22,Cxy，联立2222xmyaxya=+−=可得()2221220mymaya−++=，则()()222222210Δ841410mmamaam−=−−=+，解得1m，由韦达定理可得122221mayym+=−−，2122

01ayym=−，可得11m−，联立2xmyayx=+=可得21axym==−，即点22,11aaAmm−−，联立2xmyayx=+=−可得21axm=+，21aym=−+，即点22,11aaDmm−++，所以，221

11AaOAxm=+=−，()22111DaODxm=+−+，所以，222221222211AODaaSOAODamm===−−△，当且仅当0m=时，等号成立，C错；对于D选项，()2212222122122

211amABBFABBFaAFamaaamm++=++=+=++=+−−22212222121212mmaaaammmm+=+=+++−+−，当0m=时，122ABBFaa+=+，当01m时，122221221211

22mABBFaaaammmm+=++=+++−+−，因为函数12ymm=+−在()0,1上单调递减，此时()1221222,12ABBFaaaamm+=+++++−，当10m−时，因为函数12ymm=+−在()1,0−上单调递减，此时()1221

23,2212ABBFaaaaamm+=++++−，综上所述，1ABBF+的取值范围是()3,a+，D对.故选：BD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的

范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围三、填空题：本

题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()π10,π,sin63−=，则πcos26+的值为___________.【答案】429−【解析】【分析】根据同角的基本关系可得6πcos

−，再根据正弦的二倍角公式，可得πsin26−，再根据诱导公式可得πcos26+，由此即可求出结果.【详解】因为π1sin63−=，()0,π，ππ5π,666−−,又因为π15π1s

insin6362−==，所以ππ0,,62−所以2216623ππcossin−=−−=,所以πππ42sin2=2sincos=6669−−−

,ππππππ42cos2cos2cos2sin2=6326269+=−+=−+=−−−.故答案为：429−.14.某次社会实践活动中，甲、乙两个

班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．【答案】12##0.5【解析】【分析】用A1，A2分别表示居民所遇到的

一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝35，P(B|A2)＝13，由全概率公式即得.【详解】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，由题意可知，P(A1)＝5

8，P(A2)＝38，且P(B|A1)＝35，P(B|A2)＝13.由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝58×35＋38×13＝12，即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为12.故答案为：1215.已知平面向量a，b，且满足|||

|2===abab，若e为平面单位向量，则+aebe的最大值________【答案】23【解析】【分析】先根据平面向量的数量积公式求出a→与b→的夹角，根据条件，可设()()2,0,1,3ab→→==，再设()cos,sine→=，根据平面向量

的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出π23sin3aebe+=+，即可求出结果.【详解】解：2aabb→→→→===，设a→与b→的夹角为，cos22cos2baab

→→→→===，1cos2=，又0,π，则π3=，不妨设()()2,0,1,3ab→→==，再设()cos,sine→=，则()()3,3cos,sinaebeabe→→→→→→→+=

+=π3cos3sin23sin233=+=+，即23aebe→→→→+，所以aebe→→→→+的最大值为23.故答案为：23.16.设n∈N*，an为(x＋4)

n－(x＋1)n的展开式的各项系数之和，1222...555nnnnaaab=+++（[x]表示不超过实数x的最大整数），则()()222nntbt−+−+(t∈R)的最小

值为____.【答案】12【解析】【分析】根据展开式求出系数和得52nnna=−，求出22nnnb−=，将()()222nntbt−+−+转化为点2,2nnn−到(),2tt−的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】an为(x＋4)n－(x＋1)n的展开式的各项系数之和，即52

nnna=−，522155nnnn−=−，考虑()20,,2255nfnnnNnn=+，()()()()12112151525nnnfnnfnnn++++==，所以()20,5nfnnnN=

递减，所以()220,55nfnn=，所以2155nnnnannn=−=−，212...12nnnbn−=+++−=，()()()22222222nnnntbtntt−−+−+=−+−+，可以看成点2,2n

nn−到(),2tt−的距离的平方，即求点2,2nnn−到直线2yx=−的距离最小值的平方，由图可得即求点()1,0或()2,1到直线20xy+−=的距离的平方，即2212122+−=故答案为：12【点睛

】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17已知函数()()221

cossin,0,2fxxxx=−+．（1）求()fx的单调递增区间；（2）设ABC为锐角三角形，角A所对边19a=，角B所对边5b=，若()0fA=，求ABC的面积．【答案】（1）,2pp轹÷ê÷÷êøë；（2）153

4.【解析】【分析】（1）利用降次公式化简()fx，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()fx的单调递增区间.（2）由()0fA=求得A，用余弦定理求得c，由此求得三角形ABC的面积.【详解】（1）依题意()()2211()cossincos2

0,π22fxxxxx=-+=+?，由2ππ22πkxk−得πππ2kxk−，令1k=得ππ2x.所以()fx的单调递增区间,2pp轹÷ê÷÷êøë.（2）由于ab，所以A为锐角，即π0,02π2AA.由

()0fA=，得11cos20,cos222AA+==−，所以2ππ2,33AA==.由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，2560cc−+=，解得2c=或3c=.当2c=时，22219cos0238

acbBac+−==−，则B为钝角，与已知三角形ABC为锐角三角形矛盾.所以3c=.所以三角形ABC的面积为113153sin532224bcA==.【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调

性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18.已知数列na满足()1122nnnaana+=+N，11a=．（1）证明：数列1na为等差数列，并求数列na的通项公式；（2）若记nb为满足不等式()11

122nnkan−N正整数k的个数，数列nnba的前n项和为nS，求关于n的不等式2023nS的最大正整数解．【答案】（1）证明见解析，21nan=+（2）7【解析】【分析】（1）在等式

1122nnnaaa+=+两边取倒数，结合等差数列的定义可证得数列1na为等差数列，确定的该数列的公差，可求得数列na的通项公式；（2）解不等式()11122nnkan−

N可得到满足条件的正整数k的个数，可得出nb的通项公式，利用错位相减法可求得nS，再利用数列的单调性可求得满足题意的最大正整数n的值.【小问1详解】解：由1122nnnaaa+=+取倒数得11221112nnnnnaaaaa+

++==+，即11112nnaa+−=，所以1na为公差为12的等差数列，则1111122nnnaa−+=+=，所以，21nan=+.【小问2详解】解：当11122nnka−时，1112221212nnnnk

k−++−−，所以，满足条件的整数k的个数为()()121212nnn+−−−=，即2nnb=，所以，()1012nnnbna−=+，故数列nS单调递增，所以，()0121223242

12nnSn−=+++++，则()12122232212nnnSnn−=+++++，上式−下式得()()()()112121222221221212nnnnnSnn−−−−=++++−+=+−+−2nn=−，所以，2nnSn=

，因为7772896S==，88822048S==，则782023SS，因此，满足2023nS的最大正整数n的值为7.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=12AD.E为棱AD

的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13.【解析】【分析】试题分析：本题考查线面平行、线线平

行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦

值.【详解】：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM

∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=4

5°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以A

PH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=22.在Rt△PAH中，PH=22PAAH+=322，所以sinAPH=AHPH=13.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PA

D.于是CD⊥PD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD,AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE=（1,0,-2），EC=（1,1,0），AP=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,nPEnEC==得20,{0,xzxy

−=+=设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=||nAPnAP=22221322(2)1=+−+.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.考点：线线平行、

线面平行、向量法.20.近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国

各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为x（千元），带动的销量为y（千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.x33455668y1012131819212427（1）根据表中数据，求出y关于x的线性

回归方程.（2）（i）若该省A城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？（ii）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助

力消费复苏是理想的.若该省A城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式：()()()()()()()11222111ˆˆˆ,,nniiiiiinnnii

iiiixxyyxxyyrbaybxxxxxyy=====−−−−===−−−−.参考数据：()()()8821169,20iiiiixxyyxx==−−=−=.【答案】（1）ˆ3.450.75yx=+；（2）（i）3.525万辆；（ii）答案见解析.【解析】【分析】（1）

根据给定的数表，求出,xy，再利用最小二乘法公式求解作答.（2）利用（1）的回归方程，计算10x=的估计值，再求出比值并判断作答.【小问1详解】依题意，334556681012131819212427

5,1888xy++++++++++++++====，于是()()()8182169ˆˆˆ3.45,183.4550.7520iiiiixxyybaybxxx==−−====−=−=−，所以所求线性回归方程为ˆ3.450

.75yx=+.【小问2详解】（i）由（1）知，当10x=时，ˆ3.45100.7535.25y=+=，所以预计能带动的消费达3.525万辆.（ii）因为3035.2510%35.25−，所以发放的该轮消费补贴助力消费复苏不是理想的.发放消费券只是影响消费

的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.年轻人开始更加注重出行的舒适性和环保性，而传统燃油车的排放

和能耗等问题也逐渐成为了消费者们考虑的重点.（只要写出一个原因即可）.21.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，(1,0)D，点P是在第一象限内C上的一个动点，当DP与x轴垂直时，5||4PF=，过点P作与C相切的直线l交y轴于点M，过点

M作直线l的垂线交抛物线C于A，B两点．（1）求C的方程；（2）如图，连接PD并延长，交抛物线C于点Q．①设直线AB，OQ（其中O为坐标原点）的斜率分别为1k，2k，证明：12kk为定值；②求OPQABDSS△△的最小值．【答案】（1）

2yx=（2）①证明见解析；②433.【解析】【分析】（1）利用抛物线定义列出方程求解结果；（2）①设()00,Pxy，表示直线PM的斜率，求解11PMkk−=；将直线PD的方程00(1)1xyxx=−−与2yx=联立，由韦达定理表示Qy，求解2Q

Qykx=得出结果；②求解01212QOPQABDABODyySSNDyy−=−△△并化简，结合基本不等式进行求解.【小问1详解】因为当DP与x轴垂直时，5||4PF=，根据抛物线定义得5124p+=，解得12p=，所

以2:Cyx=．【小问2详解】①证明：设()00,Pxy，则00yx=，由2yx=，得当0y时yx=，12yx=，所以直线PM的斜率为012x，所以直线()0001:2PMyyxxx−=−，即00

01:22xPMyxyx=−+，00122xyxx=+，所以00,2xM．又因为11PMkk−=，012PMkx=，所以102kx=−．将直线PD的方程00(1)1xyxx=−−与2yx=联立并化简，得200110

xyyx−−−=，易得0，设(),QQQxy，则01Qyy=−，所以0011Qyyx=−=−．把点Q的坐标代入00(1)1xyxx=−−，得01Qxx=，所以20QQykxx==−．所以122kk=，为定值．

②由①得0000011Qxyyxxx+−=−−=，直线00:22xAByxx−=−．将0022xyxx−=−与2yx=联立并化简，得2011042yyx+−=，易得0，则012AByyx+=−，14A

Byy=−，所以()201414ABABAByyyyyyx−=+−=+．在直线AB的方程0022xyxx−=−中，令0y=，得14x=，设直线AB与x轴的交点为N，则N的坐标1,04．因为||1OD=，所以3||4ND=

，则()()0000000011281143221331314141284QOPQABDABxODyySxxxSxxNDyyx+−+++====++−+△△002314314xx=+++00434143

3314xx+=+，当且仅当0031414xx+=+，即012x=时等号成立，所以OPQABDSS△△的最小值为433．22.已知函数()cosfxxx=，()singxax=．（1）若1a=，证明：当π0,2x时()()xgx

fx；（2）当ππ,00,22x−时，()()sinfxxgxx，求a的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）()),01,−+．【解析】【分析】（1）令()sinhxxx=−，对()hx求导，得到

()hx的单调性可证得sinxx，令()sincoskxxxx=−，对()kx求导，可得()kx在π0,2上单调递增，即可证得sincosxxx，即可证得()()xgxfx；（2）由题意分析可得要使()()sinfxxgxx恒成立即π0,2

x时，()sincos0sinxxxFxxax=−恒成立，通过放缩变形证明()0Fx恒成立，即可求出a的取值范围.【小问1详解】当1a=时，()singxx=，所以即证：sincosxxxx

，π0,2x，先证左边：sinxx，令()sinhxxx=−，()1cos0hxx=−，()hx在π0,2单调递增，∴()()00hxh=，即sinxx．再证右边：sincosxxx，令()sincoskxxxx=−，()coscossin

sin0kxxxxxxx=−+=，∴()kx在π0,2上单调递增，∴()()00kxk=，即sincosxxx，∴π0,2x时，()()xgxfx．【小问2详解】()()sinsincossinf

xxxxxxgxxax−=−，令()sincossinxxxFxxax=−，ππ,00,22x−，因为()()FxFx−=，所以题设等价于()0Fx在π0,2恒成立，由（1）知

，当π0,2x时，sincosxxx，于是：①当0a时，()0Fx恒成立；②当0a时，()0Fx等价于22sincos0axxx−，（i）当01a时，22sincosaxxx−()222cos

cosaxxxxax−=−，令()cospxax=−，因为()cospxax=−在π0,2x上递增，且()π010,02papa=−=，所以存在π0,2，使()0p=，所以当0x，()0px，即()2c

os0xax−，不合题意；(ii)当1a时，2222sincossincosaxxxxxx−−令()22sincosrxxxx=−，π0,2x，则()222sincos2cossin2sin

cos2sinsinrxxxxxxxxxxxx=−+−+，()2222221cossin4sinsin4sinsin0222xxxxxxxxx=−−=−=−，所以()rx在π0,2

上单调递增，所以()()00rxr=，所以22sincos0axxx−，所以()0Fx.综上：a的取值范围为()),01,−+．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：（1）直接构造函

数法：证明不等式()()fxgx转化为证明()()0fxgx−，进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对

原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com