【文档说明】【精准解析】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题.doc，共(16)页，1.124 MB，由小赞的店铺上传

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官渡区第一中学高一年级2019-2020学年下学期开学考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合2|60Mxxx=−−，2|lo

g2Nxx=，则MN=（）A.(2,4−B.()0,3C.()2,4−D.)2,4−【答案】C【解析】【分析】解不等式确定集合,MN，再由并集定义计算．【详解】由已知2|60{|23}Mxxxxx=−−=−，2|log2{|04}Nxxxx==，∴{|

24}MNxx=−．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质．2.若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是()A.a2>b2B.1baC

.lg(a－b)>0D.11()()33ab【答案】D【解析】【详解】试题分析：A中1,2ab==−不成立，B中1,12ab=−=−不成立，C中0,1ab==−不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的3.已知()()()1,2,2,3,3,4ab

c===.若kab+与c共线，则实数k的值为（）A.12−B.1710−C.1811−D.1−【答案】A【解析】【分析】先由()()1,2,2,3,ab==求出kab+的坐标表示,再由kab+与c共线,即

可求出结果.【详解】因为()()1,2,2,3,ab==所以()=2,23kabkk+++,又()3,4c=,kab+与c共线,所以()()242330kk+−+=,解得12k=−.故选:A.【点睛】本题主要考查向量的坐

标运算,熟记共线向量定理即可,属于基础题型,难度较易.4.若11tan,tan()32=+=,则tan=（）A.17B.16C.57D.56【答案】A【解析】试题分析：11tan()tan123tantan[()]111tan()tan7123

−+−=+−===+++，故选A.考点：两角和与差的正切公式．5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从

第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.96里B.48里C.192里D.24里【答案】A【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比12q=的

等比数列,设该数列为na,其前n项和为nS则有6161(1())2378112aS−==−,解得1192a=,故2196aaq==,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是

解题关键.6.已知10cos410+=−，则sin2=（）A.45B.25C.45D.25【答案】A【解析】【分析】由10cos410+=−可求得cos22+的值,由于cos2=sin22+−即可解得所求.【详解

】10cos410+=−,24cos2=2cos1245++−=−,即4sin25−=−,所以4sin25=.故选:A.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考查了学生的计算能力,难度较易.7

.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A.

103海里B.102海里C.203海里D.202海里【答案】B【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理，有203045BCsinsin=，所以120222BC=＝102.故选B.8.函

数2()(2)2(2)4fxaxax=−+−−的函数值恒小于零，则实数a的取值范围是（）A.(,2]−B.(,2)−−C.(2,2]−D.(2,2)−【答案】C【解析】当20a−=即2a=时，()40fx=

−恒成立，所以2a=符合题意；当20a−即2a时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和x轴没交点，所以2204(2)16(2)0aaa−=−+−，解得22a−．综上所述，22a−

．所以选C．【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与x轴的位置关系解决本题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9.已知函数()3()sin

42fxxxR=−，下面结论错误的是（）A.函数()fx的最小正周期为2B.函数()fx在区间0,16上是增函数C.函数()fx的图象关于直线4x=对称D.函数()fx是偶函数【答案】B【解析】【分析】函数3()sin4cos42fxxx

=−=分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A、C、D都正确．【详解】对于函数3()sin4cos42fxxx=−=，它的周期等于242=，故A正确．令4x=，则()cos14f==−，则4x=是()fx的对称轴，故C正确．由于()cos(4)cos4()fxx

xfx−=−==，故函数()fx是偶函数，故D正确．利用排除法可得B错误；故选：B．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题．10.若函数()|3sin4co

s|fxxxm=++的最大值是8，则m=（）A.3B.13C.3或3−D.3−或13【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可.【详解】()|3sin4cos|fxxxm=++()

|5sin()|fxxm=++，55sin()5x−+,当0m时，max()|5|8fxm=+=,解得3m=，当0m时，max()|5|8fxm=−+=，解得3m=−，故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11.已知函

数()afxx=的图象过点()4,2，令*1,(1)()nanfnfn=++N.记数列na的前n项和为nS，则2021S=（）A.20211−B.2021C.2022D.20221−【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导出1n

ann=+−，*nN．由此利用裂项求和法能求出2021S．【详解】解：由()42f=，可得42a=，解得12a=，则12()fxx=.∴111(1)()1nannfnfnnn===+−++++，20212132432022202

120221S=−+−+−++−=−故选：D【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知定义在R上的函数()fx满足()()fxfx=−，且在(0,)+上是增函数，不等式()()21faxf+−对于1,2x恒

成立，则a的取值范围是A.3,12−−B.11,2−−C.1,02−D.0,1【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0−上是减函数，由此可将不等式化为121ax−+；利用分离变量法可得31a

xx−−，求得3x−的最大值和1x−的最小值即可得到结果.【详解】()()fxfx=−()fx为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称又()fx在()0,+上是增函数()fx在(),0−上是减函数()()21faxf+−21ax+，即121ax−+121ax−+

对于1,2x恒成立31axx−−在1,2上恒成立312a−−，即a的取值范围为：3,12−−本题正确选项：A【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大

小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()0,23a=−，()1,3b=，则向量a在b方向上的投影为_______．【答案】-3【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得向量的模

和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为()0,23a=−，()1,3b=，所以23a=，()22132b=+=，()1+06332ab=−=−，所以向量a在b方向上的投影为632abb−==−，故答案为：-3.

【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于基础题.14.已知等差数列的前n项和为nS，且12130,0SS，则使nS取得最大值的n为_______.【答案】6【解析】【分析】由1213

0,0SS，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．【详解】因为等差数列中，12130,0SS，所以()126713760,130SaaSa=

+=，6770,0aaa+，670,0aa，∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题．15.已知0,0,lg2lg8lg2,xyxy+=则113xy+的最小值是

.【答案】4【解析】lg2x＋lg8y＝xlg2＋3ylg2＝lg2，∴x＋3y＝1，∴113xy+＝113xy+·(x＋3y)＝2＋33yxxy+≥4，当且仅当x＝12，y＝16时取等号．16.设4()42xxfx=+，则1231920202020ffff

++++=________.【答案】192【解析】【分析】根据()(1)fxfx+−为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】1144()(1)4242xxxxfxfx−−+−=+++444214242442xxxxx+=+=

=+++，1231919202020202ffff++++=.故答案为：192【点睛】本题主要考查了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分．17

.已知na是等差数列，nb是等比数列，且23b=，39b=，11ab=，144ab=．（1）求na的通项公式；（2）设nnncab=+，求数列nc的前n项和．【答案】（1）21nan=−；（2）2312nn−+【解析】【分析】（1）设等差

数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，运用通项公式，可得3,2qd==，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得1(21)3nnnncabn−=+=−+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列nc和．【详解】（1）设

等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，因为233,9bb==，可得323bqb==，所以2212333nnnnbbq−−−===，又由111441,27abab====，所以1412141aad−==−，所以数列na的通项公式为1(1)12(1)21n

aandnn=+−=+−=−．（2）由题意知1(21)3nnnncabn−=+=−+，则数列nc的前n项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132nnnnnnn−+−−−+++−+++++=+=+−．【点

睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.设函数()sin()sin()62fxxx

=−+−，其中03.已知()06f=.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数()yfx=的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数()ygx=的图象，

求()gx在3[,]44−上的最小值.【答案】(Ⅰ)2=.(Ⅱ)32−.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()yfx=3(sin)3x=−由题设知()06f=及03可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()3sin(2)3fxx=−从而

()3sin()3sin()4312gxxx=+−=−.根据3[,]44x−得到2[,]1233x−−，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62fxxx=−+−，所以31()sinc

oscos22fxxxx=−−33sincos22xx=−133(sincos)22xx=−3(sin)3x=−由题设知()06f=，所以63k−=，kZ.故62k=+，kZ，又03，所以2=.（Ⅱ）由（Ⅰ

）得()3sin(2)3fxx=−所以()3sin()3sin()4312gxxx=+−=−因为3[,]44x−，所以2[,]1233x−−，当123x−=−，即4πx=−时，()gx取得最小值32−.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相

当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19.已知向量a，b不共线，且满足2a=，1b=，32cab=−，2dakb=

+.（1）若cd，求实数k的值；（2）若2ab−=.①求向量a和b夹角的余弦值；②当cd⊥时，求实数k的值．【答案】（1）43k=−；（2）①14，②44【解析】【分析】（1）两向量平行即共线，利用共线向量定理可求.（2）①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】

（1）cd∥，且0c.令dc=，即2(32)akbab+=−，又a，b不共线，所以232k==−，所以43k=−.（2）①设a与b夹角为，2ab−=222||||2||||cos||4abaabb−=−+=又2a=，1b=1cos4=②

cd⊥，0cd=，()()3220abakb−+=()2263420akabkb+−−=又2a=，1b=，12ab=.44k=.【点睛】考查向量的共线，垂直和夹角公式.共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)abb，a∥b，存在实数使λab=．夹角公

式：cos=||||abab.向量垂直：0abab⊥=.20.在ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，且1cos2acbC=+．（1）求角B的大小；（2）若3ABCS=，13b=，求ac+的值．【答案】（1）3；（

2）5．【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，1sinsinsincos2ACBC=+，而()ABC=−+，代入后利用两角和的正弦公式展开可求cosB，进而可求B（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，然后由余弦

定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：（1）由正弦定理，得1sinsinsincos2ACBC=+，又因为()ABC=−+，所以()sinsinABC=+，可得1sincoscossinsinsincos2BCBCCBC+=+，即1c

os2B=，又()0,B，所以3B=．（2）因为3ABCS=，所以1sin323ac=，所以4ac=，由余弦定理可知222bacac=+−，所以22()3131225acbac+=+=+=，即5ac+=．【点睛】本题主要考查

了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于基础题.21.已知数列na的前n项和为nS,且22nSnn=+,*nN,数列nb满足24log3nnab=+，*nN.(1)求na

和nb的通项公式；(2)求数列{nnab}的前n项和nT.【答案】（1）21nbn=−；（2）(45)25nnTn=−+【解析】试题分析：（1）求数列na的通项公式主要利用()()111{2nnnSnaSSn−==−

求解，分情况求解后要验证1n=是否满足2n的通项公式，将求得的na代入24log3,nnab=+整理即可得到nb的通项公式；（2）整理数列nnab的通项公式得()141?2nnnabn−=−，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵2*2,nSnnnN=+，∴当1n=时

，113aS==.当2n时，2212[2(1)(1)]41nnnaSSnnnnn−=−=+−−+−=−.∵1n=时，13a=满足上式，∴*41,nannN=−.又∵*24log3,nnabnN=+，∴2414log3nnb−=+，解得：12nnb−=

.故41,nan=−，12nnb−=，*nN.（2）∵41,nan=−，12nnb−=，*nN∴1122nnnTababab=+++01213272(45)2(41)2nnnn−−=+++−+−①1

2123272(45)2(41)2nnnTnn−=+++−+−②由①-②得：1213424242(41)2nnnTn−−=++++−−12(12)34(41)2(54)2512nnnnn−−=+−−=−−−∴(45)25nn

Tn=−+，*nN.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列na的通项公式主要利用11aS=，()12nnnaSSn−=−分情况求解后，验证1a的值是否满足()12nnnaSSn−=−关系式，解决非

等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中()1

41?2nnnabn−=−，根据特点采用错位相减法求和22.已知函数2()(2)fxxmxm=+−−，()()fxgxx=，且函数()2yfx=−是偶函数.（1）求()gx的解析式；（2）若函数()()()22

222log49log4ygxkx=++−+恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点.【答案】（1）()64gxxx=−+；（2）6k=，零点为2,0,2−.【解析】【分析】（1）由函数()2yfx=−是偶函数,得出()yfx=关于直线2x=−对称，求出m，即可求出()gx的解析式；（2）()(

)()22222log49log4ygxkx=++−+为偶函数，恰好有三个零点，可得0x=为其零点，代入求出k的值，令()22log4,2txt=+进而求出该函数的零点.【详解】（1）函数()2yfx=−是偶函数，所以()(2)2fxfx−−=−()yfx

=关于关于直线2x=−对称，222,6()462mmfxxx−−=−==+−，()64gxxx=−+；（2）设()()()22222()log49log4yhxgxkx==++−+()(),()hxhx

hx−=为偶函数，()()()22222()log49log4hxgxkx=++−+恰好有三个零点，故必有一个零点为0，(0)(2)960hgkk=+−=−=，6k=，令()22log4,2txt=+126()

950ygtttt=+−=+−=整理得，2560tt−+=，解得2t=或3t=，2t=得，0x=；3t=，即()222log43,48,2xxx+=+==，所求函数的零点为2,0,2−.【点睛】本题考查函数的对称性、函数

解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考查计算能力，是一道较为综合的题.