北京市平谷区2023-2024学年高三下学期质量监控(零模)数学试卷 Word版含解析

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【文档说明】北京市平谷区2023-2024学年高三下学期质量监控(零模)数学试卷 Word版含解析.docx,共(21)页,1.098 MB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

平谷区2023—2024学年度第二学期高三年级质量监控数学试卷2024.3注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页,共150分,考试时间为120分钟,2.试题所有答案必须书写在答题纸上,在试卷上作答无效.3.考试结束后,将答题纸交回,试卷按学校要求保

存好.第Ⅰ卷选择题(共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分;在每小题给出的四个选项中,只有..一个..选项符合题意,请将正确选项填涂在答题卡上.)1.已知集合2Z4Axx=,1B

xx=−,则AB=()A.1,2B.0,1,2C.2,1,0,1,2−−D.|12xx−【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式确定集合A的元素,再由交集运算即可求解;【详解】由24x解得22x−,又Zx,所以2,1,0,1,2A

=−−.于是2,1,0,1,210,1,2ABxx=−−−=.故选:B.2.已知复数()i2iz=+,则z=()A.3B.5C.3D.5【答案】D【解析】【分析】由复数乘法以及模的运算公式即可求解.【详解】由题意()1ii22i

z=−+=+,则145z=+=.故选:D.3.在()52x−展开式中,2x的系数为()的A.10−B.10C.80−D.80【答案】A【解析】【分析】根据给定条件,利用二项式定理求出2x的系数.【详解】在()52x−的展开式中,2x项为14125C()

(2)10xx−=−,所以2x的系数为10−.故选:A4.下列函数中,在区间(0,)+上单调递减的是()A.12()logfxx=−B.()|1|fxx=−−C.()2−=xfxD.2()fxxx=−+【答案】C【解

析】【分析】根据各选项中函数式,直接判断单调性即得.【详解】函数12()logfxx=−在区间(0,)+上单调递增,A不是;函数1,1()11,1xxfxxxx−+=−−=−在(0,1]上单调递增,B不是;函数()2−=

xfx在()0,+上单调递减,C是;函数2()fxxx=−+在1(0,]2上单调递增,D不是.故选:C5.在△ABC中,“sincosAB=”是“π2C=”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分

也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由sincosAB=,则π2AB+=或π2AB−=和π2C=,则π2AB+=,则πsinsin()cos2ABB=−=,可得出答案.【详解】若sincosAB=,则π2AB+=或π2AB−=,即π2C=或π2AB−=,所以在

△ABC中,“sincosAB=”是“π2C=”的不充分条件若π2C=,则π2AB+=,则πsinsin()cos2ABB=−=,所以在△ABC中,“sincosAB=”是“π2C=”的必要条件.故选:B

.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断,考查三角函数的诱导公式的应用,属于基础题.6.已知抛物线C:28yx=的焦点为F,O是坐标原点,点M在C上.若4MF=,则OM=()A.25B.33C.42D.4【答案】A【解析】【分析】先由抛物线

的焦半径公式求出点M的坐标,再利用两点间的距离公式求出OM.【详解】设()00,Mxy,则2008yx=,由C:28yx=得28p=,即22p=,则00242pMFxx=+=+=,解得02x=,于是208216y==,即04y=,则()2,4M.所以220041625OMxy=+=+=.故

选:A.7.已知等差数列na和等比数列nb,114ab==−,42a=,548ab=,*mN,则满足1mmab的数值m()A.有且仅有1个值B.有且仅有2个值C.有且仅有3个值D.有无数多个值【答案】A【解析】【

分析】根据题意求公差和公比,令()11632mmmmcabm==−−,分情况讨论,结合数列单调性分析判断.【详解】设等差数列na的公差为d,等比数列nb的公比为q,因为114ab==−,42a=,548ab=,则()34324484d

dq−+=−+=−,解得212dq==−,令()()111421416322mmmmmcabmm−==−+−−−=−−,可得12316,4,0ccc==−=,

此时满足1mc只有1m=成立;若4m,则30m−,(1)若m为奇数,则()116302mmcm=−−,不满足1mc;(2)若m为偶数,则2,0mmcc+,且()()()2211611123211434341

1632mmmmmcmcmmm++−−−===+−−−−,即2mmcc+,可得4681ccc=,即1mc不成立;综上所述:满足1mmab的数值m有且仅有1个值,该

值为1.故选:A.8.一个边长为10cm的正方形铁片,把图中所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,则这个容器侧面与底面的夹角正切值为()A.34B.43C.223D.328【答案】B【解析】【分析】根据给定条件,结合正四棱锥的结构特征,求出正四棱锥

的斜高及底面边心距即可计算得解.【详解】依题意,正四棱锥的底面正方形边长为6,斜高为5h=,则底面正方形边心距为3r=,于是正四棱锥的高为22534h=−=,所以这个容器侧面与底面的夹角正切值为43hr=.故选:B9.已知()1,0A,()0,1B−,

P是曲线21yx=−上一个动点,则BPBA的最大值是()A.2B.22C.22+D.21+【答案】D【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算可得1BPBAxy=++,再利用直线与圆的位置关系数形结合即可得解.【详解】因为21yx

=−,即()2210xyy+=,则曲线21yx=−表示以坐标原点O为圆心,半径为1的上半圆,并记为C,设点(),Pxy,则()(),1,1,1BPxyBA=+=,所以1BPBAxy=++,令1txy=++,则1yxt=−+−,故直线1yxt=−+−(斜率为1−,纵截距为1t−

)与曲线C有公共点,如图所示:直线1:lyxm=−+过点()1,0D−,则01m=+,即1m=−,直线2:lyxn=−+与曲线C相切,则22111n=+,解得2n=或2n=−(舍去),所以112t−−,则021

t+,所以BPBA的最大值为21+.故选:D.10.设点()1,0A,动直线l:210xaya++−=,作AMl⊥于点M,则点M到坐标原点O距离的最小值为()A.1B.21+C.21−D.3【答案】C【解析】【分析】根据直线垂

直关系可得点M的轨迹是以()1,1C−为圆心,半径1r=的圆,即可得min21MO=−.【详解】由AMl⊥以及210xaya++−=可得直线AM的方程为()1yax=−,联立()2101xayayax++−==−,消去a整理可得

()()22111xy−++=;所以可知点M的轨迹是以()1,1C−为圆心,半径1r=的圆;因此()()22min1010121MOCOr=−=−+−−−=−.故选:C第Ⅱ卷非选择题(共110分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共

25分,请把答案填在答题卡中相应题中横线上.11.函数()()1ln12fxxx=+−+的定义域是______【答案】()(),22,1−−−【解析】【分析】根据分数和对数有意义的条件即可求解.【

详解】函数()()1ln12fxxx=+−+有意义的条件是2010xx+−,解得1x且2x−,的所以函数()fx定义域为()(),22,1−−−.故答案为:()(),22,1−−−.12.已知双曲线C:221yxm+=的左、右焦点分别为1F,2F,并且经过()2,6M−

点,则12MFMF−=______;双曲线C的渐近线方程为__________【答案】①.2−②.2yx=【解析】【分析】根据题意将点()2,6M−代入双曲线方程可求得2m=−,再由双曲线定义可得122MFM

Fa−=,从而可求解.【详解】由题意将()2,6M−代入双曲线方程得641m+=,解得2m=−,所以双曲线方程为2212yx−=,又因为点M在双曲线左支上,所以1222MFMFa−=−=−;所以渐近线方程为2yx=

.故答案为:2−;2yx=.13.设R,[0,2π).若对任意的实数x都有π3sin2)3sin)((6xx−=−+,则满足条件的所有可能的取值为______.【答案】π6,5π6【解析】【分析】根据给定关系

式,求出值,再分类求出值.【详解】由对任意的实数x都有π3sin2)3sin)((6xx−=−+,得2=或2=−,当2=−时,)((32πsin2)3sin)(23sin6xxx−=−−−+=,则πZπ2,6kk=+,而[0,2

π),因此π0,6k==;当2=时,)((2π3sin2)3sin)3sinπ6(2xxx−=−+=++,则ππ2π,Z6nn+=−+,而[0,2π),因此π61,5n==,所以满足条件的所有可能的取值为π6,5π6.故答案为:π6,5π614.若ABC的面积为()22

214bca+−,且C为钝角,则A=______;cb的取值范围是______.【答案】①.π4②.()2,+【解析】【分析】由三角形面积公式可得tan1A=,可求出π4A=;再根据C为钝角限定出π

04B,利用正弦定理可得2112tancbB=+,可得其范围是()2,+.【详解】根据题意可得面积()22211112coscoss422in4SbcabcAbcAbcA=+−===,可得c

ossinAA=,即tan1A=,又易知A为锐角,可得π4A=;由正弦定理可得()sinsinsincoscossin211sinsinsin2tanABcCABABbBBBB++====+,因

为C为钝角,π2AB+可得π04B,所以()tan0,1B;可得()11,tanB+,因此()2112,2tanB++;故答案为:π4;()2,+;15.已知函数()224xxmfxxmxmxm=−+,,,设()()gxfxb=−.给出下

列四个结论:①当4m=时,()fx不存在最小值;②当03m时,()fx在()0,+为增函数;③当0m时,存在实数b,使得()gx有三个零点;④当3m时,存在实数b,使得()gx有三个零点.其中正确

结论的序号是______.【答案】②④【解析】【分析】结合一次函数与二次函数的性质,利用分段函数的性质与函数的零点逐项判断.【详解】对于①:当4m=时,()248164xxfxxxx=−+,,,易知函数yx=在(,4−上的最

小值为0,函数()228164yxxx=−+=−,在()4,+内单调递增,即0y,所以4m=时,函数()fx的最小值为0,故①错误;对于②:当03m时,函数yx=,在(),0−内单调递减,在()0,m内单调递增,函数224yxmxm=−+的对称轴为xm=,所以在(),m+内单调递增,

又224mmmmm−+,即230mm−,解得03m,综上可知,当03m时,()fx在()0,+为增函数,故②正确;对于③:当0m时,函数yxx==−,则()()0gxfxbxb=−=−

−=,即xb=−,存在一个零点;函数224yxmxm=−+,在(),m+内单调递增,224yxmxm=−+与yb=存在一个交点,又224mmmmm−+−,即250mm−,解得0m或5m,于是0m时,224mmmmm−+−,如下图所示:综上可知,当0m

时,存在实数b,使得()gx至多有两个零点,故③错误;④当3m时,函数yx=,在(),0−内单调递减,在()0,m内单调递增,则yx=与yb=存在两个个交点,由③知,224yxmxm=−+与yb=存在一个交点,,又224mmmmm−+,即230mm−,解得0m或

3m,于是3m时224mmmmm−+,如下图所示:综上可知,当3m时,存在实数b,使得()gx有三个零点.故答案为:②④.三、解答题(本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.已知函数()sin2cosco

s2sinfxxx=−,其中π2,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件,使()fx存在,并完成下列两个问题.(1)求的值;(2)若0m,函数()fx在区间0,m上最小值为12−,求实数m的取值范围.条件①:对任意的xR,

都有()π3fxf成立;条件②:π142f=−;条件③:ππ236ff−−=.【答案】16.答案见解析17.2π0,3【解析】【分析】(1)根据所选条

件分别计算能否使()fx成立,从而可求解.(2)根据(1)中可得()πsin26fxx=−,再利用整体代换法得πππ2,2666xm−−−,从而可求得ππ2π66m−+,再结合0m,从而可求解.【小问1详解】由()()sin2coscos2sinsi

n2fxxxx=−=−,若选条件①:可知当π3x=时,π2πsin133f=−=,因为π2,即π6=,且对任意xR,都有()π13fxf=恒成立,故选条件①时()fx存在,故可选①;若选条件②:ππ1sin

cos422f=−==−,解得2π2π3k=+或4π2π3k=+,kZ,因为π2,所以与条件矛盾,故不选②;若选条件③:ππ2ππππππsinsinsinπφsi

nsinsin236333333ff−−=−−−−=−+++=+++=,所以πsin13+=,因为π2,可得π6=,故条件③能使

()fx成立,故可选③;综上所述:故可选择条件①或③,此时π6=.【小问2详解】由(1)知()πsin26fxx=−,当0,xm时,πππ2,2666xm−−−,且()

fx的最小值为12−,所以可得ππ2π66m−+,解得2π3m,又0m,所以2π03m,所以m的取值范围为2π0,3.17.如图,在三棱柱111ABCABC-中,侧面11BBCC和11ABBA均为正方形,2AB=,平面11B

BCC⊥平面11ABBA,点M是11AB的中点,N为线段AC上的动点;(1)若直线1AN∥平面BCM,求证:N为线段AC的中点;(2)若直线1AN与平面1BCM所成角的正弦值为36,求线段1AN的长.【答案】(1)证明见解析(2)322【解析】【分析】(1)过点N作NQAB∥交BC于点Q,连

接QM,得1NQAM∥,进而利用直线与平面平行的性质定理可得1ANQM∥,从而可证1ANQM是平行四边形,则由M是11AB的中点可得N为线段AC的中点;(2)先建立空间直角坐标系,再求得平面1BCM的法向量,设()01ANAC=,则()22,0,2N−,进而利用向量法表示线面

角,列方程求得,从而即可得到1AN的长.小问1详解】在ABC中,过点N作NQAB∥交BC于点Q,连接QM,如图:因为11ABAB∥,所以1NQAM∥,所以1A,N,Q,M四点共面.【因为直线1AN∥平面BCM,1AN平面1ANQM,平面BCM平面1ANQMQM=,所以1ANQM∥.所以四边形1

ANQM是平行四边形.所112NQAMAB==.所以N为AC的中点.【小问2详解】因为侧面11BBCC为正方形,所以1BCBB⊥,又因平面11BBCC⊥平面11ABBA,平面11BBCC平面111ABBABB=,BC平面1BBCC,所以BC⊥平面11ABBA

,1,ABBB平面11ABBA,所以BCAB⊥,1BCBB⊥,又因11ABBA为正方形,1ABBB⊥,以B为原点,BA,1BB,BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如下图:因为2ABBC==,所以()0,0,0B,()2,0,0A,(

)10,2,2C,()10,2,0B,()12,2,0A,()0,0,2C,()1,2,0M所以()10,2,2BC=,()1,2,0BM=.设平面1BCM的一个法向量为(),,nxyz=,由100nBCnBM=

=得22020yzxy+=+=即020yzxy+=+=.取1y=,得()2,1,1n=−−.设()01ANAC=,()000,,Nxyz=,则()0002,,ANxyz=−,因为()2,0,2A

C=−,所以()()2,,2,0,2xyz−=−.所以22x−=−,0y=,2z=,所以N点坐标为()22,0,2−.因为()12,2,0A,所以()12,2,2AN=−−设直线1AN与平面1BCM所成角为,则1121223sincos,6846ANnANnANn−==

==+,解得10,14=111,2,22AN=−−,所以1322AN=,即线段1AN的长为322.18.某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如图,其中“√

”表示购买,“×”表示未购买.(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品概率;(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两

种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)【答案】(1)0.417(2)0.1176(3)顾客购买丙的可能性较大.【解析】【

分析】(1)利用古典概型的概率公式求解;的(2)根据已知条件,利用相互独立的事件的概率公式求解;(3)在这1000名顾客中,分别求出同时购买甲、丙和甲、丁的概率,从而得到结论.【小问1详解】从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有217200417+=位顾客同时购

买了甲、乙两种商品,所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为4170.4171000=;【小问2详解】设事件A为顾客购买了两种商品,事件B为顾客购买了一种商品,事件C为顾客购买了三种商品;从统计表可以看出,()PA可以估计为100217250

13370071000100010+++==,()PB可以估计为1001100010=,()PC可以估计为200110005=,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品

、1名顾客购买了三种商品的概率为2211421C(())C()C()PAPBPC2711147620.1176105101250===,所求的概率可估计为0.1176;【小问3详解】在这1000名顾客中,同时购买甲、丙的概率为20025013

30.5831000++=,在这1000名顾客中,同时购买甲、丁的概率为1000.11000=,该顾客购买丙的可能性较大.19.已知椭圆E:()222210xyabab+=过点1,22,离心率为22

.(1)求椭圆E的方程;(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为()0kk的直线l交椭圆E于点A,B,直线l交直线2x=于点P,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,直线AQ交x轴于C,直线BQ交x轴于D,求证:点F为线段CD的中点.【答案】(1)2212xy+=(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由

椭圆上的点21,2和离心率列方程求得22,ab,即可得到椭圆方程;(2)由题意,设直线l的方程为()()10ykxk=−,联立方程组利用韦达定理可得2122412kxxk+=+,21222212kxxk−=+,进而题

意求得点,PQ的坐标,再由分别直线AQ和直线BQ的方程可得点11,0kxCky−和点22,0kxDky−,从而利用以上条件代入化简1212kxkxkyky+−−的值,进而即可得证点F为线段CD的中点

.【小问1详解】由题意得222222222211caabcab==++=解得22a=,21b=.所以椭圆E的方程是2212xy+=.【小问2详解】椭圆E的右焦点F的坐标为()1,0,由题意,设直线l的方程为()()10ykxk=−.()22121

xyykx+==−,整理得()2222124220kxkxk+−+−=.因为()()()22222Δ441222880kkkk=−−+−=+,所以,设直线l交椭圆E于点()11,Axy,(

)22,Bxy,则2122412kxxk+=+,21222212kxxk−=+.由直线l的方程()1ykx=−,令2x=,解得yk=,所以()2,Pk,()0,Qk.所以直线AQ的方程为11ykyxkx−=+,10x.令0y=,解得11kxxky=−,所以11,

0kxCky−.直线BQ的方程为22ykyxkx−=+,20x.令0y=,解得22kxxky=−,所以22,0kxDky−.()()()()1221121212kxykxykkxkxkykyyk

yk−−+−+=−−−−.由于()111ykx=−,()221ykx=−.则()()()()122112212122222kxkxxkxkxkxkykykxx−−+−+=−−−−()()()()()22212121212221212122242222222122282224

41212kkxxxxxxxxkkkxxxxxxkk−++−+−+====−−−−++−+++,所以线段CD的中点为F.20.设函数()()()2ln1fxxxax=++−,曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线斜率为1.(1)求a的值;(2)设函数()()g

xfx=,求()gx的单调区间;(3)求证:()0xfx.【答案】(1)1a=(2)单调递减区间为()1,0−,单调递增区间为()0,+(3)证明见解析【解析】【分析】(1)求出函数的导数,根据导数的几何意义,即可求得答案;(2)求出()gx的导数,判断导数的正负,即

可求得单调区间;(3)结合(2),可得()fx在()1,−+为增函数,结合函数值正负,即可证明结论.【小问1详解】由题意得()fx的定义域为()1,−+,()()2ln11xfxxax+=++−+,因为()01f

=.所以ln121a+−=,解得1a=.【小问2详解】因为()()()2ln111xgxfxxx+==++−+,()gx的定义域为()1,−+,()()()2211111xgxxxx+=−=++,令()0g

x=,得0x=,()gx与()gx在区间()0,+上的情况如下:x()1,0−0()0,+()gx-0+()gx递减极小递增所以()gx的单调递减区间为()1,0−,单调递增区间为()0,

+;【小问3详解】证明:由(2)得,在0x=时,()gx取得最小值1,所以()0fx恒成立,所以()fx在()1,−+为增函数,又因为()00f=,的当10x−时,()0fx,所以()0xfx;当0x时,()0fx,所以()0xfx,当0x=时,()0xfx=,综上,()0x

fx.21.已知na是无穷数列,对于k,*Nm,给出三个性质:①*Nna(1,2,n=);②121nnnknknaaaama+++−++++=(1,2,n=);③11nnknknaaama−−+−+++=(1,2,n=)(1)当2k=时,若()1042nna=+−(1,2,n=

),直接写出m的一个值,使数列na满足性质②,若满足求出m的值;(2)若2km==和3km==时,数列na同时满足条件②③,证明:na是等差数列;(3)当2k=,1m时,数列na同时满足条件①③,求证:数列na为常数列.【答案】(1)2m=(2)证明见解析(3)证明见解析【解

析】【分析】(1)由性质②得到12nnnaama+++=,结合na的通项公式化简得到20m−=,求出答案;(2)根据性质②得到21124nnnnnaaaaa−−+++++=,由性质③得到3211236nnnnnnnaaaaaaa−−−+

+++++++=,两式结合得到112nnnaaa−++=,故3a,4a,5a,…是等差数列,设其公差为d,结合21124nnnnnaaaaa−−+++++=得到23aad=−,132aad=−,得到结论;(3)当2m=时,由性质③得到()2

112nnnaaa−−=+,推出121212nnnaaaa−−−=−,3,4,=n,当()120aacc==时,nac=,1,2,n=满足上式,当12aa时,推出矛盾;当3m时,构造1,maxnnnbaaN−=,推出矛盾,从而证明出结论.【小问

1详解】2k=时,性质②为12nnnaama+++=,又()1042nna=+−,故()()()12104210421042nnnm+++−++−=+−,化简得()()420102nm+

−−=,要想上式总成立,则20m−=,解得2m=;【小问2详解】若2km==时,数列na满足条件②,得122nnnaaa+++=,数列na满足条件③,得212nnnaaa−−+=,两式相加()11224*nnnnnaaaaa−−+++++=,若3km==时,数列na满足条件②,得1

233nnnnaaaa+++++=,数列na满足条件③,得3212nnnnaaaa−−−++=,两式相加()3211236**nnnnnnnaaaaaaa−−−++++=++++,由()*知,()32114nnnnnaaaaa−−−++=−+,()23114nnnnnaaaaa+++−+=

−+,代入()**得得112nnnaaa−++=,其中4n,所以3a,4a,5a,…是等差数列,设其公差为d.在()*中,取4n=,则235644aaaaa+++=,所以23aad=−,在()*中,取3n=,则124534aaaaa++

+=,所以132aad=−,所以数列na是等差数列.【小问3详解】①当2m=时,由性质③得()2112nnnaaa−−=+,即()11212nnnnaaaa−−−−=−−,3,4,=n,所以121212nnnaaaa−−−=−,3,4,=n,若()12

0aacc==,则nac=,1,2,n=.经检验,数列c具有性质①③.若12aa,当221log2naa−+时,()12121012,nnnaaaa−−−=−,与naN矛盾.②当3m时,令1,maxnnnbaaN

−=,则()()()212111111133nnnnnnnnaaaaabbbm−−−−−−−=+++,3,4,=n.所以()()()11111133nnnnnnnnaaaaabbbm+−−=+++.所以11ax,mnnnnbaab++=.

所以111nnbb+−−,2,3,n=,所以311bb−−,531bb−−,…,21211nnbb+−−−.所以211nbbn+−−.当1nb时,2110nbbn+−,与21Nnb+矛盾.综上所述,只有当2m=,即212nnnaaa−−+=,且nac=

时满足①③,故数列na为常数列.【点睛】数列新定义问题,主要针对于等差,等比,递推公式和求和公式等综合运用,对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固,同时涉及数列与函数,数列与解析几何,数列与二项式定理,数列与排列组合等知识的综合,要

将“新”性质有机地应用到“旧”性质上,创造性的解决问题.

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