【文档说明】浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.508 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第二学期台州八校联盟期中联考高一年级数学学科试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1.已知复数()2i1izkk=+++是纯虚数，则实数k=（）A.0B.2C.－1

D.1【答案】D【解析】【分析】先化简为()()11izkk=−++，再根据纯虚数的定义即可求解.【详解】()()()2i1i11izkkkk=+++=−++，因为复数z是纯虚数，所以1010kk−=+，

解得1k=.故选：D2.如图，在ABC中，2ADDC=，若BAa=，BCb=，则BD=（）A.2ab+B.12ab+C.1233ab+D.2133ab+【答案】C【解析】【分析】根据23ADAC=，,BDBAADACBCBA=

+=−即可求解.【详解】因为2ADDC=，所以23ADAC=，所以()22123333BDBAADaACaBCBAab=+=+=+−=+.故选：C.3.已知空间中点A，B，直线l，平面α，若Al，Bl，

AÏ，B，则下列结论正确的是（）．A.l∥B.l与ɑ相交C.lD.以上都有可能【答案】B【解析】【分析】根据点、线和平面的位置关系求解.【详解】因为Al，AÏ，所以l，又因为Bl，

B，所以l与ɑ相交，故选：B4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若60,45,3ABa===，则b=（）A.1B.3C.2D.6【答案】D【解析】【分析】直接利用正弦定理的应用和三角函数值的应用求出结果．【详解】解：

在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若60A=，45B=，3a=，利用正弦定理：sinsinabAB=，整理得：232632b==．故选：D．【点睛】本题考查正弦定理的应用，主要考查学生的

运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5.如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（）．A.3010B.4010C.5010D.6010【答案】D【解析】【分析】利用直四棱

柱的结构特征及已知条件求相关棱长5102AB=，进而求棱柱的侧面积.【详解】如图，连接,ACBD交点为O，则对角线13AC=，9BD=，所以11319,2222AOACBOBD====，因为直四棱柱的底面是菱形，所以ACBD⊥，所以2222139510222ABAOBO=+=+=

，∴直四棱柱的侧面积5104660102S==.故选：D.6.在ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足13ANNM=，若(,)ANABACR=+，则+的值为()A.

14B.13C.1D.4【答案】A【解析】【分析】设BMtBC=，将AN用AB、AC表示出来，即可找到和的关系，从而求出+的值．【详解】解：设(01)BMtBCt=剟，13ANNM=，所以11()44ANAMABBM==+1144ABtBC=+11()44ABtACAB

=+−111()444tABtAC=−+，又ANABAC=+，所以1111()4444tt+=−+=．故选：A．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来，属中档题．7.如

图，在圆C中，5AC=，点A，B在圆上，4AB=，则ABACuuuruuur的值为（）A.25B.8C.10D.16【答案】B【解析】【分析】在圆C中，过点C作CDAB⊥于D，求出2cos5A=，进而利用平面向量的数量积即可求解.详解】如图所示，在圆C中，过点C作CDAB⊥于D，则D为AB的中

点，在RtACD△中，122ADAB==，可得2cos5ADAAC==，所以2cos4585ABACABACA===uuuruuuruuuruuur，故选：B.的【8.已知四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，

四边形ABCD为正方形，6PAAB==，平面过PB，BC，PD的中点，则下列关于平面截四棱锥PABCD−所得的截面正确的为（）A.所得截面是正五边形B.截面过棱PA的三等分点C.所得截面面积为4564D.截面不经过CD中点【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，作出平

面截四棱锥PABCD−所得的截面多边形，再逐一判断各选项即可.【详解】在四棱锥PABCD−中，6PAAB==，取,,,PBBCCDPD中点分别为,,,EFGH，连接,,EHEFFH，FG，GH，BD，AC，如图，因底面ABCD为正方形，E，F，H分

别是棱PB，BC，PD的中点，则////,////EHBDFGEFPCGH，所以四边形EFGH是平行四边形.对于A，令FGACJ=，有14CJAC=，在PA上取点I，使14PIPA=，连接EI，HI，JI

，则////JIPCEF，因为点J平面EFGH，有JI平面EFGH，所以点I平面,,EFGHEIHI平面EFGH，因此五边形EFGHI是平面截四棱锥PABCD−所得的截面多边形，而2211132,33222FGBDEFPCPAAC====+=，所以截面不是正五边形，A

错误；对于B，由A选项分析，可知截面过棱PA的四等分点，B错误；对于C，PA⊥底面,ABCDFG平面ABCD，则PAFG⊥，而,//BDACBDFG⊥，则ACFG⊥，又,,PAACAPAAC=平面PAC，因此FG⊥平面,PAC

PC平面PAC，于是得FGPC⊥，有FGEF⊥，所以矩形EFGH面积等于39396,42EFFGJIPC===，而JIEH⊥，则IEH边EH上的高等于332JIEF−=，所以13396224AEHSEH==，所以截面五边形EFGHI面积为964569644+=，C正确；对于D，截面经过CD中

点，D错误.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分．9.已知复数1iz=，22iz=−，

下列结论正确的有（）A.1212zzzz=B.若21zz−=，则z的最大值为5C.12Rzz+D.12zz在复平面内对应的点在第二象限【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的概念、四则运算和复数的几何意义逐项进行验证即可求解.【详解】对于A，因为复数1iz=

，22iz=−，则()()12·i2i12izz=−+=−，12i(2i)12izz=−=−，所以1212zzzz=，故选项A正确；对于B，设复数izxy=+，则222121z(x)()zy=−+−=+，则22(2)(1)1xy−++=，所

以复数z对应点的坐标是以(2,1)−为圆心，以1为半径的圆，而z表示圆上一点到坐标原点的距离，因为原点到圆心的距离5d=，所以5151z−+，则z的最大值为51+，故选项B错误；对于C，因为12R2zz+=，故选项C正确；对于D，因为复数1

iz=，22iz=−，则12i(2i)12izz=+=−+，其在复平面内对应的点为(1,2)−，位于第二象限，故选项D正确，故选：ACD.10.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若10b=，45A=，则使此三角形有两解的a的值可以是（）A.5B.62C.8D.102

【答案】BC【解析】【分析】根据三角形解的个数判断，即A为锐角时，sinbAab三角形有两解.【详解】当A为锐角时，三角形有两解.sinbAab，5210a，a的值可以是62，8，故选：BC.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，考查运算求解能力，属于基础题.11.AB

C的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有（）A.若1c=，45C=，则22R=B.若222abc+，则ABC可能是直角三角形C.若3AB=，则3ab=D.若sin2sin2sin2ABC+=，则ABC是直角三角形【答

案】ABD【解析】【分析】结合题意，利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换逐项进行验证即可求解.【详解】对于A，若1c=，45C=，在ABC中，由正弦定理可得2sincRC=，则22R=，故选项A正确；对于B，若222abc+，则由余弦定理可得，222cos02abcCab+−=，因为(

0,π)C，所以角C为锐角，则ABC可能是直角三角形，故选项B正确；对于C，若3AB=，由正弦定理可得sinsinsin3abaABB==，并不能得出3ab=，故选项C错误；对于D，若sin2sin2sin2ABC+=，

由πABC++=可得22π(22)CAB=−+，则sin2sin2sin2sin[2π(22)]sin(22)ABCABAB+==−+=−+，化简可得sin2sin2sin2cos2cos2sin2ABABAB+

=−−，则sin2(1cos2)sin2(1cos2)0ABBA+++=，即224sincoscos4sincoscos0AABBBA+=，也即coscos(sincoscossin)coscossin()0ABABABABAB

+=+=，在ABC中，因为,,(0,π)ABC且πABC++=，所以sin()0AB+，则coscos0AB=，所以π2A=或π2B=，则ABC为直角三角形，故选项D正确，故选：ABD.12.如图，圆锥底面的直径为3，32SS=侧底，E为PB的中点，则下列说法正确的有（）A

.圆锥的体积为938B.圆锥内切球的半径为()3232−C.过P截圆锥所得截面面积最大为32D.A点沿圆锥表面到E的最短路经长为153π3cos42−【答案】BCD【解析】【分析】结合底面半径和侧面积求出母线，圆锥的高，求解圆锥的体积判断A,由内接球的性质，

结合几何关系即可求解1r即可判断B；由hr可判断过点P作平面截圆锥OP的截面面积最大时对应三角形为等腰直角三角形，结合面积公式可求解判断C；由侧面展开图，结合余弦定理求解判断D．【详解】因为23πππ2SrllSr===测底，，由32S

S=侧底解得3l=，即圆锥母线长为3，则高32h=，故圆锥的体积为2119333ππ=π33428rh=,故A错误,设内切球1O的半径为1r，1OD垂直于交PA于点D，如图，则对1PDO△，由于3,3,60

2POPAAPO===,所以11sinODOPAPO=,所以()363322hrrr−−==，故B正确，过点P作平面截圆锥OP的截面面积的最大时，由于PAC△为等腰三角形，如图，因为hr，故恰

好PAPC⊥时取到最大值，此时133322PACS==，故C正确；沿母线PA，PB剪开，并将圆锥的半侧面展开如图，易知23PAPE==，又AB弧长为3ππ2r=，3π32π23APE==，所求最近路线长()223

33153323cosπ3cosπ22242AE=+−=−，D正确．故选：ACD．非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()(),2,2,1,3,axbcx===，若//ab，则bc+=________.【答案】52.【

解析】【分析】先利用向量平行求出4x=，进而求出bc+.【详解】因为向量()(),2,2,1axb==，且//ab，所以40x−=，解得：4x=.所以()5,5bc+=，所以225552bc+=+=.故答案

为：52.14.已知复数z满足1z=，则25iz−−的取值范围为______．【答案】2,4【解析】【分析】根据复数模的几何意义，转化为点()2,5到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即

可.【详解】1z=表示z对应的点是单位圆上的点，25iz−−的几何意义表示单位圆上的点和()2,5之间的距离，25iz−−的取值范围转化为点()2,5到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，所以最大距离

为4514++=，最小距离为4512+−=，所以25iz−−的取值范围为2,4.故答案为：2,4.15.已知圆柱体的底面半径为3cm2，高为5πcm，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短

路径长为______．【答案】13π(cm)【解析】【分析】根据题意，沿MN将侧面展开后，得到矩形的高等于圆柱的高()5πcm，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍，结合勾股定理，即可求解.【详解】根据题意，从圆柱底部M点绕圆柱体的侧

面旋转4圈到达顶部的N点，沿MN将侧面展开后，最短路程，如图所示，其中矩形的高等于圆柱的高()5πcm，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍，即()342π12πcm2=，所以蜗牛爬行的最短路径为22(5π)(12π)

13π(cm)MN=+=.故答案为：13π(cm).16.在ABC中，60B=，2BA=，3CDBC=，对任意uR，有()1CABCAC−−恒成立，点P是直线BA上，则CPDP+的最小值是______．【答案】21【解析】【分析】由()1CAB

CAC−−得AC为点A到BC的垂线段，再通过将军饮马模型进行计算即得.【详解】因为()1CABCAC−−，所以BABCAC−，由减法与数乘的几何意义，AC为点A到BC的垂线段，所以90ACB=，因为2BA=，60B=，所以1,3BCAC==，3CD=

，所以4BD=，在ABD△中，由余弦定理易得，90BAD=，设D关于直线AB对称点为Q，连接BQ，连接CQ交AB于P，易得，此时PCPD+最小，PCPDCQ+=，222cos120CQBCBQBCBQ=+−22114214212=+−−=，即PCPD+

的最小值为21.故答案为:21.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已如i为虚数单位，复数()()2123zmmmmi=−++−．（1）当实数m取何值时，z是纯虚数；（2）若2m=，求1zi+值．的【答案】（1）0

m=；（2）582．【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求出；（2）根据复数的运算以及复数模的计算公式即可求出．【详解】（1）若复数是纯虚数，则2(1)0230mmmm−=+−，解得0131mmmm==−或且，所以0

m=．（2）当2m=时，25zi=+，则25731122ziiii+==+++，73581222zii=+=+．18.已知在ABC中，角A，B，C，所对的边为a，b，c，若222sinsinsinsinsinABCAB+−=．（1）求角C的大小；（2）

若2c=，求ABC面积的最大值．【答案】（1）π3（2）3【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角变换得到222abcab+−=，再利用余弦定理即可得解；（2）代入所得数据得到224abab+=+，再利用基本不等式得到4ab，从而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】由正弦定理

及222sinsinsinsinsinABCAB+−=得222abcab+−=，由余弦定理得2221cos22abcCab+−==，又因为0πC，所以π3C=．【小问2详解】由（1）得π3C=，又2c=，所

以由222abcab+−=得224abab+=+，因为222abab+，即42abab+，所以4ab，当且仅当2ab==时，等号成立，所以13sin324ABCSabCab==△，故ABC的面积最大值为3．19.台州

黄岩被誉为“模具之乡”，为市场对球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切（内壁厚度忽略不计），店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋。已知该模具底部边长为3cm．（1）求内壁的面积；（2）求

制作该模具所需材料的体积；（3）求模具顶点到内壁的最短距离．【答案】（1）23πcm（2）3273πcm42−（3）153cm2−【解析】【分析】（1）作出过侧棱的中点的截面，则球心为MNG的中心，MNG内切圆的半径rOH=，即得球的半径，求出球的表

面积.（2）求出棱柱体积和球的体积，即可得出模型体积.（3）根据图像先求出23OMOH==，即可求出结果.【小问1详解】由题意得：内壁的面积就等于内切球的表面积，如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为MNG的中心，因为3MN=，所

以MNG内切圆的半径22113r332OHMHMNHN===−=，即内切球的半径32R=，所以内切球的表面积22S4π3πcmR==球.【小问2详解】由题意得：模型的体积就等于棱柱的体积减去内切球的体积，由（1）得正三棱柱的高123hAAR===，因为274VSh==棱柱底，343

ππ32VR==球，所以3273πcm42VVV=−=−球棱柱.【小问3详解】由图得23OMOH==，所以22152AOOMAM=+=，所以A到球面上的点的距离最小值为153cm2AOR−−=.20.已知在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满

足2sin21cos2π2cos2cos22ACAC+−=−+．（1）判断角B与角C的关系，并说明理由；（2）若ππ,43B，求cb的范围．【答案】（1）π4BC=−，理由见解析（2）326

,26+【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，和差公式化简，再结合三角形内角和定理可得；（2）利用（1）中结论和正弦定理，将所求转化为正切函数，利用正切函数性质可得.【小问1详解】∵0π

C，πcos202C+，∴π02C或ππ2C，∴sin20,cos0,sin0CCC，∴22sin21cos22sinsinπsin2cos2cos2cos22ACCCCCAC+−

===−−−+，∴2sincos2cos2cossin2sinACCACC+=−+.∵()()()2sincoscossin2sin2sinπ2sinACACACBB+=+=−=，()π2sincos2sin4CCC−=−，∴πsinsin4CB−=∵ππ3π

0π,444BC−−，∴π4BC=−或π5ππ44BCC=−−=−，∵πABC++=，∴π4BC=−.【小问2详解】由（1）知：π4BC=−，.∴π4CB=+，∴πsinsin2sincos2214sinsin2sin22tanBcCBBb

BBBB++====+∵ππ,43B，(tan13B,，∴131tan3,B，∴32626c,b+21.如图，梯形ABCD，24ABDC==，23ADC

=，E为BC的中点，F是AD上的任意一点，设AFAD=．（1）当F是AD的三等分点时，试用向量AD，DC表示向量FE；（2）若()0ADtt=，求证：FE的最小值与t无关．【答案】（1）1362FEADDC=+或1362FEADDC=−+（2）答案见解析【解

析】【分析】（1）利用线性运算推出12322FEADDC−=+，然后将值代入即可；（2）由（1）得2212327224FEt−=++，即可证明FE的最小值与t无关.【小问1详解】连接FC，FD，如图的因为

2ABDC=，所以2ABDC=，因为FE是BFC△的中线，所以()()111232222FEFCFBFDDCFAABADDC−=+=+++=+，①当点F为靠近点A的三等分点时，13=，1362FEADD

C=+；②当点F为靠近点D的三等分点时，23=，1362FEADDC=−+.【小问2详解】由（1）得12322FEADDC−=+，所以222212369224FEADADDCDC−−=++212123922tt−−=++21232

7224t−=++获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com