【文档说明】北京市铁路第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，628.524 KB，由小赞的店铺上传

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北京市铁路第二中学2023—2024学年第一学期高一数学期中考试试卷（试卷满分150分考试时长120分钟）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，迭出符合题目要求的一项.1.已知集合2,Axxkk==Z，33Bxx=−，

那么AB=（）A.1,1−B.2,0−C.{}2,0,2-D.2,1,0,1−−【答案】C【解析】【分析】解不等式()323kkZ−，求得整数k的取值，由此可求得AB.【详解】解不等式323k−，得3322k−，kZ，所以，整数k

的可能取值有1−、0、1，因此，2,0,2AB=−.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组2202xyxy+=+=的解集是（）A.{(1，﹣1),(﹣1，1)}B.{(1，1

),(﹣1，﹣1)}C.{(2，﹣2),（﹣2，2)}D.{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【解析】【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．【详解】方程组2202xyxy+=+=的解为11xy

==−或11xy=−=，其解集为{(1,1),(1,1)}−−．故选：A．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为(,)xy，一个解可表示为(1,1)−．3.若0ab，0cd，则一定有（）

.A.acbdB.adbcC.acbdD.adbc【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质可判断.【详解】解：根据0cd，有0cd−−，由于0ab，两式相乘有,acbdacbd−−，故选：A.4.函数11yxx=+−的定义域为（）A.)0,1B.(

)1,+?C.()()0,11,+D.)()0,11,+【答案】D【解析】【分析】根据偶次方根被开方数非负、分母不为0，可建立等式关系，进而可求出函数的定义域.【详解】由题意，可得010xx−，解得01x或1x.所以函数11yxx=+−的定义域为

)()0,11,+.故选：D.5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.1yx=+B.3yx=−C.1yx=D.||yxx=【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.【详解】函数1yx=+不

是奇函数，故A不正确；函数3yx=−是奇函数，但不是增函数，故B不正确；函数1yx=是奇函数，但不是增函数，故C不正确；||yxx=22,0,0xxxx=−的图象如图：所以函数||yxx=22,0,0xxxx=−是奇函数且是增函数.故选：D6.

设()338xfxx=+−，用二分法求方程3380xx+−=在()1,2x内近似解的过程中得()()()10,1.50,1.250fff，则下列必有．．方程的根的区间为（）A.()1.5,2B.()1,1

.25C.()1.25,1.5D.不能确定【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理判断．【详解】由题可知函数()fx为增函数，结合零点存在定理知在区间()1.25,1.5上必有根．故选：C．7.设()fx是奇函数，且在()0,+内是减

函数，又()30f−=，则()0xfx的解集是（）A.{30xx−∣或3}xB.{3xx−∣或03}xC.{30xx−∣或03}xD.{3xx−∣或3}x【答案】D【解析】【分析】根据题意，得到函数()fx在(0,)+为减函数，且()30f=，结合不等式(

)0xfx，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()fx是奇函数，且在()0,+内是减函数，可得函数()fx在(),0−为减函数，又由()30f−=，可得()()330ff=−−=，因为不等式()0xfx，当0x时，则()0fx，解得

3x；当0x时，则()0fx，解得3x−，所以不等式()0xfx的解集为{3xx−∣或3}x.故选：D.8.0a是函数()221fxaxx=++至少有一个负零点的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分

必要条件的定义判断．【详解】a<0时，1210xxa=，12,xx中一正一负，充分性满足，但当1a=时，2(1)2fxxx=++的零点是=1x−，因此不必要，所以应为充分而不必要条件，故选：A．9.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定

条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【答案】B【解析】【详解】由图

形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2patbtc=++的图象上，所以930.7{1640.82550.5abcabcabc++=++=++=，解得0.2,1.5,2abc=−==−，所以20.21.52ptt=−+−=215130.2()416t−−+，因

为0t，所以当153.754t==时，p取最大值，故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.10.设()fx为定义在R上的函数

，函数()1fx+是奇函数.对于下列四个结论：①()10f=；②()()11fxfx−=−+；③函数()fx的图象关于原点对称；④函数()fx的图象关于点()1,0对称；其中，正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】令()()1gxfx=+，①：根据()00g=求解

出()1f的值并判断；②：根据()gx为奇函数可知()()gxgx−=−，化简此式并进行判断；根据()1yfx=+与()yfx=的图象关系确定出()fx关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.【详解】令()()1gxfx=+，①因为()g

x为R上的奇函数，所以()()0010gf=+=，所以()10f=，故正确；②因为()gx为R上的奇函数，所以()()gxgx−=−，所以()()11fxfx−+=−+，即()()11fxfx−=−+，故正确；因为()1yfx=+的图象由()yfx=的图象向左平移一个单位得到的，又()1

yfx=+的图象关于原点对称，所以()yfx=的图象关于点()1,0对称，故③错误④正确，所以正确的有：①②④，故选：C.【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若()fxa+为偶函数，则函数()yfx=的图象关于直线xa=对称；（2）

若()fxa+为奇函数，则函数()yfx=的图象关于点(),0a成中心对称.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.11.命题“0x，20x”的否定是______．【答案】000,20xx【解析】【分析】直接根据全称命题的否定为

特称命题解答即可；【详解】命题“0x，20x”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“000,20xx”故答案为：000,20xx12.已知方程2410xx−+=两根为1x和2x，则2212xx+=_________【答案】14【解析】【分析】的

由韦达定理可得答案.【详解】方程2410xx−+=的两根为1x和2x，则1x+24x=，1x21x=，则()222121212216214xxxxxx+=+−=−=.故答案为：14.13.若函数()()212

fxxbx=+−−是偶函数，则()fb与()2f−的大小关系为______．【答案】()()2fbf−【解析】【分析】根据函数奇偶性求出函数()fx，在计算出()fb与()2f−的值即可比较二者之间的大小关系.【详解】因为函数()fx是偶函数，所以()()fxfx−=,所以()()2212

12xbxxbx−−−=+−−，得1b=，即()22fxx=−，因为()()11fbf==−，()22f−=，所以()()2fbf−，故答案为：()()2fbf−.14.已知函数()223xxxf=−+，当0,3x时，()fx的值域是______；

若()fx的值域是2,11，则()fx的定义域为______．（写出满足条件的一个结论）【答案】①.2,6②.2,4−(答案不唯一)【解析】【分析】利用二次函数的单调性与对称性计算即可.根据题意令()

2fx=，()11fx=，求出对应的x值，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由()()222312fxxxx=−+=−+，可知0,1x，函数单调递减，当1,3x时，函数单调递增，故1x=时，()min2fx=，3x=时，()max6fx

=，即()2,6fx.()fx的值域是2,6.令()2232xxfx=+−=，解得1x=；令()222311,280xxxxfx−=−−=+=，解得2x=−或4x=；由二次函数的图象与性质可得，若要使函数()223x

xxf=−+的值域是2,11，则它的定义域是可能是1,4，2,1−，2,4−．故答案为：2,6;2,4−(答案不唯一)15.已知()222fxxax=−+，当1,2x+时，()f

xa恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】(,1]−【解析】【分析】求出函数的对称轴，分类讨论区间端点与对称轴的大小，将恒成立问题转化为最值问题解决.【详解】由()222fxxax=−+可知，函数对称轴为xa=，当1

(,)2a−时，()fx在1[,)2+上单调递增，()min19()24fxfa==−，所以要使()fxa恒成立，即()minfxa，即91,42aaa−，解得12a；当1[,)2a+∞时，()fx在[,)a+上单调递增，所以()2min

()2fxfaa==−，则212,2aaa−，解得112a≤≤；综上所述，a的取值范围是(,1−.故答案为：(,1−16.已知λ∈R，函数f(x)=24,43,xxxxx−−+，当λ=2时，不等式f(x)<0

的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】①.(1,4)②.(1,3](4,)+【解析】【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对

应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得240xx−或22430xxx−+，所以24x或12x，即14x，不等式f(x)<0的解集是(1,4),当4时，()40fxx=−，此时

2()430,1,3fxxxx=−+==，即在(,)−上有两个零点；当4时，()40,4fxxx=−==，由2()43fxxx=−+在(,)−上只能有一个零点得13.综上，的取值范围为(1,3](4,)+.点睛：

已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出

函数图象，然后数形结合求解．三、解答题共6小题，共86分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知全集U=R，集合30,2352xAxBxxx−==++∣∣．（1）求AB；（2）求()UABð．【答案】17.42ABxx=−−

；18.()43UABxx=−ð.【解析】【分析】通过解分式不等式和绝对值不等式求出集合,AB，结合集合的运算即可求解.【小问1详解】根据题意：302xx−+()()320xx+−，解得：<2x−或3x，即2Axx=−或3x，235,5235xx+−+，解得：41

x−，即41Bxx=−；42ABxx=−−；【小问2详解】2Axx=−或3x，23UAxx=−ð，41Bxx=−，()43UABxx=−ð.18.设函数()4fxxx=+．的

（1）判断函数()fx奇偶性并证明；（2）用单调性定义证明：函数()fx在()2,+上单调递增．【答案】（1）()fx为奇函数，证明如下.（2）证明如下.【解析】【分析】(1)用奇函数的性质证明即可.(2)用定义证明单

调性即可.【小问1详解】()fx为奇函数；证明：由题意知()fx的定义域|0xx关于原点对称，且()()44=fxxxfxxx骣琪--+=-+=-琪-桫，故得证；【小问2详解】证明：设任意的122xx，则()()()()()()211

2121212121212121212444444xxxxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxx骣骣骣--琪琪琪-=+-+=-+-=-+=-琪琪琪桫桫桫因为12120,4xxxx−，所以()()120fxfx−，故函数()fx在()2,+上

单调递增19.某工厂新建员工宿舍，若建造宿舍的所有费用P（万元）和宿舍与工厂的距离xkm的关系为()0532kPxx=+，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为40万元.为了交通方便，工厂和宿舍之间还

要修一条道路，已知铺设路面成本为6万元/km，设y为建造宿舍与修路费用之和，（1）求k的值.（2）求y关于x的表达式.（3）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用y最小，并求最小值.【答案】（1）200（2）()20060532

yxxx=++（3）宿舍应建在离工厂83km处，总费用最小为36万元.【解析】【分析】（1）根据条件代入，即可求得；（2）费用之和包括函数P、道路费用两部分，加起来即可；（3）用基本不等式求第（2）问函数的最值即可.【小问1详解】由题意，得40312k=+，2

00k=【小问2详解】2006632yPxxx=+=++()05x【小问3详解】()()200200200623242232436323232yxxxxxx=+=++−+−=+++，当且仅当()20023232xx=++，且

05x，即83x=时取等号所以，宿舍应建在离工厂83km处，总费用最小为36万元.20.设aR，解关于x的不等式()22120axax−++．【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】讨论0a=、0a时，不等式的解集情况，再分102a、

12a=、12a、a<0，求出不等式的解集即可．【详解】解：①当0a=时，原不等式为20x−+，解得2x；②当0a时，原不等式为()()120axx−−，（i）当102a时，12a，解不等式()()120axx−−可得

2x或1xa；（ii）当12a=时，原不等式即为()21202x−，解得2x；（iii）当12a时，102a，解不等式()()120axx−−可得1xa或2x；（iv）当a<0时，102a，解不等式()()120axx−−可得12xa..综上所

述，当a<0时，原不等式的解集为12xxa；当0a=时，原不等式的解集为2xx；当102a时，原不等式的解集为12xxxa或；当12a=时，原不等式的解集为2xx；当12a时，原不等式的解集为12xxxa

或.21.设()23fxxax=−+，其中Ra．（1）当1a=时，求函数()fx的图象与直线3yx=交点的坐标；（2）若函数()fx在(),0−上不具有单调性，求a的取值范围：（3）当2,2x−时，求

函数()fx最小值．【答案】（1）()1,3，()3,9（2）a<0（3）答案见解析【解析】【分析】（1）联立方程直接计算；（2）根据二次函数单调性可得参数范围;（3）分类讨论结合函数的单调性求解即可.【小问1详解】

当1a=时，()23fxxx=−+，联立方程233yxxyx=−+=，解得：13xy==或39xy==，即交点坐标为()1,3和()3,9.【小问2详解】函数()23fxxax=−+,2a+上单调递增，在,2a

−上单调递减；又函数()fx在(),0−上不具有单调性，的在所以02a，即a<0.【小问3详解】函数()23fxxax=−+在,2a+上单调递增，在,2a−上单调递减；当22a−时,()23fx

xax=−+在2,2x−上单调递增，()fx的最小值()222437faa=++=+−．当22a时,()23fxxax=−+在2,2x−上单调递减，()fx的最小值()423272faa=−+=−．当222a−时,()23fxxax=−+在,22a

上单调递增，在2,2a−上单调递减,()fx的最小值22334242aaaafa=−+=−．当4a−,()fx的最小值()722fa−=+．当4a,()fx的最小值()722fa=−．当44a−,()fx的最小值2423afa

=−．22.设A是实数集的非空子集，称集合|,BuvuvA=且uv为集合A的生成集．（1）当2,3,5A=时，写出集合A的生成集B；（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集2,3

,5,6,10,16B=，并说明理由．【答案】（1）6,10,15B=（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设12345,,,,Aaaaaa=，且123450aaaaa，利用生成集的定

义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】2,3,5A=Q，6,10,15B=【小问2详解】设12345,,,,Aaaaaa=，不妨设123450aaaaa，因为4121314

1525355aaaaaaaaaaaaaa，所以B中元素个数大于等于7个，又254132,2,2,2,2A=，34689572,2,2,2,2,2,2B=，此时B中元素个数等于7个，所以生成集B中元素个数

的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合,,,Aabcd=，使其生成集2,3,5,6,10,16B=，不妨设0abcd，则集合A的生成集,,,,,Babacadbcbdcd=则必有2,16abcd==，其4

个正实数的乘积32abcd=；也有3,10acbd==，其4个正实数的乘积30abcd=，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集2,3,5,6,10,16B=【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成

集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.