【文档说明】安徽省肥东县第二中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题.pdf，共(17)页，870.816 KB，由小赞的店铺上传

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肥东二中2020-2021学年度第二学期期中考试高二年级数学试卷（文）考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上3．考试范围：必修1（含导数），必修4，选修1--2第I卷（选择题）一、单选题1．已知集合A={0，1，

2，3，4}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A．1,2B．{0,1，2}C．0,1D．{1,−0，1，2，3，4}2．德国数学家狄利克雷在数学上做出了名垂史册的重大贡献，函数()()()0,1,xQDxx

Q=是以他名字命名的函数，则()()DD=（）A．1B．0C．D．-13．若平面向量(,1)ax=，(2,31)bx=−，若//ab，则x=（）A．15B．23−C．1或23−D．1或154．已知()7320logloglo

gx=，那么12x−等于（）A．B．C．D．5．下列函数为奇函数的是().A．yx=−B．cosyx=C．23yx=D．||yx=6．已知向量=（1，﹣），=（﹣2，0），则与的夹角为（）A．B．C．D．

7．设，函数，则使的的取值范围是（）A．B．C．D．8．边长为1的正方形ABCD上有一动点P，则向量ABAP的范围是（）A．[]0,1B．0,2C．1,2D．19．设0.302a=.，0.3log2b=，3log0.2c=，

则（）A．abcB．bacC．cbaD．bca10．若A､B､C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D.若OCOAOB=+(R，R)，则+的取值范围是（）A．()1,0−B．()0,1

C．()1,+D．(1,211．在数学解题中，常会碰到形如“1xyxy+−”的结构，这时可类比正切的和角公式.如：设,ab是非零实数，且满足sincos855tan15cossin55abab+=−，则b

a=（）A．4B．15C．2D．312．若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ伴随函数”．下列是关于“λ伴随函数”的结论：①f(x

)＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f(x)＝x是“λ伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ伴随函数”；④“12伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4第II卷（非选择题）二、填空

题13．22log33251272loglg5log108−+=______．14．复数32izi−+=+的共轭复数为z，则z的虚部为___________.15．已知函数()()2,21,2xxfxfxx

=−，则()2log7f=__________．16．已知函数()|lg|2fxx=+,若实数,ab满足0ba，且()()fafb=，则2+ab的取值范围是__________.三、解答题17．（本小题满分12分）已知复数1(zii=−是虚

数单位）.（1）求2zz−；（2）如图，复数1z，2z在复平面上的对应点分别是A，B，求12zzz+.18．（本小题满分10分）已知函数()21axbfxx+=+是定义域为()1,1−上的奇函数，且()112f=（1）求()fx的解析式；（2）若实数t满足()()2110ftf

t−+−，求实数t的范围.19．（本小题满分12分）如图是函数()sin()(0,)22fxx=+−一个周期内的图象，已知点7(,0)6A−是图象与x轴的交点.点C是图象上的最高点，点C的横坐标为13.（1）求函数()fx的解析式；（2）记ACB

=，求tan的值.20．（本小题满分12分）已知向()()()()()1cos,sin,1cos,sin,1,0,0,,,2abc=+=−=，a与c的夹角为1，b与c的夹角为2．()1当5,33==时，求21−的值；()2当123−=时

，求sin2−的值．21．（本小题满分12分）女党员“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台.某单位共有党员200人（男女各

100人），从2019年1月1日起在“学习强国”学习平台学习.现统计他们的学习积分，得到如下男党员的频率分布表和女党员的频率分布直方图.男党员积分（单位：千）[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)人数（单位：人）1525302010（1）已知女党员中积分不低于6

千分的有72人，求图中a与b的值；（2）估算女党员学习积分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和女党员学习积分的中位数（精确到0.1千分）；（3）若将学习积分不低于8千分的党员视为学习带头人，完成下面

22列联表，并判断能否有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关?男党员女党员合计带头人非带头人合计100100200相关公式即数据：22()()()()()nadbcabcdacbd−=++++.()2Pxk0.1000.0500.010k2

.7063.8416.63522．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx.(1)若f(x)在(0，)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请

说明理由高二期中考试数学试题（文科）参考答案1．B【分析】根据集合的交集的概念得到结果.【详解】∵A={0，1，2，3，4}，B={-1，0，1，2}；∴A∩B={0，1，2}．故选：B．【点睛】这个题目考

查了集合的交集的概念和运算，属于基础题.2．A【分析】推导出()0D=，从而(())(0)DDD=，由此能求出结果．【详解】解：函数()()()0,1,xQDxxQ=，()0D=，(())(0)1DDD==．故选：A．【点睛】本题考查函数

值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．C【分析】通过向量平行的性质得到方程，解方程求得结果.【详解】(),1ax=，()2,31bx=−且//ab()31120xx−−=，解得：23x=−或1x=本题正确选项：C【点睛

】本题考查利用向量平行的性质求解参数，属于基础题.4．C【详解】试题分析：()1122732220,3,8,84logloglogxlogxxx−−=====，故选C．答案第1页，总11页考点：对数方程及其运算5

．A【分析】根据奇函数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,因为yx=−,定义域属于R其符合奇函数定义()()fxfx−=−,故yx=−是奇函数,故A正确;对于B,因为cosyx=,定义域属于R其符合偶函数

定义()()fxfx−=,故cosyx=是偶函数,故B错误;对于C,因为23yx=,定义域是)0,+,故23yx=非奇非偶,故C错误;对于D,因为||yx=,定义域属于R其符合偶函数定义()()fxfx−=,故||yx=是偶函数,故D错误.综上所述,A是奇函数

.故选:A.【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性,解题关键是掌握奇函数的定义,考查了分析能力,属于基础题.6．C【详解】试题分析：由题意和向量的夹角公式可得夹角余弦值，则两向量夹角可求．解：∵向量=（1，﹣），=（﹣2，0），设与的夹角为θ

，∴由夹角公式可得cosθ===，又θ∈[0，π]，可得夹角θ=．故选C．考点：平面向量数量积的运算．7．C【详解】答案第2页，总11页试题分析：由于函数在定义域内是减函数，所以，解不等式得到或（舍去），而且，所以选C.考

点：对数函数的单调性.8．A【分析】分类，按P在正方形的四条边上分别求解．【详解】如图，分别以,ABAD为,xy建立平面直角坐标系，(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)ABCD，设(,)Pxy，(1,0),(,)A

BAPxy==，∴ABAPx=，当P在边AB或CD上时，01x，所以01ABAP，当P在边BC上时，1x=，1ABAP=，当P在边AD上时，0x=，0ABAP=，∴ABAP的取值范围是[0,1]．故选：A.【点睛】本题考查平面向量的数量积，通过建立坐标系

，把向量和数量积用坐标表示，使问题简单化．9．C【分析】先由指数函数和对数函数的性质判断,,abc的正负，然后作差比较,bc的大小即可【详解】解：由指数函数的性质可知0.3020a=.，因为0.3logyx=在(0,)+上为减函数，且21，答案第3页，总11页所以0.30.3lo

g2log10=，即0b，因为3logyx=在(0,)+上为增函数，且0.21，所以33log0.2log10=，即0c，因为333330.3333log2log0.2log0.3log2log0.2log2log0.2log0.3log0.3−−=−=333333(log2lo

g10)(log3log10)log2log0.2−−−=333log10(log51)0log0.3−=，所以cb所以cba，故选：C【点睛】此题考查指数式、对数式比较大小，考查对数换底公式的应用，属于基础题10．C【分析】根据A､B､C是

圆O上不同的三点，将OCOAOB=+两边平方，再根据线段CO与线段AB交于点D，得到()0,0,,0,OAOB求解.【详解】设圆的半径为1，因为A､B､C是圆O上不同的三点，由OCOAOB=+，两边平方得：221

2cos,OAOB=++，又因为线段CO与线段AB交于点D，如图所示：所以()0,0,,0,OAOB，所以()2222212cos,2OAOB=++++=+解得1

+，故选：C11．D答案第4页，总11页【分析】已知sincos855tan15cossin55abab+=−，对左边分式的分子分母同时除以cos5a，令ba=tanα,构造成“1xyxy+−”的结构，利用正切的和角公式化简，然后求出

tanα的值．【详解】a不等于零sincos855tan15cossin55abab，+=−sincos55coscos855tan15cossin55coscos55abaaabaa+=−

，令ba=tanα，tantan8885tantan()tan()()1551551531tantan5kkZkkZ+=+=+=+=+−tantan()tan3()33kkZ

=+==，所以3ba=，故本题选D．【点睛】本题考查了两角和的正切公式．本题重点考查了类比构造法．12．B【分析】理解新定义内容，然后根据对四个命题分别进行判断，得到答案．【详解】由题意得，①正确，如f(x)＝c≠0，取λ＝－1

，则f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，即f(x)＝c≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f(x)＝x是一个“λ伴随函数”，则x＋λ＋λx＝x(1＋λ)＋λ＝0，对任意实数x成立，所以1＋λ＝λ＝0，而找不到λ使此式成立，所以f

(x)＝x不是一个“λ伴随函数”；③不正确，若f(x)＝x2是一个“λ伴随函数”，则(x＋λ)2＋λx2＝(1＋λ)x2＋2λx＋λ2＝0对任意实数x成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而找不到λ使此式成立，所以f(x)＝x2不是一个“λ伴随函数”；答案第5页，总11页④正确，若f(x)是“

12伴随函数”，则12fx+＋12f(x)＝0，取x＝0，则f12＋12f(0)＝0，若f(0)，f12任意一个为0，则函数f(x)有零点；若f(0)，f12均不为0，则f(0)，f12异号，由零点存在性定理

知，在10,2区间内存在零点．因此①，④的结论正确．故选：B13．19【解析】【分析】利用有理指数幂及对数的运算性质，准确运算，即可求解．【详解】由题意，原式()22333332lg10(3)3log2lg5333

199119lg5−=−+=−−+=++=【点睛】本题考查了实数指数幂与对数的运算性质的化简求值问题，其中解答中熟记实数指数幂与对数的运算性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．1−【详解】试题分析：由题意得3(3)(2)5512(2)(2)5iiii

ziiii−+−+−−+====−+++−，则1zi=−−，所以z的虚部为1−.考点：复数的计算与复数的概念.15．3【分析】分子分母同除以cos，化弦为切，代入即得结果.【详解】由题意，分子分母同除以cos，可得sincosta

n1213sincostan121−−−−===++−+.故答案为：3.答案第6页，总11页16．72【分析】根据分段函数不同定义域，选择所在函数解析式代入；再根据大小选择解析式代入求解即可。【详解】()()(

)22log71log7227log7log712222ff−=−===【点睛】本题考查了对数恒等式的简单应用，分段函数的综合应用，属于基础题。17．(3,)+【分析】根据对数的运算性质把函数()|lg|2fxx=+的解析式写成分段函数的形式，并判断出单调性，结合已知0ba、()()faf

b=可以确定实数,ab的取值范围以及它们之间的关系，根据这个关系可以把代数式2+ab写成关于,ab中一个变量的形式，再构造新函数，用单调性的定义判断出新函数的单调性，最后利用新函数的单调性进行求解即可.【详解】因为lg2,1()lg2

lg2,01xxfxxxx+=+=−+，因为两段函数均为单调函数，实数,ab满足0ba，且()()fafb=，所以有01ab；又()()fafb=，所以lglgab=，于是lglgab=−，则1ab=，所以122+=+abbb；令1()2,1=+gxxxx，任取121xx

，则()()()1212121212111222gxgxxxxxxxxx−=+−+=−−，因为121xx，所以120xx−，12120−xx，因此()()()121212120gxgxxxxx−=−−，答案

第7页，总11页所以函数1()2=+gxxx在(1,)+上单调递增；因此()(1)3=gxg，即23+ab.故答案为：(3,)+【点睛】本题考查了利用消元法、构造新函数法求代数式的取值范围问题，考查了对数的运算性质，考查了对数函数的

性质，考查了单调性定义的应用，考查了数学运算能力.18．11−x【解析】试题分析：由函数奇偶性可将不等式变形为)1()1(2−−mfmf，结合函数单调性及定义域可得到关于m的不等式，从而求得其取值范围试题解析：因为0)1()1(2−+−mfmf，)1

()1(2mfmf−−−由题意)(xf是奇函数，所以)1()1(2−−mfmf4分即得−−−−−−1121221222mmmm解得：11−x12分考点：函数单调性奇偶性解不等式1

9．证明见解析【分析】由分析法证明，从待证的结论出发，逐步寻求使得结论成立的条件即可.【详解】证明：要证(2)1xyxy−，只需证22()1xyxy−，只需证2()210xyxy−+，即2(1)0xy−.因为,0xy，且2(1)0xy−成立，所以(2)1

xyxy−.【点睛】本题考查了分析法，重点考查了运算能力，属基础题.20．（1）()sin()6fxx=+；（2）tan8=.【分析】（1）由图得到函数()fx的周期为417()2336−−

=，求得，再由图象过点C1(,1)3，求答案第8页，总11页得即可.（2）过点C作x轴的垂线，垂足为M，根据函数()fx图象的周期性，可得3||2AM=|，12MB=，1CM=，然后在AMC和BMC△中，分别求得tanCAM

，tanCBM，再利用两角和的正切公式求解.【详解】（1）由图可知，函数()fx的周期为417()2336−−=，则22==，因为函数图象过点C1(,1)3，所以11()sin()133f=+=，所以12,32kkZ+=+，又因为2−2

，所以132+=，解得6π=，故函数()fx的解析式为()sin()6fxx=+.（2）如图.过点C作x轴的垂线，垂足为M，可得点M的坐标为1(,0)3，由函数()fx图象的周期性，可得点B的坐标为

5(,0)6，3||2AM=|，12MB=，1CM=，在AMC中，12tan332CMCAMAM===，在BMC△中，1tan212CMCBMMB===，所以223tan()8413CAMCBM++==−−，因为()CAMCBM=−+，答案第9页，总11页所以()tanta

n8CAMCBM=−+=，故tan8=.21．（1）6（2）12−【分析】由()0,，可得2的范围.利用向量的夹角公式化简可得12=，同理可得222=−．()1直接由5,33

==求21−的值；()2利用123−=，即可得出sin2−的值．【详解】解：()0,，0,.221cosac=+，22(1cos)sin22cosa=++=+，1c=，211cos1coscoscoscos22222cosacac

++=====+，12=．(),2，,22，0,.22−1cosbc=−，22(1cos)sin22cosb=−+=−，21cos1coscossincos222222cosbcbc

−−====−−，222=−．()51,33==，2156266−=−−=；()1223−=，2223−−=，化为26−=−，1sinsin262−=−=−．【

点睛】本题主要考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．答案第10页，总11页22．（1）0.065a=；0.09b=（2）平均数：7.5；中位数：7.5（3）没有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关.【分析】（1）由频率分布直方图小矩

形的面积为频率即可求解.（2）根据频率分布直方图平均数等于小矩形面积小矩形底边中点的横坐标之和；设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数在()6,8上，使小矩形面积为0.5即可求解.（3）根据列联表以及独立性检验即可判断.【详解】（1）由女党员中积分不

低于6千分的有72人，则低于6千分的有1007228−=人280.075220.28100a+==，解得0.065a=，720.1520.1222100b++=，解得0.09b=，故0.065a=；0.09b=.（2）由频率分布直方图可知：平均数30.1550.1370.390.241

10.187.547.5=++++=.设中位数为x，在)2,4与)4,6上的频率为0.07520.06520.150.130.28+=+=，()60.280.5x−+=，解得2267.515x=+，综上所述，平均数：7.5；中位数：7.5（3）

列联表如下：男党员女党员合计带头人304272非带头人7058128合计100100200()22220030587042()288003.1253.841()()()()721281001009216nadbc

abcdacbd−−====++++故没有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关.答案第11页，总11页【点睛】本题主要考查频率分布图、列联表以及独立性检验，属于中档题.23．不存在实数a能满足题意，理由见解析.【分析】对任意x1∈[0

，1]及x2∈[0，1]，都有|f(x1)－g(x2)|<1成立，等价于g(x2)－1<f(x1)<g(x2)＋1恒成立，即()()()()maxminmaxmin111gxfxfxgxa−+，对函数

分别求导，判断出单调性求出最值，代入不等式组可得实数a的取值范围．【详解】假设存在实数a能满足题意．由题意可知，()()()()221272xxfxx−−−=−．令f′(x)＝0，解得x＝12或72(舍去)．因为f(

0)＝－72，142f=−，f(1)＝－3，所以[f(x)]min＝－4，[f(x)]max＝－3．又因为g′(x)＝3(x2－a2)，所以，当x∈[0，1]时，g′(x)≤0，g(x)在[0，1]上单调递减，[g(x)]min

＝g(1)＝1－2a－3a2，[g(x)]max＝g(0)＝－2a．又|f(x1)－g(x2)|<1对任意x1∈[0，1]及x2∈[0，1]恒成立⇔g(x2)－1<f(x1)<g(x2)＋1恒成立，因此，有()()()()maxminmaxmin111gxfxfxgx

a−+,解得a，即假设不成立，不存在实数a能满足题意．【点睛】关键点点睛：本题考查导数研究函数的单调性和最值，导数解决恒成立问题，解决本题的关键点是将任意x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，都有|f(x1)－g(x2)|<1成立，等价成g(

x2)－1<f(x1)<g(x2)＋1恒成立，进而转化为最值问题，并利用导数分别求出最值，代入不等式组，解出参数范围，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题．