【文档说明】江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第一次大考数学（理）试题含答案.doc，共(9)页，753.000 KB，由管理员店铺上传

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南康中学2020-2021学年度第一学期高二第一次大考数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的)1．设集合2{|}Mxxx==，|01Nxx=,则MN=（）A．[0,1)B．(0,1]C．[0,1]D．(0,1)2．右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆台C．圆锥D．棱台3.已知边长为1的菱形ABCD中，3A=，则用斜二测画

法画出这个菱形的直观图的面积为（）A．26B．36C.68D．964．函数()31,0,1,0,3xxxfxx+=…的图像大致为（）A．B．C．D．5．设,mn是不同的直线，,是不同的平面，

下列命题中正确的是()A．若//,,////mnmn⊥，则B．若//,,//mnmn⊥⊥，则C．若//,,//mnmn⊥⊥，则D．若//,,mnmn⊥⊥⊥，则6．若1tan3=，则cos2=()A．45−B．15−C．15D．457．已

知数列{}na为等比数列，满足31176aaa=；数列{}nb为等差数列，其前n项和为nS，且77ba=，则13S=（）A．13B．48C．78D．1568．在正方体1111DCBAABCD−中，M和N分别为11BA和

1BB的中点，那么直线AM和CN所成的角的余弦值是（）A．32B．1010C．35D．259．右图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（）A．4B．2C．43D．10．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三

棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵111ABCABC−中，已知3,4,5ABBCAC===，若阳马111CABBA−的外接球的表面积等

于50，则鳖臑1CABC−的所有棱中，最长的棱的棱长为（）A．5B．41C．52D．811．已知函数()()sin(0)fxx=+的图象的一个对称中心为,02，且142f=，则的最小值为（）A．23B．1C．43D．212．已知四边形ABC

D为矩形，24ABAD==，E为AB的中点，将ADE沿DE折起，连接1AB，1AC，得到四棱锥1ADEBC−，M为1AC的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是（）①//MB平面1ADE；②三棱锥MDEC−的体积最大值为223；③||5MB=；④一定存在某个位置，使1DEAC⊥；A.①

②B.①②③C.①③D.①②③④二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．已知x为实数，向量()2,1a=−，()1,x=b，且ab⊥rr，则2ab+=______．14．已知数列na满足11a=，*1()21nnnaanaN+

=+，则20a=__________．15．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E，F、1E，1F，则AE

EB的值是__________.16．在平面直角坐标系xOy中,A的坐标为(2,0),B是第一象限内的一点,以C为圆心的圆经图1图2过O､A､B三点,且圆C在点A,B处的切线相交于P,若P的坐标为(4,2),则直线PB的方程为______________.M三、解答题（本大题

共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在长方体''''ABCDABCD−中，截下一个棱锥''CADD−，求棱锥''CADD−的体积与剩余部分的体积之比．18．（本小题满分12分）已知向量(sin,cos),(3cos,cos),()a

xxbxxfxab===.（1）求f(x)的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且73asinBsinC==，，若f(A)=1，求△ABC的周长.19．（本小题满分12分）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫

截面.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点,GM分别是棱1,CCBC的中点.(1)证明：1AMGD、、、共面；(2)求截面1AMGD的面积.20．（本小题满分12分）已知等比数列nb，1234b

b+=，且2338bb+=.（1）求数列nb的通项公式；（2）若数列nan是首项为1b，公差为2b的等差数列，求数列1na的前n项和.21．（本小题满分12分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABC

D是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD＝60°，2PAPD==，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）是否存在Q，使PA∥平面DEQ？若存在，求出PQPC的值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知圆22:

(4)(1)4Cxy−+−=,直线:2(31)20lmxmy−++=（1）若直线l与圆C相交于两点,AB，弦长AB等于23，求m的值；（2）已知点(4,5)M，点C为圆心，若在直线MC上存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有PMPN为一常数，试

求所有满足条件的点N的坐标及该常数．南康中学2020-2021学年度第一学期高二第一次大考数学（理）参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1-5CBCAC6-10DCDBC11-

12AB二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．514．13915．21+16．x+7y﹣18=0.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：长方体''''ABCDABCD−可以看成四棱柱''''ADDABCCB

−．设四棱柱的底面''ADDA的面积为S，高为h，则它的体积为VSh=．………………3分棱锥''CADD−的底面面积为12S，高为h因此，棱锥''CADD−的体积''111326CADDVShSh−==，…………6分余下的体积是1566ShShSh−=．

……………………………………9分'':1:5CADDVV−=棱锥剩．…………………………………………10分18．解：（1）因为a=(sinx，cosx)，b=(3cosx，cosx)，f(x)a=•3b=sinxcosx+cos2x32=sin2x12+cos2x12+=sin(2x6+)

12+，………3分由2−+2kπ≤2x62++2kπ，k∈Z，可得：3−+kπ≤x6+kπ，k∈Z，可得f(x)的单调递增区间是：[3−+kπ，6+kπ]，k∈Z，…………………………6分（2）由题意可得：sin(2A6+

)12=，又0<A<π，所以62A1366+，所以2A566+=，解得A3=，………………………………………………8分设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2=b2+c2﹣2bccos

A，所以a=BC7=，又sinB=3sinC，可得b=3c，…………………………9分故7=9c2+c2﹣3c2，解得c=1，……………………11分所以b=3，可得△ABC的周长为47+.……………………12分19．解：⑴证明：连结1BC，在正

方体中11//DCAB，11//BCAD，又1//BCGM，1//ADMG1AMGD、、、四点共面.……………………6分⑵根据题意，结合线面面面平行的性质，得到满足条件的截面为等腰梯形1ADGM，…8分由正方体的棱长为1，可求得该梯形的上底为22，下底为2，高为324，……10分利

用梯形的面积公式可求得232(2)92428S+==.………………12分20．解：（1）设nb的公比为q，因为1234bb+=，且2338bb+=，则112113438bbqbqbq+=+=，…3分解得11212bq==，所以12nnb=.………………

…………………………………6分（2）数列nan是首项为12，公差为14的等差数列，所以()1111244nannn+=+−=，……………………………………7分得到24nnna+=，()1411411nannnn==−++，………………

…………10分12111111111144411223111nnaaannnn+++=−+−++−=−=+++……12==分21．证明：（Ⅰ）

取AD中点O，连接OP，OB，BD．因为PAPD=，所以POAD⊥．………………2分因为菱形ABCD中，60BCD=，所以ABBD=．所以BOAD⊥．……………………………………3分因为BOPOO=，且BO平面POB，PO平面

POB，所以AD⊥平面POB．………………………………5分因为PB平面POB所以ADPB⊥．…………………………………………6分（Ⅱ）连结AC交DE于H，连结QH在菱形ABCD中，由ADH∽CEH有21ADAHC

ECH==又//PA平面DQE且平面PAC平面DQE于QH………………9分//APQH13QHCHCPAC==……………………………………11分23PQPC=………………………………………………………………12分22.解：（1）由弦长AB等于23，结合圆C的半径为2

，利用勾股定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式列方程可得0m=或13m=−；………………4分（2）由题知，直线MC的方程为4x=，假设存在定点()4,Nt满足题意，则设，(),Pxy，PMPN=……………………………………5分得222||(

0)PMPN=，且()()22441xy−=−−………………6分所以()()()()222222241541yyyyt−−+−=−−+−整理得：()()2222283280tyt−+++−=……………………8分因为，上式对于任意1,

3y−恒成立，所以()22280t−+=且()223280t+−=…………………………10分解得27100tt−+=，所以2t=，5t=（舍去，与M重合），24=，2=……11分综上可知，在直线

MC上存在定点()4,2N，使得PMPN为常数2．…………12分