【文档说明】四川省内江市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，913.063 KB，由小赞的店铺上传

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内江一中高2026届高一下学期半期考试题数学1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.2、答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上.3、考试结束后，监考人将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大

题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案.1.sin55cos25cos55sin25−=（）A.12B.32C.12−D.32−【答案】A【解析】【分析】利用两角差的正弦公式即可.【详解】()2sin55cos25cos55sin

2501sin5525sin3−=−==.故选：A.2.已知2a=，22b=，a与b的夹角是150，则ab=（）A.43−B.43C.23−D.23【答案】C【解析】分析】根据数量积定义即可计算.【详解】由题意，cos,222cos15023ababab===−.故选：C3.在ABC中，内

角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a=，1b=，45A=o，则B=（）A.30B.45C.60D.90【【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求解.【详解】解：因为在ABC中，2a=，1b=，45A=o，由正弦定理得sinsinabAB=，则sin1sin2bAB

a==，因为ab，所以AB，则30B=，故选：A4.如图，向量ABa=，ACb=，CDc=，则向量BD可以表示为（）A.abc+−rrrB.abc−+C.bac−+D.bac−−【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的

加法减法运算法则即可求解.【详解】由题图可知，cBAbDBCCDACBCDa−+=+=−+=.故选：C.5.在ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程2320xx−+=，则tanC=（）A.3B.3−C

.1D.1−【答案】A【解析】【分析】应用韦达定理，然后由诱导公式、两角和的正切公式计算．【详解】由已知tantan3AB+=，tantan2AB=，因为,,ABC是三角形内角，则()()tantan3tantantan31tantan12ABCABABAB+=−−

=−+=−=−=−−.故选：A.6.为了得到函数πsin25yx=−的图象，只需将函数sin2yx=的图象（）A.向左平移π5个单位长度B.向左平移π10个单位长度C.向右平移π5个单位长度D.向右

平移π10个单位长度【答案】D【解析】【分析】运用函数图像平移规律“左加右减”即可解决.【详解】运用函数图像平移规律“左加右减”,为了得到函数ππsin2sin2()510yxx=−=−的图象，只需将函数sin2yx=的图

象向右平移π10个单位长度即可.故选：D．7.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin3cos0aBbA+=，若D是BC的中点，132AD=，3b=，则c=（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】由正弦定理、商数关系得2π

3A=，分解向量得()12ADABAC=+，结合数量积的运算律即可列方程求解.【详解】因为sin3cos0aBbA+=，所以sinsin3sincos0ABBA+=，因为sin0B，所以tan3A=−，因为0πA，所以2π3A=，若D是BC

的中点，则()12ADABAC=+，两边平方可得()2213144cbbc=+−，即2213cbbc+−=，若3b=，则2340cc−−=，解得4c=或1c=−（舍去）.故选：B.8.如图，在扇形ABC中，半径2AB=，圆心角60CAB=，P是扇形弧上的动点，过P作PQAB⊥于

Q，作PRAC⊥于R，记PAB=，()RQf=，则()f（）A.在π0,6上单调递增B.在ππ,63上单调递增C.是定值3D.是定值1【答案】C【解析】【分析】由题意()2cos,2

cos60AQAR==−，结合余弦定理，三角恒等变换即可化简求解.【详解】由题意()2cos,2cos60AQAR==−，由余弦定理有()222cos60RQfAQARAQAR==+−()()224cos4cos604coscos60=+−−−()

()()()2cos212cos120212cos60cos60=++−+−−−++−()()2coscos1202cos2603=+−−−+1313π2coscossin2cos2sin233,022223

=−+−−+=，故ABD错误，C正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：关键在于得到()222cos60RQfAQARAQAR==+−，()2cos,2cos60AQAR==−，由此即可顺利得解.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中

，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列条件能使//ab的是（）A.||||ab=B.ab=C.||0a=D.(2,4)a=−r，(2,0)b=【答案】BC【解析】【分析】由向量的模相等、向

量相等、向量的模为0以及向量共线定理即可逐一判断各个选项.【详解】对于A，向量模相等不一定能保证向量共线，故A错误；对于B，ab=能保证向量共线，且它们的模也相等，故B正确；对于C，||0a=等价于a是零向量，而零向量可以和任何向

量共线，故C正确；对于D，不存在任何实数使得ab=，即方程组2240−==不可能成立，这意味着,ab不能共线，故D错误.故选：BC.10.已知函数()πsin24fxx=−，下列四个结论中，正确的有（）A.函数()fx的最小正周期为πB.函数()fx的图象关于

直线π8x=对称C.函数()fx的图象关于点3π,08对称D.函数()fx在π3π,88−上单调递增【答案】AD【解析】【分析】利用正弦函数的性质，结合函数解析式，研究函数的周期、对称轴对称中心和单调区间.【详解】函数()πsin24

fxx=−，最小正周期2ππ2T==，A选项正确；由()ππ2πZ42xkk−=+，解得函数()fx的图象的对称轴方程为()3ππZ82kxk=+，当0k=时，得函数()fx的图象关于直线3π8x=对称，BC选项错误；π3π,8

8x−时，πππ2,422x−−，ππ,22−是正弦函数的单调递增区间，所以函数()fx在π3π,88−上单调递增，D选项正确.故选：AD11.下列结论正确的是（）A.()()()22

coscossinsin22cos+++=++B.21cos2tan1cos2−=+C.若4sin25=，则449sincos25+=D.22sin()sin()sinsin+−=−【答案】BD【解析】【分析】A.利用平方关系和两角和的余弦公式求解判断；B.

利用二倍角的余弦公式求解判断；C.利用平方关系和二倍角的正弦公式求解判断；D.利用两角和与差的正弦公式求解判断.【详解】A.由平方关系和两角和余弦公式得：()()()22coscossinsin22cos+++=+−，故错误；B.()()222112sin1cos2ta

n1cos212cos1−−−==++−，故正确；C.若4sin25=，则()24422222117sincossincos2sincos1sin2225+=+−=−=，故错误；D.()()22sin()sin()sincoscossin+−

=−，()()222222sin1sinsin1sinsinsin=−−−=−，故正确；故选：BD12.若平面向量a，b，c满足||1a=r，||1b=，||3c=，且acbc=，则（）A.||abc++的最大值为5B.||abc++的最小值为2C.||ab

c−+的最大值为13D.||abc−+的最小值为2【答案】AC【解析】的【分析】由题意得,,acbc=，从而引入参数,,,0,πacbc==，使得()()()()()()3,0,cos,sin,cos,sincos,sincab===−−=−满足题意，将向量的模

用复合型三角函数表示即可求解.【详解】若平面向量a，b，c满足||1a=r，||1b=，||3c=，且acbc=，则3cos,3cos,acbc=，即cos,cos,acbc=，,,acbc=，不妨设,,,0,πacbc==，()()(

)()()()3,0,cos,sin,cos,sincos,sincab===−−=−，所以()2cos3,0abc++=+，2cos3abc++=+，()3,2sinabc−+=，294sinabc−+=+，因为

0,π，所以cos,sin的取值范围分别为1,1,0,1−，所以2cos3abc++=+，294sinabc−+=+的取值范围分别为1,5,3,13，故AC正确，BD错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：关键是设出()()()(

)()()3,0,cos,sin,cos,sincos,sincab===−−=−，结合三角函数性质以及模的计算公式即可顺利得解.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知梯形ABCD中，//ABCD，2ABCD=，且三个顶点坐标分别

为(2,1)A−，(1,3)B−，(2,2)D，则顶点C的坐标为_________.【答案】5,32【解析】【分析】由题意2ABDC=，结合向量的线性运算即可求解.【详解】由题意2ABDC=，设顶点C的坐标为(),xy，则()()1,2,2,2ABDCxy==−

−，所以()()122222xy=−=−，解得523xy==，所以顶点C的坐标为5,32.故答案为：5,32.14.若sin22cos=−，π,02−，则tan=_________.【答案】1−【解析】【分析

】变换得到2cos2sincos−=，确定π4=−，计算得到答案.【详解】sin22cos2sincos=−=，因为π,02−，则cos0，2sin2=−，则π4=−，故ta

n1=−.故答案为：1−.15.已知a，b，c均为单位向量，且满足3450abc++=，则cos,bc=_________.【答案】45−##0.8−【解析】【分析】由题意453bca+=−，两边平方，结合数量积的定义、运算律即可求解

.【详解】由题意453bca+=−，所以162540cos,9bc++=，解得4cos,5bc=−.故答案为：45−.16.在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，22acab−=−，且1b=，则C=_________，ABC面积的取值范围为_________.【答案】①.π3

②.33,82【解析】【分析】在锐角ABC中，利用余弦定理求解；先由余弦定理用a表示c，再根据ABC是锐角三角形得到a的范围，然后利用三角形的面积公式求解.【详解】解：在锐角ABC中，22acab−=−，且1b=，由余弦定理得：2221cos22abcC

ab+−==，解得π3C=；由余弦定理得22222cos1cababCaa=+−=+−，因为ABC是锐角三角形，所以22222200acbcba+−+−，即22020aaa−−，解得122a，所以1333sin,2482ABCSa

bCa==，故答案为：π3，33,82四、解答题：共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知1e，2e是两个不共线的向量.（1）若1232ABee=−，124BCee=+，1289CDee=−，求证：

A，B，D三点共线；（2）若122ee+和12ee+共线，求实数的值．【答案】（1）证明见解析；（2）22=【解析】【分析】（1）求出BD，找到使ABBD=成立的即可证明；（2）通过平行，必存在实数k使()12122keeee=++，列方程组求出实数的值.【

小问1详解】()121212489128BDBCCDeeeeee=+=++−=−，又1232ABee=−，4ABBD=，AB//BD，又ABBDB=，A，B，D三点共线；【小问2详解】向量122ee+和12ee+共线，存在实数k使()12121

22eekekekee++==+，又1e，2e是不共线，21kk==，解得22=.18.已知cosα55=，sin（α﹣β）1010=，且α、β∈（0，2）．求：（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；（Ⅱ）β的值．【答案】

（Ⅰ）210；（Ⅱ）4．【解析】【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的

值，再由β的范围求出β的值．【详解】（Ⅰ）∵02，，，∴α﹣β∈（2−，2），∵5cos5=，()10sin10−=，∴sinα2251sin5=−=，cos（α﹣β）()23101

cos10=−+=，∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα31051025210510510=−=，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）5310251025

105102=+=，又∵02，，∴β4=．【点睛】关键点点睛：拆角2()−=−+，()=−−是本题解题关键.19.已知函数ππ()sinsincos66fxxxx=++−+，（1）求()fx的单调递减区间；（2）在A

BC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若()2fA=，7a=，5bc+=，求ABC的面积S.【答案】（1）π4π[2π,2π](Z)33kkk++（2）332【解析】【分析】（1）运用两角和差的正弦公式，辅助角公式化简，整体代入求出单调减区间；（2）求出角度π3A

=，后运用余弦定理，借助已知的方程，联立求出6bc=，最后用面积公式求解即可【小问1详解】ππ()sinsincos66fxxxx=++−+，运用两角和差正弦得到，3131()sincossincoscos3sincos2222fxxxxx

xxx=++−+=+,运用辅助角公式得到，π()2sin()6fxx=+.令ππ3π2π2π,Z262kxkk+++，解得π4π2π2π,Z33kxkk++.故()fx的单调递减区间为π4π

[2π,2π](Z)33kkk++【小问2详解】()2fA=，则π()2sin()26fxA=+=，即πsin()16A+=，(0,π)A，则π3A=.由余弦定理知道2222cosabcbcA=+−，即227bcbc=+−.（∗）而5bc+=，两边

平方得到22225bcbc++=与（∗）联立得到6bc=.故ABC的面积11333sin62222SbcA===.20.如图，在直角梯形ABCD中，//ADBC，33BCAD==，ABBC⊥，点E为CD中点，BE与AC相交于F.（1）当2AB=时，求BEAC；（2）设B

FBE=，求的值.【答案】（1）4（2）67【解析】【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，得到()()2,1,3,2BEAC==−，结合数量积的坐标表示即可得解；（2）分解向量得232BFBCBA=+，结合三

点共线的推论即可列方程求解.【小问1详解】因为ABBC⊥，所以以点B为坐标原点，,BCBA所在直线分别为,xy轴建立如图所示的平面直角坐标系，若2AB=，33BCAD==，则()()()()()0,0,0,2,3,0,1,2,2,1BACDE，所以()()2,1,3,2BEAC==

−，所以()23124BEAC=+−=；【小问2详解】的设2ABa=，20a，则()1,2Da，()3,0C，()0,2Aa，则()2,Ea，()3,0BC=，()0,2BAa=，()2,BEa=由题意()()()()22

2,2,3,00,23232BFBEaaaBCBA====+=+，因为,,ACF三点共线，所以2132+=，解得67=.21.已知函数()sin(2)fxAx=+（0A，||2）的一个最高点的坐标为π,212，（1）求()fx的解析式；

（2）将()fx的图象上各点的横坐标变为原来的1（0）倍，纵坐标不变，得到()gx的图象，且()gx在区间2π0,3上至少有2个零点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，当取得最小值时，对

12π2π,,515xx−，都有212()()2gxgxtt−+成立，求t的取值范围.【答案】（1）()π2sin23fxx=+（2）5,4+（3）(),31,−−+【解析】【分析】（1）由题意得关于,A的方程组即可求

解；（2）首先得()gx表达式，进一步根据已知条件列出关于的不等式组即可求解；（3）首先求得()gx的最值，进而得关于t的不等式即可求解.【小问1详解】由题意ππ2,22π,Z122Akk=+=+，又||2，所以π2,3A==，所以()π2sin

23fxx=+；【小问2详解】由题意()()π2sin2,03gxx=+，当2π0,3x时，()41πππ2,333x++，()gx在区间2π0,3上至少有2个零点，则()41π2π30+，解得54，所

以的取值范围为5,4+；【小问3详解】的最小值为54，即()5π2sin23gxx=+，因当π2π,515x−时，5ππ2π,2363x+−，()()maxmin2,1g

xgx==−，所以12()()gxgx−的最大值为3，故223tt+，()()310tt+−，解得：1t或3t?.22.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路

的宽度忽略不计），其中5AB=千米，2AD=千米，BCD△是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设BAD=，π,π2．（1）当25sin5=时，求：①小路AC长度；②草坪ABCD的面积；（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．【答案】（1）5AC=，172

ABCDS=（2）17为的【解析】【分析】（1）借助余弦定理与正弦定理，结合面积公式计算即可得；（2）借助表示出ABDS及BCDS△后，结合辅助角公式与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由25sin5=，π,π2，故2

255cos155=−−=−，由余弦定理可得2222cos54413BDABADABAD=+−=++=，即13BDCD==，由正弦定理可得sinsinABBDADB=，即525213sinsi

n51313ABADBBD===，则π213coscossin213ADCADBADB=+=−=−，故有2222132cos41322132513ACADCDADCDADC=+−=+−−=，故5AC=，()2211125117sin5

213222522ABCDABDBCDSSSABADBD=+=+=+=；【小问2详解】1sin5sin2ABDSABAD==，2222cos5445cos945cosBDABADABAD=+−=

+−=−，故21925cos22BCDSBD==−，则()995sin25cos5sin22ABCDABDBCDSSS=+=+−=−+，其中25sin5=，π0,2，则当π2−=

，即π25coscossin25=+=−=−时，草坪ABCD的面积最大，此时225945175BD=−−=，即此时小路BD的长度为17.