【文档说明】宁夏银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校2020届高三下学期联考数学（理科）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.463 MB，由小赞的店铺上传

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2020年高考数学（6月份）模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.已知集合{1,1}A=−，2{|20,}BxxxxZ=+−，则AB=（）A.{}1−B.{1,1}−C.{1,0,1}−D.{1,0,1,2}−【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法

求出{-1,0}B=，则可求AB={-1,01}，．【详解】由题意知{-2<x<1,xZ}Bx=，所以{-1,0}B=，所以AB={-1,01}，，故选C【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的并集运算，属基础题．2.若a为实数，则复数(

)()1zaiai=++在复平面内对应的点在A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算化简复数z，结合复数的几何意义得到结果.【详解】∵()221zaiaiaai=++−=+，且210a+＞∴复数()()1zaiai=++在复平面内对应的点在虚轴上，

故选B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a，b=，则“//a”是“//ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】

根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a与//b的关系即可得到答案.【详解】若//a，根据线面平行的性质定理，可得//ab；若//ab，根据线面平行的判定定理，可得//a.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判

定定理，属于基础题.4.已知α为第二象限角，3sincos3+=，则cos2α=（）A.53−B.59−C.59D.53【答案】A【解析】231312sincos(sincos),221sin2sin2332433kk

+=+=+++==−2535cos2424cos2923kk=++=−，故选A.5.在△ABC中，D为BC的中点，且AB＝6，AC＝8，则ADBC的值是（）A.﹣28B.﹣14C.14D.28【答案】C【解析】【分析

】将AD写成()12ABAC+，将BC写成ACAB−，再求数量积即可．【详解】解：在△ABC中，D为BC的中点，AB＝6，AC＝8，则()12ADABACBCACAB=+=−，；∴()()()()22111643614222ADBCABACAC

ABACAB=+−=−=−=．故选：C．【点睛】本题考查了向量的数量积运算,属基础题.6.如图,虚线部分是四个象限的角平分线,实线部分是函数y=f(x)的部分图象,则f(x)可能是()A.x2sinxB.xsinxC.x2cosxD.xcosx【答案】B【解析】首先由图象可知函数()f

x关于y轴对称是偶函数，则A，D被排除．再由图象可得()fxx，若2()cosfxxx=，当2x=时，2(2)42f=，不符合，故选B7.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块

平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的

概率为（）A.516B.1132C.716D.1332【答案】C【解析】【分析】设正方形边长为a，可求得阴影部分面积和正方形面积，根据几何概型概率公式可求得结果.【详解】设正方形边长为a，则其面积2Sa=，阴影部分面积222211

72224224481616aaaaaaaaaSa=++=++=，所求概率716SpS==.故选：C.【点睛】本题考查几何概型面积型的概率问题的求解，属于基础题.8.将函数()2sin24fxx=+的图像向右平移（0）个单位

长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图像关于直线4x=对称，则的最小值为（）A.34B.2C.8D.38【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的平移和伸缩变换，求得变换后的解析式；根据对称轴代入即可求得的表达式，进而求得的最小值．【详解】将函数

()2sin24fxx=+的图像向右平移（0）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍后解析式变为()2sin424fxx=−+因为图像关于直线4x=对称所以42242xk−+

=+代入4x=化简得38k=+，k∈Z所以当k=0时，取得最小值为38所以选D【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，三角函数对称轴的应用，属于中档题．9.设nS是数列nb的前n项和，若2nnnaS+=，()

*2122Nnbnnaan++=−，则数列1nnb的前99项和为()A.9798B.9899C.99100D.100101【答案】C【解析】【分析】利用两式作差1122nnnaa−−−=，代入求出1nbn=+，再利用裂项相消法求

出和即可．【详解】解：当2n时，1112nnnaS−−−+=，则()1111222nnnnnnnaaSS−−−−−+−=−=，即1122nnnaa−−−=，则12log21nnbn+==+，从而1111nnbn

n=−+，故129911111111129922399100bbb+++=−+−++−1991100100=−=.故选：C．【点睛】考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，属于中档题．10

.已知函数()|ln|fxx=，若0ab.且()()fafb=，则2ab+的取值范围是（）A.(22,)+B.)22,+C.(3,)+D.)3,+【答案】B【解析】【分析】画出()|ln|fxx=的图象，数形结合可得01,1ab，1ab=，然后

利用基本不等式即可求出答案【详解】()|ln|fxx=的图象如下：因为0ab.且()()fafb=所以lnlnab=且01,1ab所以lnlnab−=，所以1ab=所以22222abab+=当且仅当2ab=，即2,22ab==时

等号成立故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了基本不等式的运用，用到了数形结合的思想，属于中档题.11.设F是双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若2AFFB=，则双曲线C的离心率是

（）A.2B.2C.233D.143【答案】C【解析】【分析】设一渐近线OA的方程为byxa=，设(,)bAmma，(,)bnBna−，由2AFFB=，求得点A的坐标，再由FAOA⊥，斜率之积等于1−，求出22

3ab=，代入22cabeaa+==进行运算．【详解】解：由题意得右焦点(c,0)F，设一渐近线OA的方程为byxa=，则另一渐近线OB的方程为byxa=−，设(,)bmAma，(,)bnBna−，2AFFB=，2(cm−，)(bmnca−=−，)bna−，2()cmnc

−=−，2bmbnaa−=−，34mc=，32cn=，33,44cbcAa，由FAOA⊥可得，斜率之积等于1−，即304134bcbacac−=−−，223ab=，22222233cababeaaa++====．故选：C．【点

睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A的坐标是解题的关键，属于中档题．12.设函数f(x)()xR满足f(x−)=f(x)，f(x)=f(2−x)，且当[0,1]x时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos()x|，则函数h(x)=

g(x)-f(x)在13[,]22−上的零点个数为A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【详解】因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，所以当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3.当x∈

10,2时，g(x)＝xcos(πx)；当x∈13,22时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x)，g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)，g12＝g32＝0，作出函数f(x)，g(x)的大致图

象，函数h(x)除了0,1这两个零点之外，分别在区间1,02−，10,2，1,12，31,2上各有一个零点，共有6个零点，故选B.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.71()7xx−的展开式的第3项为______.【

答案】337x【解析】【分析】利用二项式定理展开式7717rrrCxx−−，令2r=可得出答案．【详解】717xx−的展开式的第3项为225371377Cxxx−=，故

答案为337x．【点睛】本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题．14.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小

满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为_____．【答案】15.5尺．【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的

日影子长．【详解】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{}na，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，14711213937.5114.5aaaadaad++=+=

=+=，解得1d=−，115.5a=．冬至的日影子长为15.5尺．故答案为：15.5尺．【点睛】本题考查等差数列的首项的求法、等差数列的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.．15.已知三棱锥PABC

−的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足6BABC==，2ABC=，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为________.【答案】323【解析】【分析】画出示意图，利用体积最大时P所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积.【详解】如图

所示：设球心为O，ABC所在圆面的圆心为1O，则1OO⊥平面ABC；因为6BABC==，2ABC=，所以ABC是等腰直角三角形，所以1O是AC中点；所以当三棱锥体积最大时，P为射线1OO与球的交点，所以113pABCABCVPOS−=；

因为16632ABCS==，设球的半径为R，所以2221113POPOOORRAORR=+=+−=+−，所以()213333RR+−=，解得：2R=，所以球的体积为：343233R=.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到

球本身的性质，例如：球心与小圆面圆心的连线垂直于小圆面.16.如图所示，已知椭圆E经过点()2,3A，对称轴为坐标轴，焦点1F，2F在x轴上，离心率e12=．直线l是12FAF的平分线，则椭圆E的方程是_____，l所在的直线方程是_____．【答

案】(1).2211612xy+=(2).210xy−−=．【解析】【分析】第一空：设出椭圆方程，根据椭圆E经过点()2,3A，离心率12e=，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；第二空：求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得∠F1AF2

的平分线所在直线l的方程．【详解】解：第一空：设椭圆方程为22221xyab+=，（a＞b＞0）∵椭圆E经过点()2,3A，离心率e12=，∴22aba−=e12=，2249ab+=1，∴a2＝16，b2＝12，∴椭圆方程E为：2211612xy+=；第二空：由椭圆方程可得

()12,0F−，()22,0F，∵()2,3A，1303=2+24AFk−=∴AF1方程为：34+6=0xy−，AF2方程为：x＝2，设角平分线上任意一点为P（x，y），则3465xy−+=2x−．得210xy−−=或280xy+−=，∵斜

率为正，∴直线方程为210xy−−=；故答案为：2211612xy+=；210xy−−=．【点睛】考查椭圆方程的求法以及求角平分线方程的方法，基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答

．第22、23为选考题，考生根据要求作答．17.如图，CM，CN为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN=120°，现拟在两条木栈道的A，B处设置观景台，记BC=a，AC=b，AB=c（单位：百米）（1）若a，b，c成等差数列，且公差为4，求b的值；（2）已知AB=12，

记∠ABC=θ，试用θ表示观景路线A-C-B的长，并求观景路线A-C-B长的最大值．【答案】（1）10；（2）83.【解析】【分析】（1）利用a、b、c成等差数列,且公差为4,可得44abcb=−=+,利用余弦定理即可求b的值；（2）利用正弦定理

,求出AC、BC,可得到观景路线A-C-B为ACBC+是关于的函数,求出最大值即可【详解】解：（1）∵a、b、c成等差数列,且公差为4,∴44abcb=−=+,∵∠MCN=120°，∴2222coscaba

bMCN=+−,即()()()2224424cos120bbbbb+=−+−−°,∴b=10（2）由题意,在ABC中,sinsinsinACBCABABCBACACB==,则()ACBC12==

sinsin120sin60−,∴83sinAC=,()83sin60BC=−．,∴观景路线A-C-B的长()()83sin83sin6083sin60yACBC=+=+−=+．．,且060．．,∴θ=30°

时,观景路线A-C-B长的最大值为83【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边,考查正弦定理的应用,考查三角函数的最值问题,考查运算能力18.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BCC1B1，AC＝AB1．（1）求证：平面ABC1⊥平面

AB1C；（2）若AB＝BC＝2，∠BCC1＝60°，求二面角B﹣AC1﹣B1的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）77．【解析】【分析】（1）设BC1∩B1C＝G，连结AG，推导出AB⊥B1C，从而B1C⊥平面ABC1，由此能证明

平面ABC1⊥平面AB1C．（2）以G为坐标原点，GC1为x轴，GB1为y轴，过G作平面BCC1B1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AC1﹣B1的余弦值．【详解】证明：（1）如图，设BC1∩B1C＝G，连结AG，∵三棱柱的侧面B

CC1B1是平行四边形，∴G是B1C的中点，∵AC＝AB1，∴△AB1C是等腰三角形，∴B1C＝AG，∵AB⊥侧面BCC1B1，且B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，又∵AB∩AG＝A，∴B1C⊥平面ABC1，又∵B1C⊂平面AB1C，∴平面ABC1⊥平面AB1C．（2

）由（1）知B1C⊥平面ABC1，∴B1C⊥BC1，以G为坐标原点，GC1为x轴，GB1为y轴，过G作平面BCC1B1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由B1C⊥BC1，得到四边形BCC1B1是菱形，∵AB＝BC＝2，∠BCC1＝60°，∴GB＝G

C1＝1，GC＝B1G3=，则G（0，0，0），C1（1，0，0），B1（0，3，0），A（﹣1，0，2），∴1AC=（2，0，﹣2），11BC=（1，3−，0），设平面AB1C1的法向量n=（x，y，z），由1112

2030nACxznBCxy=−==−=，取x＝1，得n=（1，33，1），由（1）知1GB=（0，3，0）是平面ABC1的法向量，设二面角B﹣AC1﹣B1的平面角为θ，则cosθ111777GBnGBn==

=，∴二面角B﹣AC1﹣B1的余弦值为77．【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理,重点考查了空间向量的应用,属中档题.19.绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机

抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表）

．（2）若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？水果达人非水果达人合计男10女30合计（3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一

：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为12,且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．附：参考公式和数

据：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++.临界值表：0k2.0722.7063.8416.6357.87920()PKk0.1500.1000.0500.0100.005【答案】（1）62

元（2）见解析（3）方案二更划算．【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数即可；（2）根据题意补充列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；（3）分别计算选方案一、方案二所支付的款数，比较它们的大小即可．【详解】（1）(100.005300.0075500.010700

.0125900.0101100.005)20x=+++++62=．估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．（2）列联表如下：水果达人非水果达人合计男104050女203050合计307010022100(10302040)

4.7613.84150503070−==,因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系．（3）若选方案一：则需付款101210110−=元；若选方案二：设付款X元，则X可能取值为84，96，108，120．33311(84)28PXC

===，223113(96)228PXC===，213113(108)228PXC===，30311(120)28PXC===，所以1331()84961081201028888EX=++

+=．因为102110，所以选择方案二更划算．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图、平均数、独立性检验及数学期望等基础知识，也考查了运算求解能力、数据处理能力、应用意识，是中档题．条形分布直方图的面积

表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.20.已知抛物线2:2(0)Cxpyp=上一点()M,9m到其焦点下的距

离为10.（1）求抛物线C的方程；（2）设过焦点F的的直线l与抛物线C交于,AB两点，且抛物线在,AB两点处的切线分别交x轴于,PQ两点，求APBQ的取值范围.【答案】（Ⅰ）24xy=（Ⅱ）)2,+【解析】【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义，可得到9

102p+=，即可求出p，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直线l的斜率一定存在，可设斜率为k，直线l为1ykx=+，设211,4xAx，222,4xBx，由21{4ykxxy=+=可得2440xkx−−=，

124xxk+=，124xx=−，然后对214yx=求导，可得到PA的斜率及方程表达式，进而可表示出AP，同理可得到BQ的表达式，然后对APBQ化简可求出范围．【详解】解：（Ⅰ）已知(),9Mm到焦点F的距离为10，则点M到准线的距离为10.∵抛物线的准线为2py

=−，∴9102p+=，解得2p=，∴抛物线的方程为24xy=.（Ⅱ）由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为()0,1F，则l：1ykx=+.设211,4xAx，222,4xBx，由21{4ykxxy=+=消去y得，2440xkx−−=，∴124xxk+=，124x

x=−.由于抛物线C也是函数214yx=的图象，且1'2yx=，则PA：()2111142xyxxx−=−.令0y=，解得112xx=，∴11,02Px，从而()2211144APxx=+.同

理可得，()2222144BQxx=+，∴()()222121214(4)16APBQxxxx=++()()()2222121212116416xxxxxx=+++221k=+.∵20k，∴APBQ的取值范围为)2,+.【

点睛】本题考查了抛物线的方程的求法，考查了抛物线中弦长的有关计算，考查了计算能力，属于难题．21.已知函数2()xfxeax=−，其中常数aR．（1）当(0,)x+时，不等式()0fx恒成立，求实数a的取

值范围；（2）若1a=，且[0,)x+时，求证：2()414fxxx+−．【答案】（1）24ea；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用参变分离将问题转化为2xeax在0x恒成立，再构造函数2()xegxx=，求出函数的最小值，即可得答案；（2）若1a=，

则2()414fxxx+−224140xexx−−+在0x恒成立，利用隐零点法，可证得不等式成立.【详解】（1）()0fx在0x恒成立2xeax在0x恒成立，令2()xegxx=，则2

'432(2)()xxxexexexgxxx−−==，'()02gxx，'()002gxx，()gx在(0,2)单调递减，在(2,)+单调递增，2min()(2)4egxg==，24ea.（2）若1a=，则2()414fxxx+−224140x

exx−−+在0x恒成立，令2()2414xpxexx=−−+，'()44xpxex=−−，''''()40ln4,()00ln4,xpxexpxx=−'()px在(0,ln4)单调递减，在(ln4,)+单调递增，又'(0)3p=−，'2'3(2)120,(3)160p

epe=−=−，存在唯一的0(2,3)x使得0'00()440xpxex=−−=，()px在0(0,)x单调递减，在0(,)x+单调递增，022min000()2414218xpxexxx=−−+=−+，

0(2,3)x，022min000()2414218xpxexxx=−−+=−+(0,10)，2()2414xpxexx=−−+0恒成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查根据不等式恒成立求参数的取值范围、利用导数证明不等式，考查函数与方程思

想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是cos2sin

xy==（为参数）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为曲线C上两点，且OAOB⊥，设射线OA：02=.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求OAOB的最小值.【答案】（1）2221c

os=+（2）43【解析】【分析】（1）先将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，再将cosx=，siny=代入化简即可.（2）根据题意得到射线OB的极坐标方程为2=+或2=−，利用极径的几何意义得到OA

，OB，建立模型，利用基本不等式求解.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为直角坐标方程：2212yx+=，将cosx=，siny=代入可得22(sin)(cos)12+=，化简得C：2221cos=+.（2）由题意知，射线OB的极坐标方

程为2=+或2=−，∴1221cosOA==+，2221sinOB==+，∴()()22222221cos1sin1cos1sinOAOB==++++22241cos1sin32=+++，当且仅当221cos1sin+

=+，即4=时，OAOB取最小值43.【点睛】本题主要考查参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的转化，以及椭圆方程的求法以及垂直弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f（x）＝|

x|+|x﹣1|．（1）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（2）在（1）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2＝M，证明：a+b≥2ab．【答案】（1）2（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函

数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（2）法一：综合法，利用基本不等式证明即可；法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．【详解】（1）由已知可得()120101211xxfxxxx−=−

，＜，＜，，所以fmin（x）＝1，所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M＝2.（2）法一：综合法∵正实数a，b满足a2+b2＝2，∴ab≤1∴1ab，当且仅当a＝b时取等号，①又∴12abab+∴2aba

bab+，当且仅当a＝b时取等号，②由①②得，∴12abab+，所以a+b≥2ab法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证222()4abab+，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，所以只要证2+2ab≥4a2b2，即证2(ab)2-a

b-1≤0，即证(21)(1)0abab+−,因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2＝a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式恒成立问题，综合法，分析法证明不等式，分类讨论的思想，属

于中档题.