【文档说明】北京市平谷区2023-2024学年高三下学期质量监控（零模）数学试卷 Word版含解析.docx，共(21)页，1.098 MB，由管理员店铺上传

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平谷区2023—2024学年度第二学期高三年级质量监控数学试卷2024.3注意事项1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，共150分，考试时间为120分钟，2．试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答

无效.3．考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好．第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有．．一个．．选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．）1.已

知集合2Z4Axx=，1Bxx=−，则AB=（）A.1,2B.0,1,2C.2,1,0,1,2−−D.|12xx−【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式确定集合A的元素，再由交集运算即可求解；【详解】由24x解得22x−

，又Zx，所以2,1,0,1,2A=−−.于是2,1,0,1,210,1,2ABxx=−−−=.故选：B.2.已知复数()i2iz=+，则z=（）A.3B.5C.3D.5【答案】D【解

析】【分析】由复数乘法以及模的运算公式即可求解.【详解】由题意()1ii22iz=−+=+，则145z=+=.故选：D.3.在()52x−展开式中，2x的系数为（）的A.10−B.10C.80−D.80【答案】A【解析

】【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出2x的系数.【详解】在()52x−的展开式中，2x项为14125C()(2)10xx−=−，所以2x的系数为10−.故选：A4.下列函数中，在区间(0,)+上单调递减的是（）A.12()logfxx=−B.()|1|fxx=−−C.()2

−=xfxD.2()fxxx=−+【答案】C【解析】【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得.【详解】函数12()logfxx=−在区间(0,)+上单调递增，A不是；函数1,1()11,1xxfxxxx−+=−−=−在(0,1]上单调递增，B不是；函数()2−=xfx

在()0,+上单调递减，C是；函数2()fxxx=−+在1(0,]2上单调递增，D不是.故选：C5.在△ABC中，“sincosAB=”是“π2C=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由sincosA

B=，则π2AB+=或π2AB−=和π2C=，则π2AB+=，则πsinsin()cos2ABB=−=，可得出答案.【详解】若sincosAB=，则π2AB+=或π2AB−=，即π2C=或π2AB−=，所以在△ABC中，“sincosAB=”

是“π2C=”的不充分条件若π2C=，则π2AB+=，则πsinsin()cos2ABB=−=，所以在△ABC中，“sincosAB=”是“π2C=”的必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.6.已知抛物线C：28yx=的焦点为F，

O是坐标原点，点M在C上．若4MF=，则OM=（）A.25B.33C.42D.4【答案】A【解析】【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出OM.【详解】设()00,Mxy，则2008yx=，由C：2

8yx=得28p=，即22p=，则00242pMFxx=+=+=，解得02x=，于是208216y==，即04y=，则()2,4M.所以220041625OMxy=+=+=.故选：A.7.已知等差

数列na和等比数列nb，114ab==−，42a=，548ab=，*mN，则满足1mmab的数值m（）A.有且仅有1个值B.有且仅有2个值C.有且仅有3个值D.有无数多个值【答案】A【解析】【分析】根据题意求公差和公比，令()11632mmmmcabm==−−，分

情况讨论，结合数列单调性分析判断.【详解】设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，因为114ab==−，42a=，548ab=，则()34324484ddq−+=−+=−，解得212dq=

=−，令()()111421416322mmmmmcabmm−==−+−−−=−−，可得12316,4,0ccc==−=，此时满足1mc只有1m=成立；若4

m，则30m−，（1）若m为奇数，则()116302mmcm=−−，不满足1mc；（2）若m为偶数，则2,0mmcc+，且()()()22116111232114343411632mmmmmcmcmmm++−−−

===+−−−−，即2mmcc+，可得4681ccc=，即1mc不成立；综上所述：满足1mmab的数值m有且仅有1个值，该值为1.故选：A.8.一个边长为10cm的正方形铁片，把图中

所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为（）A.34B.43C.223D.328【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，结合正四棱锥的结构特征，求出正四

棱锥的斜高及底面边心距即可计算得解.【详解】依题意，正四棱锥的底面正方形边长为6，斜高为5h=，则底面正方形边心距为3r=，于是正四棱锥的高为22534h=−=，所以这个容器侧面与底面的夹角正切值为43hr=.故选：B9.已知()1,0A，()0,1B−，P是

曲线21yx=−上一个动点，则BPBA的最大值是（）A.2B.22C.22+D.21+【答案】D【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算可得1BPBAxy=++，再利用直线与圆的位置关系数形结合即可得解.【详解】因为21yx=−，即()2210xyy+=，则曲线21yx=−表示以坐标

原点O为圆心，半径为1的上半圆，并记为C，设点(),Pxy，则()(),1,1,1BPxyBA=+=，所以1BPBAxy=++，令1txy=++，则1yxt=−+−，故直线1yxt=−+−（斜率为1−，纵截距为1t−）与曲线C有公共点，如图所示：直线1:lyxm=−+过

点()1,0D−，则01m=+，即1m=−，直线2:lyxn=−+与曲线C相切，则22111n=+，解得2n=或2n=−（舍去），所以112t−−，则021t+，所以BPBA的最大值为21+.故选：D.10.设点()1,0A，动直线l：210xaya++−=

，作AMl⊥于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（）A.1B.21+C.21−D.3【答案】C【解析】【分析】根据直线垂直关系可得点M的轨迹是以()1,1C−为圆心，半径1r=的圆，即可得min21MO=−.【详解】由AMl⊥以及210xaya++−=可得直线AM

的方程为()1yax=−，联立()2101xayayax++−==−，消去a整理可得()()22111xy−++=；所以可知点M的轨迹是以()1,1C−为圆心，半径1r=的圆；因此()()22min1010121MOCOr=−=−+−−−=−.故选：C第Ⅱ卷非选择题（

共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上．11.函数()()1ln12fxxx=+−+的定义域是______【答案】()(),22,1−−−【解析】【分析

】根据分数和对数有意义的条件即可求解.【详解】函数()()1ln12fxxx=+−+有意义的条件是2010xx+−，解得1x且2x−，的所以函数()fx定义域为()(),22,1−−−.故答案为：()(),22,1−−−.1

2.已知双曲线C：221yxm+=的左、右焦点分别为1F，2F，并且经过()2,6M−点，则12MFMF−＝______；双曲线C的渐近线方程为__________【答案】①.2−②.2yx=【解析】【分析】根据题意将

点()2,6M−代入双曲线方程可求得2m=−，再由双曲线定义可得122MFMFa−=，从而可求解.【详解】由题意将()2,6M−代入双曲线方程得641m+=，解得2m=−，所以双曲线方程为2212yx−=，又因为点M在双曲线左支上，所以1222MFMFa−=−=−

；所以渐近线方程为2yx=.故答案为：2−；2yx=.13.设R，[0,2π)．若对任意的实数x都有π3sin2)3sin)((6xx−=−+，则满足条件的所有可能的取值为______．【答案】π6，5π6【解析】【分析】根据给定关系式，求出值，再分类求出值.【详

解】由对任意的实数x都有π3sin2)3sin)((6xx−=−+，得2=或2=−，当2=−时，)((32πsin2)3sin)(23sin6xxx−=−−−+=，则πZπ2,6kk=+，而[0,2π)，因此π0,6k==；当2

=时，)((2π3sin2)3sin)3sinπ6(2xxx−=−+=++，则ππ2π,Z6nn+=−+，而[0,2π)，因此π61,5n==，所以满足条件的所有可能的取值为π6，5π6.故答案为：

π6，5π614.若ABC的面积为()22214bca+−，且C为钝角，则A=______；cb的取值范围是______．【答案】①.π4②.()2,+【解析】【分析】由三角形面积公式可得tan1A=，可求出π4A=；再根据C为钝角限定出π0

4B，利用正弦定理可得2112tancbB=+，可得其范围是()2,+.【详解】根据题意可得面积()22211112coscoss422in4SbcabcAbcAbcA=+−===，可得cossin

AA=，即tan1A=，又易知A为锐角，可得π4A=；由正弦定理可得()sinsinsincoscossin211sinsinsin2tanABcCABABbBBBB++====+，因为C为钝角，π2AB+可得π04B，所以()tan0,1B；可得()11,tanB

+，因此()2112,2tanB++；故答案为：π4；()2,+；15.已知函数()224xxmfxxmxmxm=−+，，，设()()gxfxb=−．给出下列四个结论：①当4m=时，()fx不存在最小值；②当03m时，()fx在()0,+为增函数

；③当0m时，存在实数b，使得()gx有三个零点；④当3m时，存在实数b，使得()gx有三个零点．其中正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】结合一次函数与二次函数的性质，利用分段函数的性质与函数的零点逐项判断.【详解】对于①：当4m=时

，()248164xxfxxxx=−+，，，易知函数yx=在(,4−上的最小值为0，函数()228164yxxx=−+=−，在()4,+内单调递增，即0y，所以4m=时，函数()fx的最小值为0，故①错误；对于②：当

03m时，函数yx=，在(),0−内单调递减，在()0,m内单调递增，函数224yxmxm=−+的对称轴为xm=，所以在(),m+内单调递增，又224mmmmm−+，即230mm−，解得03m，综上可知，当03m时，()fx在()0,+为增函数，故

②正确；对于③：当0m时，函数yxx==−，则()()0gxfxbxb=−=−−=，即xb=−，存在一个零点；函数224yxmxm=−+，在(),m+内单调递增，224yxmxm=−+与yb=存在一个交点

，又224mmmmm−+−，即250mm−，解得0m或5m，于是0m时，224mmmmm−+−，如下图所示：综上可知，当0m时，存在实数b，使得()gx至多有两个零点，故③错误；④当3m时

，函数yx=，在(),0−内单调递减，在()0,m内单调递增，则yx=与yb=存在两个个交点，由③知，224yxmxm=−+与yb=存在一个交点，，又224mmmmm−+，即230mm−，解得0m或3m，于是3m

时224mmmmm−+，如下图所示：综上可知，当3m时，存在实数b，使得()gx有三个零点.故答案为：②④.三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.已知函数()sin2coscos2sinfxxx=−，其中π2，再从条件①、条件②、条件

③这三个条件中选择一个作为已知条件，使()fx存在，并完成下列两个问题．（1）求的值；（2）若0m，函数()fx在区间0,m上最小值为12−，求实数m的取值范围．条件①：对任意的xR，都有()π3fxf成立；条件②：π142

f=−；条件③：ππ236ff−−=．【答案】16.答案见解析17.2π0,3【解析】【分析】（1）根据所选条件分别计算能否使()fx成立，从而可求解.（2）根据（1）中可得()πsin26fxx=−，再利用整体代换法得πππ2,2

666xm−−−，从而可求得ππ2π66m−+，再结合0m，从而可求解.【小问1详解】由()()sin2coscos2sinsin2fxxxx=−=−，若选条件①：可知当π3x=时，π2πsin133f

=−=，因为π2，即π6=，且对任意xR，都有()π13fxf=恒成立，故选条件①时()fx存在，故可选①；若选条件②：ππ1sincos422f=−==−，解得2π2π3k=+或4π2π3k

=+，kZ，因为π2，所以与条件矛盾，故不选②；若选条件③：ππ2ππππππsinsinsinπφsinsinsin236333333ff−−=−−−−=−+++=+++=

，所以πsin13+=，因为π2，可得π6=，故条件③能使()fx成立，故可选③；综上所述：故可选择条件①或③，此时π6=.【小问2详解】由（1）知()πsin26fxx=−，当0,xm时，πππ2,2666xm−

−−，且()fx的最小值为12−，所以可得ππ2π66m−+，解得2π3m，又0m，所以2π03m，所以m的取值范围为2π0,3.17.如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11BBCC和11ABBA均为正方形，2AB=，平面11BB

CC⊥平面11ABBA，点M是11AB的中点，N为线段AC上的动点；（1）若直线1AN∥平面BCM，求证：N为线段AC的中点；（2）若直线1AN与平面1BCM所成角的正弦值为36，求线段1AN的长．【答案】（

1）证明见解析（2）322【解析】【分析】（1）过点N作NQAB∥交BC于点Q，连接QM，得1NQAM∥，进而利用直线与平面平行的性质定理可得1ANQM∥，从而可证1ANQM是平行四边形，则由M是11AB的中

点可得N为线段AC的中点；（2）先建立空间直角坐标系，再求得平面1BCM的法向量，设()01ANAC=，则()22,0,2N−，进而利用向量法表示线面角，列方程求得，从而即可得到1AN的长.小

问1详解】在ABC中，过点N作NQAB∥交BC于点Q，连接QM，如图：因为11ABAB∥，所以1NQAM∥，所以1A，N，Q，M四点共面．【因为直线1AN∥平面BCM，1AN平面1ANQM，平面BCM平面1ANQMQM=，所以1A

NQM∥．所以四边形1ANQM是平行四边形．所112NQAMAB==．所以N为AC的中点．【小问2详解】因为侧面11BBCC为正方形，所以1BCBB⊥，又因平面11BBCC⊥平面11ABBA，平面11BBCC平面111ABBABB=，BC平面1BBCC

，所以BC⊥平面11ABBA，1,ABBB平面11ABBA，所以BCAB⊥，1BCBB⊥，又因11ABBA为正方形，1ABBB⊥，以B为原点，BA，1BB，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图：因为2ABBC==，所以()0,

0,0B，()2,0,0A，()10,2,2C，()10,2,0B，()12,2,0A，()0,0,2C，()1,2,0M所以()10,2,2BC=，()1,2,0BM=．设平面1BCM的一个法向量为(),,nxyz=，由100nBCnBM==得22020yzxy+=+=即0

20yzxy+=+=．取1y=，得()2,1,1n=−−．设()01ANAC=，()000,,Nxyz=，则()0002,,ANxyz=−，因为()2,0,2AC=−，所以()()2,,2,0,2xyz−=−．所以22x−

=−，0y=，2z=，所以N点坐标为()22,0,2−．因为()12,2,0A，所以()12,2,2AN=−−设直线1AN与平面1BCM所成角为，则1121223sincos,6846ANnANnANn−====+，解得10,14=111,2,22AN

=−−，所以1322AN=，即线段1AN的长为322．18.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如图，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（1）试估计顾客同时购

买了甲、乙两种商品概率；（2）假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率；（3）如果顾客购买了

甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）【答案】（1）0.417（2）0.1176（3）顾客购买丙的可能性较大.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；的（2）根据已知条件，利用相互独立的事件的概率公式求解；（3）在这1000名

顾客中，分别求出同时购买甲、丙和甲、丁的概率，从而得到结论.【小问1详解】从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有217200417+=位顾客同时购买了甲、乙两种商品，所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为4170.4171000

=；【小问2详解】设事件A为顾客购买了两种商品，事件B为顾客购买了一种商品，事件C为顾客购买了三种商品；从统计表可以看出，()PA可以估计为10021725013370071000100010+++==，()PB可以估计为1001100010

=，()PC可以估计为200110005=，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率为2211421C(())C()C()PAPBPC2711147620.1176105101250=

==，所求的概率可估计为0.1176；【小问3详解】在这1000名顾客中，同时购买甲、丙的概率为2002501330.5831000++=，在这1000名顾客中，同时购买甲、丁的概率为100

0.11000=，该顾客购买丙的可能性较大.19.已知椭圆E：()222210xyabab+=过点1,22，离心率为22．（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的右焦点F作斜率为()0kk的直线l交椭圆E于点

A，B，直线l交直线2x=于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．【答案】（1）2212xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆上的点21,2

和离心率列方程求得22,ab，即可得到椭圆方程；（2）由题意，设直线l的方程为()()10ykxk=−，联立方程组利用韦达定理可得2122412kxxk+=+，21222212kxxk−=+，进而题意求得点,PQ的坐标，再由分别直线AQ和直线BQ的方程

可得点11,0kxCky−和点22,0kxDky−，从而利用以上条件代入化简1212kxkxkyky+−−的值，进而即可得证点F为线段CD的中点.【小问1详解】由题意得222222222211caabcab

==++=解得22a=，21b=．所以椭圆E的方程是2212xy+=．【小问2详解】椭圆E的右焦点F的坐标为()1,0，由题意，设直线l的方程为()()10ykxk=−．()22121xyykx+==−，整理得()22

22124220kxkxk+−+−=．因为()()()22222Δ441222880kkkk=−−+−=+，所以，设直线l交椭圆E于点()11,Axy，()22,Bxy，则2122412kxxk+=+，21222212kxxk−=+．由直线l的方程()1ykx=−，令2x=，解得yk=，

所以()2,Pk，()0,Qk．所以直线AQ的方程为11ykyxkx−=+，10x．令0y=，解得11kxxky=−，所以11,0kxCky−．直线BQ的方程为22ykyxkx−=+，20x．令0y=，解得22kxxky=−，所以22,0kxDky

−．()()()()1221121212kxykxykkxkxkykyykyk−−+−+=−−−−．由于()111ykx=−，()221ykx=−．则()()()()122112212122222kxkxxkxkxkxkykykxx−−+−+=−−−−()()()(

)()2221212121222121212224222222212228222441212kkxxxxxxxxkkkxxxxxxkk−++−+−+====−−−−++−+++，所以线段CD的中点为F．20.设函数()()()2ln1fxxxax=++−，曲线()y

fx=在点()()0,0f处的切线斜率为1．（1）求a的值；（2）设函数()()gxfx=，求()gx的单调区间；（3）求证：()0xfx．【答案】（1）1a=（2）单调递减区间为()1,0−，单调递增区间为()0,+（3）证明见解析【解析】【

分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）求出()gx的导数，判断导数的正负，即可求得单调区间；（3）结合（2），可得()fx在()1,−+为增函数，结合函数值正负，即可证明结论.【小问1详解】由题意得()f

x的定义域为()1,−+，()()2ln11xfxxax+=++−+，因为()01f=．所以ln121a+−=，解得1a=.【小问2详解】因为()()()2ln111xgxfxxx+==++−+，()gx的定义域为()1,−+，(

)()()2211111xgxxxx+=−=++，令()0gx=，得0x=，()gx与()gx在区间()0,+上的情况如下：x()1,0−0()0,+()gx-0+()gx递减极小递增所以()gx的单调递减区间为()1,0−，单调递增区间为()0,+；【小问3详解】证

明：由（2）得，在0x=时，()gx取得最小值1，所以()0fx恒成立，所以()fx在()1,−+为增函数，又因为()00f=，的当10x−时，()0fx，所以()0xfx；当0x时，()

0fx，所以()0xfx，当0x=时，()0xfx=，综上，()0xfx.21.已知na是无穷数列，对于k，*Nm，给出三个性质：①*Nna（1,2,n=）；②121nnnknknaaaama+++−++++=（1,2,n=）；③11nnknknaaama−

−+−+++=（1,2,n=）（1）当2k=时，若()1042nna=+−（1,2,n=），直接写出m的一个值，使数列na满足性质②，若满足求出m的值；（2）若2km==和3km==时，数列na同时满足条件②③，证明：na是等

差数列；（3）当2k=，1m时，数列na同时满足条件①③，求证：数列na为常数列．【答案】（1）2m=（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由性质②得到12nnnaama+++=，结合na的通项公式化简得到20m−=，求出答案；（2）根

据性质②得到21124nnnnnaaaaa−−+++++=，由性质③得到3211236nnnnnnnaaaaaaa−−−++++++++=，两式结合得到112nnnaaa−++=，故3a，4a，5a，…是等差数列，设其公差为d，结合21124nnnn

naaaaa−−+++++=得到23aad=−，132aad=−，得到结论；（3）当2m=时，由性质③得到()2112nnnaaa−−=+，推出121212nnnaaaa−−−=−，3,4,=n，当()120aa

cc==时，nac=，1,2,n=满足上式，当12aa时，推出矛盾；当3m时，构造1,maxnnnbaaN−=，推出矛盾，从而证明出结论.【小问1详解】2k=时，性质②为12nnnaama+++=，又()1042nna=+−，故()()()1210421042

1042nnnm+++−++−=+−，化简得()()420102nm+−−=，要想上式总成立，则20m−=，解得2m=；【小问2详解】若2km==时，数列na满足条件②，得122nnnaaa++

+=，数列na满足条件③，得212nnnaaa−−+=，两式相加()11224*nnnnnaaaaa−−+++++=，若3km==时，数列na满足条件②，得1233nnnnaaaa+++++=，数列na满足条件③，得3212nnnna

aaa−−−++=，两式相加()3211236**nnnnnnnaaaaaaa−−−++++=++++，由()*知，()32114nnnnnaaaaa−−−++=−+，()23114nnnnnaaaaa+++−+=−+，代入

()**得得112nnnaaa−++=，其中4n，所以3a，4a，5a，…是等差数列，设其公差为d．在()*中，取4n=，则235644aaaaa+++=，所以23aad=−，在()*中，取3n=，则124534aaaaa+++=，所以132aad=−，所以数列na是等差数

列．【小问3详解】①当2m=时，由性质③得()2112nnnaaa−−=+，即()11212nnnnaaaa−−−−=−−，3,4,=n，所以121212nnnaaaa−−−=−，3,4,=n，若()120aacc==，则nac=，1,2,n=．经检验，数列c具有性质

①③．若12aa，当221log2naa−+时，()12121012,nnnaaaa−−−=−，与naN矛盾．②当3m时，令1,maxnnnbaaN−=，则()()()212111111133nn

nnnnnnaaaaabbbm−−−−−−−=+++，3,4,=n．所以()()()11111133nnnnnnnnaaaaabbbm+−−=+++．所以11ax,mnnnnbaab++=．所以111nnbb+−−，2,3,n=，所以311

bb−−，531bb−−，…，21211nnbb+−−−．所以211nbbn+−−．当1nb时，2110nbbn+−，与21Nnb+矛盾．综上所述，只有当2m=，即212nnnaaa−−+=，且nac=时满足①③，故数列na为常数

列.【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“

旧”性质上，创造性的解决问题.