【文档说明】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 含解析 .docx，共(20)页，1.132 MB，由小赞的店铺上传

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湖南师大附中2023-2024学年度高一第一学期期中考试数学（考试范围：必修1第一章～第四章）时量：120分钟满分：150分得分：______一、选择题1.“xR，2ee60xx−−”的否定是（）A.xR，2ee60xx−−B.x

R，2ee60xx−−C.xR，2ee60xx−−D.xR，2ee60xx−−【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，“xR，2ee60xx−−”的否定是xR，2ee60xx−−.故选：B2.集

合()ln5Axyx==−，2xByy==，则AB=Rð（）A.()5,0xxyyB.(),0−C.(,0−D.()0,5【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域求集合A，根据指数函数值域

求集合B，然后利用集合的交集运算和补集运算求解即可.【详解】要使函数()ln5yx=−有意义，则50x−，解得5x，所以()()ln55,5Axyxxx==−==−，又20xByyyy==

=，所以(0,0Byy==−Rð，所以AB=Rð(,0−.故选：C3.三个数0.20.40.44,3,log0.5的大小顺序是A.0.40.20.43<4log0.5B.0.40.20.43<log0.5<4C.0.40.20

.4log0.534D.0.20.40.4log0.543【答案】D【解析】【详解】由题意得，120.20.455550.40log0.51444339====，故选D.4.若函数()22622,1,1axaxaxfxxx−−++=是R上的单调函数，则a

的取值范围是（）A.)1,3B.()3,+C.()1,2D.1,2【答案】D【解析】【分析】由函数解析式知函数在R上单调递减，建立不等关系解出即可.【详解】因为函数()fx在R上单调，由222yxaxa=−++在上(,1−不可能单调

递增，则函数()fx在R上不可能单调递增，故()yfx=在R上单调递减，所以2612601221aaaaa−−−++，解得12a，所以a的取值范围是1,2.故选：D.5.“函数()()12log3fxax=−在区间1,2上单调递增”的充分必要条件是（）A

.()0,a+B.()0,1aC.30,2aD.30,2a【答案】C【解析】【分析】根据复合函数的单调性可知，内层函数3uax=−在1,2上单调递减去，且对任意的1,2x，30ax−

恒成立，即可求得实数a的取值范围.【详解】设3uax=−，因为外层函数12logyu=在()0,+上为减函数，且函数()()12log3fxax=−在区间1,2上单调递增，所以，内层函数3uax=−在1,2上单调递减，则0a，且对任意的1,2x，30a

x−恒成立，即3ax恒成立，则min332ax=，所以，302a.故选：C.6.如图，点O为坐标原点，点(1,1)A，若函数(0,1)xyaaa=且及logbyx=的图象与线段OA分别交于点M，

N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足．A.1abB.1baC.1baD.1ab【答案】A【解析】【分析】由,MN恰好是线段OA的两个三等分点，求得,MN的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得

,ab的值，即可求解.【详解】由题意知(1,1)A，且,MN恰好是线段OA的两个三等分点，所以11,33M，22,33N，把11,33M代入函数xya=，即1313a=，解得127a=，把22,33N代入函数logbyx=，即2

2log33b=，即得3222639b==，所以1ab.故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,ab的值是解答的关键，着重考查

了推理与运算能力，属于基础题.7.已知()fx是奇函数，()gx是偶函数，且()()2ee232xxfxgxx−−+=+−，则不等式()()322fxfx−+的解集是（）A.1,3−B.1,3+

C()1,5,3−+D.1,53【答案】A【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可得出()fx、()gx的方程组，解出函数()fx的解析式，分析函数()fx的单调性，结合(

)()322fxfx−+可得出关于x的不等式，即可得出原不等式解集.【详解】因为()()2ee232xxfxgxx−−+=+−①，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，则()()2ee232xxfxgxx−−−+−=+−，即()()2ee232xxfxgxx−−−+=+−②，由①②可得()ee2

xxfx−−=，因为函数exy=、exy−=−均为R上的增函数，所以，函数()ee2xxfx−−=为R上的增函数，由()()322fxfx−+，可得322xx−+，解得13x.因此，不等式()()322fxfx−+

的解集是1,3−.故选：A.8.函数()()log231afxx=−+（0a且1a）的图象恒过定点(),Amn，若对任意正数x、y都有4mxny+=，则121xy++的最小值是（）A

.2B.3922C.1D.43【答案】D【解析】.【分析】求出定点A的坐标，可得出()216xy++=，然后将代数式()1216xy++与121xy++相乘，展开后利用基本不等式可求得121xy++的最小值.

【详解】对于函数()()log231afxx=−+（0a且1a），令231x−=，可得2x=，且()2log111af=+=，所以，()2,1A，即2m=，1n=，对任意的正数x、y都有4mxny+=，即24xy+=，则()216xy++=，所以，()()41121121214161

61xyxyxyxyyx++=+++=+++++()411442613xyyx++=+，当且仅当()411240,0xyyxxyxy+=++=时，即当123xy==时，等号成立，所以，121xy++的最小

值是43.故选：D.二、选择题9.下列函数既是偶函数，又在区间(),0−上是减函数的是（）A15yx=B.3xy=C()2lg1yx=+D.1yxx=−【答案】BC【解析】【分析】根据幂函数性质可判断A；根据函数奇偶性的定义以及函数的单调性可判

断B；根据函数奇偶性定义及复合函数的单调性法则可判断C；根据函数的奇偶性的定义可判断D.【详解】对于A，15yx=的定义域为R关于原点对称，且()1155xx−=−，..所以15yx=为奇函数，不符合题意；对于B，设()3xgxy==，定

义域为R，满足()3()xgxgx−−==，即()3xgxy==为偶函数；当(),0x−时，()3xgx−=减函数，符合题意；对于C，()2lg1yx=+的定义域为R关于原点对称，且()()22lg1lg1xx−+=+，所以()2lg1yx=+为偶函数；当(),0x−时，2

1tx=+为减函数，lgyt=为增函数，根据复合函数单调性法则知，()2lg1yx=+在区间(),0−上是减函数，符合题意；对于D，1yxx=−的定义域为()(),00,−+U关于原点对称，且()()11xxxx

−−=−−−，所以1yxx=−为奇函数，不符合题意.故选：BC10.下列叙述正确的是（）A.当0x时，12xx+B.当4x时，41xx+−的最小值是5C.函数12(0)yxxx=++的最大值是0D.函数ayxx=+在区间)3,+上单调递增，则a的取值范围是(,9−【答

案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式求最值判断ABC，利用单调性的定义和性质求解参数范围判断D.【详解】对于A，当0x时，11122xxxxxx+=+=，当且仅当1xx=，即1x=时，等号成立，正确；对于B，因为4x，则10x−，所以()444112115111xxxxxx

+=−++−+=−−−，为当且仅当411xx−=−即3x=时，等号成立，但是34，所以等号取不到，即451xx+−，错误；对于C，当0x时，()()()()112220yxxxx=−−+−−=−−，当且

仅当1xx−=−，即=1x−时，等号成立，正确；对于D，当a<0时，函数yx=在)3,+单调递增，函数ayx=在)3,+上单调递增，由单调性的性质知，函数ayxx=+在)3,+上单调递增；当0a=时，函数yx=在)3,+上单调递增

；当0a时，任取213xx，122112212121211212()()()axxxxxxaaayyxxxxxxxxxx−−−−=+−−=−+=，当210axx时，1221120,0,xxxxxxa−，则有21yy，当21xxa时，1221120,0,xxxxx

xa−，则有21yy，所以函数()0ayxax=+在()0,a单调递减，(),a+单调递增，所以要使函数()0ayxax=+在区间)3,+上单调递增，则3a，所以(0,9a.综上，

(,9a−，正确.故选：ACD11.德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”1,()0,RxQyfxxQ==ð其中R为实数集，Q为有理数集．则关于函数()fx有

如下四个命题，正确的为（）A.对任意xR，都有()()0fxfx−+=B.对任意1Rx，都存在2Qx，()()121fxxfx+=C.若0a，1b，则有()()xfxaxfxb=D.存在三个点()()11,Axfx，()()

22,Bxfx，()()33,Cxfx，使ABC为等腰直角三角形【答案】BC【解析】【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．【详解】解：对于A选项，当xQ，则x−Q，此时()()1120fxfx+−=+=，故A选项错误；对于B选项，当任意1Qx时，存在2

Qx，则12Qxx+，故()()1211fxxfx+==；当任意1RxQð时，存在2Qx，则12RQxx+ð，故()()1210fxxfx+==，故对任意1Rx，都存在2Qx，()()121fxxfx+=成立，故B选项正确；

对于C选项，根据题意得函数()fx的值域为0,1，当0a，1b时，(),()xfxaRxfxbR==，故C选项正确；对于D选项，要为等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：①直角顶点A在1y=上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，则

BC中点的横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A在1y=上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A在

x轴上，斜边在1y=上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A在x轴上，斜边不在1y=上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也

应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,Axfx，()()22,Bxfx，()()33Cxfx，，使得ABC为等腰直角三角形，故选项D错误．故选：BC.【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查数

学推理与运算等核心素养，是难题.本题D选项解题的关键是根据题意分直角顶点A在1y=上，斜边在x轴上；直角顶点A在1y=上，斜边不在x轴上；直角顶点A在x轴上，斜边在1y=上；直角顶点A在x轴上，斜边不在1y=上四种情况讨论求解.12.已知连续函数()fx满足：①,

xyR，则有()()()1fxyfxfy+=+−，②当0x时，()1fx，③(1)2f=−，则以下说法中正确的是（）A.()01f=B.()()444fxfx=−C.()fx在3,3−上的最大值是10D.不等式()()()23234fxfx

fx−+的解集为2|13xx【答案】ACD【解析】【分析】依题意令0xy==，求出()0f，从而判断A；令yx=得到()()221fxfx=−，再令2xx=，2yx=，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于()()2

352fxfx−，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D.【详解】因为,xyR，则有()()()1fxyfxfy+=+−，令0xy==，则()()()0001fff=+−，则()01f=，故A正确；令yx=，则()()()()2121fxfxfxfx=+−=−，令2

x代x，2yx=则()()()()22221221fxxfxfxfx+=+−=−，即()()()42212211fxfxfx=−=−−，即()()443fxfx=−，故B错误；设12,Rxx且12xx，则210xx−，由

()()()1fxyfxfy+=+−，令yx=−，则()()()01ffxfx=+−−，即()()2fxfx+−=，令2xx=，1yx=−，则()()()()()212121121fxxfxfxfxfx−=+−−=+−−，即()()(

)21211fxxfxfx−−=−，因为0x时，()1fx，又210xx−，故()211fxx−，所以()()()212110fxfxfxx−=−−，所以()()21fxfx，即()fx在R上单

调递减，又()12f=-，所以()()22115ff=−=−，()()()32118fff=+−=−，又()()332ff+−=，所以()()32310ff−=−=，故()fx在3,3−上的最大值为10，故C正确；由()()()23234fxfxfx−+，即()()()()233

4fxfxfxfx+++，即()()232324fxfxx+++，即()()23571fxfx+−，又因为()()222ff+−=，即()27f−=，所以()()()23521fxfxf+−−，即()(

)2352fxfx−，故2352xx−，即()()3210xx−−，解得213x，即原不等式的解集为2|13xx，故D正确；故选：ACD.答题卡题号123456789101112得分答案三、填空题13.计算：22

23log332712lglg25284−++−=______.【答案】31−##13−+【解析】【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可.【详解】()22222333log33271232l

glg253lg4lg2528432−++−=+−+22233lg1001323132=+−=+−=−.故答案为：31−.14.已知函数f(x)＝2

2xxax++，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－3，＋∞)【解析】【分析】因为x∈[1，＋∞)，所以f(x)>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0，令g(x)＝-x2-

2x，利用分离参数法求g(x)的最大值可得.【详解】对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立；等价于x2＋2x＋a>0，即a>－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝－(x＋1)2＋1，则g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g（1）＝－3，所以a>－3.【

点晴】（1）()afx恒成立等价于max()afx；（2）()afx恒成立等价于min()afx；（3）()afx能成立等价于min()afx；（4）()afx能成立等价于max()afx<.15.已知函数()fx是定义域为()(),

00,−+U的奇函数，且()20f−=，若对任意的()12,0,xx+，且12xx，都有()()1122120xfxxfxxx−−成立，则不等式()0fx的解集为______.【答案】()(2,02,)−+【解析】【分析】令()(

)gxxfx=，根据题意，得到()ygx=为偶函数，且()0,+上递减，在(),0−上递增，又由()()220gg−==，把不等式()0fx转化为()0gxx，分类讨论，即可求解.【详解】因为对任意的()12,0,xx+，且12xx，都有()()1122120xfxxfxx

x−−成立，不妨设12,(0,)xx+且12xx，所以()()11220xfxxfx−，令()()gxxfx=，则()()()()1111220gxgxxfxxfx−=−，所以函数()ygx=在()0,+上单调递减，又由函数()fx为定义在(),0(0,)−

+上的奇函数，所以()gx为偶函数，且()ygx=在(),0−上单调递增，由()20f−=，可得()()()()22220ggf=−=−−=，作出()gx的示意图：由于不等式()0fx，即为()0gxx，当0x时，不等式可化为()0gx，可得2x；当

0x时，不等式可化为()0gx，可得20x−，所以不等式()0fx的解集为()(2,02,)−+.故答案为：()(2,02,)−+.16.已知函数222,0()2,0xxxfxxxx−+=−

，若关于x的不等式()()20fxafx+恰有1个整数解，则实数a的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】数形结合，结合函数的图像即可得出结论.【详解】函数()fx的图象,如图所示,关于x的不等式()()20fxa

fx+，当0a时,()0afx−,由于关于x的不等式2()()0fxafx+恰有1个整数解,因此其整数解为3,又(3)963f=−+=−,所以30,(4)8aaf−−−=−,则38a,所以实数a的最大值为8,故答案为：8.四、解答题17.已

知函数()27,23,23212,3kxxfxaxxxx+−=−−−+，其中()()85ff=−，()12f−=−.（1）求函数()fx的解析式；（2）已知方程()1fx=的解集.【答案】（1）()237,23,23212,3xxfxxxxx+−=−−−+（2

）112,2,2−【解析】【分析】（1）根据已知条件求出k、a的值，即可得出函数()fx的解析式；（2）分<2x−、23x−、3x三种情况解方程()1fx=，即可得出原方程的解集.【小问1详解

】解：因为()27,23,23212,3kxxfxaxxxx+−=−−−+，则()812284f=−=−，所以，()()()84745fffk=−=−=−，解得3k=，()132fa−=−=−，可得1a=，故()237,23,23212,3xxfxxxxx+−

=−−−+.【小问2详解】解：因为()237,23,23212,3xxfxxxxx+−=−−−+.当<2x−时，由()371fxx=+=，可得2x=−，舍去；当23x−时，由()231fxx=−=，可得2x

=；当3x时，由()1221fxx=−=，可得112x=.综上所述，方程()1fx=的解集为112,2,2−.18.已知函数()4141xxfx−=+.（1）判断()fx的奇偶性并证明；（2）解不等式()2log1fx−.

【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）)(44log3,00,log3−【解析】【分析】（1）判断出函数()fx为奇函数，再利用函数奇偶性的定义证明即可；（2）由已知可得出()12fx且()0fx，可得出1433x且41x，结合指数函数的单调性可得出x的取值范围，即可得解.

【小问1详解】解：函数()fx为奇函数，证明如下：对任意的xR，410x+，故函数()fx的定义域为R，()()()()44141144114441xxxxxxxxfxfx−−−−−−−−====−+++，故函数()fx为奇函数.【小问2详解】解：由()2log1fx−，可

得()12fx且()0fx，即14112412xx−−+且41041xx−+，可得1433x且41x，解得4log30x−或40log3x，因此，不等式()2log1fx−的解集

为)(44log3,00,log3−.19.已知函数()221fxxaxa=−−−，aR.（1）当1a=时，解不等式()6fx；（2）若00,2x，使得()00fx，求实数a的取值范围.【答案】（1）

2xx−或4x（2）35a【解析】【分析】（1）当1a=时，利用二次不等式的解法可得出不等式()6fx的解集；（2）由参变量分离法可知，00,2x，使得200121xax−+，令021

1,5tx=+，可得出2001132214xtxt−=−−+，利用单调性求出函数1324ytt=−−上的最大值，即可得出实数a的取值范围.【小问1详解】解：当1a=时，()222fxxx=−−，由()6fx可得2280xx−−，解得2x−或4x，故当1a

=时，不等式()6fx的解集为2xx−或4x.【小问2详解】解：因为00,2x，使得()()20002110fxxax=−+−，因为01215x+，则200121xax−+，令0211,5tx=+，则012tx−

=，则22001111322214txtxtt−−−==−−+，因为函数2yt=−、3yt=−在1,5上均为增函数，所以，函数1324ytt=−−在1,5上为增函数，则max13352455y=−−=，故35a

.20.已知()fx是定义在区间[1,1]−上的奇函数，且(1)1f=，若,[1,1]ab−，0ab+时，有()()0fafbab++.（1）判断函数()fx在[1,1]−上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）若2()55

fxmmt−−对所有[1,1]x−，[1,1]t−恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）是增函数，证明见解析；（2）(,6][6,)−−+．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在[﹣1，

1]上是的增函数；（2）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式max()fx≤m2﹣5mt-5进行转化，结合二次函数性质即可求实数m的取值范围．【详解】（1）函数()fx在[－1，1]上是增函数.设1211xx-??∵(

)fx是定义在[－1，1]上的奇函数，∴2121()()()()fxfxfxfx−=+−.又1211xx-??，∴21()0xx+−，由题设2121()()0()fxfxxx+−+−有21()()0fxfx+−，即12()()

fxfx，所以函数()fx在[－1，1]上是增函数.（2）由（1）知max()(1)1fxf==，∴2()55fxmmt−−对任意[1,1]x−恒成立，只需2155mmt−−对[1,1]t−]恒

成立，即2560mmt−−对[1,1]t−恒成立，设2()56gtmmt=−−，则(1)0(1)0gg−22560560mmmm+−−−6,11,6mmmm−−，解得6m−或6m，∴

m的取值范围是(,6][6,)−−+．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．21.某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果.研发人员通过多次试验发现每投放()14,aaaR克洗衣液在一定量水的

洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为()yafx=，其中()2,0462,43xxfxxx=+−，且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效

去污的作用.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.（1）若一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（2）如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y（克/升）

与时间x（分钟）的函数关系式，其中x表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污.【答案】21.422.()2483,483242416,837xxxyxxx+−−=++−−，能够持续有效去污【解析】【分析】（1）根据题意得到8,04248,4

3xxyxx=+−，分类讨论，列出不等式，即可求解；（2）根据题意，求得当48x时，()24833yxx=+−−，当8x时，24241637yxx=++−−，结合基本不等式求得最小值，即可求解.【小问1详解】因为4a=，所以()8,044248

,43xxyfxxx==+−，当04x时，由816x，解得24x；当>4x时，由248163x+−，解得46x；综上可得26x，所以一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达4分钟.【

小问2详解】由（1）知，当48x时，可得()()24248848333yxxxx=++−=+−−−，当8x时，可得24242424881634337yxxxx=+++=++−−−−−，综上所述()2483,483242

416,837xxxyxxx+−−=++−−，当48x时，()()24248328316333yxxxx=+−−=−−，当且仅当()24833xx=−−即33x=+时，等号成立，因为16316，所以接下来的4分钟能够持续有

效去污.22.我们知道，函数()yfx=的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数()yfx=为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数()yfx=的图象关于xa=成轴对称图形的充要条件是函数()yfxa=+为偶函数.（1）已知函数()()

2112eexxxxxa−−+=−++，求该函数图象的对称轴方程；（2）若函数()gx的图象关于直线1x=对称，且当1x时，()21gxxx=−.①求()gx的解析式；②求不等式()()31gxgx−的解集.【答案】（1）1x=（2）①()()221,112,1

2xxxgxxxx−=−+−；②1324xx.【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义推导出函数()()1hxx=+为偶函数，即可得出结果；（2）①当1x时，可得出()()2gxgx=−，即可得出函数()gx的解析式；②分析函数()gx在)1,+上

的单调性，由()()31gxgx−，可得出132xx−−，不等式两边平方，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【小问1详解】解：因为()()()()21111eexxxxa−−−=−−++，因为()()211eexxxxa−+=−++，

令()()1hxx=+，则该函数的定义域为R，()()()()()221ee1eexxxxhxxaxahx−−−=−−++=−++=，所以，函数()()1hxx=+为偶函数，因此，函数()()2112eexxxxxa−−+=−+

+图象的对称轴方程为1x=.【小问2详解】解：①因为函数()gx的图象关于直线1x=对称，且当1x时，()21gxxx=−当1x时，21x−，则()()()()221122222gxgxxxxx=−

=−−=−+−−，所以，()()221,112,12xxxgxxxx−=−+−.②当1x时，()21gxxx=−，因函数2yx=、1yx=−在)1,+上为增函数，所以，函数()21gxxx=−在)1,+

上为增函数，因为()()31gxgx−，则132xx−−，不等式两边平方可得()()22321xx−−，即()()21430xx−−，解得1324x，因此，不等式()()31gxgx−的解集为1324xx.为获

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