【文档说明】四川省成都市第十二中学（川大附中）2022-2023学年高三下学期三诊热身考试数学文科试题 含解析.docx，共(27)页，1.750 MB，由管理员店铺上传

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川大附中2022—2023学年下期高三三诊热身考试高三数学文科命题人：李洋洋审题人：李菲菲（时间：120分钟分值：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合2230,Axxx

BN=−−=∣，则集合AB=（）A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{1,2,3}【答案】C【解析】【分析】先解出集合A再求AB.【详解】由2230|13,AxxxxxBN=−−=−=∣得，{0,1,2}AB=.故选：C【点睛】集合的交、并

、补运算：(1)离散型的数集用韦恩图；(2)连续型的数集用数轴．2.人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料

是制定人口政策的依据和前提．截止目前，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次普查的全国人口及年均增长率情况，下列说法正确的是（）A.年均增长率逐次减小B.年均增长率的极差是1.08%C.这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D.第七次普查的人口数最多

，且第三次增幅最大【答案】D【解析】【分析】增幅其实就是增长率，不是增长量。增长率为正的时候，总人口都是增加的；增长率为负的时候，总人口才减少。看图，排除错误选项即可.【详解】对于A选项，由图可知第三次增幅最大，之后增幅

减小，所以年增长率是先增后减的，故A错；对于B选项，极差为2.09%0.53%1.56%−=，故B错；对于C选项，第七次增幅最小，故C错；对于D选项，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故正确故选：D3.已知平

面，，直线a，b则“ab”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用平面与平面的位置关系判断充分条件和平面平面平行

的性质定理判断必要条件.【详解】a，b，若//ab，则//或相交，故“ab”不是“”的充分条件；若//，由面面平行的性质定理得,ab平行或异面，故“ab”不是“”的必要条件；故选：D4.已知函数()fx的图象如图所

示，则函数()()gxfx=−的图象为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性及0x−判断函数正负即可得解.【详解】因为()()gxgx−=，所以()gx为偶函数，其图象关于y轴对称，排除C与D.又0x−，所以()()0gxfx=−：故选：B.5.下列关于统计概率知

识的判断，正确的是（）A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x，2x和21s，22s，且已知12xx=，则总体方差222121()2sss=+B.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1C.用2R来刻画回归效果，2R

值越大，说明拟合效果越好D.回归直线ˆˆˆybxa=+恒过样本点的中心(),xy，且至少过一个样本点【答案】C【解析】【分析】A选项，根据均值和方差的定义，通过两层的均值和方差表示出总体的均值和方差，然后进行判断；B选项，根据相关系数

的性质进行判断；C选项，根据决定系数2R的性质进行判断；D选项，根据回归直线的性质进行判断.【详解】对于A，设2层数据分别记1212,,,;,,,mnxxxxxx，因为12xx=，所以总体样本平均数为121112mxnxmxnxxx

xmnmn++====++，所以()()()()222222112211111111,mmnniijjiijjsxxxxsxxxxmmnn=====−=−=−=−，所以总体方差()()222111mnijijsxxxxmn===−+

−+()22121msnsmn=++2212mnssmnmn=+++，只有当mn=时，()2221212sss=+才成立，A错误；对于B，相关关系越强，相关系数r的绝对值越接近于1，B错误；对于C，用2R来刻画回归效果，2

R值越大，表示残差的平方和越小，故模型的拟合效果越好，C正确；对于D，回归直线ˆˆˆybxa=+恒过样本点的中心(),xy，可以不过任一个样本点，D错误.故选：C6.设等比数列na中，37,aa使函数()3223733fxxaxaxa=+++在=1x−时取得极值0

，则5a的值是（）为A.3或32B.3或32C.32D.32【答案】D【解析】【分析】由极值点和极值可构造方程组求得37,aa，代回验证可知3729aa==满足题意；结合等比数列性质可求得结果.【详解】由题意知：()23736fxxaxa=++，()fx在=1

x−处取得极值0，()()23733711301360faaafaa−=−+−+=−=−+=，解得：3713aa==或3729aa==；当31a=，73a=时，()()22363310fxxxx=++=+，()fx\在R上单调递增，不合题意；当32

a=，79a=时，()()()23129313fxxxxx=++=++，当()(),31,x−−−+时，()0fx¢>；当()3,1x−−时，()0fx；()fx\在()(),3,1,

−−−+上单调递增，在()3,1−−上单调递减，1x=−是()fx的极小值点，满足题意；253718aaa==，又5a与37,aa同号，532a=.故选：D.7.欧拉公式iecosisinxxx=+（其中i为虚数单位，xR）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩

大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A.πie为虚数B.函数i()exfx=不是周期函数C.若i13ie2x−=，则2π3x=D.ππii34ee的共轭复数是2626i44−+−【答案】D【解析】【分析】A选项，根据

题意计算出iπe1=−，A错误；B选项，由sin,cosxx是周期函数，得到答案；C选项，根据欧拉公式得到13cos,sin22xx==−，C错误；D选项，计算出ππii34i2ee66244−+=+，得到共轭复数.【详解】A选项，πie

cosπisinπ1+=−=，为实数，A错误；B选项，i()ecosisinxfxxx==+，由于sin,cosxx是最小正周期为2π函数，所以i()ecosisinxfxxx==+是周期函数，B错误；C选项，由题意得13icosisin2xx−+=，所以13cos,sin22xx

==−，又2π3x=时，13cos,sin22xx=−=，故C错误；D选项，ππii34ππππeecosisincosisin2213332i42422i==++

++4i26624−+=+，故共轭复数2626i44−+−，D正确.故选：D8.如图，已知三棱锥−PABC的侧棱长均为2，35APBBPC==，50APC=，点D在线段PA上，点E在线段PC上，则BDE△周长的最小值为（）A.

43B.4C.23D.6【答案】C【解析】【分析】作三棱锥−PABC侧面展开图，结合两点之间线段最短的结论及余弦定理可求BDE△的最小的是的值.【详解】如图，将三棱锥的侧面展开，则BDE△周长的最小值与展开图中的线段

12BB相等.在12PBB△中，12122,353550120PBPBBPB===++=，在12PBB△中，根据余弦定理可得：2221212122cos120BBPBPBPBPB=+−22122222122=+−−=

，所以1223BB=，即BDE△周长的最小值为23.故选：C.9.已知函数()()sinfxAx=+（0A，0，0π）的部分图象如图所示.若π6625f+=，则22sincos22−的值为（）A.35B.45C.

35-D.45−【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合图像性质求出解析式，再根据诱导公式与二倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，结合图像易知，2A=，254312T=−=，因此22T==，因为函数图像过点2,23−，所以242sin233f

=+=−，即4232k+=−+，Zk，由0π，解得6=，故()2sin26fxx=+.又因为π6625f+=，所以62sin2cos365++==

，即3cos5=，因此223sincoscos225−=−=−.故选：C.10.设10abc，给出下列四个结论：①11acbc；②ccbaab；③()()11abcc−−，④()()loglog++baacbc.其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】直接利用不等式的性质和对数函数以及指数函数的性质的应用对①②③④进行判断.【详解】由题意，10abc，所以对于①，acbc，故11acbc，所以①错误；对于②，取

13,2,2abc===，则=23cba，32=cab，所以ccbaab，故②错误；对于③，因为011c−，且ab，所以()()11abcc−−，故③正确；对于④，1++acbc，所以()()logloglog()+++abbacbbcc，故④正确.故选

：B.11.在四面体ABCD−中，AB，AC，AD两两垂直且3ABACAD===，以C为球心，2为半径的球2O与该四面体每个面的交线的长度和的值为（）A.56B.C.43D.32【答案】D【解析】【分析】设

球2O与RtACD的边CD、AD分别交于点M、N，与RtABC的边AB、CB分别交于点H、G，求出球2O与该四面体四个面的交线的长度，即得解.【详解】解：因为四面体ABCD−中，,,ABACAD两两垂直，且3ABACAD===，由题意知RtACD、RtABC

为等腰直角三角形，且3ABACAD===，以点C为球心，2为半径作一个球2O，设球2O与RtACD的边CD、AD分别交于点M、N，如图1；与RtABC的边AB、CB分别交于点H、G，如图2；易得3cos2ACN=，则6ACN=，tan16ANAC=

=，所以∠NCM=∠ACD-∠ACN=4612−=，所以弧MN的长2126MN==，同理，弧6GH=.在ABD△内，如图3，因为AH=AN=1，∠HAN=2，则122HN==，又如图4，易知弧GM是以顶点C为圆心，2为半径，

圆心角为3，则2233GM==，所以球面与该四面体的每个面的交线的长度和为2366232+++=.故选：D.12.已知函数()2e,02,0xxxfxxxx=−+，若函数22()3[()]()2()gxfxmfxmm=−−

R恰有5个零点12345,,,,xxxxx，且12345xxxxx，()()34fxfx=，则()()()13322fxfxfx++−的取值范围是（）A.31,00,2ee−

B.21,00,3ee−C.32e,00,2e3−D.22e,00,3e3−【答案】B【解析】【分析】将()fx看成整体解出()fxm=或2()3mfx=−，作出()fx的大致图象，将式子化为()()()

()()()()()1331341322222fxfxfxfxfxfxfxfx++−=++=+，然后转化为m的范围进行分类讨论即可判断.【详解】当0x时，()exfxx=，此时，()()1exfxx=+，令()0fx

¢>，解得：10x−，令()0fx，解得：1x−，可得()fx在(),1−−上单调递减且恒负，在()1,0−上单调递增且恒负，且()11ef−=−，当0x时，()()22211fxxxx=−+=−−+，作出()fx的大致图象如图所示，函数

22()3[()]()2()gxfxmfxmm=−−R恰有5个零点12345,,,,xxxxx，等价于方程223[()]()20fxmfxm−−=有5个不同的实数根，解得：()fxm=或()23mfx

=−，0m，该方程有5个根，且()()34fxfx=，则342xx+=，()()()125fxfxfx==，当0m时，()()()1251,0efxfxfxm===−，()()342(

0,1)3mfxfx==−，故1,0em−，所以()()()()()()()()1331341322222fxfxfxfxfxfxfxfx++−=++=+4222,0333emmm=−=−；当0m时，()()()12521,

03efxfxfxm===−−，()()34(0,1)fxfxm==，故30,2em，所以()()()()()()()()1331341322222fxfxfxfxfxfxfxfx++−=++=+42120,33emmm

=−+=，综上：()()()13322fxfxfx++−的取值范围是：21,00,3ee−.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对223()()20fxmfxm−−=的理解，将()fx看成一个t，解出其值，然后通过图象分析，转化为直

线12,ytyt==与图象的交点情况.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知向量(),12=OAk，()4,5=OB，(),10=−OCk，且A、B、C三点共线，则k=__

_____【答案】23−【解析】【分析】先求出,ABBC的坐标，再根据A、B、C三点共线求出k的值.【详解】由题得(4,7)ABOBOAk=−=−−，(4,5)BCOCOBk=−=−−，因为A、B、C三点共线，所以=ABBC，所以(4)57(4)0kk−+−−=，所以

23k=−.故答案为：23−【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知实数,xy满足()2221xy+−=，223xyxy+=+的取值范围是______．

【答案】1,2【解析】【分析】设(),axy=，()1,3b=，利用向量夹角坐标运算可求得2cos=，利用圆的切线的求法可求得(),axy=所在直线倾斜角的范围，从而确定的范围，进而求得的范围.【详解】由

圆的方程知：点(),xy在以()0,2为圆心，1为半径的圆上，设(),axy=，()1,3b=，a与b的夹角为，223cos22abxyabxy+===+，即2cos=；设直线ykx=与圆()2221x

y+−=相切，则圆心到直线距离2211dk==+，解得：3k=，结合图象可知：(),axy=所在直线倾斜角为π2π,33，又()1,3b=所在直线倾斜角为π3，π0,3，1cos,12，则1,2.故答案为：

1,2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量夹角公式将所求式子转化为两向量夹角余弦值取值范围的求解问题，采用数形结合的方式来进行求解.15.《算法统宗》是中国古

代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，人店饮斗九”意思是说，李白去郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再饮去其

中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒00(3)aa升，将李白在第(1,)nnnN…家店饮酒后所剩酒量记为na升，则na=__（用0a和n表示）．【答案】023(12)nna+−升【解析】【分析】由题干递推列式，找寻规律

，并根据规律计算即可.【详解】解：李白在第(1,)nnnN…家店饮酒后所剩酒量记为na升，则第一家店饮酒后所剩酒量为1023aa=−升，第二家店饮酒后所剩酒量为22100232(23)323(12)aaaa=−=−−=−+升，第三家店饮酒后所

剩酒量为323202323(122)aaa=−=−++升，第四家店饮酒后所剩酒量为4234302323(1222)aaa=−=−+++升，第n家店饮酒后所剩酒量为211000122323(1222)2323(12)12nnnnnnnnaaaaa−−−=−=−+

+++=−=+−−升．故答案为：023(12)nna+−升．16.已知双曲线G的方程221169xy−=，其左、右焦点分别是1F，2F，已知点P坐标为()4,2，双曲线G上点()00,Qxy，()000,0xy满足11211121QFPFFFPFQFFF=，则1

2FPQFPQSS−=△△______．【答案】8【解析】【分析】设12QFF的内切圆与三边分别相切于,,DEG，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为a，又由11211121QFPFFFPFQFFF=得

P在12QFF的平分线上，进而得到P即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.【详解】如图，设12QFF的内切圆与三边分别相切于,,DEG，可得1122,,QDQGFDFEFEFG===，又由双曲线定义可得1228

QFQFa−==，则()1212122QDDFQGGFDFGFEFEFa+−+=−=−=，又122EFEFc+=，解得1EFac=+，则E点横坐标为a，即内切圆圆心横坐标为a.又11211121QFPFFFPFQFFF=，可得11121112121coscosQFPFPFQFFPFPFFQF

FF=，化简得112coscosPFQPFF=，即112PFQPFF=，即1PF是12QFF的平分线，由于()4,2P，4a=，可得P即为12QFF的内心，且半径r为2，则121211()28822FPQFPQSSrQFQ

F−=−==△△.故答案为：8.【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得12QFF内切圆圆心横坐标为a，再由11211121QFPFFFPFQFFF=得到P在12QFF的平分线上，结合P的横坐标为a进而得到P即为内心，利用双曲线定义及面积公式即可求解.三、解答题（本大题共7

小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC中，角、、ABC的对边分别为abc、、，且223sinsin302AA+−=.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若ABC面积为3，且外接圆半径3R=，求ABC的周长.【答案】（1）3A=;（

2）321+.【解析】【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan3A=,结合范围0A，可求A的值；(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得2360cc−−=,解得c的值,可求周长.【详解】（

1）223sinsin302AA+−=1cos23sin302AA−+−=，即sin3cos0AA−=tan3A=又0A3A=（2）2sinaRA=2sinπ23sin33aRA===AB

C面积为31sin32bcA=，所以bc4=2222cosabcbcA=+−229bcbc+−=2()9391221bccb+=+=+=21bc+=321abc++=+【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222co

sabcbcA=+−；（2）222cos2bcaAbc+−=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有

较大下降.国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天汽车销售量y（单位：辆）如下表：第x天345678销售量y（单位：辆）

172019242427（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上（含20辆）的概率.（2）根据上表中前4组数据，求y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa=+.（3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的ˆy，再求ˆy

与当天实际销售量y的差，若差值的绝对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由.附：回归直线ˆˆˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘法估

计值分别为：1221ˆˆˆ,niiiniixynxybaybxxnx==−==−−【答案】（1）25；（2）ˆ211yx=+；（3）可行，29.【解析】【分析】（1）先确定6天中销售量均在20辆

以上（含20辆）有4天，再根据组合以及古典概型概率公式求结果；（2）先求均值，再代入公式求ˆˆ,ba，即得结果；（3）根据回归直线方程确定对应的ˆy，再根据定义判断是否“可行”，最后代入9x=得结果.【详解】（1）6天中销售量均在20辆以上

（含20辆）有4天，242662155CPC===（2）3456172019244.5,2044xy++++++====41317420519624370iiixy==+++=4222221345686iix==+++=

237044.52028644ˆ.5b−==−202ˆ4.511a=−=所以ˆ211yx=+（3）由（2）知，7x=时，141125y=+=，25-24=1；8x=时，161127y=+=，27-27=0所以求得的线性回归方程“可行”9x=时，181129y=+=【

点睛】本题考查古典概型概率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19.如图所示多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，ADEV是正三角形，四边形ABCD是菱形，2AB=，3CF=，π.3BAD=（1）求证：/

/EF平面ABCD；（2）求三棱锥EADF−的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）取AD中点N，由面面垂直的性质定理证明EN⊥平面ABCD，再证明//ENCF,由此证明//EFCN，根据线面平行的判定定理证

明结论；（2）证明//CF平面ADE，根据锥体体积公式可得EADFFADECADEEADCVVVV−−−−===，再结合所给数据计算体积.【小问1详解】取AD中点N，连接NENC､，因为ADEV是正三角形，所以,2sin60

3ENADEN⊥==，因为平面ADE⊥平面ABCD，EN平面ADE，平面ADE平面ABCDAD=所以EN⊥平面ABCD，又因为CF⊥平面ABCD，所以ENCF∥，又因为ENCF=，所以四边形ENCF是平行四边形，所以EFNC∥，又因为NC平面ABCD，EF平面A

BCD，所以EF平面ABCD.【小问2详解】因为ENCF∥，CF平面ADE，EN平面ADE，所以//CF平面ADE，所以点F与点C到平面ADE的距离相等，所以三棱锥FADE−和三棱锥CADE−的体积相等

，所以EADFFADECADEEADCVVVV−−−−===，连接BD交线段AC与点O，因为四边形ABCD为菱形，2AB=，60BAD=，所以2,22cos3023,sin301ADACAOADDOAD======，ACDO⊥，所以132ADCSACDO=

=，由（1）EN⊥平面ADC，3EN=，所以1133133EADFEADCADCVVSEN−−====.20.已知O为坐标原点，点13,2P在椭圆2222:1(0)xyCabab+=上，椭圆C的

左右焦点分别为12,FF，且1223FF=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点012,,PPP在椭圆C上，原点O为012PPP的重心，证明：012PPP的面积为定值.【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦距可确定3c=，再根据点13,2

P在椭圆上，代入方程解方程组可得答案.（2）设直线12PP的方程为ykxm=+，和椭圆联立，整理得到根与系数的关系式，继而根据重心性质表示出0P坐标为2282(,)1414kmmkk−++，代入椭圆方程得到参数之间的关系式，从而再表示

出三角形的高,根据面积公式表示出012PPP的面积，将参数间的关系式代入化简即可证明.【小问1详解】由椭圆C的左右焦点分别为12,FF，且1223FF=，可知：3c=，即223ab=+①，将13,2P代入方程2222:1(0)xyCabab+=得：2231

14ab+=②，①②联立解得224,1ab==，②故椭圆的标准方程为2214xy+=.【小问2详解】证明：设000111222(,),(,),(,)PxyPxyPxy，当直线12PP斜率不存在时，即12xx=，由

原点O为012PPP重心，可知0120120,033xxxyyy++++==故可得此时有01,0)Px（-2，该点在椭圆上，则2114x=，不妨取11x=，则有01233(2,0),(1,),(1,)22PPP−−，或01233(2,0),(1,),(1

,)22PPP−−，则此时0121333322PPPS==;的当直线12PP斜率存在时，不妨设12PP方程为ykxm=+，则联立2214ykxmxy=++=，整理得：2221+4)8440kxkmxm++−=（，且需满足22222(8)16(14

)(1)16(41)0kmkmkm=−+−=+−，则212122284(1),1414kmmxxxxkk−−+==++，所以121222()214myykxxmk+=+−=+，由原点O为012PPP的重心知，

012012(),()xxxyyy=−+=−+，故0P坐标为2282(,)1414kmmkk−++，代入到2214xy+=中，化简得：222282()4()41414kmmkk−+=++，即22414mk=+，又原

点O为012PPP的重心，故0P到直线12PP的距离为原点O到直线12PP距离的3倍，所以23||1mdk=+，而222212122284(1)|1||1()414|14kmmkxxkkkPP−−=+−=+−++

=2222222244144111414kmmmkkkk+−−+=+++=2243||114mkk++，因此012212221143||3||||122141PPPmmSPPdkkk==+++=222263||63||33(14)42mmkm==+

，综合上述可知：012PPP的面积为定值.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及重心性质的应用，以及椭圆内的特殊三角形面积问题，运算量比较复杂而且计算量较大，解决本题的关键是设出直线方程，要利用重心性质表示

出一个点的坐标并代入椭圆方程中，找到两参数之间的关系式，然后三角形面积的表示这点并不困难，表示的方法也比较常规，但需要计算时十分细心还要有耐心.21.已知函数ln1()axafxx+−=．（1）求()fx在点(1,(

1))f处的切线方程；（2）（i）若()1xfxx−„恒成立，求a的取值范围；（ii）当1a=时，证明(2)(3)()13232224fffnnnn++++−+．【答案】（1）2yxa=+−；（2）（i）[

0,1]a；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，求得()()1,1ff，利用导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）（i）将问题转化为()0hxalnxxa=−+恒成立，对参数a进行分

类讨论，根据函数单调性，即可容易求参数的范围；（ii）当1a=时，2()lnfnnnn=；结合（i）中所求，可得22ln1112nnn−，再利用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可容易证明.【详解

】（1）因为ln1()axafxx+−=，故可得22ln11ln()(0)aaxaaxfxxxx−−+−==，(1)1fa=−，(1)1f=，所以()fx在点(1,(1))f处的切线方程为：(1)1yax

−−=−，即2yxa=+−．（2）（i）因为()1xfxx−„恒成立，ln11axax+−−„恒成立，即ln0axxa−+恒成立．令()lnhxaxxa=−+，则()1(0)aaxhxxxx−=−=，①当0a=时，()0hxx=−，所以0

a=满足；②当a<0时，()0hx，()hx在(0,)+上单调递减，因为0x→时，()hx→+，所以a<0不满足；③当0a时，(0,)xa时，()0hx，()hx单调递增；(,)xa+时，()0hx，()hx单调递减；max()()ln

0hxhaaa==„，解得01a．所以a的取值范围为[0,1]a．（ii）1a=时，()lnxfxx=，所以2()lnfnnnn=．由（i）知：()1xfxx−„，即ln1xx−„，所以ln11xx

x−„．令2xn=，得222ln11nnn−„，即22ln121nnn−„，所以22ln1112nnn−．222(2)(3)()ln2ln3ln2323fffnnnn+++=+++22211111111[(1)2232nn−+−++−=−−

L22211123n+++1111(1)22334(1)nnn−−++++L11111(1)22334n=−−−+−111nn++−+11113(1)2212224nnnn=

−−−=+−++即证.【点睛】本题考查利用导数几何意义求切线方程，由恒成立问题求参数范围，利用导数证明不等式，涉及不等式放缩以及裂项求和求数列的前n项和，属压轴题.请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按

所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2cos=，曲线2C的极坐标方程为2253cos2=

+.（1）写出曲线2C的参数方程；（2）设A是曲线1C上的动点，B是曲线2C上的动点，求,AB之间距离的最大值.【答案】（1）2cos:2sinxCy==，（为参数）.（2）4313+【解析】【分析】（1）利用极坐标和直角

坐标方程的互化公式和二倍角公式可得2C的直角坐标方程为2214yx+=，再根据圆锥曲线参数方程可得2C的参数方程为cos2sinxy==，（为参数）；（2）根据题意可得,AB之间距离的最大值为点B到圆心1C的距离的最大值再加上半径，根据二次函数性质即可求得最大值.

【小问1详解】根据曲线2C的极坐标方程为2253cos2=+可得，()2226cos8+=，即22828xy+=，所以曲线2C的直角坐标方程为2214yx+=；根据圆锥曲线参数方程定义可得，曲线2C的参

数方程为cos2sinxy==，（为参数）.【小问2详解】由曲线1C的极坐标方程为2cos=可得，曲线1C的直角坐标方程为()2211xy−+=，其圆心()11,0C，半径1r=；由题意可得设()cos,2sinB，易知,AB之间距离的最大值为

点B到圆心1C的距离的最大值再加上半径，即()()2221maxcos12sin13cos2cos51ABBCr=+=−++=−−++，由二次函数性质可知，当1cos3=−时，max4313AB=+；

所以,AB之间距离的最大值为4313+23.已知函数()211fxxx=−++.（1）解不等式()6fx；（2）记函数()()1gxfxx=++的最小值为m，若,,abcR，且230abcm++−=，求222abc++的最小值.【答案】（1）22xx−；（2）914.【解析】【分析】

（1）利用零点分界法即可求解.（2）利用绝对值三角函数不等式可得3m=，进而可得233abc++=，再利用柯西不等式即可求解.【详解】解：（1）()161216xfxxx−−−−或1121216xxx−−++或122116xxx

−++，解得22x−，即不等式()6fx的解集为22xx−.（2）()()1212221223gxfxxxxxx=++=−++−−−=，当且仅当()()21220xx−+时取等号，∴3m=.故233abc++=.由柯西不等

式()()()2222222123239abcabc++++++=，整理得222914abc++，当且仅当123abc==，即314a=，614b=，914c=时等号成立.所以222abc++的最小值为914.

【点睛】本题考查了分类讨论解不等式、绝对值三角不等式、柯西不等式，属于基础题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com